精品解析：山东省菏泽市单县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题 注意事项： 1．本试题共23道题，满分120分，考试时间120分钟； 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5 mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置．） 1. 下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同． 【详解】解：只有C选项的标志的图案可以看作由一个基本图形（圆环）沿直线方向平移得到 ． 2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2． 【详解】解：选项A：，根指数为2，被开方数中，，因此，无论取何值，该式子均有意义，故符合题意； 选项B：，根指数为3，属于三次根式，不符合题意； 选项C：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式，不符合题意； 选项D：，根指数为2，但被开方数需满足，当时无意义，因此不满足“一定”是二次根式的条件，不符合题意； 3. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，原点的对称变换规则为：若原坐标为，则对称后的坐标为，即需将原坐标的横坐标和纵坐标均取相反数． 【详解】将代入规则，横坐标变为，纵坐标变为，因此的坐标为，对应选项B． 故选：B． 4. 若一次函数的图象经过一、三、四象限，则k的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“⇔的图象在一、三、四象限”是解题的关键． 由一次函数的图象经过一、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴， ∴． 故选：B． 5. 小明与小华本学期都参加了5次数学考试(总分均为100分)，数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的(　　) A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度；方差越小，数据越稳定，即可判断. 【详解】要判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明和小华这5次数学成绩的方差．方差能反映数据的波动大小，故判断小明和小华的数学成绩是否稳定，应知道方差． 故选B. 【点睛】此题主要考查方差的定义，解题的关键是熟知方差的定义. 6. 如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的中点，测量尺的零刻度与点重合．现测得的长为，则内槽宽的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线，掌握三角形中位线的特点是解题的关键． 【详解】，分别为，的中点， 是的中位线， ， ， 故选． 7. 4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A. 物资车往返总路程为 B. 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度 C. 物资车中途卸货停留0.5小时 D. 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度逐渐变小 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合图象逐项分析即可. 【详解】解：物资车往返总路程为，故A不符合题意； 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度为， 出发后第1个小时内的速度为， 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度，故B不符合题意； 物资车中途卸货停留0.5小时，故C不符合题意； 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故D符合题意． 8. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 9. 如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象得：当时，正比例函数的图象位于一次函数的图象上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，正比例函数的图象位于一次函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键． 10. 如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线以及三角形三边关系，确定线段取最小值时的情形，即可求得线段长度的最小值． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵绕顶点逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 在中，， 当，，三点共线时，点在线段上，即在，中间时，线段有最小值， ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 【答案】中位数 【解析】 【分析】15个不同成绩排序后，第8名的成绩为中位数，可据此判断该学生能否获奖． 【详解】解：由题意可知，15名学生决赛成绩各不相同，将成绩从小到大排列后，第8个数据为这组数据的中位数． 本次比赛前八名获奖，因此该学生将自己的成绩与中位数比较，即可判断是否获奖． 因此这名学生还需要了解这15名学生成绩的中位数． 12. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，如果平移距离为3，那么点A与点G的距离为__ ． 【答案】12 【解析】 【分析】根据平行的性质进行计算即可． 【详解】解：由平移可知，． ∵E是的三等分点且， ∴， ∴， 即点A与点G的距离为12． 13. 已知甲、乙两个函数图象上部分点的横坐标与对应的纵坐标分别如下表所示．若这两个函数图象仅有一个交点，则交点的坐标是________． 甲 乙 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 3 2 1 0 【答案】 【解析】 【分析】根据表格数据，找出两个函数中横坐标相同且纵坐标也相同的点，结合两个函数仅有一个交点的条件，即可得到交点坐标． 【详解】解：由表格可得，当时，甲函数对应的纵坐标，乙函数对应的纵坐标，即点同时在甲、乙两个函数的图象上，因此交点坐标为． 14. 已知关于的一次函数，若这个函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的图象性质，函数图象不经过第一象限，可得一次项系数小于0，常数项小于等于0，列不等式组求解即可. 【详解】解： 函数是关于的一次函数，且图象不经过第一象限， ， 解得． 15. 如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接EF，给出四种情况： ①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则； ③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．正确的有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】此题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则 ，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定正确；熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴ 四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即的值为定值，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有，共个， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）． 16. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据绝对值意义，零指数幂运算法则，二次根式乘法运算法则，进行计算即可； （2）先求出，的值，然后将变形，最后整体代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ． 17. 已知，一次函数的图象经过点与点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点和点在一次函数的图象上，请比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数表达式，一次函数的性质，正确求出函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：因为直线经过点与点， 所以， 解方程组得 所以该一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：因为，y随x的增大而增大， 又因为，所以． 18. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族优秀传统文化，某校举办了以“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”为主题的古诗词知识竞赛，现从八、九年级的参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用表示，总分为100分，共分成四组：A：；B：；C：；D：），下面给出部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩为：69，72，72，79，85，88，91，91，91，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 86.5 九年级 83.5 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）求统计表中、的值； （2）若该校八年级的参赛学生有300人，九年级的参赛学生有240人，请估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”的共有多少人？ 【答案】（1）91， （2）324人 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）利用该校八年级的参赛学生人数乘以其成绩达到优秀的学生人数所占百分比、该校九年级的参赛学生人数乘以其成绩达到优秀的学生人数所占百分比，再求和即可． 【小问1详解】 解：∵在八年级10名学生的竞赛成绩中，91出现了3次，次数最多， ∴其众数； 九年级10名学生的竞赛成绩在A组的人数为（人），在B组的人数为（人），在C组的人数为5人，在D组的人数为（人）， ∵九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是83，88，88，88，89，且，， ∴将九年级10名学生的竞赛成绩从小到大进行排序后，第5个数是83，第6个数是88， ∴其中位数． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”的共有324人． 19. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接，连接，交于点F，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【详解】证明：在菱形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． 在菱形中，， ∴，， ∴在矩形中，， 在中，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键． 20. 2026央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具．已知一个种机器人玩具价格为50元，一个种机器人玩具价格为60元．该玩具店欲购进，两种机器人玩具共40个，且种机器人玩具的数量不超过种机器人玩具数量的3倍，那么购进种机器人玩具和种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】购进种机器人玩具30个，种机器人玩具10个时，花费最少；最少花费为2100元 【解析】 【分析】设该玩具店购进，两种机器人玩具的花费为元，购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个（其中为正整数），先建立与之间的函数关系式，再求出的取值范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设该玩具店购进，两种机器人玩具的花费为元，购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个（其中为正整数）， 由题意得：， ∵要购进，两种机器人玩具，且种机器人玩具的数量不超过种机器人玩具数量的3倍， ∴， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为， 此时， 答：购进种机器人玩具30个，种机器人玩具10个时，花费最少；最少花费为2100元． 21. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，利用矩形性质得，证明，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可； （2）设，则，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22. 【活动回顾】 在一元一次不等式和一次函数学习中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”．了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，一次函数（）的图象经过点，且，则不等式的解集是________． （2）如图2，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是________． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是________． ②连接，直线上是否存在一点，使？若存在，求点的坐标，如不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）①；②存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）不等式的解集即为直线在轴下方时对应的交点横坐标的取值范围； （2）不等式的解集即为直线在直线上方时，对应交点的横坐标的取值范围； （3）①不等式组的解集即为直线与直线在轴下方时对应交点的横坐标的取值范围取公共解集； ②先由待定系数法求解两个函数的表达式，再求出交点坐标，然后设，再根据面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴由题意得，， ∴不等式的解集是； 【小问2详解】 解：∵一次函数与的图象相交于点， ， 解得， ， ∴不等式的解集是； 【小问3详解】 解：①∵一次函数与轴相交于点与轴相交于点， ∴结合图象可得，不等式组的解集为； ②存在， ∵直线与轴相交于点，一次函数与轴相交于点， ， 解得， ∴直线， 联立两条直线的表达式得到，， 解得， ， 设， ， ， 解得或， ∴P点坐标为或． 23. 综合与实践 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将已知条件集中或转化，以达到解决问题的目的． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，根据的取值范围可以解得的取值范围．请画出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图2，为等边内一点，满足， ，，求的大小．这个问题可以将绕点逆时针旋转求解，下面是小明的部分解答过程： 解：将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ． …… 请补全余下的解答过程； 【问题拓展】（3）如图3，点，分别在正方形的边与上，且满足，，，求的长． 【答案】（1）图见解析，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，由旋转得到，，证明四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，由旋转可知， 是等边三角形，得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可得； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到，先证明，进而可得，由此得出 【详解】解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴的取值范围为； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点在的延长线上，， ∴， ， ∴． 在与中， ∴． ∴ 【点睛】本题考查旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是旋转构造全等进行转换． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题 注意事项： 1．本试题共23道题，满分120分，考试时间120分钟； 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5 mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置．） 1. 下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数的图象经过一、三、四象限，则k的取值为（ ） A. B. C. D. 5. 小明与小华本学期都参加了5次数学考试(总分均为100分)，数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的(　　) A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 6. 如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的中点，测量尺的零刻度与点重合．现测得的长为，则内槽宽的长为（ ） A. B. C. D. 7. 4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A. 物资车往返总路程为 B. 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度 C. 物资车中途卸货停留0.5小时 D. 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度逐渐变小 8. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 13 9. 如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 12. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，如果平移距离为3，那么点A与点G的距离为__ ． 13. 已知甲、乙两个函数图象上部分点的横坐标与对应的纵坐标分别如下表所示．若这两个函数图象仅有一个交点，则交点的坐标是________． 甲 乙 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 3 2 1 0 14. 已知关于的一次函数，若这个函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是________． 15. 如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接EF，给出四种情况： ①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则； ③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．正确的有______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）． 16. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）已知，，求的值． 17. 已知，一次函数的图象经过点与点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点和点在一次函数的图象上，请比较与的大小． 18. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族优秀传统文化，某校举办了以“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”为主题的古诗词知识竞赛，现从八、九年级的参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用表示，总分为100分，共分成四组：A：；B：；C：；D：），下面给出部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩为：69，72，72，79，85，88，91，91，91，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 83.5 86.5 九年级 83.5 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）求统计表中、的值； （2）若该校八年级的参赛学生有300人，九年级的参赛学生有240人，请估计该校八、九年级参赛学生的竞赛成绩达到“优秀”的共有多少人？ 19. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接，连接，交于点F，若，，求的长． 20. 2026央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具．已知一个种机器人玩具价格为50元，一个种机器人玩具价格为60元．该玩具店欲购进，两种机器人玩具共40个，且种机器人玩具的数量不超过种机器人玩具数量的3倍，那么购进种机器人玩具和种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 21. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 【活动回顾】 在一元一次不等式和一次函数学习中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”．了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，一次函数（）的图象经过点，且，则不等式的解集是________． （2）如图2，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是________． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是________． ②连接，直线上是否存在一点，使？若存在，求点的坐标，如不存在，说明理由． 23. 综合与实践 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将已知条件集中或转化，以达到解决问题的目的． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，根据的取值范围可以解得的取值范围．请画出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图2，为等边内一点，满足， ，，求的大小．这个问题可以将绕点逆时针旋转求解，下面是小明的部分解答过程： 解：将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ． …… 请补全余下的解答过程； 【问题拓展】（3）如图3，点，分别在正方形的边与上，且满足，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $