精品解析：重庆鲁能巴蜀中学2025-2026学年下学期期末数学试题卷

数学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可得到答案. 【详解】解：根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数. 是整数，属于有理数，是分数，属于有理数，是有限小数，属于有理数. 是无限不循环小数，符合无理数的定义. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，根据第二象限内的点横坐标是负数，纵坐标是正数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点在第二象限， 故选：B． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班同学的身高情况 B. 调查全国中小学生的课外阅读情况 C. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【解析】 【分析】解题依据为：当调查对象数量少，调查不具有破坏性，易操作时，适合采用全面调查，反之适合抽样调查，据此对各选项判断即可. 【详解】解：∵全面调查适用于调查对象数量少，无破坏性，易全面统计的情况， A 调查全班同学的身高，调查对象数量少，操作简单，适合全面调查； B 全国中小学生数量大，调查范围广，不适合全面调查； C 超市售卖草莓数量大，检测农药残留具有消耗性，不适合全面调查； D 测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合全面调查. 4. 如图，直线与交于点平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线得，结合题意即可求得，由对顶角得到即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则． 5. 工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的内角和等于 C. 三角形两边的和大于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，将四边形结构转化为三角形结构即可防止变形，判断即可． 【详解】解：门框原本是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．钉上斜拉的木条后，门框的结构中被分割出了三角形． ∵三角形具有稳定性， ∴这样做的根据是三角形的稳定性． 6. 如图，，点在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得，，结合即可． 【详解】解：，， ∴，， 则． 7. 如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出，结合得到，再由角平分线定义得，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ． 在中，， ． ， ， 平分， ， 在中，三角形内角和为， ． 8. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：∵不等式组为 解不等式①，得 , 解不等式②，得， ∵不等式组无解，两个解集没有公共部分 ∴ ， 解得 . 9. 如图，在正方形中，，点在上，连接，将沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到，延长与交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用折叠性质得到，再根据正方形的性质分别证明，，进而得出，再根据求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，， 沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到， ， ，， ,， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 10. 在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．这五张卡片分别记为．张华依次将相邻两张卡片上数的和告诉给参与者，请参与者判断说法的正误．下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 下列说法中，正确的有( )个 ①，上的数字可能都是奇数； ②五张卡片上的数的总和为149； ③若将卡片上的数按从小到大的顺序排列，则结果为：． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方程组的应用，奇偶性判断和有理数大小比较，先设各卡片对应的数，根据相邻和列出等式，求解出各数后，逐一判断三个说法的正误，统计正确个数即可． 【详解】解：设卡片对应的数分别为，根据题意得： 将五个等式相加得， ，故说法②正确． 由①得， 代入②得， 代入③得， 代入④得， 代入⑤得，解得， 解得． 判断说法①：是偶数，因此不可能都是奇数，说法①错误． 判断说法③：将五个数从小到大排序得，即，说法③正确． 综上，正确的说法共有个． 二、填空题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 11. 3的平方根是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：3的平方根是． 12. 如图，在中，，点在的延长线上，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形外角性质直接算出答案． 【详解】解：， ． 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 已知点在轴上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的坐标特征，轴上的点纵坐标为，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为 ， 即 ， 解得：. 15. 已知实数满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后计算即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得， 解不等式组得． 将代入，得． 则． 16. 如图，，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等可得 ，，利用三角形内角和定理求出  的度数，进而得到  的度数，最后根据角的和差关系求解． 【详解】解：，  ，， 在  中，，  ，  ，  ，  ． 17. 如图，在中，点在上，，点是的中点，连接，若的面积为5，则的面积为_____． 【答案】30 【解析】 【分析】利用三角形的中线平分面积，以及等高三角形的面积比等于底边之比进行求解是解题的关键． 【详解】解：点是的中点， ， ， ， ， ， 与的高相等， ∴（等高三角形的面积比等于底边的比） ． 18. 如图，在中，是的角平分线，于点，若的面积等于，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，利用角平分线的性质得到，再根据的面积等于与的面积之和列式计算即可． 【详解】解：过点作于， ∵是的角平分线，， ∴， ∴，即， 解得． 19. 如图，在四边形中，，．点在直线上，将射线绕着点逆时针旋转，与直线交于点，连接． （1）若，则_____； （2）若，则_____． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用角角边定理证明，从而得出； （2）分两种情况讨论，利用旋转的性质构造全等三角形，将绕点逆时针旋转得到，证明，从而得出． 【详解】解：（1）在和中， ，，， ． ． ， ． （2）如图，当在上时， 将绕点逆时针旋转得到， ． ，，，． ， ． 三点共线． 点在直线上， 三点共线，且点在线段上． ． ，， ． ． ． 在和中， ． ． ， ． ，， ． 如图，当在的延长线上时， 同理可得， ， ． ，， ． 如图，当在的延长线上时， ∵， 同理可得， 而，故此情形不存在； 综上所述，或. 20. 已知是三个正整数，且． （1）若，则以为边长的三角形共有_____个； （2）若，则的值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问，结合已知条件和，利用三角形三边关系确定的取值范围，枚举得到符合条件的三角形个数；第二问，对已知等式变形得到，结合为正整数的条件，枚举得到的值，计算得到的结果． 【详解】解：（1）∵是正整数，，且， ∴， 解得， 根据三角形三边关系中两边之和大于第三边，可得， ∴，即 解得， ∴， ∴正整数，此时， 由得到， 由可得，即，解得， ∴， ∴正整数，此时， 只有组符合条件的边长，故第一问结果为； （2）∵，是正整数， ∴等式两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴， 解得； 若正整数，则，可得，不成立； ∴，此时， 代入得， 整理得， ∴ 解得， ∴， ∴正整数， 代入得，解得，符合； 综上所述，只有，，符合条件， 因此． 三、解答题（本大题8个小题，第21－25题各8分，其余每题10分，共70分） 21. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 将①和②的解集在数轴上表示为： ∴原不等式组的解集为． 22. 如图，在中，点在边上，，． （1）用尺规完成基本作图：在射线上作线段，使得，连接； （2）结合（1）所作的图形，求证．请完成下面的证明： 证明：， （_____①_____）． 在和中， ， ． _____③_____． ． 【答案】（1） （2）两直线平行，同位角相等；； 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接即可； （2）利用两直线平行同位角相等，全等三角形的判定和性质以及同位角相等两直线平行推导即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在单位长度为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，且点的坐标为，将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到； （1）请在正方形网格中画出平移后的； （2）点的坐标为_____，点的坐标为_____； （3）若点是内的一点，平移后点的对应点恰好在第四象限的角平分线上，求点的坐标； 【答案】（1）如图，即为所求； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意平移即可得． （2）根据（1）平移后图形直接写出坐标即可． （3）点平移后得到点，表示出点坐标，点经过直线，代入坐标即可求出点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为． 【小问3详解】 解：已知点，是内的一点，经过平移后对应点为， ∴的坐标为， ∵第四象限的角平分线为直线，点在第四象限的角平分线上， ∴点在直线上，代入点坐标得， ， 解得， ∴， ∴点． 24. 已知，请你利用平行线的相关性质，添加适当辅助线，求证． 【答案】证明：过点作，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，再根据平角定义即可证明结论． 【详解】略 25. 为了提高学生的应急能力，加强安全防范意识，我校举行了《安全应急能力相关知识》的竞赛，赛后随机抽查了部分参赛同学的成绩，对参赛同学的分数（单位：分）进行了分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中_____，“A”组对应的圆心角度数为_____．； （3）若全校共有2000名学生参加竞赛，估计该校竞赛成绩不低于70分的学生有多少人？ 【答案】（1）补全频数分布直方图，如图所示： （2）30； （3）1700人 【解析】 【分析】（1）先根据D组的人数和所占的百分比求出总人数，然后求出B组的人数，最后补全频数分布直方图即可； （2）求出C组所占百分比，即可得出m的值，乘以A组所占的百分比即可得出“A”组对应的圆心角度数； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：抽查的学生总人数为： （人）， B组的学生人数为：（人）， 补全频数分布直方图略； 【小问2详解】 解：C组所占百分比为：，即； “A”组对应的圆心角度数为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校竞赛成绩不低于70分的学生有1700人． 26. 某大型超市售卖西瓜和香蕉．若销售3千克西瓜和2千克香蕉，总收入为26元；销售2千克西瓜所得收入比销售4千克香蕉所得收入少4元． （1）求每千克西瓜和香蕉的售价分别是多少元？ （2）何先生准备到该超市购买西瓜和香蕉共10千克，计划总花费不超过54元，西瓜的购买数量不少于香蕉的购买数量，且两种水果的购买数量均为整数．请写出全部购买方案，并求出最省钱的购买方案所需的费用． 【答案】（1）每千克西瓜售价元，每千克香蕉售价元 （2）全部购买方案为：①购买西瓜千克，香蕉千克；②购买西瓜千克，香蕉千克；③购买西瓜千克，香蕉千克；最省钱的购买方案所需费用为元 【解析】 【分析】（1）设每千克西瓜售价元，每千克香蕉售价元，根据销售3千克西瓜和2千克香蕉，总收入为26元；销售2千克西瓜所得收入比销售4千克香蕉所得收入少4元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买西瓜千克，香蕉千克，根据总花费不超过54元，西瓜的购买数量不少于香蕉的购买数量，列出不等式组，解不等式组即可； 【小问1详解】 解：设每千克西瓜售价元，每千克香蕉售价元， 根据题意得， 解得， 答：每千克西瓜售价元，每千克香蕉售价元； 【小问2详解】 解：设购买西瓜千克，香蕉千克， 根据题意得， 解得， ∵两种水果的购买数量均为整数， ∴，6，7， ∴购买方案为：①购买西瓜千克，香蕉千克，总花费： （元）； ②购买西瓜千克，香蕉千克；总花费： （元）； ③购买西瓜千克，香蕉千克；总花费： （元）； ∵， ∴最省钱的购买方案所需费用为元． 27. 已知，连接，点在上（点不与点，点重合），连接，． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，点是的内角平分线的交点，连接，，点是的外角平分线的交点，连接，请探究与的数量关系； （3）如图3，若，点是的中点，求证：． 【答案】（1） （2） （3）延长至点，使得，如图所示： ∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先过点作，再结合平行线的性质，得，即可作答； （2）根据角平分线的定义，以及三角形的内角和性质得，同理得，再结合平行线的性质，得，整理得，最后代入计算，即可作答． （3）运用倍长中线法进行证明，得出，再根据，，证明，即可作答． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 过程如下： ∵点是内角平分线交点， ∴ ∴ ∵， 则 延长至点，如图所示： ∵点是外角平分线交点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 ， ， 即， ∵ ∴， 故． 【小问3详解】 略 28. 如图，在平面直角坐标系中，点，且满足：，连接． （1）如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____． （2）如图2，若点在轴上，当时，求点的坐标； （3）如图3，对于正方形，连接，将正方形分割成两个直角三角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故和分别是以，为直角的“半正方形”．若点在坐标平面内，且，将轴向下平移2个单位得到直线，在直线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可求解； （2）设的坐标为，过点作轴于点，分两种情况讨论，当在点上方时，即，；当时，，分别解方程，即可求解； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，，则或，根据建立方程解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，且满足：， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵点在轴上， 设的坐标为 ∵ ∴， ∴ ∴ 如图，过点作轴于点， ∴ ∴ ∴ 显然，当点在之间时，，不合题意， 分两种情况讨论： ①如图，当在点上方时，即 ∴ 解得： ∴ ②当时，如图 ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 【小问3详解】 如图，过作直线， 过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵将轴向下平移2个单位得到直线， ∴， 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，即或即 ∵，， 当时， 如图，共线，连接 ∴ 当时，即 解得： ∴ 当时， 解得： ∴ 即或 当时，如图，过点作于点，则， 当时，即时 ∴ ∴，解得： ∴ 当时，即时 如图，延长交轴于点 ∴，， ∴ ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.7 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班同学的身高情况 B. 调查全国中小学生的课外阅读情况 C. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 4. 如图，直线与交于点平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的内角和等于 C. 三角形两边的和大于第三边 D. 三角形的稳定性 6. 如图，，点在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 8. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，点在上，连接，将沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到，延长与交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．这五张卡片分别记为．张华依次将相邻两张卡片上数的和告诉给参与者，请参与者判断说法的正误．下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 下列说法中，正确的有( )个 ①，上的数字可能都是奇数； ②五张卡片上的数的总和为149； ③若将卡片上的数按从小到大的顺序排列，则结果为：． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 11. 3的平方根是______． 12. 如图，在中，，点在的延长线上，，则_____． 13. 计算：_____． 14. 已知点在轴上，则的值为_____． 15. 已知实数满足，则的值为_____． 16. 如图，，，，，则_____． 17. 如图，在中，点在上，，点是的中点，连接，若的面积为5，则的面积为_____． 18. 如图，在中，是的角平分线，于点，若的面积等于，，，则_____． 19. 如图，在四边形中，，．点在直线上，将射线绕着点逆时针旋转，与直线交于点，连接． （1）若，则_____； （2）若，则_____． 20. 已知是三个正整数，且． （1）若，则以为边长的三角形共有_____个； （2）若，则的值为_____． 三、解答题（本大题8个小题，第21－25题各8分，其余每题10分，共70分） 21. 解不等式组： 22. 如图，在中，点在边上，，． （1）用尺规完成基本作图：在射线上作线段，使得，连接； （2）结合（1）所作的图形，求证．请完成下面的证明： 证明：， （_____①_____）． 在和中， ， ． _____③_____． ． 23. 如图，在单位长度为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，且点的坐标为，将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到； （1）请在正方形网格中画出平移后的； （2）点的坐标为_____，点的坐标为_____； （3）若点是内的一点，平移后点的对应点恰好在第四象限的角平分线上，求点的坐标； 24. 已知，请你利用平行线的相关性质，添加适当辅助线，求证． 25. 为了提高学生的应急能力，加强安全防范意识，我校举行了《安全应急能力相关知识》的竞赛，赛后随机抽查了部分参赛同学的成绩，对参赛同学的分数（单位：分）进行了分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中_____，“A”组对应的圆心角度数为_____．； （3）若全校共有2000名学生参加竞赛，估计该校竞赛成绩不低于70分的学生有多少人？ 26. 某大型超市售卖西瓜和香蕉．若销售3千克西瓜和2千克香蕉，总收入为26元；销售2千克西瓜所得收入比销售4千克香蕉所得收入少4元． （1）求每千克西瓜和香蕉的售价分别是多少元？ （2）何先生准备到该超市购买西瓜和香蕉共10千克，计划总花费不超过54元，西瓜的购买数量不少于香蕉的购买数量，且两种水果的购买数量均为整数．请写出全部购买方案，并求出最省钱的购买方案所需的费用． 27. 已知，连接，点在上（点不与点，点重合），连接，． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，点是的内角平分线的交点，连接，，点是的外角平分线的交点，连接，请探究与的数量关系； （3）如图3，若，点是的中点，求证：． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点，且满足：，连接． （1）如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____． （2）如图2，若点在轴上，当时，求点的坐标； （3）如图3，对于正方形，连接，将正方形分割成两个直角三角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故和分别是以，为直角的“半正方形”．若点在坐标平面内，且，将轴向下平移2个单位得到直线，在直线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $