七升八暑假预习自学辅助作业（范围：13.3.2三角形的外角）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形外角定义及性质，通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，适配暑假预习自学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|外角定义、性质直接应用|选择1-5题、填空11-13题，如已知内角求外角，强化抽象能力| |中档|外角性质与平行线、三角尺等综合|选择6-10题、填空14-16题，如手推车平面示意图计算，培养几何直观| |提升|外角性质的推理证明与探究|解答20-23题，如光的折射角关系探究，发展推理意识与创新意识|

2026年秋七升八暑假预习自学辅助作业 （13.3.2 三角形的外角） 本章节知识点：三角形的外角的定义及性质 一、选择题 1．如图，在中，，，则的外角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 甲：如果的一个外角等于它的一个内角，那么是直角三角形； 乙：如果的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么是锐角三角形． 关于这两个结论，以下判断正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 6．如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．在如图标出的四个角中，最大的角是（     ） A． B． C． D． 8．如图，直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 10．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，是的外角，若，，则_______ 12．如图，在一束平行光线中插入一张矩形纸板．如果光线与纸板左下方所成的是，则光线与纸板右上方所成的的度数是__________． 13．如图，在中，是上一点，连接．则，，的大小关系是_____． 14．“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠，图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，，若，则__________°． 15．如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数为________． 16．将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 三、解答题 17．如图，在中，是的角平分线，，，求和的度数． 18．如图，已知，． (1)完成下面证明的过程（在横线上填上适当的内容）； 证明：（已知）， （________________）， ________（________________）． （已知）， ________（等量代换）， （________________）． (2)若，，求的度数． 19．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 20．如图，在中，点在边的延长线上，．求证：． 21．如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为，，求的长． 22．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．    【提出问题】 小明提出：如图①，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 (1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由． (2)如图②，求，，的数量关系，并说明理由． (3)如图③，已知，，，求的度数． 23．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026年秋七升八暑假预习自学辅助作业 （13.3.2 三角形的外角） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C B D A A B 1．A 【详解】解：∵在中，，， ∴的外角的度数为． 2．B 【详解】解：， ， ． 3．C 【分析】根据三角形的外角性质求出，的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 4．C 【分析】根据三角尺的特征得出相关角的度数，利用平行线的性质将角进行转化，最后根据三角形外角性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵两个三角尺的竖直直角边在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．C 【详解】解：甲：∵三角形任意一个外角与它相邻的内角和为， ∴若外角等于相邻内角，则两个角都为，故三角形是直角三角形； 若外角等于不相邻内角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和， ∴另一个不相邻内角为，不符合三角形定义，不存在这种情况，故甲结论正确； 乙：设中最大内角为，则，， ∵任意两个内角和大于第三个内角， ∴， ∴，代入得， ∴， ∴三角形三个内角都小于，是锐角三角形，故乙结论正确． 综上，甲乙都对． 6．B 【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 7．D 【详解】解：延长交于点 由三角形的外角性质可得，， ∴最大的角是． 8．A 【分析】由平行的性质得到，再由三角形外角的性质运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 9．A 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，利用平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 10．B 【分析】由平行线的性质可得，由对顶角相等可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意得， ∴， ∵， ∴． 11． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， ∴. 12．/20度 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴． 13．（或） 【分析】根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：在中，是外角， ∴， ∴， 在中，是外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （或）． 14． 【分析】由三角形的外角性质得到，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：设与相交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．/30度 【分析】先求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 16． 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：， ， ． 17．， 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质即可得出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 是的角平分线， ， ． 18．(1)内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、外角性质等知识，熟记相关几何性质与判定是解决问题的关键． （1）由平行线的判定与性质求证即可得到答案； （2）先由对顶角相等得到，再由三角形外角性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行； （2）解：， ， 又， ． 19．(1)2； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 20．见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角性质得，结合，即可证明． 【详解】证明：由三角形的外角性质得， ∵， ∴，即． 21．(1) (2) 【分析】（1）先利用角平分线定义得到，根据三角形的外角，求出，根据高的定义和互余两角的性质求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求出的长． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵为的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 22．(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，熟知平行线的性质与三角形外角的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质推出，得到即可解决问题； （2）由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； （3）延长交于点L，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，与相交于点理由如下： ， ， ， ． （3）解：如图③，延长交于点L，    ∵， ∴， ∴， ∴． 23．(1) (2) ；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $