专题12.2 一次函数（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦一次函数核心知识点，系统梳理从定义（一次函数与正比例函数的从属关系）、图像性质（k和b对位置及增减性的影响）到平移对称变换，再到与一元一次方程、不等式数形结合的完整脉络，搭建递进式学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型分类”为特色，通过典例与变式训练强化数形结合，培养几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），如利用图像快速求解方程解与不等式解集（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后分层练习助力学生查漏补缺。

专题12.2 一次函数 教学目标 1.理解一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数一般解析式、正比例函数解析式，理清正比例函数是特殊一次函数的从属关系。 2.掌握一次函数图象的平移、对称规律，理解平移是整体上下左右平行移动，对称包含关于坐标轴、原点对称，能快速求变换后的函数解析式。 3.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，掌握函数图象与x轴交点横坐标即为对应一元一次方程的解以及数形结合求解不等式的方法。 4.能综合运用一次函数性质、图象变换、方程、不等式知识解决选择、填空、简单综合题型，建立完整的一次函数数形体系。 教学重难点 1.重点 （1）能根据简单数量关系列出一次函数解析式，利用定义求解函数参数； （2）掌握k、b对一次函数图象位置和增减性的影响； （3）熟记一次函数平移、对称的变换规律，能快速求解析式； （4）掌握一次函数图象与一元一次方程解的对应关系； （5）能利用一次函数图象求解一元一次不等式解集。 2. 难点 （1）灵活区分k、b的作用，准确判断含参数函数的图象特征； （2）混淆平移方向、对称变换规律，易错写变换后解析式； （3）真正理解数形转化思想，读懂图象对应方程、不等式的几何意义； （4）综合运用函数性质、变换、方程、不等式解决含参综合题型。 知识点01 一次函数的概念与表达式 1.一次函数的定义：一般地，形如 （k≠0，k、b是常数）的函数，叫作一次函数。 2.正比例函数的定义：形如 （k是常数，k≠0）的函数叫作正比例函数，其中k叫做比例系数。 3.表达式的求解——待定系数法求解步骤： ①设：根据函数类型，设出表达式（如正比例函数设，一次函数设）。 ②代：将已知点的坐标代入表达式，得到关于（或、）的方程（组）。 ③求：解方程（组），求出（或、）的值。 ④写：将求出的系数代入所设表达式，得到最终函数解析式。 【即学即练】 1．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 3．若一次函数的图像经过点，，求该一次函数的表达式． 知识点02 正比例函数的图像与性质 1.正比例函数的图象：正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点 两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），正比例函数的图像是一条过 的直线。 2.正比例函数图象的性质：正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第 象限，从左向右上升，y随x的增大而 ； 当k＜0时，直线y＝kx依次经过第 象限，从左向右下降，y随x的增大而 ； 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而增大 D．随的增大而减小 2．，是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 知识点03 一次函数的图像与性质 1.一次函数图象的形状与特征： ①一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可； ②一般一次函数的图象必经过点 （轴交点）和点 （轴交点）。 2.截距：直线与轴相交于点，叫作直线在轴上的截距，简称截距。 3.一次函数的性质： y＝kx+b k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 增减性 y随x的增大而 y随x的增大而 直线趋势 函数从左到右 函数从左到右 与y轴交点的位置 在y轴的 半轴上 在y轴的 半轴 在y轴的 半轴上 在y轴的 半轴 倾斜程度 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越 4.两直线位置与斜率、截距的关系： 直线与平行 直线与重合 直线与垂直 【即学即练】 1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴的交点坐标为 C．y随x增大而减小 D．该图象可以由向上平移4个单位得到 2．下列函数中，图象不经过第三象限，且y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 知识点04 一次函数的平移 1.图象的平移规律：对于一次函数，平移时值不变，仅发生变化 ①上下平移：向上平移个单位 → ； 向下平移个单位 → （上加下减）。 ②左右平移：向左平移个单位 → ； 向右平移个单位 → （左加右减）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）把的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是(　　) A． B． C． D． 2．已知直线向下平移个单位长度后经过点，则________． 3．已知一次函数过点，且与直线平行，求一次函数的解析式． 知识点05 一次函数的对称 1.直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）： ①关于x轴对称： （关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）； ②关于y轴对称： （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）； ③关于原点对称： （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）。 【即学即练】 1．（1）点向下平移2个单位后的坐标是______； （2）直线向右平移2个单位后的解析式是_______； （3）已知直线交y轴于点A，交x轴于B，将直线沿x轴翻折，求翻折后的直线的解析式． 知识点06 一次函数与一元一次方程 1.一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程的根就是它所对应的一次函数函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的 坐标。 方程 的解 直线与轴交点的横坐标。 【即学即练】 1．若关于的方程的解为，则直线一定经过点_______． 2．如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是______． 知识点07 一次函数与一元一次不等式 1.一次函数与一元一次不等式的关系： ①从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； ②从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。 2.用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）：对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为 ①当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为： ，不等式kx+b＜0的解为： ； ②当k＜0，不等式kx+b＞0的解为： ，不等式kx+b＜0的解为： 。 【即学即练】 1．如果一次函数的图象与轴的交点是，那么不等式的解集是_____． 2．如图，直线和直线相交于点，不等式的解集是____________． 3．已知点，在直线上． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 题型01 一次函数与正比例函数的识别 【典例1】下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． （1）正比例函数标准形式：，最高次数为1、无常数项、系数不为0； （2）一次函数标准形式：，最高次数为1、自变量系数不为0，可有常数项； （3）包含关系：正比例函数是特殊的一次函数（）； （4）识别三步：自变量次数为1、不含、。 【变式1】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，不是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型02 根据一次函数的定义求参数 【典例1】若是y关于x的一次函数，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【典例2】当为何值时，函数是一次函数． （1）一次函数求参条件：①自变量次数；②一次项系数； （2）正比例函数求参条件：①次数；②；③常数项； （3）解题步骤：先列次数方程，再列系数不为0不等式，双重取舍参数。 【变式1】函数是一次函数，m，n应满足的条件是 （    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）当_____．时，函数是正比例函数． 【变式3】（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 题型03 一次函数图象的识别 【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． （1）看定增减：上升，下降； （2）看定截距：交y轴正半轴，交y轴负半轴，过原点； （3）快速识图：结合增减趋势+y轴交点，唯一匹配图像。 【变式1】已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一次函数，当时，它的图象是（   ） A． B． C． D． 题型04 函数图象共存问题 【典例1】一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． （1）核心原则：同一题目中同一个参数符号必须统一； （2）双函数共存判断：先看第一个图像判正负，再验证第二个图像是否符合； （3）排除法：只要两个图像对同一参数的正负判定矛盾，直接排除选项。 【变式1】两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（   ） A． B． C． D． 【变式2】在同一坐标系中，一次函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型05 正比例函数图象所经过象限问题 【典例1】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）一次函数的图象经过（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【典例2】已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 【变式1】正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【变式2】函数是正比例函数，且图像经过第二、四象限，则______． 【变式3】已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为_____． 题型06 一次函数图象所经过象限问题 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是_____． 口诀速记：看升降定左右象限，看截距定上下象限。 【变式1】（25-26八年级上·四川雅安·期中）已知一次函数经过两点，则它的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】在平面直角坐标系中，直线经过第一、三、四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【变式4】函数的图象经过第一、三、四象限，则m的整数解是______． 【变式5】若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是______． 题型07 一次函数值大小比较 【典例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【典例2】已知点，点都在直线的图象上则___________n（选填“”、“”或“”） （1）利用单调性：，越大越大；，越大越小； （2）快速比大小：无需代入计算，直接看增减性秒杀； （3）多点比较：统一根据自变量大小，结合单调性排序函数值。 【变式1】（25-26八年级上·四川达州·期末）已知点，都在直线上，则与关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知直线过点，，则和的大小关系是______． 【变式3】已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 题型08 一次函数图象性质的正误判断 【典例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线平行 【变式1】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．的值随的值增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与轴交点坐标为 D．当时， 【变式2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）对于一次函数，下列判断错误的是（   ） A．该函数的图象经过第二、三、四象限 B．该函数的图象在轴上截距为 C．该函数的图象与轴交于点 D．自变量的值每增加1，函数的值减小2 【变式3】关于正比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象经过第一、第三象限 C．函数值随的增大而增大 D．图象经过原点 题型09 求一次函数解析式 【典例1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和，求k、b的值． 【典例2】若y与成正比，且当时，，求y与x之间的函数关系式． （1）正比例函数：设，只需1个点即可求解； （2）一次函数：设，需要2个点列方程组求解； （3）特殊条件：已知截距、已知增减、已知平行可直接简化设式。 【变式1】已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，的值． 【变式2】一次函数的图象与直线平行，且过点，求这个一次函数的关系式． 【变式3】（26-27八年级上·陕西西安·期末）已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且与x轴交于点A，且点A的横坐标为．求一次函数的表达式． 【变式4】在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点．求一次函数的解析式． 题型10 一次函数的平移 【典例1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）正比例函数的图象沿轴向上平移3个单位长度得到函数（     ）． A． B． C． D． 【典例2】已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，求此函数的表达式. （1）平移核心：值不变，直线斜率不变，只变截距； （2）复合平移：先左右、后上下，分步计算不混乱。 【变式1】（25-26八年级下·福建莆田·期末）直线通过某种平移方式得到直线，则下列平移方式正确的是（     ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向下平移2个单位长度 D．向上平移2个单位长度 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·天津南开·一模）将直线向下平移3个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是______（写出一个即可）． 【变式4】探索阅读以下材料： 将直线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，求平移后直线的解析式． 解：在直线上任取两点， 由题意知，点， ． 设平移后直线的解析式为． ∵平移后直线经过点， ，解得， ∴平移后直线的解析式为． 应用  请仿照以上提供的信息解决问题； 将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后直线的解析式． 题型11 一次函数的对称 【典例1】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 验证技巧：取特殊点对称代入，快速核对解析式。 【变式1】若直线与直线关于直线对称，则、值分别为：___________，___________． 【变式2】已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 题型12 一次函数的规律探究问题 【典例1】如图，已知直线：，直线：，点的坐标为，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作x轴的平行线交直线于点，按此法一直依次进行下去，点的坐标为(    )   A． B． C． D． 【变式1】如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是___________． 题型13 一次函数与坐标轴交点问题 【典例1】直线 与 轴交点坐标为_______． 【典例2】平面直角坐标系内，一次函数经过点和． (1)求，的值； (2)求该直线与坐标轴的交点坐标． （1）求与y轴交点：令，解得，交点； （2）求与x轴交点：令，解方程，得交点横坐标。 【变式1】（25-26八年级下·广西桂林·期末）直线与轴的交点坐标为__________． 【变式2】已知某个一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为坐标原点，求的面积． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于A，B两点，已知，且． (1)求一次函数的表达式； (2)当轴上有一点，使得的面积为5，求点的坐标． 题型14 一次函数与一元一次方程结合 【典例1】一次函数图象如图，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． （1）几何意义：方程的解，是直线与x轴交点的横坐标； （2）数形转化：解方程 = 找图像与x轴交点横坐标； （3）已知交点反推方程解，直接读数，无需计算。 【变式1】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【变式4】如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 题型15 一次函数与不等式结合 【典例1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知直线（k，b为常数，且）经过点，，直线与直线交于点C． (1)求关于x的一元一次不等式的解集； (2)求关于x的一元一次不等式的解集． （1）：图像在x轴上方部分对应的x取值； （2）：图像在x轴下方部分对应的x取值； （3）临界点：两函数交点横坐标为不等式分界点。 【变式1】如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是______． 【变式3】如图，一次函数与的图象相交于点，且，分别交轴于点，，则不等式的解集为______ ． 【变式4】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)求直线在直线上方时，的取值范围． 1．（25-26八年级下·河南信阳·期末）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南焦作·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．函数值y随着x的增大而减小 B．点在该函数图象上 C．图象不经过第四象限 D．图象与y轴的交点坐标为 3．（25-26八年级下·河南信阳·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·云南昆明·期末）点在的函数图像上，则代数式________． 7．（25-26八年级下·广西贵港·期末）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是_________． 8．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一次函数的图象向下平移2个单位长度得到的一次函数解析式为______． 9．（2026·江苏南京·一模）一次函数的图象关于轴对称的直线的表达式是_____________． 10．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，且与轴交于点． (1)求一次函数解析式和点的坐标； (2)若，求的取值范围． 11．（25-26八年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)如图，在同一平面直角坐标系中画出一次函数与的图象，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)当时，对于x的每一个值，正比例函数的值既小于一次函数的值，也小于一次函数的值，请直接写出m的取值范围． 1．（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）正比例函数（）与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）一次函数的函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，则k的取值范围（     ） A． B． C． D．或 4．（25-26八年级下·重庆万州·期末）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江西南昌·期末）已知正比例函数，且随的增大而增大，则_____． 7．（25-26八年级下·河南信阳·期末）已知，是一次函数的图象上的两点，且当时，，则的取值范围是__________． 8．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 9．（25-26八年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求的面积； (2)将直线沿轴向上平移个单位长度，平移后的直线经过点，求的值． 10．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，是原点，已知点，．直线是一次函数的图象． (1)当时，求直线与轴的交点坐标； (2)判断点是否在线段上，并求出当直线经过点时的值． (3)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 11．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知y关于x的一次函数的图象为直线l． (1)若函数图象过坐标原点，求k的值； (2)当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线l的解析式． 12．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． x ··· 0 1 2 3 4 5 6 ··· y ··· 5 4 m 2 1 0 1 n 3 ··· (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值，则 ， ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以表格中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y 随x的增大而 ； (3)结合图象回答： ①关于x 的方程的解是 ； ②关于x的不等式的解集是 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.2 一次函数 教学目标 1.理解一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数一般解析式、正比例函数解析式，理清正比例函数是特殊一次函数的从属关系。 2.掌握一次函数图象的平移、对称规律，理解平移是整体上下左右平行移动，对称包含关于坐标轴、原点对称，能快速求变换后的函数解析式。 3.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，掌握函数图象与x轴交点横坐标即为对应一元一次方程的解以及数形结合求解不等式的方法。 4.能综合运用一次函数性质、图象变换、方程、不等式知识解决选择、填空、简单综合题型，建立完整的一次函数数形体系。 教学重难点 1.重点 （1）能根据简单数量关系列出一次函数解析式，利用定义求解函数参数； （2）掌握k、b对一次函数图象位置和增减性的影响； （3）熟记一次函数平移、对称的变换规律，能快速求解析式； （4）掌握一次函数图象与一元一次方程解的对应关系； （5）能利用一次函数图象求解一元一次不等式解集。 2. 难点 （1）灵活区分k、b的作用，准确判断含参数函数的图象特征； （2）混淆平移方向、对称变换规律，易错写变换后解析式； （3）真正理解数形转化思想，读懂图象对应方程、不等式的几何意义； （4）综合运用函数性质、变换、方程、不等式解决含参综合题型。 知识点01 一次函数的概念与表达式 1.一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫作一次函数。 2.正比例函数的定义：形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫作正比例函数，其中k叫做比例系数。 3.表达式的求解——待定系数法求解步骤： ①设：根据函数类型，设出表达式（如正比例函数设，一次函数设）。 ②代：将已知点的坐标代入表达式，得到关于（或、）的方程（组）。 ③求：解方程（组），求出（或、）的值。 ④写：将求出的系数代入所设表达式，得到最终函数解析式。 【即学即练】 1．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义进行解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如 （）的函数是一次函数，逐一判断各函数是否符合. 【详解】∵ 一次函数的一般形式为 （）， ① ，符合定义； ② ，分母含自变量 ，不是整式，不符合定义； ③ ，符合定义； ④ ，符合定义； ⑤ ，最高次项为2次，不符合定义； ∴ 是一次函数的有①、③、④，共3个. 故选：C. 3．若一次函数的图像经过点，，求该一次函数的表达式． 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：将，代入得， ， 解得：， ∴该一次函数的表达式为． 知识点02 正比例函数的图像与性质 1.正比例函数的图象：正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），正比例函数的图像是一条过原点的直线。 2.正比例函数图象的性质：正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小； 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而增大 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质， 根据正比例函数中，则图象经过第二、四象限，判断B；再将代入关系式判断 A；然后根据，函数值 y 随 x 的增大而减小，判断C、D即可． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴图象经过第二、四象限，故B错误； 当时，， ∴图象经过点，故A错误； ∵， ∴ y 随 x 的增大而减小， 故C错误，D正确． 故选：D． 2．，是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质． 根据正比例函数的性质进行判断即可． 【详解】解：由正比例函数得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， 故选：D． 知识点03 一次函数的图像与性质 1.一次函数图象的形状与特征： ①一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可； ②一般一次函数的图象必经过点（轴交点）和点（轴交点）。 2.截距：直线与轴相交于点，叫作直线在轴上的截距，简称截距。 3.一次函数的性质： y＝kx+b k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 直线趋势 函数从左到右上升 函数从左到右下降 与y轴交点的位置 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴 倾斜程度 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快 4.两直线位置与斜率、截距的关系： 直线与平行 直线与重合 直线与垂直 【即学即练】 1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴的交点坐标为 C．y随x增大而减小 D．该图象可以由向上平移4个单位得到 【答案】B 【分析】根据一次函数图象的增减性（，随的增大而减小，，一次函数图象过一、二、四象限）、与x轴交点坐标纵坐标为、以及平移规律（上加下减），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴图象经过第一、二、四象限，故A选项正确，不符合题意； ∵令，则，解得， ∴图象与x轴的交点坐标为，故B选项错误，符合题意； ∵， ∴y随x增大而减小，故C选项正确，不符合题意； ∵根据一次函数图象平移“上加下减”的规律，将的图象向上平移4个单位，可得， ∴D选项正确，不符合题意； 故选：B． 2．下列函数中，图象不经过第三象限，且y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，先由y随x的增大而减小判断k的符号，排除不符合的选项，再根据图象不经过第三象限判断图象位置，得到正确答案． 【详解】解：对于一次函数 ∵y随x的增大而减小， ∴， 选项A中，选项B中，均不符合要求，排除A、B． C：，，满足y随x的增大而减小， 而，图象经过第二、四象限和原点，不经过第三象限，符合要求． D：，，满足y随x的增大而减小， 而，图象经过第二、三、四象限，经过第三象限，不符合要求． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【详解】解：∵实数a，b满足，， ∴，， ∴， ∴函数的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴下方． 故选：B． 知识点04 一次函数的平移 1.图象的平移规律：对于一次函数，平移时值不变，仅发生变化 ①上下平移：向上平移个单位 → ； 向下平移个单位 → （上加下减）。 ②左右平移：向左平移个单位 → ； 向右平移个单位 → （左加右减）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）把的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象沿轴平移的“上加下减”规律． 根据“沿轴向下平移个单位，函数表达式常数项减”的规律，对原函数的常数项进行运算，得到平移后的解析式． 【详解】解：一次函数图象沿轴向下平移个单位，遵循“上加下减”规律， 原函数平移后解析式为：． 故选：C． 2．已知直线向下平移个单位长度后经过点，则________． 【答案】 【详解】直线向下平移个单位长度后得到直线，即直线． 因为直线经过点，可得 ． 解得 ． 3．已知一次函数过点，且与直线平行，求一次函数的解析式． 【答案】 【分析】先由平行得，再用待定系数法求得解析式． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求得是解题的关键． 【详解】解：∵直线和直线平行， ∴， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为． 知识点05 一次函数的对称 1.直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）： ①关于x轴对称：y＝﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）； ②关于y轴对称：y＝﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）； ③关于原点对称：y＝kx﹣b（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）。 【即学即练】 1．（1）点向下平移2个单位后的坐标是______； （2）直线向右平移2个单位后的解析式是_______； （3）已知直线交y轴于点A，交x轴于B，将直线沿x轴翻折，求翻折后的直线的解析式． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查点的平移，一次函数图象的平移，熟练掌握相关平移规则，是解题的关键： （1）根据点的平移规则，上加下减横不变，进行求解即可； （2）根据直线的平移规则左加右减，进行求解即可； （3）求出的坐标，求出点关于x轴的对称点，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：（1）由题意：点向下平移2个单位后的坐标是，即：； （2）直线向右平移2个单位后的解析式是； 故答案为：； （3）∵， ∴当时，，当，， ∴，， ∴点关于x轴的对称点为， ∵翻折， ∴翻折后的直线经过，， 设直线的解析式为：，把代入，得：，解得：； ∴． 知识点06 一次函数与一元一次方程 1.一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程的根就是它所对应的一次函数函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标。 方程 的解 直线与轴交点的横坐标。 【即学即练】 1．若关于的方程的解为，则直线一定经过点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据方程可知当，，从而可判断直线经过点． 【详解】解：由方程可知：当时，， 故将代入直线，得， ∴直线的图象一定经过点． 故答案为：． 2．如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的综合应用，解题关键是理解方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值．结合图像可知，方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，即可获得答案． 【详解】解：直线与相交于点， 方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值， 方程的解为． 故答案为：． 知识点07 一次函数与一元一次不等式 1.一次函数与一元一次不等式的关系： ①从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； ②从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。 2.用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）：对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为 ①当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为： ； ②当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为： 。 【即学即练】 1．如果一次函数的图象与轴的交点是，那么不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】利用一次函数的增减性，结合函数与x轴的交点坐标即可求出不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点是， ∴当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴不等式，即，对应函数图象在x轴上方的部分，可得x的取值范围是． 2．如图，直线和直线相交于点，不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】找出的图像在的图像上方部分对应的的取值范围即为所求不等式的解集． 【详解】解：由图像得当时，， 故不等式的解集为． 3．已知点，在直线上． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出两直线的交点的坐标，再根据图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由，解得， ∴， 由函数图象可知，当时，直线位于直线的下方， ∴不等式的解集为． 题型01 一次函数与正比例函数的识别 【典例1】下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）． 根据一次函数的定义，判断每个选项的函数形式是否符合． 【详解】解：A、，其中的次数是2，属于二次函数，不是一次函数，不符合题意； B、，符合一次函数的一般形式，所以是一次函数，符合题意； C、，是反比例函数，不是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意． 故选：B． （1）正比例函数标准形式：，最高次数为1、无常数项、系数不为0； （2）一次函数标准形式：，最高次数为1、自变量系数不为0，可有常数项； （3）包含关系：正比例函数是特殊的一次函数（）； （4）识别三步：自变量次数为1、不含、。 【变式1】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1；正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 根据一次函数和正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，是一次函数，不符合题意； B. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； C. 不是正比例函数，是一次函数，符合题意； D. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列函数中，不是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如（，是常数）的函数叫做一次函数．直接根据一次函数的定义进行判断． 【详解】解：A、,符合一次函数的形式，其中，，且，所以它是一次函数，不符合题意； B、,符合一次函数的形式，其中，，且，所以它是一次函数，不符合题意； C、,符合一次函数的形式，其中，，且，所以它是一次函数，不符合题意； D、,不符合一次函数的形式的形式，所以它不是一次函数，符合题意； 故选：D． 【变式3】有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的概念，一般地，形如（是常数）的函数，叫做一次函数．当时，函数为，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．据此解答即可． 【详解】解：①是正比例函数，属于一次函数，符合题意； ②是一次函数，符合题意； ③中不是整式，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ⑤中x的次数是2，不符合题意； 综上，共有3个一次函数． 故选：B． 题型02 根据一次函数的定义求参数 【典例1】若是y关于x的一次函数，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的定义，注意自变量x的系数不能等于0这个条件．由一次函数的定义得关于m的方程，解出方程即可． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴，， 解得：． 故选：B． 【典例2】当为何值时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义，并列出关于m的方程．根据一次函数的定义列出关于m的方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得：． （1）一次函数求参条件：①自变量次数；②一次项系数； （2）正比例函数求参条件：①次数；②；③常数项； （3）解题步骤：先列次数方程，再列系数不为0不等式，双重取舍参数。 【变式1】函数是一次函数，m，n应满足的条件是 （    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出方程组解答即可． 【详解】解：函数是一次函数， ，解得，． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）当_____．时，函数是正比例函数． 【答案】 2 【分析】先将函数解析式整理为一般形式，再根据正比例函数的定义列关系式求解即可 【详解】解：先整理函数解析式，， 函数 是正比例函数， ， 解得 【变式3】（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的解析式分别为，． （1）根据正比例函数的解析式为得到，即可求解； （2）根据一次函数的解析式为得到且，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得． 题型03 一次函数图象的识别 【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图像与之间的关系求解即可． 【详解】解：∵一次函数为， ∴一次项系数， ∴随的增大而增大，排除选项， ∵常数项， ∴一次函数图像与轴相交于负半轴． （1）看定增减：上升，下降； （2）看定截距：交y轴正半轴，交y轴负半轴，过原点； （3）快速识图：结合增减趋势+y轴交点，唯一匹配图像。 【变式1】已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象性质判断出的取值范围，继而根据一次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：∵一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数（）的图象经过二、三、四象限． 【变式2】已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 【变式3】一次函数，当时，它的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的系数与函数图象的关系是解题的关键． 函数图像经过第一、三象限，函数图象与轴的交点在轴的负半轴，由此可求解． 【详解】解：， 函数图像经过第一、三象限， 又∵， 函数图象与轴的交点在轴的负半轴， 故选：C． 