第二章 一元二次方程重难点检测卷-（暑期衔接课堂）2026年暑假九年级数学衔接讲义（北师大版）

**基本信息** 一元二次方程单元卷，覆盖全章核心知识，结合工业机器人、傣族剪纸等时代与文化情境，梯度设计基础题与综合应用题，适配暑假复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的判别式、韦达定理|第6题工业机器人销量（时代性）、第10题傣族剪纸面积问题（文化传承）| |填空题|8/24|解法、根与系数关系、规律探究|第17题直播电商利润（实际应用）、第18题换元法解方程（数学思维）| |解答题|10/66|配方、应用、综合探究|第23题农业园区增长率（模型意识）、第28题矩形运动问题（几何与代数结合，数学眼光）|

第二章 一元二次方程重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：∵选项A中若，方程不是一元二次方程，∴A不符合要求． ∵选项B中分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，∴B不符合要求． ∵选项C中满足所有条件，是关于的一元二次方程，∴C符合要求． ∵选项D中含有两个未知数，不是一元方程，∴D不符合要求． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 5．（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，完全平方公式的应用， 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定参数a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵ ∴ 即， 与比较，得, ， ∴． 故选：C． 6．（25-26八年级下·北京石景山·期末）近年来，我国机器人产业综合实力实现了大步跨越．2023年我国市场工业机器人销量约为28.2万台，2025年我国市场工业机器人销量约为38.6万台．设从2023年到2025年我国市场工业机器人销量的年平均增长率为，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长规律，用初始销量、年平均增长率表示出两年后的销量，即可列出方程． 【详解】解：∵从2023年到2025年共经过年，年平均增长率为，2023年销量为万台，2025年销量为万台， ∴2024年销量为万台， 2025年销量为万台， 因此可列方程为． 7．（2025九年级·全国·专题练习）规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c，其中等式右边是通常的乘法和加法运算．如【2，3】★1．若关于x的方程【x，】★有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 先根据新定义运算将方程化为一般形式，再根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件（判别式大于零且二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵ 【a，b】★， ∴【x，】★ ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴   且， 即 ，解得 m < ， ∴且， 故选：D． 8．（25-26九年级下·云南大理·阶段检测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了探索数字的运算规律，根据前几个运算找到规律，根据规律求出结果即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 可知每次运算一个循环， ， 是第个循环的最后一个数， . 故选：B． 9．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据张林及李冬的计算结果，可求出b，c的值（的情况下），进而可找出原方程为． 【详解】解：∵张林看错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1， ∴两根之和， ∴当时，； ∵李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：A． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长，宽的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意、弄清等量关系是解题关键． 设金色纸边的宽为，根据整个挂图的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式是列方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为， 由长方形的面积公式可得：． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）一元二次方程的根是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12．（25-26九年级上·河南郑州·期末）一元二次方程的一次项系数是_____． 【答案】2 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的一般形式的定义进行解答即可． 【详解】解：因为在方程中，一次项为， 所以一次项系数是2． 故答案为：2． 13．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，通过配方法将二次代数式转化为完全平方式与常数项的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系． 根据一元二次方程根的定义，根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． ∴． 故答案为 0． 15．（2024九年级·全国·模拟预测）如图，图1共有8个小方块，图2共有个小方块，图3共有个小方块，按此规律，若图共有个小方块，则____________． 【答案】 【分析】本题考查图形的规律探索，观察图形发现数字规律是解题关键．根据图形列出数字间规律关系，然后解一元二次方程计算求解． 【详解】解：图1共有个小方块， 图2共有个小方块， 图3共有个小方块， 图共有个小方块， 解得，(舍)， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为矩形空地面积的一半，设小路的宽为，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据小路的宽度，可得出矩形花坛的长为，宽为，结合矩形花坛所占面积为空地面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：小路的宽度为， 矩形花园的长为，宽为． 根据题意得：， 故答案为：． 17．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为__________元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应定为元，按每件元销售，每天可卖出件，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件列出等式解答即可． 【详解】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元． 故答案为：． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【答案】 5或 5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可； （2）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可． 【详解】解：（1）设，则， ∴，解得， 当时，， 当时，， 故答案为：5或； （2）设  ，则， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25八年级下·北京·随堂练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 20．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， 则， ∴或， 解得，． （2）解：∵， ∴， 则或， ∴，． 21．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键，用公式法求解要将一元二次方程先化为一般式，再运用公式法求解． （1）先将3移项，得，此时，计算，所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，据此判断甲同学和乙同学的答案； （2）先移项得，左边提公因式，再利用提公因式法解此方程即可． 【详解】（1）解：甲同学的解法错误，乙同学的解法错误， 故答案为：不正确，不正确； （2）移项，得， ， 或， 解得． 22．（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）设一元二次方程的两个根为，若该方程的一个根与另一个根的2倍的和为0，我们就称这个一元二次方程为“两根相反倍数”方程． (1)如果方程是“两根相反倍数”方程，则m=______； (2)如果方程是“两根相反倍数”方程，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系； （1）根据新定义可得，根据根与系数的关系得：， 得出，，进而代入，即可求解； （2）分两种情况：设，则，或，则；根据（1）的方法，分别求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是“两根相反倍数”方程， ∴， 根据根与系数的关系得：， ∴， ∴ 解得： 当， ∴， ∴ 解得： （2）分两种情况：设，则 根据根与系数的关系得：， 解得：， 设，则 根据根与系数的关系得： ， 解得：， 23．（25-26九年级下·河南安阳·阶段检测）某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【答案】(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 24．（22-23九年级上·河南新乡·阶段检测）关于的一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 小明同学的解题过程如下； 解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或4． (1)已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)没有验证是否符合题意 (2)见解析 【分析】（1）的值需要代入，看是否可使方程由两个实数根， （2）将代入验证，即可求解， 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系． 【详解】（1）解：的值需要代入，看是否可使方程有两个实数根， 故答案为：没有验证是否符合题意， （2）解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 当时，代入，得：，， 不符合题意，舍去， 当时，代入，得：，解得：，， 符合题意， 所以的值为． 25．（24-25八年级下·江西萍乡·期末）阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 26．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）阅读下列材料： 材料：对于一元二次方程，若其两根之和为，两根之积为，则根据韦达定理，有，．有时，我们可以通过设两根为和的形式来求解方程．这样，两根之和自动满足，而两根之积为，由此可解出，进而得到方程的两个根．例如：解方程 解：由韦达定理，， 设，，则 ，解得 ， 请仿照上例，解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，读懂题意并熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，根据题意由韦达定理得到，，设，，代入可得，求出t的值即可得到答案． 【详解】解：， 由韦达定理，， 设，， 则 ， 解得：， ，． 27．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；，大； (2)当为米，为米时，面积最大为平方米． 【分析】（）根据配方后的结果即可求解；根据配方后的结果即可求解； （）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； ∵， ∴当时，代数式有最大值， 故答案为：，大； （2）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 根据题意得，， 当时，有最大值，最大值为， ∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长时，能使花圃面积最大，最大面积是． 28．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 6．（25-26八年级下·北京石景山·期末）近年来，我国机器人产业综合实力实现了大步跨越．2023年我国市场工业机器人销量约为28.2万台，2025年我国市场工业机器人销量约为38.6万台．设从2023年到2025年我国市场工业机器人销量的年平均增长率为，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．（2025九年级·全国·专题练习）规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c，其中等式右边是通常的乘法和加法运算．如【2，3】★1．若关于x的方程【x，】★有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 8．（25-26九年级下·云南大理·阶段检测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长，宽的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）一元二次方程的根是______． 12．（25-26九年级上·河南郑州·期末）一元二次方程的一次项系数是_____． 13．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 14．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 15．（2024九年级·全国·模拟预测）如图，图1共有8个小方块，图2共有个小方块，图3共有个小方块，按此规律，若图共有个小方块，则____________． 16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为矩形空地面积的一半，设小路的宽为，根据题意可列方程为__________． 17．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为__________元． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25八年级下·北京·随堂练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 20．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 21．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 22．（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）设一元二次方程的两个根为，若该方程的一个根与另一个根的2倍的和为0，我们就称这个一元二次方程为“两根相反倍数”方程． (1)如果方程是“两根相反倍数”方程，则m=______； (2)如果方程是“两根相反倍数”方程，求的值． 23．（25-26九年级下·河南安阳·阶段检测）某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 24．（22-23九年级上·河南新乡·阶段检测）关于的一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 小明同学的解题过程如下； 解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或4． (1)已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 25．（24-25八年级下·江西萍乡·期末）阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 26．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）阅读下列材料： 材料：对于一元二次方程，若其两根之和为，两根之积为，则根据韦达定理，有，．有时，我们可以通过设两根为和的形式来求解方程．这样，两根之和自动满足，而两根之积为，由此可解出，进而得到方程的两个根．例如：解方程 解：由韦达定理，， 设，，则 ，解得 ， 请仿照上例，解方程： 27．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 28．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $