黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

B4正面 ■ 2025-2026学年度高一下学期期末考试数学答题卡 条码粘贴区 姓名：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿＿ 考号：＿＿＿＿＿＿＿＿ 一 选择题: 二 多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] 三 填空题:（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 13. 14. 四 解答题: (本题共5小题,共77分) 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ■ ■ 1 2024 HSDFZ 1、考生必须在本页“条码粘贴区”贴好自己的条形码，并用0.5毫米 的黑色签字笔填写好姓名和班级，否则影响考试成绩； 2、选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔 答题，超出黑色边框区域的答案无效；并请注意题号顺序； 3、保持卷面清洁，不要折叠，弄破； 4、选择题填涂样例：正确：▅ 错误：[√] [×] [／] [▂] 注意事项 本区域请勿答题 16.（15分） 15.（13分） B4反面 ■ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ■ ■ 2 HSDFZ 17.（15分） 18.（17分） 19.（17分） $《期末试卷》参考答案 题号 3 5 6 10 答案 A A B D W O C ACD ABD 题号 11 答案 ACD 12.【答案】6π 13.【答案】540 14.【答案】3V3 91 15.【答案】(1)6(2)216 1 【详解】(1)甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是3， 1 答对第二题的概率分别是2， 11.1 =× 甲考生通过某校强基招生面试的概率为 326. 6 1、11 (2)乙考生通过某校强基招生面试的概率为 B=2×36, 121 丙考生通过某校强基招生面试的概率为3436， 8 ∴.甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： 13 3 16.【答案】(1)31.75岁 (2)(i)5 (ii)10 【详解】(1)设这m人的平均年龄为x,则 x=22.5×0.02×5+27.5×0.07×5+32.5×0.05×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=31.75.5 (2)(i)由题意得，第四组应抽取0.2×20=4人，记为A(甲)，B,C,D, 第五组抽取0.1×20=2人，记为E(乙)，F, 对应的样本空间的样本点为： 2=A,B),A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D) (C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)} 设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，则 M={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,E),(C,E),(D,E),(E,F)} P(M)=m(M)9-3 所 n(2)155 10 ()设第四组、第五组的宜传使者的年龄的平均数分别为无，，方差分别为，$写， 5 则=36，元=42，=2.=1 设第四组和第五组所有宜传使者的年龄平均数为乙，方差为$2， 2=4+2元=4×36+2×42 =38 则6 6 12 产君4×[+属j]2[s+6-j]}君43(6-9+2[+(2-39]=0 14 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10. 据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 15 5 17,【答案】(1)证明(2)(i)证明(i)3 (1)证明：因为F,G分别为AB,AC的中点，所以FG/BC, 而FGC平面PBC,BCC平面PBC, 则FGI∥平面PBC. 连接BD,因为四边形ABCD为矩形，所以G为BD中点， 因为E是PD的中点，则EGIIPB, 而EG4平面PBC,PBc平面PBC, 所以EG∥平面PBC, 又EG,FGc平面EFG,且EG∩FG=G, 所以平面EFG∥平面PBC.5 (2)()证明：以A为原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 如图所示. A(0,0,0).P(0,0,2）.C(1,2,0)E(01,1) 则PC=12,-2).正=(0,11) 因为PCAE=0+2-2=0,所以AE⊥PC. 由已知得EM⊥PC,因为AE,EMc平面AEM,且AE∩EM=E, 所以PC⊥平面AEM, 因为AMC平面AEM,故PC⊥AM,IO' D m-) 由(i)得PC是平面AEM的法向量. 设直线EG与平面AEM所成角的大小为B, 1 +2 sin8=cos(EG,PC〉 5 ×3 则 2 5 即直线EG与平面AEM所成角的正弦值为3· 15 B=π π 18.【答案】(1)3(2)()（6'2 5. (ii) c=bcos4+ 1 【详解】(1)因为 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=sin B cos A+sin A 所以 sin Acos B=-sin A 所以 2 COsB=1 而A∈(0，)，从而sin4>0,所以0s。2, 4 ,B=π 又因为B∈(0，)，所以53： 6 0<A<π B=I 0B=3-A兀 <A< (2)显然3是锐角，需满足 2,解得6 2 ππ 故角A的取值范围为6'2) 8' B=T 1 S=acsin B= 3v3 因为3，a=6,所以2 a 2π sinAsinC （2 6sin -A （3 sin 3 c= 由正弦定理有 ,所以 sin A 3V3 -COs A+-sin A 1 S= =9V3.2 2 =95 3 2 sin A 所以 2 2tan 4 12 ππ 因为角A的取值范围为 62 5 3, 1 所以tanA的取值范围为 anA的取值范围为(0，V3) √阝 3 1. 2tanA的取值范围为 +2m4的取值范围为2， 2 15, S=93 3 故 2tan A 9sg 的取值范围为 17 7 19.【答案】(1)()证明见解析，(i)7;(2)4. 【详解】(1)(i)BC⊥BD,AD⊥BC,BD∩AD=D BDC平面ABD,ADC平面ABD, .BC⊥平面ABD,3 :BCC平面BCD .平面ABD⊥平面BCD;S (ii):平面ABD⊥平面BCD,过A作AE⊥BD交BD于E,AEC平面ABD, ∴.AE⊥平面BCD,过B作BF∥AE, 以B为原点，BC,BD,BF分别为x,',z轴建系，如图所示 .6 :△BCD是等腰三角形，BC⊥BD,BD=4,BC=4, △ABD是等腰三角形，∠ADB=120°，∴BD=AD=4,∠ADE=60°， :DE=2,AE=213,BE=BD+DE=6, B(0,0,0),∴C(40,0),D(0,40）.A0,625) BC=(4,0,0).CD=(-4,4,0).Ac=(4,-6,-25) 设平面ACD的法向量为元=(x,少，2)】 AC.=0 ,4x-6y-23z=0 CDi=0-4x+4y=0 ,取x=1,解得y=1、 3, 9 3 ·平面BCD的法向量为乃=(0,0,1). 设平面BCD与平面ACD的夹角为Q, 5 ∴.cosa= cos(n,n2 n'n 3 √万 V217 √7 .平面BCD与平面ACD的夹角的余弦值为7； 11y E (2)设CD的中点为O,BC⊥BD,.O为Rt△BCD的外心，过O作O01平面BCD, 设△ABD的外接圆的外心为O,过O作平面ABD的垂线O,O, 则球心在直线0,0上，00球心在直线O0上， :三棱锥A-BCD外接球的球心为直线OO和直线O,0的交点O, :△BCD的外接圆的半径为1=2V2 在△ABD中，设△ABD的外接圆的半径为2，AD=BD=4,∠ADB=120°，.∠DAB=30°， BD 4 25sn乙DaB5m30-8.5=4 设BD的中点为M,则OM⊥BD.O,M⊥BD 则∠O,M0为二面角A-BD-C的平面角，设∠0M0,=a, :∠ADB=120°，AD=BD=4∴.O2B=O2A=O,D=4 ∴.O,M=2W30,M=2 ∴.(0,02)}=(0，M)2+(0,M)2-20,M.0,Mcosa=16-8W3cosa .0,0=V16-8V3cosa :∠00，M=∠00，M=90°，∴0,0，O,M四点共圆， ∴.OM为四边形O,O0,M的外接圆的半径， ÷0M=O0-Vl6-8V3cosa_ 2v4-2v3cosa 4-2v3cosa =2 sina sina sina sin'a 4-2v3cosa 1-cos'a, 14 4-t 设t=4-2W3cosa,则4-2W5≤t≤4+25 cosa= 2√5 t t .OM=2 2 2 12t 16-8t+t2 V-4+8t-t2 1- 4-t 11 2W3 12 12 12 =2 ≥2 =2V5 -2×1+8 4 当且仅当t时，即t=2时取等号，(OM)m=2V5 =t 三楼锥A-BCD外接球的半径为R,R=V(OM)+(MD) MD=2,Rn=V12+4=4.,17 M D 2025-2026学年度下学期高一期末考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 2．有2位老师和4名学生排成一队照相，老师要求相邻且不排在两端，则不同的排法有（ ） A．144种 B．96种 C．72种 D．48种 3．已知，是两条直线，，，是三个平面，则正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．某小组有3名男生和2名女生，从中选取2名学生参加演讲比赛，下列事件中互斥而不对立的事件为（ ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．恰有1名男生和恰有2名女生 C．至少有1名男生和全是男生 D．至少有1名男生和全是女生 5．已知样本数据，，，，，的平均数为，方差为若样本数据，，，的平均数为，方差为，则（ ） A． B． C．或 D．或 6．在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 7．抛掷枚质地均匀的硬币，恰有枚正面朝上的概率为（其中），则（ ） A． B． C． D． 8．已知为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，若，，则（ ） A． B．在复平面内对应的点在第四象限 C． D．的虚部为 10．某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（ ） A． B．众数是 C．中位数是 D．第百分位数是 11．如图，在三棱台中，侧面是等腰梯形，，，侧面平面，，，为的中点，点在上，且，则（ ） A．平面 B．直线与平面所成角小于 C．平面将该三棱台分成两个几何体，则体积较小几何体的体积为 D．四点，，，在同一球面上，则该球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆台上下底面半径分别为1和2，母线与下底面所成角为，则圆台侧面积为__________． 13．某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择．若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为__________． 14．在中，，的平分线交于点，为的中点．若，，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，． （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率． 16．（本小题满分15分） 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． （i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，作交于点． （i）证明：； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 在中，角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，当时，求面积的取值范围． 19．（本小题满分17分） 如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，，． （1）若． （i）求证：平面平面； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． （2）求三棱锥外接球的半径的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $