精品解析：山东省德州武城县2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若是二次根式，则实数x可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 一个多边形的每一个外角为，那么这个多边形的边数是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 3. 老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（ ） A. 162 B. 144 C. 136 D. 132 4. 如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 5. 一直角三角形的斜边比一直角边长1，另一直角边长为，那么斜边长为（ ） A. 4 B. C. D. 12 6. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从60m的高空落到地面的时间是（ ） A. B. C. D. 12s 7. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（ ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A. B. C. D. 8. 如图，在Rt中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，若一次函数对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：每题4分，共20分． 11. 计算：_______． 12. 张同学参加以“诵读经典伴我行·浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则张同学的最终比赛成绩是___________分． 13. 若点，在一次函数的图象上，则_____．（用“”或“”或“”填空） 14. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点，点，分别是，上的两个动点，，则线段的最小值为________． 15. 如图是函数的图象，当时，则函数值y的取值范围是________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1） （2） 17. 我县组织全县3800名教师开展“人工智能，融合创新”知识测试，从中随机抽取100名教师的测试成绩作为样本进行如下分组： 组别 A B C D E 整理样本数据，绘制样本数据的频数直方图，部分信息如下： （1）________； （2）已知我县某中学参赛的10名数学老师的成绩为：94，83，90，88，94，88，96，100，88，82，求这10名数学老师的成绩的中位数和平均数； （3）根据样本数据，请你估计我县这次测试成绩在90分以上（含90分）的教师人数． 18. 已知：如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画线段且使，连接； （2）线段的长为______，的长为______，的长为______． 19. 电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响．下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量的部分实验数据，其中为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量（单位：），为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量（单位：）．注：电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象，请画出与的函数图象； （2）在温度为___________时，两款电池相对容量相同； （3）在___________下，锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等． 20. 汴京宋室风筝作为河南省非物质文化遗产，象形类品种丰富．数学兴趣小组在放宋室风筝时想知道风筝放飞的高度，于是做了探究活动，并写了如下活动报告． 活动课题 探究风筝离地面的高度 活动工具 直角三角板、皮尺等 测量数据 兴趣小组在放风筝时测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为8米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米（米）． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）根据测量所得数据，如何计算出风筝离地面的高度？ （2）如果想要风筝沿方向下降9米，则应回收多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 21. 某校科技社团的同学们准备用3D打印制作的科技作品在我市科技节上参展．学校可将学生参赛作品外包（按件付费），也可买一台入门级3D打印机自己打印． 方案 费用明细 方案一 按件付费，每制作一件作品需付费60元（包含材料费和服务费） 方案二 购买一台800元的打印机，每制作一件作品需材料费20元（无服务费） 设学校需要制作件科技作品，按方案一花费元，按方案二花费元． （1）直接写出，关于的函数关系式； （2）假如你是学校负责人，为节省费用，你会选择哪种方案？并说明理由． （3）若学校制作件科技作品时，两种方案所需费用相差200元，请你直接写出此时的值． 22. 著名数学教育家波利亚曾说“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”，恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 例如：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即， ． 把作为整体，得：． 小强在小明的基础上，联想到了新的解题方法： 由得，则．即， ，把代入原式，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 23. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证．（提示：取的中点G，连接） \ （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：_____； （2）如图1，若点E是边上任意一点（不与点B，C重合），其他条件不变，求证：． （3）在（2）的条件下，连接，过点E作，垂足为P，设，当k为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若是二次根式，则实数x可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数必须为非负数，求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵是二次根式 ∴根据二次根式的性质，被开方数为非负数，可得 解不等式得 选项中，，都小于，只有D选项的满足，符合要求． 2. 一个多边形的每一个外角为，那么这个多边形的边数是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形外角问题，每一个外角都相等，说明该多边形是正多边形，用正多边形外角和除以即可求解． 【详解】解：这个多边形的边数为：， 故选C． 3. 老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（ ） A. 162 B. 144 C. 136 D. 132 【答案】B 【解析】 【详解】解：由箱线图可知，跳绳次数的上四分位数是144． 4. 如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 5. 一直角三角形的斜边比一直角边长1，另一直角边长为，那么斜边长为（ ） A. 4 B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设斜边长为未知数，结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设斜边长为，由题意得比斜边短1的直角边长为，另一直角边长为， 根据勾股定理，得， 展开等式右边得 ， 消去后整理得， 解得， 因此斜边长为． 6. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从60m的高空落到地面的时间是（ ） A. B. C. D. 12s 【答案】A 【解析】 【分析】将已知高度h代入给定公式计算，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，公式为， ∴ 将代入公式得． 7. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（ ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 8. 如图，在Rt中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据“直角三角形两锐角互余”可得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，然后根据等腰三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点为的中点， ∴， ∴． 9. 在平面直角坐标系中，若一次函数对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式可知，对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，根据关于轴对称的点的坐标之间的关系可知点的坐标为，即可求出，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵，对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点， ∴， 解得：， ， 定点的坐标为， 与关于轴对称， 的坐标为， ， 直线为，原点到直线的距离为 的面积为. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【知识点】根据一次函数图象平移的性质和平行四边形的性质求解． 【详解】解：根据题意得：直线向右平移个单位长度时，直线经过点，此时直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当时，，当时，， 则， ∴， ∴， 当平移后的直线经过点，点时， 设平移后过点的直线与的交点为，平移后过点的直线与的交点为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据函数图象得， 设平移后过点的直线，平移后过点的直线分别与轴交于点，点， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：每题4分，共20分． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次根式的加法运算计算即可． 【详解】解：． 12. 张同学参加以“诵读经典伴我行·浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则张同学的最终比赛成绩是___________分． 【答案】9.3 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，需将各项成绩按给定权重比例进行加权求和，再除以权重总和即可． 【详解】解：权重之和为， 因此最终成绩为（分）． 故答案为：9.3． 13. 若点，在一次函数的图象上，则_____．（用“”或“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握“当一次函数（）中时，随的增大而增大；时，随的增大而减小”是解题关键．根据一次函数的斜率判断函数的增减性，再比较两点横坐标大小，进而得出纵坐标的大小关系． 【详解】解： 一次函数中 随的增大而增大 点，在该函数图象上，且 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点，点，分别是，上的两个动点，，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到是等腰直角三角形，由勾股定理得，当时，取最小值，即取得最小值，再由等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：在正方形中，对角线、交于点O， ，，， ∵， ∴ 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 当时，取最小值，即取得最小值， ，， ， ∴ 线段的最小值为． 15. 如图是函数的图象，当时，则函数值y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当时，函数，②当时，函数，利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：①当时，函数， ， 随的增大而减小， 当时，；当时，； 当时，； ②当时，函数， ， 随的增大而增大， 当时，；当时，； 当时，； 综上可知，当时，则函数值y的取值范围是． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各项，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式的乘、除法，再利用二次根式的性质化简． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 我县组织全县3800名教师开展“人工智能，融合创新”知识测试，从中随机抽取100名教师的测试成绩作为样本进行如下分组： 组别 A B C D E 整理样本数据，绘制样本数据的频数直方图，部分信息如下： （1）________； （2）已知我县某中学参赛的10名数学老师的成绩为：94，83，90，88，94，88，96，100，88，82，求这10名数学老师的成绩的中位数和平均数； （3）根据样本数据，请你估计我县这次测试成绩在90分以上（含90分）的教师人数． 【答案】（1） （2）中位数为分，平均数为分 （3）估计该县这次测试成绩在分以上（含分）的教师人数约为人 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其他部分的人数得到成绩为的人数； （2）根据平均数和中位数的定义求解即可； （3）根据“某部分的数量总人数该部分在样本中的占比”即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，． 【小问2详解】 解：名数学老师的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∴中位数为（分）， 平均数为（分）. 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该县这次测试成绩在90分以上（含90分）的教师人数约为380人． 18. 已知：如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画线段且使，连接； （2）线段的长为______，的长为______，的长为______． 【答案】（1） （2），，5 【解析】 【分析】（1）根据网格特征得出，，故四边形是平行四边形，即． （2）结合小正方形的边长为1以及勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，，，． 19. 电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响．下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量的部分实验数据，其中为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量（单位：），为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量（单位：）．注：电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象，请画出与的函数图象； （2）在温度为___________时，两款电池相对容量相同； （3）在___________下，锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先描点，再连线，即可画出与的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可． 【小问1详解】 解：与的函数图象如图． 【小问2详解】 解：由表可知，在温度为时两款电池相对容量相同． 【小问3详解】 解：由表可知，在温度为或时，锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等． 20. 汴京宋室风筝作为河南省非物质文化遗产，象形类品种丰富．数学兴趣小组在放宋室风筝时想知道风筝放飞的高度，于是做了探究活动，并写了如下活动报告． 活动课题 探究风筝离地面的高度 活动工具 直角三角板、皮尺等 测量数据 兴趣小组在放风筝时测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为8米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米（米）． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）根据测量所得数据，如何计算出风筝离地面的高度？ （2）如果想要风筝沿方向下降9米，则应回收多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）16.5米；（2）7米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用． （1）根据勾股定理求出，进而求出； （2）先根据勾股定理求出下降后风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【详解】解：（1）在中，，米，米， 由勾股定理，得， 米， 所以（米）， 即风筝离地面的高度为16.5米； （2）如图，当风筝沿方向下降9米，（米）， 在中，，米， 由勾股定理，得， 则（米），（米）， 应该回收风筝线7米． 21. 某校科技社团的同学们准备用3D打印制作的科技作品在我市科技节上参展．学校可将学生参赛作品外包（按件付费），也可买一台入门级3D打印机自己打印． 方案 费用明细 方案一 按件付费，每制作一件作品需付费60元（包含材料费和服务费） 方案二 购买一台800元的打印机，每制作一件作品需材料费20元（无服务费） 设学校需要制作件科技作品，按方案一花费元，按方案二花费元． （1）直接写出，关于的函数关系式； （2）假如你是学校负责人，为节省费用，你会选择哪种方案？并说明理由． （3）若学校制作件科技作品时，两种方案所需费用相差200元，请你直接写出此时的值． 【答案】（1）， （2）当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， 综上所述，当学校需要制作科技作品少于20件时，选择方案一更省钱； 当学校需要制作科技作品等于20件时，选择方案一、二的费用相同； 当学校需要制作科技作品多于20件时，选择方案二更省钱． （3）15或25 【解析】 【分析】（1）根据材料中两个方案的费用明细，直接写出关系式即可； （2）比较与的大小，从而得出对应的的取值范围，再选择方案即可； （3）结合（2）的结论，分为和两类讨论，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，由（2）可得，， ∴， 解得； ②当时，由（2）可得，， ∴， 解得， 综上所述，的值为15或25． 22. 著名数学教育家波利亚曾说“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”，恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 例如：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即， ． 把作为整体，得：． 小强在小明的基础上，联想到了新的解题方法： 由得，则．即， ，把代入原式，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：由，， 则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由得，则， ∴， ∴ ． 23. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证．（提示：取的中点G，连接） \ （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：_____； （2）如图1，若点E是边上任意一点（不与点B，C重合），其他条件不变，求证：． （3）在（2）的条件下，连接，过点E作，垂足为P，设，当k为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识． （1）根据点E是的中点，可得答案； （2）取，连接，说明是等腰直角三角形，再证明，可得答案； （3）设，则，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示的长，利用平行四边形的判定得只要，即可解决问题． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ∵E是的中点， ∴． ∵点G是的中点， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 取，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 当时，四边形是平行四边形，如图， 由（2）得，， ∴． 设，则， ∴，． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，． ∴ ， 当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $