精品解析：福建省厦门市翔安区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

厦门市翔安区2024−2025学年（下）八年级质量检查考试 数学试题 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 考生注意： 1．试卷共4页，三大题，25小题，另有答题卡． 2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用2B铅笔． 一、选择题（本大题有9题，每题4分，共36分，每题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8名的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少． 故选：D． 【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量． 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 5，11，12 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 6，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断． 【详解】解：A、3和不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则． 5. 已知四边形如图所示，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，熟记基本的判定方法是解题关键． 根据平行四边形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，则B选项正确， 故选：B． 6. 某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表： 项目 作品 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】利用加权平均数计算总成绩,比较判断即可 【详解】根据题意,得: 甲：90×60%+90×40%=90； 乙：95×60%+90×40%=93； 丙：90×60%+95×40%=92； 丁：90×60%+85×40%=88； 故选B 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 7. 如果把中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析： 分式的值不变. 故选A. 8. 如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标意义，点A坐标与垂线段有关，过点A向x轴垂线段AE，求得OE、AE的长即可知点A坐标． 【详解】过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO=90°， ∵，∠AEO=90° ∴， ∴ ∵菱形的边长为2即AO=2，∠AEO=90°， ∴，即 解得：． ∴点A坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质，等角对等边，勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键． 9. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据正方形轴对称的性质作出图形，得到的最小值即为线段的长．连接交于，连接，根据轴对称的性质得到，可得，的最小值即为线段的长，根据勾股定理，可求得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴点与点关于对角线对称， ∴， ∴， ∴当点与重合时，有最小值， ∵，， ∴， ∴，即可的最小值是． 故选：C． 二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 11. 某组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是___________，样本容量为___________． 【答案】 ①. 2 ②. 5 【解析】 【分析】本题主要考查了方差公式的认识，熟练掌握方差公式中各参数（平均数、样本容量 ）的含义是解题的关键．根据方差公式的结构，对比方差公式中平均数和样本容量的表示形式，直接确定这组数据的平均数和样本容量． 【详解】解：∵ 与方差公式对比，， 这组数据的平均数是，样本容量为 故答案为：； ． 12. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键．当函数的图象位于函数的图象上方时，满足，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 所以关于的不等式的解集是． 故答案为：． 13. 在平行四边形中，若再增加一个条件__________，使平行四边形能成为矩形（填写一个你认为正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】∵有一个角为的平行四边形为矩形；对角线相等的平行四边形为矩形 ∴可增加一个条件是：或， 故答案为：（答案不唯一）. 14. 初夏时节，正是枇杷成熟的时候，枇杷园给每位入园采摘枇杷的顾客配一个篮子，每位顾客采摘枇杷需付总金额元与采摘枇杷质量的关系如表： 采摘枇杷质量 需付总金额元 请根据上表中的数据写出需付总金额元与采摘枇杷质量之间的关系式：______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是根据图表信息，设函数解析式为：，然后把表的值数值代入，解出，，即可． 【详解】设总金额（元）与采摘琵琶质量的关系式为：， ∴， 解得：， ∴关系式为：． 故答案为：． 15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 16. 已知在平面直角坐标系中，点是函数图像上一点，交轴于点．设点的横坐标为，点的纵坐标为，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的综合应用，先过P作x轴、y轴的垂线，构造正方形以及全等三角形，分和两种情况得出关系式，再根据a的取值范围，求得b的取值范围． 【详解】解：当时，如图，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T， ∵点P在函数的图象上， ∴，且， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点P的横坐标为a， ∴， ∵，点Q的纵坐标为b， ∴， ∴， 又∵，且中，， ∴， 解得，， ∴， 解得； 当时，如图，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T， 同理可得， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，分别对除法、乘法运算进行化简，然后再进行加减计算．先将二次根式的除法转化为被开方数相除的形式，二次根式的乘法转化为被开方数相乘的形式，再化简计算．本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，熟练掌握和这些二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，再把代入化简后的分式中计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得，，，，．试求阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识．先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ，，， ， 是直角三角形，且， 阴影部分的面积． 20. 已知一次函数的图像经过点． （1）求该一次函数的解析式并在平面直角坐标系中，画出该一次函数图像； （2）若点与点都在该函数图像上，且，求的取值范围． 【答案】（1），图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）已知一次函数过点，将点坐标代入函数式，通过解方程求出的值，进而确定解析式；再通过取特殊点（如和 ），列表、描点、连线画出函数图象． （2）先根据一次函数解析式判断其增减性（由的符号确定 ），再结合点、在函数图象上及的条件，利用增减性列出不等式求解的范围． 本题主要考查了一次函数解析式的确定、函数图象的绘制以及一次函数的增减性应用，熟练掌握待定系数法求解析式和一次函数增减性与的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， ． 列表： x 0 2 0 如图： 【小问2详解】 解：由（1）得， 随x的增大而增大，将代入中， 得：， 由得： ， 解得： 21. 已知：如图，在矩形中，，垂足是，点是点关于的对称点，连接． （1）求和的长； （2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）当点分别平移到线段上时，求出相应的的值． 【答案】（1）， （2）当点落在上时，；当点落在上时， 【解析】 【分析】本题考查了轴对称与平移变换、矩形、勾股定理等知识点．在计算过程中，注意识别平移过程中的不变量． （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值； 【小问1详解】 解：在中，， 由勾股定理得： ， 在中，， 由勾股定理得： 【小问2详解】 解：设平移中的三角形为，如图： 由对称点性质可知，． 由平移性质可知，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ， ， 又易知， 为等腰三角形， ， ，即． 22. 某公司有甲、乙两个销售部门负责不同地区的销售业务，公司为了调动各部门销售员的积极性，将根据销售情况对销售员进行奖励．公司对甲、乙两个销售部门各20名销售员当月的销售额进行统计，甲部门的销售员的销售情况如图，乙部门的销售员的销售额的分析结果如表． 平均数 中位数 众数 万元 17万元 17万元 （1）求甲部门销售员当月销售额的众数和平均数； （2）公司决定奖励在各销售部门中销售额排名比较靠前的销售员．小明、小红分别是甲、乙两个部门的销售员，他们这个月的销售额都是18万元，你认为小明和小红谁更有机会获得奖励？并说明理由． 【答案】（1）众数为19万元，平均数为18万元 （2） 认为小红更有机会获得奖励，理由如下： 根据图6中数据可知，甲部门销售员当月销售额的中位数为19万元，小明的销售额是18万元，按销售额排名在12位， 根据表二数据可知，乙部门销售员当月销售额的中位数为17万元，小红的销售额也是18万元，按销售额排名在第10位之前， 相较之下小红在自己部门的排名更靠前，所以小红更有机会获得奖励． 【解析】 【分析】本题考查了求众数、平均数、利用中位数决策，解题的关键是求出相应的数据， （1）直接利用众数、平均数的概念，结合条形图进行求解即可； （2）利用中位数进行决策即可． 【小问1详解】 解：根据图6中数据，甲部门销售员当月销售额的众数为19万元； 甲部门销售员当月销售额的平均数为： （万元）． 所以甲部门销售员当月销售额的众数为19万元，平均数为18万元． 【小问2详解】 略 23. 如图，已知矩形的平分线交的延长线于点E． （1）尺规作图：过点B作的垂线交于点G（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图形中，连接，若平分，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，画弧交于两点，再以这两个交点为圆心画弧交于一点，连接B与这点，并延长交于于一点，即为G； （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出，再证明因为四边形是矩形，所以 ，用等角对等边，得，结合，则结合勾股定理，得，，因为，所以，即可作答． 本题考查了尺规作图——作垂线，角平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图（1）所示，即为所求． 【小问2详解】 证明：如图（2）， ∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ， ∵， ∴ 24. 随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用6000元购进了若干台A型打印机，用10000元购进了相同数量的B型打印机．已知B型打印机比A型打印机的单价贵200元． （1）B型打印机的单价是多少元？ （2）为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过20台，则每台B型打印机享九折优惠；若一次性购买超过20台，则前20台享九折优惠，超过的部分享八折优惠．设购买B型打印机x台，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式． （3）在（2）的优惠方案下，若购买A型、B型打印机共35台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】（1）500 （2） （3）购买A型打印机14台，B型打印机21台．最少花费13600元． 【解析】 【分析】（1）根据两种打印机购买的数量相同建立分式方程即可求解． （2）分购买B型打印机20台以下与超过20台两种情况予以讨论． （3）根据题意先确定购买B型打印机的台数的范围，然后列出购买两种打印机所需的总费用的函数解析式，利用函数的增减性与自变量的范围进行最小值的讨论． 【小问1详解】 设B型打印机的单价为x元，则A型打印机的单价为元，根据题意可列方程： 解得： 答：B型打印机的单价为500元． 【小问2详解】 根据题意，当一次性购买B型打印机不超过20台时，即时，； 当一次性购买B型打印机超过20台时，即时，； ∴y关于x的函数关系式是： 【小问3详解】 设购买B型打印机x台时，才能使花费最少，则购买A型打印机为台，依据题意得：， 解得： 设购买两种型号的打印机，总花费为y元，因 ，所以B型打印机花费元，A型打印机花费元， ∴ 即 因为一次函数，y随x的增大而增大， 故当x=21时，y值最小．此时 最小值为 即购买A型打印机14台，B型打印机21台时，花费最少，最少花费13600元． 【点睛】本题考查了分式方程与一次函数的应用，解题的关键是正确列出分式方程与函数解析式． 25. 四边形和都是正方形，直线，交于点． 【问题解决】 （1）如图1，点在边上，判断线段和的关系说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为，在正方形的旋转过程中，请探究出点与点的距离． 【答案】（1），理由见解析（2）①成立，理由见解析 ② 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证明和全等，可得，即可求解； （2）①证明设交于点I，则，和全等，可得，即可求解； ②连接．根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， ∵点G在边AB上， ∴点E，A，D三点在同一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①成立，理由如下： 如图，设交于点I，则， ∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市翔安区2024−2025学年（下）八年级质量检查考试 数学试题 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 考生注意： 1．试卷共4页，三大题，25小题，另有答题卡． 2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用2B铅笔． 一、选择题（本大题有9题，每题4分，共36分，每题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 5，11，12 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 6，12，13 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形如图所示，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表： 项目 作品 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如果把中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 扩大4倍 8. 如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 11. 某组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是___________，样本容量为___________． 12. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是______． 13. 在平行四边形中，若再增加一个条件__________，使平行四边形能成为矩形（填写一个你认为正确的即可）． 14. 初夏时节，正是枇杷成熟的时候，枇杷园给每位入园采摘枇杷的顾客配一个篮子，每位顾客采摘枇杷需付总金额元与采摘枇杷质量的关系如表： 采摘枇杷质量 需付总金额元 请根据上表中的数据写出需付总金额元与采摘枇杷质量之间的关系式：______ ． 15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 16. 已知在平面直角坐标系中，点是函数图像上一点，交轴于点．设点的横坐标为，点的纵坐标为，若，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得，，，，．试求阴影部分的面积． 20. 已知一次函数的图像经过点． （1）求该一次函数的解析式并在平面直角坐标系中，画出该一次函数图像； （2）若点与点都在该函数图像上，且，求的取值范围． 21. 已知：如图，在矩形中，，垂足是，点是点关于的对称点，连接． （1）求和的长； （2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）当点分别平移到线段上时，求出相应的的值． 22. 某公司有甲、乙两个销售部门负责不同地区的销售业务，公司为了调动各部门销售员的积极性，将根据销售情况对销售员进行奖励．公司对甲、乙两个销售部门各20名销售员当月的销售额进行统计，甲部门的销售员的销售情况如图，乙部门的销售员的销售额的分析结果如表． 平均数 中位数 众数 万元 17万元 17万元 （1）求甲部门销售员当月销售额的众数和平均数； （2）公司决定奖励在各销售部门中销售额排名比较靠前的销售员．小明、小红分别是甲、乙两个部门的销售员，他们这个月的销售额都是18万元，你认为小明和小红谁更有机会获得奖励？并说明理由． 23. 如图，已知矩形的平分线交的延长线于点E． （1）尺规作图：过点B作的垂线交于点G（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图形中，连接，若平分，求证：． 24. 随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用6000元购进了若干台A型打印机，用10000元购进了相同数量的B型打印机．已知B型打印机比A型打印机的单价贵200元． （1）B型打印机的单价是多少元？ （2）为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过20台，则每台B型打印机享九折优惠；若一次性购买超过20台，则前20台享九折优惠，超过的部分享八折优惠．设购买B型打印机x台，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式． （3）在（2）的优惠方案下，若购买A型、B型打印机共35台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？ 25. 四边形和都是正方形，直线，交于点． 【问题解决】 （1）如图1，点在边上，判断线段和的关系说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为，在正方形的旋转过程中，请探究出点与点的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $