江西省定南中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

江西省定南中学2024-2025学年度第二学期期末考高二数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列的通项公式为，在下列各数中，不是的项的是（　　） A．1 B． C．3 D．2 2．设函数满足，则（   ） A． B．3 C． D． 3．记等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．21 C．28 D．36 4．已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 5．设等差数列的前项和分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．某泡沫双面胶加工车间的某一环节就是将一段长、厚1mm的泡沫双面胶绕在一个直径为60mm的空盘芯上（盘芯厚度忽略不计），则这段双面胶全部绕在空盘芯上时可以绕的圈数（满圈）为（以双面胶外侧为准计算半径）（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 8．关于的不等式的整数解个数为时，，设为数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的通项公式为则（   ） A． B． C． D． 11．已知定义在R上的函数满足，为的导函数，且对于任意的，都有，则（   ） A． B． C．， D．， 第II卷（非选择题） 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．函数的极大值为 ． 13．设曲线在处的切线方程为 . 14．若数列满足，则称为佩尔数列．在佩尔数列中， ． 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15．已知等差数列满足：，，为其前项和，. (1)求数列的通项公式､前项和； (2)令，求的最大值 16．已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)求函数的极值. 17．已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格增数列，求实数的取值范围. 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时恒成立，求实数b的最小值． (3)当时，方程有5个解，求m的取值范围． 19．已知集合是公比为2的等比数列且构成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为. ①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值； ②若，数列的前5项构成等比数列，且，试写出所有满足条件的数列. 2024-2025学年度第二学期高二数学期末考卷答案解析 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知数列的通项公式为，在下列各数中，不是的项的是（　　） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【难度】0.94 【分析】根据通项公式，逐项判断即可得出结果. 【详解】因为， 若，则，即是的项； 若，则，即是的项； 若，则，即是的项； 若，则，即不是的项； 故选D 【点睛】本题主要考查数列中的项，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型. 2．设函数满足，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】根据导数的定义可求. 【详解】, 故， 故选：D. 3．记等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．21 C．28 D．36 【答案】C 【难度】0.85 【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式计算即可得解. 【详解】，， ， ，解得， 故选：C 4．已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】求导，令可得结果. 【详解】由，可得，则，解得. 故选：D. 5．设等差数列的前项和分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】利用等差数列的前项和公式可得答案. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别是， 所以. 故选：A. 6．已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】求导研究函数的单调性，结合即可得出范围. 【详解】由得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则在区间上有最大值时有，， 得， 则实数的取值范围是. 故选：B 7．某泡沫双面胶加工车间的某一环节就是将一段长、厚1mm的泡沫双面胶绕在一个直径为60mm的空盘芯上（盘芯厚度忽略不计），则这段双面胶全部绕在空盘芯上时可以绕的圈数（满圈）为（以双面胶外侧为准计算半径）（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【难度】0.65 【分析】将绕在盘芯上的双面胶近似看成一组同心圆；根据题意及圆的周长公式建立不等式；解不等式，求的值即可. 【详解】由题意知可以将绕在盘芯上的双面胶近似看成一组同心圆，各圆的半径为该层双面胶的外侧至盘芯中心的距离．（关键：将实际问题转化为数学问题） 设这段双面胶全部绕在空盘芯上时最多可以绕圈（满圈），则由内向外各圆的半径（单位：mm）分别为31，32，33，…，，则 , 即， 又，，， 所以， 因此这段双面胶全部绕在空盘芯上时可以绕32圈（满圈）， 故选：C． 8．关于的不等式的整数解个数为时，，设为数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【分析】设，，，，，求出两函数在处的切线斜率，得到，进而得到的整数解个数为时，所满足的不等式，求出，再裂项相消求和，得到答案. 【详解】，， 设，，，， 显然，，， 其中在处的切线斜率为， 在处的切线斜率为， 若，时，的图象在的上方，不等式无解， 则的整数解个数为0，不合要求， 所以， 当时，需满足，解得， 当时，需满足，解得， 当的整数解个数为时， 需满足，解得， 所以， 所以， 所以， 故 故选：C 二、多选题 9．下列求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【分析】由基本初等函数的求导公式以及求导法则，可得答案. 【详解】. 故选：ABD. 10．已知数列的通项公式为则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.94 【分析】计算即可判断AB选项，计算出即可判断CD选项. 【详解】因为以， ，所以A错误，B正确； ，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：BC. 11．已知定义在R上的函数满足，为的导函数，且对于任意的，都有，则（   ） A． B． C．， D．， 【答案】BC 【难度】0.65 【分析】通过赋值法可判断A、B；由题知的对称轴为直线，函数在上单调递增，在上单调递减，由此可判断C、D. 【详解】当时，，故A错误； 当时，，故B正确； 对于由知，的图象关于直线对称， 又， 当时，，即在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， ，，故C正确，D错误． 故选：BC. 三、填空题 12．函数的极大值为 ． 【答案】0 【难度】0.85 【分析】利用导数计算的极大值. 【详解】，令，可得或2， 当时，，单调递减；当时，或，单调递增， 所以在处取得极大值，极大值为. 故答案为：0. 13．设曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【分析】由导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式即可求得切线方程. 【详解】由求导得：， 则曲线在处的切线斜率为3， 又时，， 故切线方程为：，即. 故答案为：. 14．若数列满足，则称为佩尔数列．在佩尔数列中， ． 【答案】 【难度】0.4 【分析】利用构造法判断数列和为等比数列即可得解. 【详解】因为，设，则， 所以解得或. 当时，， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 当时，， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15．已知等差数列满足：，，为其前项和，. (1)求数列的通项公式､前项和； (2)令，求的最大值 【答案】(1)，； (2) 【难度】0.94 【分析】（1）由已知求出等差数列公差，解出即可得通项公式以及前项和； （2）由（1）可得，，计算可得，进而可得出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 所以，. 所以 （2） 得到 得到 合并得到 所以，，所以. 16．已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)求函数的极值. 【答案】(1)函数的增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【难度】0.94 【分析】（1）利用导数的正负性研究函数单调性； （2）利用函数单调性求极值. 【详解】（1）因为， 则， 令，可得或，列表如下： 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为和，减区间为； （2）由（1）可知， 函数的极大值为， 极小值为. 17．已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【难度】0.85 【分析】（1）利用构造法结合等比数列定义可证数列为等比数列，从而求得的通项公式； （2）根据增数列得对任意正整数都成立，化简后可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为. （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以. 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时恒成立，求实数b的最小值． (3)当时，方程有5个解，求m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【分析】（1）求出导数，再按分类求出函数的单调性. （2）由（1）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. （3）利用二次三项式因式分解，转化为方程或共有5个解，再结合函数图象及极值，即可判断m的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 即，因此， 所以的最小值为. （3）由方程， 所以或 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，， 当时，， 当时，， 则当时，由上可得此时方程有两个解， 为了使得方程有5个解， 则，解得. 19．已知集合是公比为2的等比数列且构成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为. ①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值； ②若，数列的前5项构成等比数列，且，试写出所有满足条件的数列. 【答案】(1) (2)① 32；② 【难度】0.4 【分析】（1）利用基本量法得到公比q的方程，得到q,进而求出通项公式； （2）①确定两数列的公共元素，并结合等差和等比数列求和公式求解；②对元素2进行分类讨论，确定. 【详解】（1）是公比为2的等比数列且构成等比数列. 则，即， 解得，故数列的通项公式. （2）①,设其前n项和， ,设其前n项和， 集合中的所有元素的最小值为， 且三个元素是中前205项中的元素， 且是中的元素， 又． 又， 故， 且, 故使成立的的最大值是32. ②因为，中的元素按从小到大的顺序记为， 对集合中的元素2进行分类讨论： 当时，由的前5项成等比数列，得，显然不成立； 当时，由的前5项成等比数列，得，； 因此数列的前5项分别为1，，2，，4； 这样，则数列的前9项分别为1，，2，，4，， ，，8；上述数列符合要求； 当时，有，即数列的公差， ，1，2，； ，2，4在数列的前8项中，由于，这样，，，， 以及1，2，4共9项， 它们均小于8，即数列的前9项均小于8，这与矛盾，所以也不成立； 综上所述，； 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的公共项问题，关键是利用数列特点确定公共项，并估算和为2024的大概位置. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$