题型04 函数图象共存问题 【典例1】一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数经过的象限即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，此选项不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，故一次函数图象经过第一、三、四象限，此选项符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； 故选：B． （1）核心原则：同一题目中同一个参数符号必须统一； （2）双函数共存判断：先看第一个图像判正负，再验证第二个图像是否符合； （3）排除法：只要两个图像对同一参数的正负判定矛盾，直接排除选项。 【变式1】两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数图象与函数解析式的关系式，是解题的关键．利用一次函数图象与，的关系，逐项判断即可． 【详解】解：、如果过第一、二、三象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故A错误； 、如果过第一、二、三象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故B错误； 、如果过第一、三、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，故C正确； 、如果过第二、三、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故D错误． 故选：C． 【变式2】在同一坐标系中，一次函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．根据题意，利用图象与性质逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：选项A中，由过原点的直线可得，由另一直线得， ∴两个函数的值一致，故A选项符合题意； 选项B中，两直线均不过原点，但直线必过原点，故B选项不符合题意． 选项C中，由过原点的直线得，由另一直线得， ∴两个函数的k值矛盾，故C选项不符合题意； 选项D中，两直线均不过原点，但直线必过原点，故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式3】已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【详解】解：A、如图：当一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，此时的图象也经过第一、二、三象限，所以A选项不符合题意； B、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以B选项符合题意； C、如图：当一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，此时的图象经过第一、三、四象限，所以C选项不符合题意； D、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以D选项不符合题意； 故选：B． 题型05 正比例函数图象所经过象限问题 【典例1】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）一次函数的图象经过（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】对于一次函数，可根据的符号判断图象经过的象限，推导即可得到答案. 【详解】解：∵是正比例函数，其中，，图象过坐标原点， ∴根据一次函数性质，当时，直线经过第一、三象限， ∴的图象经过第一、三象限. 【典例2】已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， ，则实数的值可以是（答案不唯一）． 【变式1】正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：B． 【变式2】函数是正比例函数，且图像经过第二、四象限，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了正比例函数的定义，图象分布，熟练掌握定义和图象分布是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故答案为：． 【变式3】已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得的值，再由图象的位置进行取舍，可求得的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得， 图象经过第一、三象限， ， ， ． 故答案为：2． 题型06 一次函数图象所经过象限问题 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象，掌握一次函数的图象与k，b的关系是解题关键． 根据一次函数解析式中k，b的符号，结合一次函数的性质判断图象经过的象限，进而确定不经过的象限． 【详解】解：一次函数中，，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【典例2】一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的系数的几何意义，根据一次函数的图象，列出关于a的一元一次不等式组，是解题的关键． 根据一次函数解析式的系数的几何意义，可知，，列出关于a的一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴且， 解得：且， ∴， 故答案为：． 口诀速记：看升降定左右象限，看截距定上下象限。 【变式1】（25-26八年级上·四川雅安·期中）已知一次函数经过两点，则它的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的关系式判断其图象不经过某一个象限， 先将已知两点代入一次函数解析式，求出k和b的值得到函数解析式，再根据一次函数的图象性质判断其不经过的象限． 【详解】解：∵一次函数经过、两点， ∴将代入得， 将和代入得， 解得， ∴该一次函数解析式为， ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象及性质，先将已知点代入正比例函数解析式求出k的值，再得到一次函数解析式，根据一次函数的斜率与截距判断其经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：将点代入得：， 解得， 将代入得：，即， 在中，斜率，与y轴的交点为，截距为， 则的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【变式3】在平面直角坐标系中，直线经过第一、三、四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的经过的象限与系数的关系是解答的关键． 根据一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， 故只需写出的任意一个数即可， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4】函数的图象经过第一、三、四象限，则m的整数解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是求出m的取值范围． 根据函数的图象经过第一、三、四象限，可知，，从而可以求得m的取值范围，然后即可写出m的整数解． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得， ∴m的整数解是1， 故答案为：1． 【变式5】若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质与不等式组的综合，由一次函数的性质列出不等式组是解题的关键． 根据图象不经过第三象限可确定满足的条件，列出不等式组即可求出k的取值范围． 【详解】解：根据题意得 解不等式①得 解不等式②得 所以该不等式组的解集为． 故答案为：． 题型07 一次函数值大小比较 【典例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵直线中， ∴ y随x的增大而减小， ∵ ∴ ． 故选：C． 【典例2】已知点，点都在直线的图象上则___________n（选填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，由一次函数，可知y随x的增大而增大，结合点A横坐标2小于点B横坐标3，可得． 【详解】解：∵， ∴一次函数具有y随x的增大而增大的性质． ∵， ∴． 故答案为：． （1）利用单调性：，越大越大；，越大越小； （2）快速比大小：无需代入计算，直接看增减性秒杀； （3）多点比较：统一根据自变量大小，结合单调性排序函数值。 【变式1】（25-26八年级上·四川达州·期末）已知点，都在直线上，则与关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较一次函数的函数值的大小，根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴； 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知直线过点，，则和的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大． 【详解】解：∵中，， ∴随的增大而增大 ∵， ∴ 故答案为：． 【变式3】已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得增减性，由增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴y随x增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴， 故答案为：． 题型08 一次函数图象性质的正误判断 【典例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线平行 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴它的图象与轴交于点，该选项结论正确，不符合题意； 、∵， ∴随的增大而增大，该选项结论正确，不符合题意； 、∵，， ∴它的图象经过第一、三、四象限，该选项结论错误，符合题意； 、∵直线与直线的值相同，值不同， ∴两条直线平行，该选项结论正确，不符合题意； 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．的值随的值增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与轴交点坐标为 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 根据一次函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数的， ∴y的值随x的值增大而减小，故该选项错误，不符合题意； B、一次函数的，， ∴图象经过第一、二、四象限，故该选项错误，不符合题意； C、将代入中得，等式成立， ∴图象必经过点，故该选项正确，符合题意； D、由于一次函数的， ∴y的值随x的值增大而减小， ∴当时，，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）对于一次函数，下列判断错误的是（   ） A．该函数的图象经过第二、三、四象限 B．该函数的图象在轴上截距为 C．该函数的图象与轴交于点 D．自变量的值每增加1，函数的值减小2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与x轴的交点进行分析判断． 【详解】解：对于函数，∵，，∴图象经过第二、三、四象限，A正确； 当时，，∴y轴上截距为，B正确； 当时，，解得，∴与x轴交点为，不是，C错误； ∵，∴x每增加1，y减小2，D正确． 故选：C． 【变式3】关于正比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象经过第一、第三象限 C．函数值随的增大而增大 D．图象经过原点 【答案】D 【分析】根据正比例函数的性质，结合中的情况，逐一判断每个选项的结论是否正确． 正比例函数的图象必经过原点；当时，图象经过第二、四象限，且随的增大而减小． 【详解】解：A、当 时，，故A错误，不符合题意； B、∵正比例函数中， ∴图象经过第二、四象限，故B错误，不符合题意； C、∵， ∴随的增大而减小，故C错误，不符合题意； D、正比例函数图象必经过原点，故D正确，符合题意． 故选：D． 题型09 求一次函数解析式 【典例1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和，求k、b的值． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点和， ∴， ∴． 【典例2】若y与成正比，且当时，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】设函数关系式为，再将，代入函数关系式，求出k的值，即可得出答案． 【详解】解：∵y与成正比， ∴设函数关系式为， 将，代入函数关系式得， 解得， 将代入所设关系式，得， ∴y与x之间的函数关系式为． （1）正比例函数：设，只需1个点即可求解； （2）一次函数：设，需要2个点列方程组求解； （3）特殊条件：已知截距、已知增减、已知平行可直接简化设式。 【变式1】已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出的值，从而得到与的函数关系式； （2）利用（1）中的关系式，求出函数值为所对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得， 解得， ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 的值为． 【变式2】一次函数的图象与直线平行，且过点，求这个一次函数的关系式． 【答案】 【分析】设这个一次函数的关系式为，根据一次函数的图象与直线平行得到，进而将代入关系式求出即可． 【详解】解：设这个一次函数的关系式为， ∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵过点， ∴， 解得：， 即． 【变式3】（26-27八年级上·陕西西安·期末）已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且与x轴交于点A，且点A的横坐标为．求一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 先由两直线平行得到，再把交点A的横坐标代入求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ∴． 又∵一次函数的图象与x轴交于点A，且点A的横坐标为， ∴，即 ∴． ∴一次函数的表达式为． 【变式4】在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点．求一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式． 【详解】解：由题意得：， 将代入中得：， ∴一次函数的解析式为． 题型10 一次函数的平移 【典例1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）正比例函数的图象沿轴向上平移3个单位长度得到函数（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数沿轴平移的“上加下减”法则，按规律直接计算即可得到结果． 【详解】∵一次函数图象沿轴向上平移个单位时，遵循“上加”规律， 即在原解析式后加上平移的单位长度， 已知原函数为， 沿轴向上平移个单位长度， ∴平移后得到的函数解析式为． 【典例2】已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，求此函数的表达式. 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，平移的性质，根据一次函数的图象平行于直线，设该一次函数的解析式为，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象平行于直线， ∴设该一次函数的解析式为， ∵该一次函数经过点， ∴把代入，得， 解得， ∴． （1）平移核心：值不变，直线斜率不变，只变截距； （2）复合平移：先左右、后上下，分步计算不混乱。 【变式1】（25-26八年级下·福建莆田·期末）直线通过某种平移方式得到直线，则下列平移方式正确的是（     ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向下平移2个单位长度 D．向上平移2个单位长度 【答案】B 【分析】利用一次函数平移的“上加下减常数项”规则，即可判断平移方式． 【详解】直线通过向上平移3个单位长度，得到直线． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图像平移规律得到平移后的解析式，再利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入求出纵坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵一次函数图像向上平移个单位长度，平移后解析式为原解析式整体加平移长度， ∴原函数平移后的解析式为， ∵选项中所有点的横坐标为， ∴令，代入解析式得， ∴平移后的函数图象与y轴的交点坐标为． 【变式3】（2026·天津南开·一模）将直线向下平移3个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（）即可 【分析】先根据平移规律得到平移后的直线解析式，再根据平移后直线经过的象限确定的取值范围，在范围内取一个符合条件的值即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后， 根据平移规律可得解析式为，即． 平移后的直线经过第二、第三、第四象限， ． ∴k的值可以是（答案不唯一）． 【变式4】探索阅读以下材料： 将直线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，求平移后直线的解析式． 解：在直线上任取两点， 由题意知，点， ． 设平移后直线的解析式为． ∵平移后直线经过点， ，解得， ∴平移后直线的解析式为． 应用  请仿照以上提供的信息解决问题； 将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后直线的解析式． 【答案】平移后直线的解析式为 【分析】本题考查一次函数图象的平移及待定系数法求一次函数解析式，根据题意先求出两点平移后对应点的坐标，再用待定系数法求一次函数表达式即可． 【详解】解：在直线上任取两点， 由题意知，点， ． 设平移后直线的解析式为． ∵平移后直线经过点， ， 解得， ∴平移后直线的解析式为． 题型11 一次函数的对称 【典例1】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 验证技巧：取特殊点对称代入，快速核对解析式。 【变式1】若直线与直线关于直线对称，则、值分别为：___________，___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 先求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴一次函数与y轴交点为， ∵点关于直线的对称点为， 把点代入直线，得： ，解得：， ∴对于，当时，， ∴一次函数与y轴交点为， ∵关于直线的对称点为， 把点代入直线，得： ，解得． 故答案为：； 【变式2】已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式． （1）根据一次函数的定义得到，，求解即可； （2）先确定函数解析式，再分别令，，求出该函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据直线l与一次函数的图象关于y轴对称，得到直线l过点，，运用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 由得， 由得或， ∴． （2）解：∵， ∴一次函数的解析式为， ∵当时，， ∴该一次函数的图象与y轴的交点为， ∵当时，，解得， ∴该一次函数的图象与x轴的交点为， ∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为． （3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，， ∴直线l过点，， 设直线l的解析式为， ∴，解得， ∴直线l的解析式为． 题型12 一次函数的规律探究问题 【典例1】如图，已知直线：，直线：，点的坐标为，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作x轴的平行线交直线于点，按此法一直依次进行下去，点的坐标为(    )   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的求出规律是解题的关键．轴，，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，得到，同理，；，即；，求得，于是得到结论． 【详解】解： 轴，， 的纵坐标的纵坐标， 在直线 上， ， ， ，即的横坐标为， 的横坐标为， 在直线上， ， ， 同理，； ，即； ； ， ， ， 的横坐标为，和的纵坐标为， 在直线上， 故选：B． 【变式1】如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，， 在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有，解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的纵坐标为（为正整数）， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 题型13 一次函数与坐标轴交点问题 【典例1】直线 与 轴交点坐标为_______． 【答案】 【分析】根据y轴上点的坐标特点，点在y轴上时横坐标为0，将 代入直线解析式求出 的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：令 ，代入 得 ， 直线与 轴的交点坐标为 ． 【典例2】平面直角坐标系内，一次函数经过点和． (1)求，的值； (2)求该直线与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与坐标轴的交点坐标， 对于（1），将点的坐标代入关系式求出解即可； 对于（2），令求出解即可. 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，， ∴直线与y轴交点坐标为； 当时，， ∴直线与x轴交点坐标为. （1）求与y轴交点：令，解得，交点； （2）求与x轴交点：令，解方程，得交点横坐标。 【变式1】（25-26八年级下·广西桂林·期末）直线与轴的交点坐标为__________． 【答案】 【详解】解：在中，令，得， 解得， 直线与轴的交点坐标为． 【变式2】已知某个一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A，B的坐标，可得，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 因为一次函数的图象经过点和点， 所以， 解得， 所以这个一次函数的表达式为； （2）在一次函数中， 当时，，当时，， 所以， 所以， 所以的面积． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于A，B两点，已知，且． (1)求一次函数的表达式； (2)当轴上有一点，使得的面积为5，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识，正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法进行解答即即可； （2）点C的坐标为，则，根据的面积为5得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴ 解得， ∴； （2）解：设点C的坐标为，则， ∵的面积为5， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或． 题型14 一次函数与一元一次方程结合 【典例1】一次函数图象如图，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为， ∴关于的方程的解是． 故选：C． （1）几何意义：方程的解，是直线与x轴交点的横坐标； （2）数形转化：解方程 = 找图像与x轴交点横坐标； （3）已知交点反推方程解，直接读数，无需计算。 【变式1】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 【变式2】如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 【答案】 【分析】利用函数过，则有时函数值为0，则关于的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于，， ∴关于的方程的解为． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 【变式4】如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解； （3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得：， 故这个一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交于点C的坐标为， ∴方程的解为． 故答案为：． （3）解：的面积为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 题型15 一次函数与不等式结合 【典例1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象得到即可． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以关于x的不等式的解集是， 所以关于x的不等式的解集是， 所以解集为， 故选：A． 【典例2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知直线（k，b为常数，且）经过点，，直线与直线交于点C． (1)求关于x的一元一次不等式的解集； (2)求关于x的一元一次不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的表达式，即可求解； （2）根据题意可得于x的一元一次不等式为，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∴， 解得， ∴关于x的一元一次不等式的解集为． （2）解：根据题意得：关于x的一元一次不等式为， 解得：， ∴关于x的一元一次不等式的解集为：． （1）：图像在x轴上方部分对应的x取值； （2）：图像在x轴下方部分对应的x取值； （3）临界点：两函数交点横坐标为不等式分界点。 【变式1】如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，及一次函数与不等式．熟悉结合一次函数的图像，及其在某一点的函数值，求自变量的取值范围是解题的关键．本题中根据已知点的坐标，和图像中随的增大而减小，即可得出所求的的取值范围． 【详解】解：由图像可知当时，，且随的增大而减小， ∴当时，． 故选：． 【变式2】一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据函数图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：由图可知，一次函数和的图象的交点横坐标为， 关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【变式3】如图，一次函数与的图象相交于点，且，分别交轴于点，，则不等式的解集为______ ． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，的解集为两函数交点左边的图象所对应的自变量的取值范围． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 则不等式的解集为． 【变式4】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)求直线在直线上方时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求直线的解析式：先将点代入，求出的值，确定点的坐标；再利用待定系数法，将和点的坐标代入直线解析式，解方程组求出、的值，得到直线的解析式． （2）求直线在直线上方时的取值范围：两直线的交点为，结合函数图像，直线在交点右侧位于直线上方，因此直接得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线经过点， 点 设直线的解析式为． ∵直线经过点， 解得 故直线的解析式为． （2）解：由（1）可知，点的坐标为， ∴直线在直线上方时，的取值范围为． 1．（25-26八年级下·河南信阳·期末）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数要求自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出条件计算即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 2．（25-26八年级下·河南焦作·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．函数值y随着x的增大而减小 B．点在该函数图象上 C．图象不经过第四象限 D．图象与y轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】掌握一次函数的基本性质和点与函数图象的关系是解题关键，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：对于一次函数，可得，， ∵， ∴函数值随着的增大而增大，故A错误； 将代入解析式，得， ∴点不在该函数图象上，故B错误； ∵，， ∴函数图象经过第一、三、四象限，即图象经过第四象限，故C错误； 令，得， ∴图象与轴的交点坐标为，故D正确． 3．（25-26八年级下·河南信阳·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数增减趋势，再比较两点横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵ 直线解析式为，一次项系数， ∴ 随的增大而减小． ∵ ， ∴ ． 4．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）直线与直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 5．（25-26八年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数平移的“左加右减，上加下减”规则，得到两种平移后的解析式，利用同一直线对应常数项相等求出的值，得到原直线解析式，再验证各选项即可． 【详解】解：根据平移规则，将直线向右平移6个单位，得平移后解析式为：， 将直线向下平移4个单位，得平移后解析式为：， 两种平移得到同一条直线， ， 解得， 原直线解析式为， 逐一验证选项： 当时，，A错误； 当时，，B错误； 当时，，C错误； 当时，，D正确． 6．（25-26八年级下·云南昆明·期末）点在的函数图像上，则代数式________． 【答案】 【分析】将点代入，得到与的关系式，整理得到的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：点在函数的图像上， ，即， ． 7．（25-26八年级下·广西贵港·期末）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是_________． 【答案】/ 【分析】根据一次函数比例系数的符号判断函数的增减性，再比较三个点横坐标的大小，结合增减性即可得到函数值的大小关系. 【详解】解：∵ 直线中，， ∴ 随的增大而减小， 又∵ ， ∴ . 8．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一次函数的图象向下平移2个单位长度得到的一次函数解析式为______． 【答案】/ 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”原则，向下平移时，对原函数的常数项减去平移单位长度即可求解． 【详解】解：将向下平移个单位长度得到的一次函数解析式为． 9．（2026·江苏南京·一模）一次函数的图象关于轴对称的直线的表达式是_____________． 【答案】 【分析】先在原一次函数图象上选取两个点，利用关于轴对称的点的坐标规律得到对称点的坐标，再利用待定系数法求出对称后直线的函数表达式． 【详解】解：在一次函数的图象上取两点： 当时，，可得点 当时，，可得点 关于轴对称的点的坐标规律为：横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此上述两点关于轴对称的点分别为， 设所求直线的表达式为， 将，代入表达式得 把代入，得 解得 因此所求直线的表达式为 10．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，且与轴交于点． (1)求一次函数解析式和点的坐标； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)一次函数解析式为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）根据待定系数法得到一次函数的解析式，代入，得到点的坐标． （2）根据一次函数的图象，代入一次函数的解析式解一元一次不等式，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数图象经过点， ∴将点代入，得， ∴把代入函数解析式得：，解得：， ∴一次函数的解析式：， 当时，得：，解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵一次函数解析式为：，， ∴一次函数的图象是一条从左至右倾斜向下的直线， ∴当时，即， 解不等式，解得：， 解不等式，解得：， ∴的取值范围为：． 11．（25-26八年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)如图，在同一平面直角坐标系中画出一次函数与的图象，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)当时，对于x的每一个值，正比例函数的值既小于一次函数的值，也小于一次函数的值，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)两个函数图象，如图所示： (3) 【分析】（1）把和分别代入，然后解关于k、b的方程组即可； （2）找出图象中的两个点，画出函数图象即可；根据函数图象写出不等式的解集即可； （3）根据题意画出图形，结合图形，得出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：把和分别代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）得，两个一次函数的解析式分别为：和， 画出图象略： 由图象可得，不等式的解集为； （3）解：把代入得：， 即经过点时，，此时， 当时，直线与平行， 如图， 根据图象可以看出，经过原点，在直线和之间的直线，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值既小于一次函数的值，也小于一次函数的值， ∴m的取值范围为． 1．（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在第一象限，可得 ，对于一次函数的一次项系数，，根据图象的性质判断即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴ ， ∴一次项系数 ∴随增大而减小，排除掉选项， ∵常数项， ∴直线与轴交于正半轴，C选项交轴负半轴，不符合，只有D满足条件． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）正比例函数（）与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性，以及与轴的交点情况逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项：由正比例函数的图象，可知，即， 由一次函数的图象，可知，故选项不符合题意； 选项：由正比例函数图象，可知，即， 由一次函数的图象，可知，故选项不符合题意； 选项：一次函数中，应该随的增大而减小，故选项不符合题意； 选项：由正比例函数的图象，可知，即， 由一次函数的图象，可知，故选项符合题意． 3．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）一次函数的函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，则k的取值范围（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质求解，根据y随x增大而增大得到一次项系数的范围，根据图象不经过第二象限得到的范围，联立不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵函数值随的增大而增大， ∴一次项系数满足，解得， ∵函数图象不经过第二象限， ∴满足，解得， ． 4．（25-26八年级下·重庆万州·期末）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点、的坐标代入一次函数中，即可得到一次函数解析式；利用一次函数图象上点的坐标和一次函数与一元一次方程的关系进行分析判断． 【详解】解：将点、的坐标代入一次函数中， 得，解得， ∴一次函数的解析式为：， 将点，代入得，解得， ∴， 由图象得：方程的解为． 5．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可得当时，直线在直线下方，由此即可得出结果． 【详解】解：与的图象交于点， ∴由图象可知：当时，直线在直线下方， 即关于的不等式的解集为． 6．（25-26八年级下·江西南昌·期末）已知正比例函数，且随的增大而增大，则_____． 【答案】 【分析】根据正比例函数定义可得常数项为，结合随增大而增大得到比例系数大于，联立求解即可得到的值. 【详解】解：根据正比例函数的定义，正比例函数（）中常数项为，结合随的增大而增大，可得 ， 解方程，得或， 解不等式，得， ∴符合条件的. 7．（25-26八年级下·河南信阳·期末）已知，是一次函数的图象上的两点，且当时，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据与的变化关系，可判断一次函数的增减性，结合一次函数的性质得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意可知，当时，，说明随的增大而减小， 根据一次函数的性质，当一次项系数小于时，随的增大而减小， ∴对于一次函数，可得不等式：， 解得． 8．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求的面积； (2)将直线沿轴向上平移个单位长度，平移后的直线经过点，求的值． 【答案】(1) 2 (2) 7 【分析】（1）令和，得出点坐标，即可进一步得出面积； （2）将点代入平移后的解析式，再结合完全平方公式即可得出的值． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令得；令得， ， ， ； （2）解：直线沿轴向上平移个单位长度，可得平移后的解析式为， 平移后的直线经过点，将点代入，可得， 移项得， 由， 得， ． 10．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，是原点，已知点，．直线是一次函数的图象． (1)当时，求直线与轴的交点坐标； (2)判断点是否在线段上，并求出当直线经过点时的值． (3)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点在线段上；当直线经过点时； (3) 【分析】（1）令，可得，即可求解； （2）求出直线的解析式为，可判断点在线段上，再把点代入，可求出b的值； （3）分别求出当直线l过点，点时，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，直线的解析式为， 当时，， 解得：， 即直线与轴的交点坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在线段上， 把点代入得： ，解得：； （3）解：当直线l过点时，， ∴， 当直线l过点时，， ∴， ∴当直线与线段有交点时， 的取值范围为． 11．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知y关于x的一次函数的图象为直线l． (1)若函数图象过坐标原点，求k的值； (2)当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线l的解析式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）函数图象过原点，将原点坐标代入解析式，建立关于的方程求解． （2）分、两种情况讨论一次函数增减性，分别求出与对应的函数值，利用最值之差为6列方程求出，再写出解析式． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得； （2）解：当时，， 当时，， 当时，随增大而增大，最大值为，最小值为， ∴， 解得， ∴解析式， 当时，随增大而减小，最大值为，最小值为， ∴， 解得， ∴解析式， 综上，直线解析式为或． 12．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数 的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． x ··· 0 1 2 3 4 5 6 ··· y ··· 5 4 m 2 1 0 1 n 3 ··· (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值，则 ， ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以表格中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y 随x的增大而 ； (3)结合图象回答： ①关于x 的方程的解是 ； ②关于x的不等式的解集是 ． 【答案】(1)3；2 (2) ①；②增大 (3)①或；②或 【分析】（1）把和分别代入中即可求解、的值； （2）根据表格数据即可作图；再观察函数图象即可求解最低点，以及增减性； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解：画函数图象见答案； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； （3）解：观察图象可知， ①关于x的方程的解是或． ②关于x的不等式的解集是或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $