精品解析：四川成都市2025-2026学年高一下学期定时练习数学试卷

2025级高一下学期定时练习 数 学 本卷满分150分，练习时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在本卷上答题无效． 5．定时练习结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，若，则z的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. 0 B. C. D. 1 3. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 与正四棱锥的5个顶点的距离都相等的平面有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 8. 已知，是方程在上的两根，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象的对称轴为 D. 的单调递增区间为 10. 已知的外接圆圆心为O，且满足，则（ ） A. B. C. 若，则在上的投影向量为 D. 若，，则 11. 如图,在棱长为1的正方体中,为的中点,为线段上的动点,则( ) A. B. 的最小值为 C. 四面体的体积为定值 D. 与平面所成角的正切值的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 13. 如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为_____米． 14. 在平面直角坐标系中，对向量，，定义．若单位向量，，满足，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知向量，． （1）证明：； （2）求（）的最小值． 16. 如图，在三棱柱中，平面，，点E，F分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求证：． 17. 在一般条件下，青少年的心率会随呼吸发生周期性波动：吸气时心率加快，呼气时心率减慢，这一现象在医学上被称为呼吸性窦性心律不齐（）．研究发现，心率波动频率与呼吸频率高度一致，心率随时间的变化可用模型（，，）近似拟合，其中为心率（次/），为稳态心率（次/），f为呼吸频率（次/），t为时间（s），A为幅值（次/）． 为了解自身心率的波动情况，小明在静息的条件下按节拍器的引导进行均匀呼吸（呼吸频率为10次/），从一次吸气开始的时刻开始计时（即时刚好完成呼气，即将开始吸气），记录了一个完整呼吸周期内的心率数据，如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 6 心率（次/） 65 75 80 75 65 60 65 呼吸时相 吸气始 吸气 吸气 呼气始 呼气 呼气 吸气始 设小明在静息和步行时的心率变化均满足该模型． （1）求小明静息时的表达式； （2）若小明在步行时，呼吸频率f为20次/，稳态心率提高到90次/，幅值A为4次/，没有发生变化，求小明步行时的最大值． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）若． （ⅰ）求A； （ⅱ）已知的面积为，求b，c． （2）设的角平分线交于点D，若，求的取值范围． 19. 如图，在三棱锥中，，，，平面平面，设点为棱上的动点（不含端点）． （1）求证：； （2）若，三棱锥的各顶点均在球的球面上，求球的半径； （3）若二面角的大小为，求四面体体积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期定时练习 数 学 本卷满分150分，练习时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在本卷上答题无效． 5．定时练习结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，若，则z的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】因复数的共轭复数为， 其对应的点的坐标为，在第三象限. 2. （ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和余弦公式知原三角函数式可化为，即可求值 【详解】根据两角和余弦公式，知： 故选：A 【点睛】本题考查了利用三角恒等变换化简求值，这里应用了两角和余弦公式将三角函数式化简并求值，属于简单题 3. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面平行，面面垂直、平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，若，，则可得，满足条件，但得不出，故A错误； 对于B，根据面面垂直的判定定理，可得B正确； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D ，由，，若，满足条件，但得不出，故D错误. 4. 若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆柱的底面的半径和球的半径均为，则圆柱的高为， 则，，故. 5. 在中，若，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，，则、， . 6. 在中，设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】在中，若，可得，即， 所以，所以充分性成立； 反之：在中，若，可得， 所以或，可得或， 所以或，所以必要性不成立， 综上可得，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 7. 与正四棱锥的5个顶点的距离都相等的平面有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱锥的结构特征分类分析可得解. 【详解】与5个顶点距离相等的平面分两类：①一侧 1 个点，另一侧 4 个点；②一侧 2 个点，另一侧 3 个点. ①一侧 1 个点，另一侧 4 个点； 平面平行于底面，且经过正四棱锥高的中点，有1个； ②一侧 2 个点，另一侧 3 个点. 平面过底面对边的中点、一侧面的两条侧棱的中点，因侧面有4条边，故对应4个. 所以共有 1+4=5 个. 8. 已知，是方程在上的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，两边平方后转化为的一元二次方程，利用根与系数的关系可求解. 【详解】由，得，两边平方得， 所以，所以， 由题意知是上述的一元二次方程的根， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象的对称轴为 D. 的单调递增区间为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合选项，利用正弦型函数的图像与性质，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由函数，可得的最小正周期为，故A正确； 对于B，由， 所以的图象不关于点对称，所以B错误； 对于C，令，解得， 即函数的对称轴的方程为，所以C不正确； 对于D，令，解得， 即函数的单调递增区间为，所以D正确. 10. 已知的外接圆圆心为O，且满足，则（ ） A. B. C. 若，则在上的投影向量为 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项：如图所示，由得，，即，，所以选项A正确； B选项：如图所示，设外接圆的半径为，由A选项知， 得为的中点，则，则， 所以，选项B正确； C选项：由已知得，则为等边三角形， 因为，所以，则在上的投影向量为： ，选项C错误； D选项：在中，设为锐角，则， ，， 因为， ， 两式相除得，，解得，，， 代回得，，即，，选项D正确. 11. 如图,在棱长为1的正方体中,为的中点,为线段上的动点,则( ) A. B. 的最小值为 C. 四面体的体积为定值 D. 与平面所成角的正切值的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A证明平面；选项B将展在同一个面上求最值；选项C首先证明平面，底面积和高均为定值；选项D建系，求线面角，转化为函数求最值. 【详解】 连接， ， 因为平面，平面， ，，且平面， 所以平面，平面， 所以，选项A正确； 将展在同一个面上，如上图， ， ， 的最小值为，选项B错误； 连接，是的中点，是的中点， 所以，平面，且在平面外， 平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，为定值， 三角形的面积为定值，所以四面体的体积为定值， 选项C正确； 建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，， 设，， ， 面的法向量为， 设与平面所成角为，， ， 令，， 当，，时，取得最大值为. 选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在中，根据题设条件求三个内角的大小及的长度，再利用正弦定理，即可求解. 【详解】如图，在中，由题知，， 又旗杆与水平面垂直，所以，则， 由正弦定理知，得到， 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，对向量，，定义．若单位向量，，满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，是单位向量，设将向量坐标运算转化为角度运算，代入题中定义及条件得到中至少有两个为 0，再结合分类讨论，进而求得结果. 【详解】因为，，是单位向量，令其中 则， 因为， 所以. 令 所以 则 中至少有两个为 0. 不妨设则 解方程：或, 因此，只能取这两个值之一. 若，即， 此时 将代入，得. 因为 ， 当时，；当时，， 所以，从而. 若，即，此时 综上，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知向量，． （1）证明：； （2）求（）的最小值． 【答案】（1）因为，， 又， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算求得，可证结论； （2）将平方可得，然后根据二次函数的性质可求最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为， ， 所以，当且仅当时等号成立． 故的最小值为． 16. 如图，在三棱柱中，平面，，点E，F分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求证：． 【答案】（1）因为平面，平面， 所以． 由题知， 又，平面，平面， 所以平面． （2）连接，，则与交于点F． 因为E，F分别是，的中点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 又平面，平面平面， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据平面，可得，已知，由线面垂直的判定定理，可得结果； （2）连接，，由中位线定理得，由线面平行的判定定理和性质定理可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在一般条件下，青少年的心率会随呼吸发生周期性波动：吸气时心率加快，呼气时心率减慢，这一现象在医学上被称为呼吸性窦性心律不齐（）．研究发现，心率波动频率与呼吸频率高度一致，心率随时间的变化可用模型（，，）近似拟合，其中为心率（次/），为稳态心率（次/），f为呼吸频率（次/），t为时间（s），A为幅值（次/）． 为了解自身心率的波动情况，小明在静息的条件下按节拍器的引导进行均匀呼吸（呼吸频率为10次/），从一次吸气开始的时刻开始计时（即时刚好完成呼气，即将开始吸气），记录了一个完整呼吸周期内的心率数据，如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 6 心率（次/） 65 75 80 75 65 60 65 呼吸时相 吸气始 吸气 吸气 呼气始 呼气 呼气 吸气始 设小明在静息和步行时的心率变化均满足该模型． （1）求小明静息时的表达式； （2）若小明在步行时，呼吸频率f为20次/，稳态心率提高到90次/，幅值A为4次/，没有发生变化，求小明步行时的最大值． 【答案】（1）（）． （2） 【解析】 【小问1详解】 由表可知小明在一个呼吸周期内心率的最大值与最小值分别为80次/与60次/， 可得次/， 所以次/． 又一个呼吸周期，即，解得． 令，得，解得（）． 又，所以． 所以（）． 【小问2详解】 由题意知小明在步行时心率满足． ． 所以，当且仅当（）时等号成立． 所以小明步行时的最大值为． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）若． （ⅰ）求A； （ⅱ）已知的面积为，求b，c． （2）设的角平分线交于点D，若，求的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用正弦定理进行边角互化，再结合两角和的正弦公式求值. （ⅱ）利用余弦定理和三角形的面积公式列式求值. （2）利用余弦定理和三角形的面积公式列式，可得，再利用基本不等式可求的取值范围． 【小问1详解】 （ⅰ）由正弦定理（R为外接圆的半径）， 得， 又，所以． 所以原式化为． 整理得，又，， 所以，又，所以． （ⅱ）因为的面积，所以． 又由余弦定理知，即， 所以，即，所以． 【小问2详解】 因为为的角平分线，所以． 由面积公式得， 化简得，即． 又由余弦定理得， 即． 化简得（*）． 由基本不等式得，解得． 当且仅当时等号成立． 又由得，即． 所以． 代入（*）得， 又，有， 解得，当A点与B，C两点无限趋于共线时，无限逼近． 综上，的取值范围为. 19. 如图，在三棱锥中，，，，平面平面，设点为棱上的动点（不含端点）． （1）求证：； （2）若，三棱锥的各顶点均在球的球面上，求球的半径； （3）若二面角的大小为，求四面体体积的最小值． 【答案】（1）设的中点为，连接，， 由，得． 同理． 又，，平面， 所以平面． 又平面， 所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，证明平面，可得； （2）证明平面，确定E的位置，计算外接球的半径； （3）确定二面角的平面角，表示四面体的体积，转化为三角函数求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由（1）知． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以． 由，得，又，所以． 因为，又，所以． 又，得．所以E为的中点． 所以，． 设的外接圆圆心为G，显然G点满足， 又的外接圆圆心为O，所以平面，平面． 又平面，平面，所以，． 所以，． 所以球的半径． 【小问3详解】 连接，由（1）知平面，又平面， 所以，同理． 所以二面角的平面角为，即． 如图，设，， 在中，由正弦定理得，解得． 在中，由正弦定理得，解得． 所以的面积． 又， 当且仅当，即时等号成立．所以． 所以四面体体积． 所以四面体体积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $