精品解析：福建省厦门市翔安区2025-2026学年下学期八年级数学期末试卷

2025-2026学年（下）八年级期末试卷数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．试卷共4页，三大题，25小题，另有答题卡． 2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用2B铅笔． 一、选择题（本大题有10题，每题4分，共40分，每题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可． 【详解】解：A．属于最简二次根式，符合题意； B．，被开方数含分母，不属于最简二次根式，不合题意； C．，被开方数含分母，不属于最简二次根式，不合题意； D．，被开方数含能开得尽方的因数4，不属于最简二次根式，不合题意． 2. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数求出x的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴被开方数需满足． 解得． 选项中只有，符合条件，因此选D． 3. 如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据点E，F分别是边，的中点得，，是的中位线，根据得，即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是边，的中点， ∴，，是的中位线， ∵， ∴， ∴篱笆的长为：， 故选：C． 4. 下列各式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据二次根式的加减乘除运算法则，逐一判断选项即可得到答案. 【详解】解：对于A选项：∵二次根式乘法满足 ∴，计算正确； 对于B选项：∵和不是同类二次根式，无法合并， ∴计算错误； 对于C选项：∵二次根式除法满足 ∴，计算正确； 对于D选项：∵ ∴，计算正确 5. 已知平行四边形，下列判断不正确的是（ ） A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若，则四边形为正方形 D. 若，则四边形为矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对矩形、菱形和正方形判断的应用，根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，逐一判定即可． 【详解】解：A：若，根据“一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定四边形为矩形，故原说法正确，不符合题意； B、若，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定四边形为菱形，故原说法正确，不符合题意； C、若，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，不能判定四边形为正方形，故原说法错误，符合题意； D、若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定四边形为矩形，故原说法正确，不符合题意； 故选：C． 6. 跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于D，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图， 过点A作于D，则， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 7. 如图为小亮绘制的本班学生跳绳次数的箱线图，则该班跳绳次数的上四分位数为（ ） A. 132 B. 136 C. 144 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查箱线图和四分位数，理解上四分位数的定义是解题的关键． 根据上四分位数的定义及图形即可得出答案． 【详解】解：从箱线图中可得，上四分位数对应箱子的右侧边缘，从图中可以看到，箱子的右边缘对应数值为144． 故选：C． 8. 已知一次函数， 随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴，即． 9. 某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 若本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为克时的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由表格数据可知电子秤读数与沉沙时间成一次函数关系，根据数据求出一次函数解析式，再代入求出x的值，最后结合起始时间计算即可． 【详解】解：观察表格数据发现每过2小时，增加克，即每小时增加6克． ∴与是一次函数关系，设解析式为 ． 将 ， 和，代入得 ， 解得， ∴函数关系式为 ， 令 ，代入函数关系式： 解得， ∵实验开始时间是上午，沉沙时间小时， ∴结束时间为：． 故选：C． 10. 如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ） A. 点与的距离为，点与的距离为 B. 点与的距离为，点与的距离为 C. 点与的距离为，点与的距离为 D. 点与的距离为，点与的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象． 先由勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于，由等面积法得到，则；再证明四边形是矩形，得到；则当时，最小，即此时最小，即的最小值为；得到点与的距离为，点与的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ， 如图所示，连接，过点作于， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴当时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， ∴由函数图象可知点D与E的距离为y，点P与B的距离为x， 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 12. 某校规定学生的学期美术成绩满分为100分，其中平时绘画训练占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小华这学期的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的美术成绩是________分． 【答案】91 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式，是解题的关键．根据加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以其对应的权重，然后求和即可． 【详解】解：小华这学期的美术成绩为： （分）． 故答案为：91． 13. 如图，四边形和四边形分别是菱形与正方形．若，则________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解． 【详解】解：连接， ， 在菱形和正方形中， ∴平分， ∴ ∵， ∴, ∴ ∵ ∴． 14. 已知，则________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的拆分与代数式的求值，熟练掌握分式的拆分变形并结合已知比例代入计算是解题的关键．将所求分式拆分为含的形式，再代入已知的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 15. 一次函数与的图象如图所示，则的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图象可知，的解集，即的解集为. 16. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，计算即可． （2）根据平方差公式，计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：     ． 18. 如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴. 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形，即可得出结论. 【详解】略． 19. 已知一次函数的图象经过和． （1）求关于的函数解析式； （2）画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 【答案】（1） （2），不在 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）列表，描点，连线画图即可，将坐标代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，， ，        解得 ∴一次函数关系式为． 【小问2详解】 解：列表： 0 4 0 当时，， ∴点不在一次函数的图象上． 20. 某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩进行整理分析（测试成绩用表示，：；：；：；：；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生的成绩在组的全部数据：； 抽取的八年级学生的成绩在两组的全部数据：． 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由． 【答案】（1），， （2）解：八年级学生的劳动能力更强，理由如下：七年级和八年级测评成绩的平均数相同，但是八年级学生测评成绩的中位数和众数都高于七年级，故八年级学生的劳动能力更强． 【解析】 【分析】（）根据中位数和众数的定义及扇形统计图解答即可求解； （）根据平均数、中位数和众数的意义即可判断求解． 【小问1详解】 解：∵七年级抽取了名学生的测试成绩， ∴七年级学生测试成绩由低到高排列，中位数为第名学生的测试成绩， 由条形统计图可知，七年级第名学生测试成绩在组，是组数据由小到大排序的第个， ∵组数据由小到大排序为， ∴中位数， 由题意可得，抽取的八年级学生成绩在、组的共有人， ∴八年级组和组学生人数所占百分比为 ， ∴八年级组学生人数所占百分比为 ，即， ∴八年级组学生人数为 人，组学生人数为人， 又由抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据可知：成绩为分的有人，是两组中出现次数最多的，且大于两组人数， ∴八年级学生测试成绩的众数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，分别延长，至点E，D，且，，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的周长为，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后证明是矩形，即可，即可证明四边形是菱形； （2）先求出菱形的边长，再由直角三角形的性质和勾股定理求解，即可求解矩形的面积． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，， 是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可得四边形为菱形， ∵， ，， ∵在中，， ， ∴， ， ． 22. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： ； ； ； ； （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：=___________，=___________． （2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ （3）求出的值． 【答案】（1）， （2）第32个三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解； （2）利用（1）的规律代入求出即可； （3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可． 【小问1详解】 解：因为每一个三角形都是直角三角形， 由勾股定理可求得：，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 当时，有：， 解之得： 即：说明它是第32个三角形； 【小问3详解】 即：的值为． 【点睛】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系． 23. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进，两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 类 类 进货价（元） 25 16 销售价（元） 35 24 （1）第一次，该书店用1960元购进了，两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ （2）第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进，两类图书180本（图书的进货价不变），但类的进货数量不超过类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）书店购进A类图书40本，B类图书60本 （2）书店购进A类图书45本，B类图书135本，获得利润最大，最大利润为1530元 【解析】 【分析】（1）设书店购进A类图书本，则购进B类图书本，列方程组求解即可； （2）设书店购进A类图书本，获得的利润为元，根据题意求出x的取值范围及w的函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：设书店购进A类图书本，则购进B类图书本， 根据题意得       解得， 书店购进A类图书40本，B类图书60本 【小问2详解】 解：设书店购进A类图书本，获得的利润为元， 根据题意得 解得， ， ； 随x的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 此时B类图书有：（本）， 答：书店购进A类图书45本，B类图书135本，获得利润最大，最大利润为1530元． 24. 【问题情境】已知在四边形中，为边上一点（不与点，重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为点． 【问题解决】 （1）如图（1），若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点，写出与相等的角：______（写出一个即可）： 【拓展变式】 （2）如图（2），若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．给出下列结论：①；②是等边三角形；③当，，三点共线时，，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明； （3）如图（3），若四边形是平行四边形，，，点落在线段上，为的中点，连接，，，求的面积． 【答案】（1）（答案不唯一）； （2）选择①： 垂直平分线段， ，，， 由折叠的性质可知， ， ， ， 由折叠性质可知， ， ， 在中，， ， ； 选择②：， 四边形是矩形，垂直平分线段， ， ， 由折叠的性质可知， ， 为等边三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形的特征即可求解； （2）选择①：根据垂直平分线段，结合折叠的性质可得，，在中，根据含30度角的直角三角形的特征即可证明；选择②：根据四边形是矩形，垂直平分线段，结合折叠的性质可得，即可证明为等边三角形； （3）连接，延长至点，使得，连接，由折叠的性质得，易证为等边三角形，推出，在中，求出，，易证，推出，，三点共线，即可得到，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形，点落在对角线上， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）； （2）略 （3）连接， 由折叠的性质得， ， 为等边三角形， ， ， 为的中点， ， 延长至点，使得，连接， 在中，， ，， 四边形是平行四边形，，， ， ，， ， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形综合问题，涉及正方形，矩形，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的特征，折叠的性质，熟练掌握正方形，矩形，平行四边形的性质是解题的关键． 25. 实践与探究：如图（1）有正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部的点处，再将纸片沿过的直线折叠，使与重合．则可得到很多有趣的性质，例如由，可得，，三点共线，我们还可以得到． （1）探究一：如图（2）保持的大小不变，使角的一边交于点，另一边交于点，连结，探究，，满足的数量关系为________________．请证明． （2）探究二：如图（3），过，分别作与边平行的线段，，两线段相交于点，如果正方形的边长，，试求长方形与长方形的面积之比． （3）探究三：如图（3），，是与边平行的线段，如果保持探究二中，矩形与的面积之比不变，是否有也保持不变？请证明你的结论． 【答案】（1）． 证明：延长至使得， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， 在和中， ， ． 即． （2） （3）矩形与的面积之比不变，也保持不变． 证明：由探究二得：矩形的面积是矩形面积的2倍， 设正方形的边长为，，，则，， ， ， 即． 延长至，使，则， ，， ， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）延长至使得，可证，即可求解； （2）根据勾股定理构造方程可知的长度，进而可知面积比； （3）设正方形的边长为，，，则，，根据勾股定理可知，延长至，使，则，证明，，根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由探究一得：， ，， 可设，则， ， 在中，， 即， 解得， 即，， 故有长方形与长方形的面积比为 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）八年级期末试卷数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．试卷共4页，三大题，25小题，另有答题卡． 2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用2B铅笔． 一、选择题（本大题有10题，每题4分，共40分，每题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 3. 如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列各式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平行四边形，下列判断不正确的是（ ） A. 若，则四边形为矩形 B. 若，则四边形为菱形 C. 若，则四边形为正方形 D. 若，则四边形为矩形 6. 跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为小亮绘制的本班学生跳绳次数的箱线图，则该班跳绳次数的上四分位数为（ ） A. 132 B. 136 C. 144 D. 162 8. 已知一次函数， 随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 若本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为克时的时间是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ） A. 点与的距离为，点与的距离为 B. 点与的距离为，点与的距离为 C. 点与的距离为，点与的距离为 D. 点与的距离为，点与的距离为 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 12. 某校规定学生的学期美术成绩满分为100分，其中平时绘画训练占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小华这学期的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的美术成绩是________分． 13. 如图，四边形和四边形分别是菱形与正方形．若，则________． 14. 已知，则________． 15. 一次函数与的图象如图所示，则的解集是______． 16. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在四边形中，，．求证：． 19. 已知一次函数的图象经过和． （1）求关于的函数解析式； （2）画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 20. 某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩进行整理分析（测试成绩用表示，：；：；：；：；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生的成绩在组的全部数据：； 抽取的八年级学生的成绩在两组的全部数据：． 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由． 21. 如图，在中，，分别延长，至点E，D，且，，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的周长为，求四边形的面积． 22. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： ； ； ； ； （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：=___________，=___________． （2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ （3）求出的值． 23. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进，两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 类 类 进货价（元） 25 16 销售价（元） 35 24 （1）第一次，该书店用1960元购进了，两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ （2）第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进，两类图书180本（图书的进货价不变），但类的进货数量不超过类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 24. 【问题情境】已知在四边形中，为边上一点（不与点，重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为点． 【问题解决】 （1）如图（1），若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点，写出与相等的角：______（写出一个即可）： 【拓展变式】 （2）如图（2），若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．给出下列结论：①；②是等边三角形；③当，，三点共线时，，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明； （3）如图（3），若四边形是平行四边形，，，点落在线段上，为的中点，连接，，，求的面积． 25. 实践与探究：如图（1）有正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部的点处，再将纸片沿过的直线折叠，使与重合．则可得到很多有趣的性质，例如由，可得，，三点共线，我们还可以得到． （1）探究一：如图（2）保持的大小不变，使角的一边交于点，另一边交于点，连结，探究，，满足的数量关系为________________．请证明． （2）探究二：如图（3），过，分别作与边平行的线段，，两线段相交于点，如果正方形的边长，，试求长方形与长方形的面积之比． （3）探究三：如图（3），，是与边平行的线段，如果保持探究二中，矩形与的面积之比不变，是否有也保持不变？请证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $