2026年秋七升八暑假预习自学辅助作业（范围：13.2.1三角形的边）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形的边，通过基础巩固、灵活应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|构成三角形的条件、第三边取值范围、稳定性等单一知识点|以选择填空为主，直接应用概念（如判断线段能否组成三角形），夯实基础| |提升层|等腰三角形分类讨论、实际情境应用（如吸管剪开、古城墙支架）|结合生活场景，需分类讨论与逻辑推理（如等腰三角形腰长计算），发展运算能力| |综合层|三边关系证明与综合应用（如路径最短问题、周长范围探究）|解答题形式，含证明与拓展探究（如三角形内点的线段关系），培养模型意识与创新意识|

2026年秋七升八暑假预习自学辅助作业 （13.2.1 三角形的边） 知识点1 构成三角形的条件 1．用一根小木棒与两根长度分别为的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 2．下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．等腰三角形的周长是，一条边的长是，则它的腰长是________． 4．已知是等腰三角形，它的周长是，一条边长为，那么它的腰长为______． 5．如果等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（     ） A．或 B．或 C． D． 6．小明手里有两根塑料吸管，一根长，另一根长，他想通过剪开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（     ） A．只能剪开的吸管 B．只能剪开的吸管 C．两根吸管剪开后都能拼成三角形 D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形 7．已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 8．等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 9．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 10．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，探究圆的面积计算，其中涉及三角形的性质．下列关于三角形的说法，正确的是（    ） A．任意三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的内角和随边长增大而增大 C．等腰三角形的两底角相等 D．三角形任意两边之差等于第三边 知识点2 确定第三边的取值范围 11．若三角形的三边长分别是2，4，x，写出一个x可以取的整数值_____．（写出一个即可） 12．数学实验课上，老师要求同学们用三根木棍首尾顺次相连，拼成一个三角形．小明先取了两根，长度分别为和，则他可以选择的第三根木棍的长度为（     ） A． B． C． D． 13．已知三角形的三边长分别为3，a，7，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（     ） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 15．已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点3 三角形三边关系的应用 16．已知三角形两边长分别为4和7，则该三角形第三边长不可能是（     ） A．5 B．8 C．10 D．12 17．已知、、是的三条边，其中，，请写出一个满足条件的的值______． 18．已知两根木条的长分别为，，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，请写出所选木条的长度x（单位：）应满足的不等式组，并求出这个不等式组的解集． 19．在青少年机器人越野竞赛中，参赛机器人需要沿着三角形赛道完成绕行任务.组委会已经设定好赛道的两条边，长度分别为8米和15米，第三条边的长度为整数．为保证机器人能正常行驶，第三条边的长度不可能是（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 20．小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 21．如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 知识点4 三角形的稳定性及应用 22．为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 23．如图，为做好家具门窗安全防护，防止松动变形致人磕碰摔伤，工人师傅在木门框上加装两根木条、晃动的木椅腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，该做法利用了三角形的（     ）    A．稳定性 B．任意两边之差小于第三边 C．任意两边之和大于第三边 D．三角形三个内角的和为 24．如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    25．2026年乡村振兴新建户外光伏遮阳棚，安装工人在棚体支架之间加装一根斜向支撑杆，让整个棚架不易变形、更加稳固．这里用到的数学原理是（     ） A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．平行线间的距离处处相等 26．2026年4月，第十九届寒食清明主题文化活动在山西省介休市顺利举办．本次活动融合非遗展演、民俗体验、全民健身等多元内容，让群众沉浸式感受清明传统文化的独特魅力．活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定，其蕴含的数学道理是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 知识点5 四边形的不稳定性 27．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 知识点6 三角形的边综合 28．（1）如图甲，从经到 是一条柏油马路，是一条小路，人们从到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因； （2）如图乙，从经到是一条柏油马路，由 经到是一条小路，人们从 步行到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因． 29．综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    30．李明、林红和红军三位同学同时测量的三边长，李明说：“的周长是．”红军说∶“的三边长都是整数．” (1)若是最大边，则的最大长度为； (2)林红说：“的长度为．”若是等腰三角形，求边的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026年秋七升八暑假预习自学辅助作业 （13.2.1 三角形的边） 参考答案及解析 1．C 【详解】解：设这根小木棒的长度为， 则：， ∴， 只有选项C的符合该取值范围. 2．C 【详解】解：A、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； C、满足三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形； D、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形． 3．或/5或8 【分析】分类讨论已知边长为腰长或底边长两种情况，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：当的边为等腰三角形的腰时，底边的长为，此时三边长为， ，，满足三角形三边关系，符合要求． 当的边为等腰三角形的底边时，腰长为，此时三边长为， ，，满足三角形三边关系，符合要求． 综上可知，它的腰长是或． 4．8 【分析】分两种情况讨论，分别讨论为腰长和为底边长的情况，再根据三角形三边关系验证是否能构成三角形，即可得到腰长. 【详解】解：等腰的周长为，当为腰长时，底边长为， ，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况， 当为底边长时，腰长为， ，，符合三角形三边关系，能构成三角形， 腰长为. 5．D 【分析】本题需分两种情况讨论，即已知边长为腰长或已知边长为底边长，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证，排除不符合的情况即可得到结果. 【详解】解：分两种情况讨论： 若为腰长，则底边长为； ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 若为底边长，则腰长为； ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴该等腰三角形底边长为. 6．B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，分两种情况讨论剪开哪根吸管，根据三边关系判断即可. 【详解】解：根据三角形三边关系，分两种情况讨论： 情况1：剪开的吸管，设剪开后两段长为，，则，第三边长为，，不满足三边关系，剪开的吸管不能拼成三角形. 情况2：剪开的吸管，设剪开后两段长为，，则，第三边长为，，将代入得，同理可得， 只要将的吸管剪成两段都大于，即可满足三边关系拼成三角形. 7．C 【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x的奇偶性，统计符合条件的x的个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，， 根据三角形三边关系得 ，即 ， 三角形周长为奇数，周长为 ，且是奇数， 必须为偶数，奇数加偶数结果为奇数， 边长为正整数， 符合条件的为，共个， 满足条件的三角形个数为个． 8．22 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题时需分情况讨论腰长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合的情况后即可计算得到周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长为和，分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去该情况； 当腰长为时，三角形三边长为，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时三角形周长为． 9．B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了三角形的基本性质． 通过三角形的基本性质判断各选项即可． 【详解】解：钝角三角形的两条高在外部，A错误，不符合题意； 三角形内角和恒为，与边长无关，B错误，不符合题意； 等腰三角形的两底角相等，C正确；，符合题意 三角形任意两边之差小于第三边，而非等于，D错误，不符合题意； 故选：C． 11． 3（答案不唯一，3，4，5都正确） 【分析】根据三角形三边关系求出x的取值范围，再在范围内找出符合要求的整数值即可． 【详解】根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， 化简得， 为整数， 可取的值为3，4，5（答案不唯一）． 12．B 【分析】求出第三边的长度范围，再判断选项中符合范围的数值即可. 【详解】解：设第三根木棍的长度为， 由题意， ， 观察选项，只有在该范围内， 故他可以选择的第三根木棍的长度为. 13．A 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴根据三角形三边关系可得， 化简得． 14．B 【分析】根据定理求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：设第三根木料的长度为米， ∵两根木料长分别为5米和8米， ∴， 即， 观察选项，只有4米符合该范围． 15．A 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，再结合为正奇数确定符合条件的的个数，即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系可得，， 整理得， ∵为奇数， ∴满足条件的奇数只有，共个，即这样的三角形有个． 16．D 【分析】根据三角形的三边关系解题． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∴ ， 即 ， 而，故选项D符合题意． 17． （答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，在取值范围内任取一个值即可得到答案． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， ∵，， ∴， ∴， 在范围内任取一个值即可，本题取． 18．不等式组为，解集为． 【分析】根据三角形三边关系列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵两根木条的长分别为，， ∴ 解得． 19．D 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可． 【详解】解：设第三条边的长度为米， ∵三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 化简得：． ∵25不在的范围内， ∴第三条边的长度不可能是25米． 20．A 【分析】先理解题意，得出，根据线段的和差关系得，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵点是这根吸管的中点， ∴， 观察图，得， 即， ∵把一根吸管剪成3段来围成一个三角形， ∴当点A作为第一刀的切点，剩下的任意两段线段的和值都不大于，不满足三角形的三边关系：两边之和大于第三边． 故点A不能作为第一刀的切点． 21．8（答案不唯一） 【分析】设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数，求解即可； 【详解】解：设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数， 故乙走的路程是8千米或9千米或10千米； 22．C 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 23．A 【详解】解：依题意，防止门框变形、椅子摇晃，该做法利用了三角形的稳定性． 24．三角形具有稳定性 【详解】解：这种设计应用了一个重要的数学原理是三角形具有稳定性． 25．B 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：A、是线段长度的性质，故选项不符合题意； B、在棚体支架之间加装一根斜向支撑杆，是利用三角形的稳定性，故选项符合题意； C、是点到直线距离的性质，故选项不符合题意； D、是平行线的性质，故选项不符合题意． 26．C 【详解】解：活动现场设置了广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定， 其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 27．C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解答关键是分析能否在同一平面内构成三角形． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个例子逐一分析，再作判断． 【详解】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合； 校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合； 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合； 自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合． 故选：C． 28．（1）三角形两边之和大于第三边；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系， （1）根据三角形的三边关系（或两点之间线段最短）即可求解； （2）延长交于，根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，然后相加即可得解． 【详解】（1）或两点之间线段最短 （2）如图，延长交于， 由三角形的三边关系得，， ， 所以，， 所以，， 所以，人们不走柏油路，而喜欢走小路． 29．直接应用：见解析；深化应用：见解析；拓展应用： 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理： 直接应用：根据三角形三边关系得到，在不等式两边都加上即可得到结论； 深化应用：延长交于点D，根据三角形三边关系得到①，②， 利用即可推出； 拓展应用：根据三角形三边关系得到，，，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【详解】解：[直接应用]：由三角形三边关系得，， ∴，即； [深化应用]：如图，延长交于点D， ∵①，②， ∴得， ∴， 即； [拓展应用]：在中，， 同理，，， 得，， ∴, 得， ∵点是内的任意一点，当点无限接近三角形的某一顶点时，就无限接近三角形的周长，但始终小于三角形的周长， ∴， ∴， 故答案为：． 30．(1) (2)的长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义； （1）设三边长分别为，，，则，且，，均为正整数，最大边长为b．根据已知条件可以得到三角形的另外两边之和，再根据三角形的三边关系可以得到，从而求得最大边； （2）设，，则，且为正整数．是等腰三角形，即至少两边相等．分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：设三边长分别为，，，且，，均为正整数，最大边长为． ∵的周长是， ∴．则 根据三角形的三边关系， ∴ ∴， ∵是正整数，则的最大值为， 故答案为：7． （2）解：知，周长为，且三边长均为整数，因此． 设，，则，且，为正整数． 是等腰三角形，即至少两边相等．可能情形如下： ，则，代入得．边长为，，，能构成三角形． ，则，代入得．边长为，，，能构成三角形． ：即，则得，边长为，，，能构成三角形 综上所述，的长度为或或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $