精品解析：广东梅州市兴宁市2025-2026学年度第二学期七年级期末质量监测试卷数学

2025-2026学年度第二学期七年级期末质量监测试卷 数学 说明：本试卷共4页，23小题，满分为120分，答卷时间为120分钟．（请在答题卡上作答） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下面的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国空间站梦天实验舱的超冷原子物理实验柜，可将原子冷却到接近绝对零度，其温度低至0.0000000034K，将数据0.0000000034用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（ ） A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 以上都不是 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 某种彩票中奖率为，买10000张该种彩票会中奖 C. 掷一枚硬币，正面朝上 D. 太阳从东方升起 7. 如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，添加下列条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6.5 D. 7 10. 已知是的高，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 12. 为了解我国古代数学文化，小明准备从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》和《周髀算经》四本数学著作中选取一本进行阅读．他在这四本书名对应的卡片中随机抽取一张，恰好抽到书名为《九章算术》的卡片的概率是_________． 13. 计算：_______． 14. 如图长方形沿折叠后如图所示，若，则_____． 15. 如图，已知的周长是24，分别平分和，于点D，且，则的面积是__________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 2026年4月23日是第31个世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．将正面印有2，3，4，6，8，11，13，17的八张卡片（卡片除正面数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张．若抽到卡片上的数字是2的倍数，则小明去；若抽到卡片上的数字大于10，则小华去． （1）任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是3的倍数的是________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？ 18. 如图，，，平分，求的度数． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）出发地到派送点的路程是__________米，小李在便利店停留了__________分钟； （2）快递员小李出发多长时间，距离派送点250米？ 20. 已知，如图，，相交于点，且． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） （2）若，求证： 21. 已知，如图，在四边形中，平分，试说明． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知长方形，，，将图1沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图2中的“回字形”正方形． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； （2）根据（1）中的结论，若，，求的值； （3）拓展应用：如图3，点M，Q分别是，的中点，点E在上，，以为边作正方形，点G在上，交于点N，长方形的面积为，若，求的值． 23. 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为．且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点于点E，求证：． （2）如图2，在等腰直角中，，过点C作直线，过点A作于点D．过点B作于点E．若，则的长为 ． 【方法应用】 （3）如图3，在中，，若，则的面积为 ． 【拓展迁移】 （4）如图4，在中，，以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期七年级期末质量监测试卷 数学 说明：本试卷共4页，23小题，满分为120分，答卷时间为120分钟．（请在答题卡上作答） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下面的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 中国空间站梦天实验舱的超冷原子物理实验柜，可将原子冷却到接近绝对零度，其温度低至0.0000000034K，将数据0.0000000034用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：用科学记数法表示绝对值小于1的正数时，形式为， 需满足，为原数左起第一个非零数字前零的个数（包含小数点前的零）； ∵ 的第一个非零数字为， 前共有个零，且， ∴ ． 3. 小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（ ） A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【详解】解：付款金额随购物数量的变化而变化， 数量和金额是变量， 矿泉水的单价固定不变， 单价是常量． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式进行求解判断即可； 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并运算，因此选项A不符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式，正确运算是解题的关键． 5. 如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直的定义可得的度数，根据对顶角相等可得，利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 6. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 某种彩票中奖率为，买10000张该种彩票会中奖 C. 掷一枚硬币，正面朝上 D. 太阳从东方升起 【答案】D 【解析】 【分析】先明确必然事件的概念，必然事件是一定条件下必然会发生的事件，据此逐一判断各选项即可得到答案； 【详解】解：∵必然事件是指在一定条件下一定发生的事件. A选项，打开电视机，可能播放其他节目，不是一定会播放新闻，属于随机事件，不符合要求； B选项，该彩票中奖率为，买10000张也有可能不中奖，属于随机事件，不符合要求； C选项，掷一枚硬币，可能反面朝上，不是一定正面朝上，属于随机事件，不符合要求； D选项，太阳从东方升起是确定的自然规律，是一定会发生的事件，属于必然事件，符合要求； 7. 如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的识别，根据水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢即可求解； 【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢； 因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系； 故选：C ． 8. 如图，，添加下列条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故B选项不符合题意； 当时，则，，故C选项不符合题意； 当，，不能判定；故D选项符合题意； 故选D． 9. 如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6.5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用轴对称性质，得出线段相等关系，进而通过线段的和差计算出的长度． 【详解】解：∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ 10. 已知是的高，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高线，解题关键是涉及到三角形的高的时候，注意分情况考虑．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图1，当高在的内部时， ； ②如图2，当高在的外部时， ． 综上所述，的度数为或． 故选：D． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 【答案】 80 【解析】 【分析】根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为即可求解. 【详解】解： 等腰三角形的底角等于，等腰三角形的两个底角相等， 顶角的度数为. 12. 为了解我国古代数学文化，小明准备从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》和《周髀算经》四本数学著作中选取一本进行阅读．他在这四本书名对应的卡片中随机抽取一张，恰好抽到书名为《九章算术》的卡片的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式计算概率，确定所有等可能结果总数与符合条件的结果数，代入概率公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，从四本书名对应的卡片中随机抽取一张，共有种等可能的结果，抽到书名为《九章算术》的卡片的结果有种，根据概率公式，可得所求概率为． 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图长方形沿折叠后如图所示，若，则_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据图形翻折可知，结合，可求得，再根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：由图形翻折可知， ， ， 四边形是长方形， ， ． 15. 如图，已知的周长是24，分别平分和，于点D，且，则的面积是__________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，分割法求三角形的面积，连接，作，根据角平分线的性质推出，利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：连接，作， ∵分别平分和，， ∴， ∴ ， ∵的周长是24， ∴， ∴； 故答案为：36． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，． 【解析】 【分析】原式中括号第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当，时，原式=． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17. 2026年4月23日是第31个世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．将正面印有2，3，4，6，8，11，13，17的八张卡片（卡片除正面数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张．若抽到卡片上的数字是2的倍数，则小明去；若抽到卡片上的数字大于10，则小华去． （1）任意抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是3的倍数的是________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？ 【答案】（1） 随机 （2） 不公平 【解析】 【分析】（1）根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断事件类型即可； （2）分别数出满足小明和小华条件的结果个数，根据概率公式计算两人获胜的概率，比较概率是否相等即可判断游戏是否公平，概率相等则公平，否则不公平． 【小问1详解】 解：∵共有8张卡片，其中是3的倍数的数字有3、6共2张，其余数字不是3的倍数， ∴任意抽取一张，可能抽到3的倍数，也可能不抽到3的倍数， ∴该事件是随机事件； 【小问2详解】 解：∵共有8张卡片，其中是2的倍数的数字有2、4、6、8共4张，数字大于10的有11，13，17共3张， ∴小明去的概率为，小华去的概率为， ∵， ∴小明去的概率比小华去的概率大， ∴这个游戏规则对双方不公平． 18. 如图，，，平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出，再根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）出发地到派送点的路程是__________米，小李在便利店停留了__________分钟； （2）快递员小李出发多长时间，距离派送点250米？ 【答案】（1）1500，4； （2）分钟. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象进行回答即可； （2）观察图象可知，距离派送点250米的时间在12至14分钟之间，求出这个时间段内小李的速度，再根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：出发地到派送点的距离是1500米，小李在便利店停留了：（分钟）； 【小问2详解】 解：由图象可知，出发12分钟时，距离出发地600米， 出发12分钟后的速度为（米/分钟）， 设小李出发t分钟，距离派送点250米，根据题意列方程得 解得. 所以快递员小李出发分钟，距离派送点250米． 20. 已知，如图，，相交于点，且． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） （2）若，求证： 【答案】（1） 如图所示， （2） 由（1）得，垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂直平分的方法求解即可； （2）由（1）得，垂直平分，得到，，然后得到，推出，等量代换得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21. 已知，如图，在四边形中，平分，试说明． 【答案】 证明：如图，过作，交的延长线于点， ∵平分， ， 且， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用角的关系和角平分线的性质得到全等的条件． 过点作交的延长线于，利用角平分线的性质得到，再结合角的关系证明，最后通过证明，从而得出． 【详解】略 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知长方形，，，将图1沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图2中的“回字形”正方形． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； （2）根据（1）中的结论，若，，求的值； （3）拓展应用：如图3，点M，Q分别是，的中点，点E在上，，以为边作正方形，点G在上，交于点N，长方形的面积为，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据图（）分别表示出大正方形、阴影部分和个空白长方形的面积和，再根据面积关系写出等量关系即可； （）利用（1）的等量关系解答即可求解； （）由题意可得正方形的边长为，，进而由可得，又由长方形的面积为可得，即得到，最后代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知，正方形的边长为，， ∵，， ∴， 即， ∵长方形的面积为，即， ∴， 把代入得，， 整理得，， ∴． 23. 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为．且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点于点E，求证：． （2）如图2，在等腰直角中，，过点C作直线，过点A作于点D．过点B作于点E．若，则的长为 ． 【方法应用】 （3）如图3，在中，，若，则的面积为 ． 【拓展迁移】 （4）如图4，在中，，以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）； （3）； （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； （2）同理（1）证明即可得到答案； （3）作于点E，证明即可得到答案； （4）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：6． （3）如图3，过点作于点E，则 ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32． （4）的面积为10或4． 理由如下： 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图4，过点作于点，过点D作于点F， ∵，，， ∴，， 同理（1）得：， ∴， ∴； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图5，过点作于点，过点D作于点F， ∵，，， ∴，， 同理（1）得：， ∴， ∴； 综上所述，的面积为10或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $