精品解析：陕西省汉中市南郑区2025—2026学年度第二学期期末质量监测 七年级数学试题(卷)

2025—2026学年度第二学期期末质量监测 七年级数学试题（卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解： A．“真”字无法找到这样的直线，不是轴对称图形， B．“抓”字无法找到这样的直线，不是轴对称图形， C．“实”字无法找到这样的直线，不是轴对称图形； D．“干”字存在一条竖直对称轴，沿对称轴对折后两边完全重合，是轴对称图形． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，∴A错误； B、与不是同类项，不能合并，∴B错误； C、，∴C错误； D、，∴D正确． 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小． 【详解】由图可得,∠CDE=40° ,∠C=90°， ∴∠CED=50°， 又∵DE∥AF， ∴∠CAF=50°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAF=60°−50°=10°， 故选A. 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键. 5. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是（ ） A. 物资车往返总路程为 B. 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度 C. 物资车中途卸货停留0.5小时 D. 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】C 【解析】 【详解】解：物资车往返总路程为，故A错误； 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度为， 出发后第1个小时内的速度为， 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度，故B错误； 物资车中途卸货停留0.5小时，故C正确； 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故D错误． 7. 如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等腰三角形的“三线合一”和三角形中线平分其面积的性质，可推出的面积是面积的一半． 【详解】解：，且平分， 为的中线，为中点， 为的中线， ，， ，， ，即， ， ． 8. 如图，在四边形中，，，点分别是，上两个动点．当的周长最小时，的度数为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质、三角形的外角性质以及两点之间线段最短．作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，此时的周长最小，利用三角形的外角性质和轴对称的性质，将转化为，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，此时的周长最小， ∵点关于的对称点是，关于的对称点是， ∴，，，， ∵， ∴三点共线，三点共线， 在中，， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据当时，，由此即可求解． 【详解】解：∵ ∴当时，， 即． 10. 已知等腰三角形的一个内角等于，则顶角等于___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】按是底角和顶角分类讨论，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当的内角为底角时， 等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， 顶角的度数为； ②当的内角为顶角时，顶角的度数为； 综上，顶角等于或． 11. 如图，，添加一个条件_____，使．（不添加辅助线和点） 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理、和是解决问题的关键．由图可知与有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 与有公共边， ， 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 故答案为：或或． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故答案为：． 13. 如图，平分，点在上，于，点是射线上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 作，根据角平分线的性质定理得到，根据垂线段最短作答即可． 【详解】解：如图，作， ∵平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴的最小值为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图所示，过点B作交延长线于E，连接，证明得到，则，再利用三角形面积公计算式可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： （1） （2）（利用乘法公式计算）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，． 【解析】 【分析】原式中括号第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当，时，原式=． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17. 如图，已知，请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：∵的周长等于， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， 如图，点D即为所求． 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点D，连接即可． 【详解】略 18. 如图，已知，．求证：； 证明：， _________， _________（_____________________）， ， _________ （_________________________）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质填写即可． 【详解】略 19. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率计算，理解题意是解答的关键． （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）先根据摸出红球的概率求得从盒子里取出m个白球后的球的总数，进而可得m值． 【小问1详解】 解：因为红球3个，白球5个，黑球7个， 所以盒子中球的总数为：（个）， 所以任意摸出一个球是黑球的概率为； 【小问2详解】 解：因为任意摸出一个球是红球的概率， 所以盒子中球的总量为： 所以可以将盒子中的白球拿出（个）， 所以． 20. 已知：如图，，且，点E在边上，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先根据平行得到，然后利用证明，即可得到结论． 【详解】略 21. 已知三角形的三边长分别为，和． （1）求的取值范围． （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【小问1详解】 解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 22. 如图所示，在一个边长为的正方形的四个角上，都剪去大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化． （1）在这个变化中，自变量、因变量各是什么？ （2）写出阴影部分的面积与小正方形边长之间的关系式． （3）当小正方形边长由增加到时，阴影部分的面积是怎样变化的？ 【答案】（1）自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分的面积 （2） （3）由减小到 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，常量与变量，函数求值． （1）根据常量与变量的定义即可求解； （2）用正方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可得出y与x之间的关系式； （3）代值计算即可得解． 【小问1详解】 解：自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分的面积； 【小问2详解】 解：，即； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，． 所以小正方形边长由增加到时，阴影部分的面积由减小到． 23. 如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为20，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分得，为等腰三角形，，故．由垂直平分得，为等腰三角形，为的外角，故，． （2）由（1）得．，周长为20，，得，即，可得． 【小问1详解】 解：， ∴垂直平分， ， 为等腰三角形． ， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形， ． ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得，且， 周长 ， ，即， ，即． 24. 2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】（1）稳定 （2）理由：是，的中点，， ，． 又， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的稳定性即可解答； （2）先证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 对于任意数，我们规定． （1）计算的结果为 ； （2）对于数，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式放置，点在边上，连接，．若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）①；②49 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，完全平方式的含义，利用完全平方公式的变形求值，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）由新定义可得，从而可得答案； （2）①由新定义可得：，结合可得，从而可得答案； ②先表示，根据，，求出，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由图可知，， ∵，， ∴， ∴． 26. 问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）4； （2）证明：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）能达到， 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，最短距离问题，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据三点共线，两点之间，线段最短即可求解； （2）根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，确定当A、F、G三点共线时，最小，结合图形，利用各角之间关系即可求解． 【详解】解：（1）∵两点之间，线段最短， ∴当A、P、B三点共线时，取得最小值， 即； （2）略 （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当A、F、G三点共线时，最小，此时，点F位置如图所示： 此时，， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末质量监测 七年级数学试题（卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 5. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A. B. C. D. 6. 4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是（ ） A. 物资车往返总路程为 B. 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度 C. 物资车中途卸货停留0.5小时 D. 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 7. 如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，点分别是，上两个动点．当的周长最小时，的度数为（） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，则______． 10. 已知等腰三角形的一个内角等于，则顶角等于___________． 11. 如图，，添加一个条件_____，使．（不添加辅助线和点） 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 13. 如图，平分，点在上，于，点是射线上的动点，则的最小值为___________． 14. 如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： （1） （2）（利用乘法公式计算）． 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，已知，请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，已知，．求证：； 证明：， _________， _________（_____________________）， ， _________ （_________________________）． 19. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值． 20. 已知：如图，，且，点E在边上，．求证：． 21. 已知三角形的三边长分别为，和． （1）求的取值范围． （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 22. 如图所示，在一个边长为的正方形的四个角上，都剪去大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化． （1）在这个变化中，自变量、因变量各是什么？ （2）写出阴影部分的面积与小正方形边长之间的关系式． （3）当小正方形边长由增加到时，阴影部分的面积是怎样变化的？ 23. 如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为20，，求的长． 24. 2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 25. 对于任意数，我们规定． （1）计算的结果为 ； （2）对于数，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式放置，点在边上，连接，．若，求图中阴影部分的面积． 26. 问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $