精品解析：吉林省长春市长春吉大附中实验学校2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

吉林省长春市长春吉大附中实验学校2024-2025学年 高二下学期7月期末考试数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合在全集中的补集，再求这个补集与集合的交集. 【详解】已知全集，集合， 那么， 因为，， 所以. 故选：A. 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和三角函数的导数公式及复合函数的求导法则进行求解即可. 【详解】由， 故选：D 3. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 5. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ） 参考数据：，，． A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于[80，88]的人数约为. 故选：B 6. 在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合计算各个事件的情况数，根据古典概型以及条件概率，可得答案. 【详解】记事件为“甲在分子生物学实验室实习”，事件为“甲与乙不在同一实验室实习”， 样本点的总数为，， 事件，同时发生的情况种数为， ，. . 故选：D. 7. 给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 216种 B. 168种 C. 192种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论区域三，四，五和二，三区域的染色，由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】先对区域三，四，五染色，有种方法， 若区域二和三同色，区域一可以有3种染色方案，不同的染色方法有种； 若区域二和五同色，区域一有2种染色方案，不同的染色方法有种； 若区域二与三、五颜色不同，区域一有2种染色方案，不同的染色方法有种. 综上，不同的染色方法有种. 故选：B 8. 为正实数，且，当取最小值时，的展开式中项的系数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用基本不等式求出取最小值时的值，得出；再利用二项式的展开式的通项公式求解即可. 【详解】由可得：. 因为为正实数， 所以由基本不等式可得： ， 当且仅当，即时等号成立. 所以当取最小值时，， 所以的展开式的通项公式为， 令，得，所以， 所以当取最小值时，的展开式中项的系数为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 两个具有相关关系的变量的一组数据为，，…，，其经验回归方程为，记，，决定系数为；若将数据调整为，，…，，其经验回归方程为，记，决定系数为，则（ ） 附：，， A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由以及的计算公式，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，А错误； 的计算中，数据不变，也不变，所以不变，B正确； ，C正确； 由于，变成了，， ，从而，都不变，所以，D错误. 故选：BC 10. 设函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为． B. 曲线在点处的切线方程为． C. 函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值． D. 若方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程有两个不等实根转化为与有两个交点，再利用数形结合即可求解. 【详解】对A：由题意可知的定义域为， ， 令，即，解得或， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 故A错误； 对B：切线斜率， 曲线在点处的切线方程为， 即，故B正确； 对C：当时，取得极大值为， 当时，取得极小值为， 因为，所以极大值小于极小值，故C正确； 对D：由上分析可作出的图象如图所示 要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点， 由图可知，， 所以实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在性定理判断方程的根，再利用导数法求函数的极值及作出函数的大致图象，将方程有两个不等实根转化为与有两个交点即可. 11. 某计算机程序运行次，每次运行都等可能地产生或中的一个数．记出现的次数为，出现的次数多于出现的次数的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布的定义可判断A选项；求出的表达式，结合可判断C选项；利用独立重复试验的概率公式可判断B选项；利用的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，依题意易得，A正确， 对于C选项，， 所以， 显然，C错误； 对于B选项，，B正确； 对于D选项，因为，所以． 因为， 所以，所以，D正确． 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，，则是的________条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】先化简，根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】因为或，， 所以由不能推出，而由可以推出， 故是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 13. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由对立事件的概率关系求出，再由全概率公式求得，利用条件概率公式求解. 【详解】，， 又， . 故答案为：. 14. 已知函数在上单调递增，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在上单调递增得到在上恒成立，从而得到的两根相等，得到与的关系，设，求导得到最值. 【详解】， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 当时，，当时，，与在上恒成立矛盾； 当时，令，得或， 因为在上恒成立，所以，所以， 设，令得， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； （2）由（1）可得当时函数有最小值，从而可求解. 【小问1详解】 由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， 所以，解得或， 故函数的最小值为，实数的值为或. 16. 为弘扬传统文化，传承端午民俗，我市特举办“粽情端午，舟竞风流”双队对抗赛.现有甲、乙两支队伍参加对抗赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲队获胜的概率为，假设每局比赛的结果互不影响. （1）比赛进行四局结束且乙队获胜的概率； （2）记比赛结束时甲队胜的局数为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意，乙队前三局输一局，第四局一定赢，根据相互独立事件的乘法公式即可得解； （2）先写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由题意，乙队前三局输一局，第四局一定赢， 所求概率； 【小问2详解】 由题意，可取， ， ， ， ， 所以的分布列为 . 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令可求的值； （2）分别令和求各项系数和，两式相加计算即可； （3）通过二项式的通项公式分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，，可得出，即可得解. 【小问1详解】 令，则，所以； 【小问2详解】 令，得①. 令，得②， 由①②，得， 所以. 【小问3详解】 的展开式通项为， 则，其中且， 当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 ，由（2）知，， 所以． 18. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展．某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查．统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表． 使用频率 偶尔1次 30 15 5 10 每周1~3次 40 40 30 50 每周4~6次 25 40 45 30 每天1次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，，求的分布列与期望； （3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，求小李晚餐选择低卡甜品的概率． 参考公式：，． 附： 0．10 0．05 0．01 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 【答案】（1）表格： 青少年 中老年 合计 食用轻食频率低 125 95 220 食用轻食频率高 75 105 180 合计 200 200 400 有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关 （2）分布列： 0 1 2 P 数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中数据补全列联表，计算，并与临界值对比分析； （2）根据分层抽样求各层人数，分析可知的所有可能取值分别为为0，1，2，进而求分布列和期望； （3）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解. 【小问1详解】 补全的列联表如下： 青少年 中老年 合计 食用轻食频率低 125 95 220 食用轻食频率高 75 105 180 合计 200 200 400 零假设：食用轻食频率的高低与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验可知：零假设不成立， 所以有的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关． 【小问2详解】 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 P 所以的数学期望为． 【小问3详解】 记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件， 晚餐选择低卡甜品为事件， 则，， 所以， 所以小李晚餐选择低卡甜品的概率为． 19. 对于函数，若存在m，n，使得，则称与 为“互补函数”，且,为“互补数”.已知函数和.若函数与为“互补函数”，且,为“互补数”. （1）是否存在,，满足，若存在，求出,的值，若不存在，请说明理由； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）根据“互补函数”的概念及列式求值即可. （2）先根据“互补函数”， “互补数”的概念，设，得到，,再设，利用导数（需二次求导）分析函数的单调性，求函数的最小值即可. 【小问1详解】 因为函数与为“互补函数”， 则. 化简得，（*）， 因为，对两边取对数得，. 将代入（*）式得，. 【小问2详解】 因为. 设，. 则，① ，② ①②得，， ①②得，， 令，. ，. 对上面两个式子消元得，，, 设， 则， 令， 则， 所以在区间上单调递减，， 所以在区间上单调递增， 所以， 即的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市长春吉大附中实验学校2024-2025学年 高二下学期7月期末考试数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ） 参考数据：，，． A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545 6. 在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 216种 B. 168种 C. 192种 D. 180种 8. 为正实数，且，当取最小值时，的展开式中项的系数为 （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 两个具有相关关系的变量的一组数据为，，…，，其经验回归方程为，记，，决定系数为；若将数据调整为，，…，，其经验回归方程为，记，决定系数为，则（ ） 附：，， A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为． B. 曲线在点处的切线方程为． C. 函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值． D. 若方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为 11. 某计算机程序运行次，每次运行都等可能地产生或中的一个数．记出现的次数为，出现的次数多于出现的次数的概率为，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，，则是的________条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 13. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则______. 14. 已知函数在上单调递增，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数的最小值为2，求实数的值． 16. 为弘扬传统文化，传承端午民俗，我市特举办“粽情端午，舟竞风流”双队对抗赛.现有甲、乙两支队伍参加对抗赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲队获胜的概率为，假设每局比赛的结果互不影响. （1）比赛进行四局结束且乙队获胜的概率； （2）记比赛结束时甲队胜的局数为，求的分布列与期望. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展．某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查．统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表． 使用频率 偶尔1次 30 15 5 10 每周1~3次 40 40 30 50 每周4~6次 25 40 45 30 每天1次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，，求的分布列与期望； （3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，求小李晚餐选择低卡甜品的概率． 参考公式：，． 附： 0．10 0．05 0．01 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 19. 对于函数，若存在m，n，使得，则称与 为“互补函数”，且,为“互补数”.已知函数和.若函数与为“互补函数”，且,为“互补数”. （1）是否存在,，满足，若存在，求出,的值，若不存在，请说明理由； （2）若，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $