精品解析：江西省定南中学2025-2026学年下学期期末考试高二数学试卷

江西省定南中学2025-2026学年度下学期期末考试 高二年级数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合交、补运算即可求解； 【详解】由条件可得， 所以, 故选：B 2. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式后可求其解. 【详解】，即为，故或， 故不等式的解集为或， 故选：A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，解得， 当时，成立，故“”是“”的充分条件； 当时，，不能推出，故必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件． 4. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即. 故选：A. 5. 若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 6. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出4人全排列的种类数，再除去甲在排首的种类数，即可计算出所求概率. 【详解】将4人全排列共有种排列， 若甲在排首，将其余3人全排列共有种，则甲不在排首的排列共有种， 因此甲不在排首的概率为. 故选：D 7. 等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【详解】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为， 所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C． 8. 等差数列中，若，则的值是（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】先由等差数列的性质得，再用性质求解 【详解】解：依题意，由，得，即 所以 故选C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，根据题意结合等差数列的等差中项进行化简求出结果，较为基础 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数，，，正确的命题是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则， D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，.故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D. 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确； B选项：因为，所以 所以或，B错误； C选项：因为，所以，C正确； D选项：记直线l与平面所成角为，则， 因为，所以，D错误. 故选：AC 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数、为实数，若，则的最大值为 D. 设、为实数，若，则的最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数无最小值，A错； 对于B选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为，B对； 对于C选项，因为正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C错； 对于D选项，因为、为实数，且， 则， 可得，解得， 当且仅当时，即当时，取最大值，D对. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是函数的导函数，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值． 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，则． 13. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程定义即可求出的周长. 【详解】由椭圆可得，，由椭圆的定义可得， 所以的周长是 ， 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 【答案】##6.4 【解析】 【分析】设，，利用代入数据可得的值，进而利用抛物线的定义可求解． 【详解】依题意，，准线l的方程为， 因为点Q是l上一点，所以设点，， 则，， 因为，所以， 所以，解得， 又P是C上一点，所以由抛物线的定义可得． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16-17小题各15分，第18-19小题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合． （1）若，求和； （2），求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 若，则， 所以， 【小问2详解】 因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 16. 已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【小问1详解】 由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 17. 已知公比大于1的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意，设等比数列的公比为， 则，两式相除得，解得或（舍去）， 则，即. 【小问2详解】 由，得， 所以， 两式相减得， 则. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值； （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是； （2）极大值为，无极小值 （3）最大值；最小值． 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）结合（1）问，即可求出极值； （3）结合（1）问，在上递增，在上递减，分别求出，比较大小即可求解. 【小问1详解】 由题意知函数的定义域为， 令，得， 列表如下： 2 + 0 - 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 极大值为，无极小值 【小问3详解】 ， ， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值． 19. 设函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）当时，若满足，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：当时，， 所以在上单调递增，又 ， 所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设，则. 所以在上单调递增，因为，所以. 因为，所以. 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论不等式恒成立时的范围. （3）对函数求导，判断单调性，设，求导判断单调性，进而证明结论. 【小问1详解】 时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由得. 因为在 上单调递增，所以. 若，则 在 上恒成立，所以在 上单调递增， 又 ，所以 在 上恒成立， 若 ，令 得或，且. 当时， ，单调递减， 所以，与 在 上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省定南中学2025-2026学年度下学期期末考试 高二年级数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（   ） A. B. C. D. 7. 等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 等差数列中，若，则的值是（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数，，，正确的命题是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则， D. 若，，则 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数、为实数，若，则的最大值为 D. 设、为实数，若，则的最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是函数的导函数，若，则____． 13. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 14. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16-17小题各15分，第18-19小题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合． （1）若，求和； （2），求实数的取值范围． 16. 已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围． 17. 已知公比大于1的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值； （3）求在区间上的最值． 19. 设函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）当时，若满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $