精品解析：山东省淄博市周村区（五四制）2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

七年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 哥哥的年龄比弟弟的年龄大 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 C. 将6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球 D. 三角形的两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】在一定条件下，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 选项A中，哥哥的年龄一定比弟弟大，是必然事件，不符合题意； 选项B中，抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，该事件可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意； 选项C中，将个小球放进个箱子，至少有一个箱子有个小球，是必然事件，不符合题意； 选项D中，根据三角形三边关系，三角形的两边之和一定大于第三边，是必然事件，不符合题意． 2. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 3. 不透明的盒子中一共有四个小球，分别写着数字，，，，这些小球除数字外无其他差别．小明从盒子中随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定所有可能的结果总数，以及符合要求的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：盒子中共有个小球，其中写着数字“”的小球共个， 则随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是． 4. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论，避免漏解是解题关键．分类讨论：①当的角为底角时和②当的角为顶角时，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当的角为底角时，即底角为； ②当的角为顶角时，它的一个底角的度数为． 综上可知它的一个底角的度数为或． 故选D． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于A选项，当时，若，则，故A是假命题； 对于B选项，若，则或，例如，满足但，故B是假命题； 对于C选项，当时，若，则，故C是假命题； 对于D选项，，，不等式两边同时除以正数，不等号方向不改变，，故D是真命题． 6. 把不等式 x ≤1 的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解在数轴上的表示方法即可得． 【详解】不等式的解集为 则不等式的解集表示在数轴上的起点是实心圆点，且向左画 观察四个选项可知，只有选项A符合 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的解在数轴上的表示方法，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题关键． 7. 如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 9. 如图，，垂足分别是点D、E，，则的长是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可以得出，进而得出，就可以得出，就可以求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型． 10. 如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】在上取一点使得，可证，则，则题目可解． 【详解】解：在上取一点使得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】 故答案为：． 【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质． 12. 如图，已知，，，则________°． 【答案】20 【解析】 【分析】运用平行线的性质，三角形外角定理求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：20． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角定理，观察图形，理解角之间的位置关系是解题的关键． 13. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为____________． 【答案】15 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而估计出概率，再根据概率公式列出方程求解． 【详解】解：由题意可得 ， 解得，． 经检验，是原方程的解， ∴a的值约为15． 故答案为：15． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的概率计算公式列出方程． 14. 如图，在中，，将图形沿折叠，点落在上的点处，再将图形沿折叠，点落在上的点处，此时，则的度数为________ 【答案】45 【解析】 【分析】设，利用等腰三角形性质以及折叠得到，然后利用三角形外角性质列方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可知：， ， ， 又由折叠可知：， ， ， ， ， ， ， 解得， 则的度数为． 15. 如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．如图，连接 过作于 先求解 证明 求解 从而可得答案． 【详解】解：如图，连接 过作于 ，，，， 点是的中点，， 故答案为： 三、解答题：解答要写出必要的文字说明或演算步骤（共90分） 16. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）用代入消元法解二元一次方程组． 【小问1详解】 解： ①＋②得 将代入①得 ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解为：． 17. 解不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集是． 18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，所有非负整数解为0，1 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， ∴所有非负整数解为0，1． 19. 图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】对，理由见解析 【解析】 【分析】分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】解：对． ∵小明转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果， ∴小明转出的数字小于7的概率是． ∵红色部分所在扇形圆心角的度数是， ∴小亮转出的颜色是红色的概率是． ∵， ∴小颖的观点是对的． 【点睛】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算，是解题的关键． 20. 如图，一次函数和的图象交于点A． （1）求交点A的坐标； （2）直接将答案填在横线上： ①当x取何值时，？ ； ②当x取何值时，？ ； ③当x取何值时，与均小于0？ ． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）联立，解方程组即可得出点A的坐标； （2）①令解不等式即可；②令，解不等式即可；③令，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：由题意得 解得 所以，点A坐标为． 【小问2详解】 解：①令， 解得：， ∴当时，； 故答案为：； ②令， 解得：， ∴当时，； 故答案为：； ③令， 解得：， ∴当时，与均小于0； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解，不等式与一次函数的关系，解题的关键是根据题意列出方程组或不等式，准确计算． 21. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生 （2）至少种植甲作物5亩 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生； 【小问2详解】 解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 答：至少种植甲作物5亩． 22. 【问题初探】（1）如图①，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：； 【问题改编】如图②，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到，将边绕点C逆时针旋转得到．连接，延长交于点F． （2）求证：点F是的中点； （3）连接，若，，则__________（直接写结果）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据旋转的性质求解，解题的关键是证明三角形全等． （1）证明，即可得出结论； （2）过点E作，交的延长线于点G．证明，得到，证明，即可得证； （3）利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． ， ． （2）证明：过点E作，交的延长线于点G． ， ， ， ， ． ， ， ， ． ． ， ． ， ． ． 即点F是的中点． （3）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23. 在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD．E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数； （2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN． ①补全图2； ②若BN＝DN，求证：MB＝MN． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】(1)分别求出∠ADF，∠ADB， 根据∠BDF=∠ADF-∠ADB计算即可； (2)①根据要求画出图形即可； ②设∠ACM=∠BCM=a，由AB=AC， 推出∠ABC=∠ACB=2a，可得∠NAC=∠NCA=a，∠DAN=60°+a，由△ABN≌△ADN (SSS) ，推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60° +a，∠BAC=60°+2a， 在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出a，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题； 【详解】（1）如图 在等边三角形△ACD中，∠CAD=∠ADC= 60°， ∴AD= AC ∵E为AC的中点， ∴∠ADE=∠ADC = 30°， ∵AB= AC， ∴AD= AB， ∴∠BAD=∠BAC+ ∠CAD= 160° ∴∠ADB=∠ABD= 10° ∴∠BDF=∠ADF-∠ADB= 20°. (2)①补全图形，如图2所示， ②证明:连接AN. ∵CM平分∠ACB， 设∠ACM =∠BCM = a， ∵AB= AC， ∴∠ABC=∠ACB = 2a. 在等边三角形△ACD中， ∵E为AC的中点， ∴DN⊥AC， ∴NA= NC， ∴∠NAC=∠NCA= a ∴∠DAN=60°+a， 在△ABN和△A DN中， △ABN≌△ADN (SSS)， ∴∠ABN= ∠ADN = 30° ， ∴∠BAN =∠DAN= 60° + a， ∴∠BAC=60°+2a， 在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC= 180° ， ∴60°+2a+2a+2a=180°. ∴a= 20° ∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=10° ∴ ∠MNB=∠NBC +∠NCB = 30° ∴∠MNB= ∠MBN ∴MB=MN． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 哥哥的年龄比弟弟的年龄大 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 C. 将6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球 D. 三角形的两边之和大于第三边 2. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明的盒子中一共有四个小球，分别写着数字，，，，这些小球除数字外无其他差别．小明从盒子中随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是（ ）． A. B. C. D. 4. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 把不等式 x ≤1 的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，，垂足分别是点D、E，，则的长是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 不等式的解集是_______． 12. 如图，已知，，，则________°． 13. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为____________． 14. 如图，在中，，将图形沿折叠，点落在上的点处，再将图形沿折叠，点落在上的点处，此时，则的度数为________ 15. 如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为_______ 三、解答题：解答要写出必要的文字说明或演算步骤（共90分） 16. 解方程组： （1） （2） 17. 解不等式组： （1） （2） 18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 19. 图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 20. 如图，一次函数和的图象交于点A． （1）求交点A的坐标； （2）直接将答案填在横线上： ①当x取何值时，？ ； ②当x取何值时，？ ； ③当x取何值时，与均小于0？ ． 21. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 22. 【问题初探】（1）如图①，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：； 【问题改编】如图②，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到，将边绕点C逆时针旋转得到．连接，延长交于点F． （2）求证：点F是的中点； （3）连接，若，，则__________（直接写结果）． 23. 在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD．E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数； （2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN． ①补全图2； ②若BN＝DN，求证：MB＝MN． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $