第18讲 角的比较与运算 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第18讲 角的比较与运算 目录 知识点1 角的大小比较两种方法 2 知识点2 角的和差关系 2 知识点3 三角板固定角度组合 3 知识点4 度分秒四则运算规则 3 知识点5 角平分线核心内容（必考） 3 知识点6 角n等分线性质 3 知识点7 两大压轴模型核心结论 3 题型1 角的比较 4 题型2 三角板中角度计算问题 5 题型3 几何图形中角度计算问题 6 题型4 角度的四则运算 7 题型5 实际问题中角度计算问题 7 题型6 角平分线的有关计算 10 题型7 角n等分线的有关计算 11 题型8 压轴题型——三角板旋转模型 12 题型9 压轴题型——双角平分线模型 15 1. 知识目标：掌握角的两种比较方法，熟练掌握角的和、差、倍、分运算及度分秒四则运算规则；理解角平分线、角n等分线的定义与核心性质，熟记三角板固定角度、双角平分线、三角板旋转三大必考模型。 2. 能力目标：能精准比较角的大小，熟练解决常规图形角度计算、三角板拼接计算、实际场景角度计算问题；掌握角等分线基础计算，攻克双角平分线、三角板旋转两大期末压轴题型，规范几何推理步骤。 3. 素养目标：延续几何数形结合思想，培养角度推理、分类讨论、动态图形分析能力，规范几何语言书写，夯实初中角度几何计算与压轴解题思维。 知识点1 角的大小比较两种方法 1.度量法：用量角器测量出两个角的度数，通过数值大小直接比较，度数越大，角越大，适用于所有角度精准比较。 2. 叠合法（几何标准法）：将两个角顶点重合、一条边重合，另一条边落在重合边同侧，根据终边位置判断：终边重合两角相等；终边在内部角更小；终边在外部角更大。 核心结论：角的大小只与两边张开程度有关，与边的长短无关。 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点2 角的和差关系 1. 共顶点同侧两角：若射线OC在∠AOB内部，则：，，； 2. 多角叠加：同一顶点多条射线分割的角，可拆解为多个小角之和，是角度计算的核心依据。 知识点3 三角板固定角度组合 1. 等腰直角三角板：45°、45°、90°； 2. 细长三角板：30°、60°、90°； 3. 可拼出常用角度：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°，均为15°的整数倍。 知识点4 度分秒四则运算规则 1. 进率：六十进制，，； 2. 加减：同级单位运算，满60进1，不够减向前一级借1当60； 3. 乘除：分别计算度、分、秒，逐级进位、退位，保留规范单位格式。 知识点5 角平分线核心内容（必考） 若OC平分∠AOB，则有三个等价结论：、、。 知识点6 角n等分线性质 从角的顶点出发，将角平均分成n等份的射线为n等分线；常见三等分、四等分，每一份角度为原角的，可多层拆分计算。 知识点7 两大压轴模型核心结论 1. 双角平分线模型：同一顶点，相邻两角的角平分线夹角 = 总角的一半；拆分角、组合角均满足半角规律； 2. 三角板旋转模型：旋转过程中，三角板固定角度不变，利用角度和差、定值规律、临界位置求解动态角度。 题型1 角的比较 解题技巧（双法判定）：1. 粗略判断：目测两边张开幅度，快速区分大小；2. 精准判断：度量法测度数，数值比对无误差；3. 图形推理：利用叠合法、角的和差关系，无需测量即可判定大小；4. 核心误区规避：不被角的边长误导，只看张开程度。 秒杀口诀：边长无关看开口，度数越大角越大。 【典例1】．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【变式1】．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【变式2】．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【变式3】．若，，则________．（填“”或“”或“”） 题型2 三角板中角度计算问题 解题技巧（固定组合法）：1. 熟记两套三角板固定角度，直接套用；2. 拼接叠加：两角相加求组合角，两角相减求差值角；3. 重叠题型：总角度减去重叠部分角度，得剩余角度；4. 快速判定：所有拼接角度必为15°整数倍，可用于验算答案正误。 高频组合：75°(30+45)、105°(60+45)、120°(90+30)、135°(90+45)、150°(90+60)。 【典例2】．如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 【变式3】．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 题型3 几何图形中角度计算问题 解题技巧（和差拆解法）：1. 观察射线位置，判断角的叠加、包含关系；2. 大角拆小角、小角拼大角，逐步推导未知角；3. 结合直角90°、平角180°、周角360°固定值辅助计算；4. 多射线图形分层拆解，逐个求出中间角，避免跳步出错。 解题核心：所有静态图形角度，均可通过和差关系层层推导。 【典例3】．如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图所示，把平角放置在量角器上，与量角器的中心重合，射线，分别对准刻度和，在内部作射线，使平分，则的度数为________． 【变式3】．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 题型4 角度的四则运算 解题技巧（六十进制规范运算）：1. 加减运算：度对度、分对分、秒对秒，满60进1，不够借1当60；2. 乘法运算：分别相乘，从秒开始逐级进位；3. 除法运算：从度开始依次除，余数换算为下一级单位；4. 结果化简：保证分、秒数值小于60，格式规范统一。 易错警示：严禁十进制运算，六十进制进退位是核心扣分点。 【典例4】．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，是直线上一点，是的平分线，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【变式3】．度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 题型5 实际问题中角度计算问题 解题技巧（建模转化法）：1. 场景转化：将钟表、方向、折叠、实物夹角转化为几何角；2. 画图辅助：根据题意画出射线、夹角，明确已知角度；3. 套用平角、直角、周角固定值，结合和差运算求解；4. 结合生活常识校验结果，杜绝超范围角度。 常见场景：钟面夹角、方位夹角、折叠角度、工具开合角度。 【典例5】．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【变式1】．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【变式2】．【问题背景】如图1，设一钟表中心为点O，已知时针长为10厘米，分针长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置． (1)每经过1小时，时针转______度，每经过1分钟，分针转______度； (2)【迁移应用】如图2，若钟面上还有一损坏的秒针，该秒针指向“3”保持不动，请问几分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角？ (3)【创新应用】如图1，从12点整开始，两动点M，N分别从点和点出发，点按照的路线移动，点按照的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点时为1厘米/分钟，远离点时为2厘米/分钟，每次时针与分针共线时，动点M，N的运动方向立刻反向，设运动时间为分钟： ①求动点M，N第一次相遇的时间，以及此时分针与时针的夹角； ②请直接写出动点M，N第二次、第三次相遇的时间． 【变式3】．【材料阅读】如图1，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1． （1）若要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，则可将点B向左移动 个单位长度； （2）若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒6个单位长度和每秒5个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为 ， ， （用含t的代数式表示）； ②记点P与点Q之间的距离为d，点Q与点R之间的距离为m，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线的夹角为？ 【生活运用】周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 题型6 角平分线的有关计算 解题技巧（半角代换法）：1. 看到平分线直接写等量关系：平分得两角相等、半角关系；2. 已知大角求小角除以2，已知小角求大角乘2；3. 多层嵌套：先拆分外层角，再求解内层平分角；4. 无图题型分类讨论：射线在角内、角外两种情况，避免漏解。 万能思路：平分线=二等分，全程等量代换，简化计算。 【典例6】．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，平分，平分，则的度数为______． 【变式2】．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【变式3】．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型7 角n等分线的有关计算 解题技巧（份数秒杀法）：1. n等分即平均分成n份，单份角度=原角度÷n；2. 优先设份数，用份数表示各角，再代入数值计算；3. 区分位置：靠近顶点、靠边等分线的不同角度取值；4. 多等分叠加：逐层计算每一段等分角，分步求解。 适用场景：三等分、四等分高频考查，份数法可大幅降低计算难度。 【典例7】．，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【变式2】．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【变式3】．通过本学期的学习，我们已经知道“如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等角，那么这条射线叫做这个角的平分线”．类似，我们规定：“如果从角的顶点出发的两条射线把这个角分成三个相等角，那么这两条射线都称为这个角的三等分线”．例如：如图，射线，在内，且，那么是的三等分线，也是的三等分线． (1)如图，，，判断是否是的三等分线，并说明理由． (2)在（）的条件下，若是的三等分线，求的度数． (3)在（）的条件下，如图，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，到达后停止．在射线出发秒后，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，到达后立即绕逆时针旋转，速度不变，到达后停止运动．当从出发时，开始计时，设时间为秒．当为的三等分线时，直接写出的值． 题型8 压轴题型——三角板旋转模型 解题技巧（动态定值分析法）：1. 抓不变量：旋转过程中三角板自身角度始终不变；2. 找动态关系：旋转角度为变量，结合平角、直角、和差关系列式；3. 分段讨论：旋转未重叠、刚好重叠、旋转超出区间三段临界状态；4. 定值求解：多数题型存在固定不变的夹角，无需逐一代值计算。 压轴核心：动静结合，以不变的三角板角度，解动态旋转角度。 【典例8】．探究与发现 在数学实验课上，学习小组准备研究如下问题：将一副三角板的一个顶点重合在一点，产生重合角和非重合的角，然后研究这些角之间的关系． 【操作发现】 （1）小组成员小明按图1摆放两块三角板，一块含角和另一块含角的顶点重合于点O． ①的度数为______．（用含的代数式表示）； ②小明发现，总是保持不变，这个固定的差值是______． 【问题探究】 （2）小芳受到启发，继续探究：将等腰直角三角板固定不动（），再把另一块三角板的角顶点重合于点O，两块三角板有重合角．这时小芳让这块三角板绕着点O旋转，她发现和仍有一定的固定关系．请你说一下她发现了什么关系呢？并说明理由． 【拓展延伸】 （3）学习小组进一步探究：将等腰直角三角板固定不动，用含的三角板的任意一角的顶点与等腰直角三角板的直角顶点O重合．当满足时，求的度数． 【变式1】．（1）如图，两个形状、大小完全相同的含有，的三角板按如图所示放置，、与直线重合，且三角板和三角板均可以绕点逆时针旋转．的度数为_____； （2）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分，求的度数． （3）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．在两块三角板旋转过程中（转到重合时，两三角板都停止转动），设两块三角板旋转的时间为，试说明为定值． 【变式2】．如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点A重合，点E落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于180°）． (1)如图2，若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为________°，的度数为________°，此时________． (2)若将三角板绕点A顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【变式3】．根据以下素材，探索完成任务． 操作三角板，理解几何图形关系 素材 三角板作为基础几何工具，其摆放位置的变化蕴含着丰富的几何知识．如图是一副三角板，，，，，．    问题解决 任务图 任务1 某同学在数学实验课上将一副三角板按图1、图2所示摆放，使得边与边重合，在上述所拼图形中，图1中．的度数为________°，图2中的度数为________°． 任务2 将三角板按图2摆放（点C与E重合），现将三角板绕着点C以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转过程中，当边所在的直线恰好平分时，旋转的时间是多少秒？ 任务3 将三角板按图3摆放（点C与E重合），，现将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板也绕着点C以每秒的速度顺时针旋转，当三角板旋转一周时，两个三角板同时停止运动．在旋转过程中，当边所在直线与边所在直线垂直时，旋转的时间是多少秒？ 题型9 压轴题型——双角平分线模型 解题技巧（模型定值秒杀）：1. 模型识别：同一个顶点，两个相邻角分别作角平分线；2. 核心定值：平分线夹角 = 总角度的一半，与中间射线位置无关；3. 内外通用：射线在角内、角外、延长线上，半角结论不变；4. 大题步骤：先写平分性质，再通过角度和差推导定值，小题直接口算出结果。 期末必考结论：双分一半，动点不动，角度恒定。 【典例9】．在深圳坪山无人机表演编程中，控制飞行路径（线段）和灯光射束（角）有相似的数学原理．请根据下表的对比，迁移研究线段的思路来研究角． 研究主题 飞行路径（线段） 灯光射束（角） 【中点问题】 若无人机的飞行轨迹线段的中点为，则 （1）若无人机射束的最大开角的角平分线为，则___________． 【三等分点问题】 若线段中有一组点，将分为相等的三条线段，则称这组点为的三等分点． 若中有一组射线，将分为相等的三个角，则称这组射线为的三等分线． 【三等分点问题】 （2）①如图所示，若线段点是上最靠近点的一个三等分点，取的中点和的中点，则___________ ②如图所示，若，是最靠近的一条三等分线，作的角平分线和的角平分线，则___________ 【动态变化问题】 （3）①在线段上，若无人机从点出发，全程匀速移动到点再返回至点，则无人机会经过线段的三等分点4次． ②根据①的提示，若，无人机动态激光从出发，绕点以每分钟的速度匀速旋转至OB再返回，激光过多少分钟会经过的三等分线？ 【等分点问题】 （4）①若在线段上，点是最靠近点的一个等分点，，取的中点和的中点，则___________（用含的代数式表示） ②若是最靠近的一条等分线，，作的角平分线和的角平分线，则___________（用含的代数式表示） 【变式1】．点为直线上一点，在直线同侧作射线，，使得． (1)如图1，过点作射线使得射线为的角平分线，且，求的度数． (2)如图2，过点作射线使得射线为的角平分线，过点作射线使得射线为的角平分线，求的度数． 【变式2】．如图1，，，分别为和的角平分线． (1)若，则 °； (2)如图2，从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒的速度旋转；当与重合时，立即反向绕点O顺时针以每秒的速度旋转，直到与互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，的大小不变，旋转后的对应射线记为，旋转后的对应射线记为，的角平分线记为，的角平分线记为．设运动时间为t秒． ①当平分时，求出对应的t的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由． 【变式3】．已知直线与相交于点，点，分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点，若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点，的角平分线所在的直线与的角平分线相交于点，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 1．将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（   ） A．射线在内 B．射线在外 C．射线与射线重合 D．射线与射线重合 3．下列选项中，不能用一副三角板画出的角是（   ） A．的角 B．的角 C．的角 D．的角 4．已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 5．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若的度数为，则用含的代数式表示的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，剪刀张开角度，射线与剪刀上半部分的夹角，则（     ） A． B． C． D． 7．一束光从空气斜射入水中，入射光线和折射光线如图所示，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，以灯塔O为中心，A港口在灯塔的北偏东方向上，B港口在灯塔的北偏西方向上，点C在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 10．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 11．如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 12．已知和的两边分别互相平行，且比的2倍少，的度数为______． 13．如图，中，，、是线段上的两个动点，连接，；在线段上再取两点，，连接，，使得，．若，则______________． 14．如图1，含有的直角三角板的边在直线上，如图2，将三角板绕点A以每秒的速度沿顺时针方向旋转t秒，旋转以后的射线记为，旋转以后的线段记为，当落在上时停止转动，在运动的过程中，射线平分，射线平分，当时，则t为______ ． 15．如图，是内部的一条射线，、分别平分、，平分．下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号____________． 16．计算： (1)． (2)． 17．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数． 18．如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上（），是射线，且，，并求出的度数（用含α或β的式子表示）． 19．如图，已知，平分，且，求的大小． ∵， ∴设，则， ∴________x． ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得， ∴． 20．如图，已知射线、、在内部，平分，平分，且，若，求的度数． 21．【问题解决】 （1）如图1，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． ①直接写出线段_________， _________； ②求线段的长． 【类比探究】 （2）如图2，已知，、均为内的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①直接写出_________，_________； ②求的度数． 22．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 23．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． (1)的度数是__________． (2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒． (3)当为何值时，，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由． 24．按要求完成下列各题： (1)如图，正方形的四个内角，，，均为直角，边在直线上，的平分线交正方形的边于点P．的度数为 ；与的度数之间的关系为 ． (2)将正方形绕点A旋转至如图②所示的位置，此时，的平分线交正方形的边于点P，请探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． (3)将正方形绕点A旋转至如图③的位置，平分，请探究与的度数之间的关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 角的比较与运算 目录 知识点1 角的大小比较两种方法 2 知识点2 角的和差关系 2 知识点3 三角板固定角度组合 3 知识点4 度分秒四则运算规则 3 知识点5 角平分线核心内容（必考） 3 知识点6 角n等分线性质 3 知识点7 两大压轴模型核心结论 3 题型1 角的比较 4 题型2 三角板中角度计算问题 6 题型3 几何图形中角度计算问题 8 题型4 角度的四则运算 11 题型5 实际问题中角度计算问题 13 题型6 角平分线的有关计算 20 题型7 角n等分线的有关计算 23 题型8 压轴题型——三角板旋转模型 30 题型9 压轴题型——双角平分线模型 40 1. 知识目标：掌握角的两种比较方法，熟练掌握角的和、差、倍、分运算及度分秒四则运算规则；理解角平分线、角n等分线的定义与核心性质，熟记三角板固定角度、双角平分线、三角板旋转三大必考模型。 2. 能力目标：能精准比较角的大小，熟练解决常规图形角度计算、三角板拼接计算、实际场景角度计算问题；掌握角等分线基础计算，攻克双角平分线、三角板旋转两大期末压轴题型，规范几何推理步骤。 3. 素养目标：延续几何数形结合思想，培养角度推理、分类讨论、动态图形分析能力，规范几何语言书写，夯实初中角度几何计算与压轴解题思维。 知识点1 角的大小比较两种方法 1.度量法：用量角器测量出两个角的度数，通过数值大小直接比较，度数越大，角越大，适用于所有角度精准比较。 2. 叠合法（几何标准法）：将两个角顶点重合、一条边重合，另一条边落在重合边同侧，根据终边位置判断：终边重合两角相等；终边在内部角更小；终边在外部角更大。 核心结论：角的大小只与两边张开程度有关，与边的长短无关。 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点2 角的和差关系 1. 共顶点同侧两角：若射线OC在∠AOB内部，则：，，； 2. 多角叠加：同一顶点多条射线分割的角，可拆解为多个小角之和，是角度计算的核心依据。 知识点3 三角板固定角度组合 1. 等腰直角三角板：45°、45°、90°； 2. 细长三角板：30°、60°、90°； 3. 可拼出常用角度：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°，均为15°的整数倍。 知识点4 度分秒四则运算规则 1. 进率：六十进制，，； 2. 加减：同级单位运算，满60进1，不够减向前一级借1当60； 3. 乘除：分别计算度、分、秒，逐级进位、退位，保留规范单位格式。 知识点5 角平分线核心内容（必考） 若OC平分∠AOB，则有三个等价结论：、、。 知识点6 角n等分线性质 从角的顶点出发，将角平均分成n等份的射线为n等分线；常见三等分、四等分，每一份角度为原角的，可多层拆分计算。 知识点7 两大压轴模型核心结论 1. 双角平分线模型：同一顶点，相邻两角的角平分线夹角 = 总角的一半；拆分角、组合角均满足半角规律； 2. 三角板旋转模型：旋转过程中，三角板固定角度不变，利用角度和差、定值规律、临界位置求解动态角度。 题型1 角的比较 解题技巧（双法判定）：1. 粗略判断：目测两边张开幅度，快速区分大小；2. 精准判断：度量法测度数，数值比对无误差；3. 图形推理：利用叠合法、角的和差关系，无需测量即可判定大小；4. 核心误区规避：不被角的边长误导，只看张开程度。 秒杀口诀：边长无关看开口，度数越大角越大。 【典例1】．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【答案】A 【详解】解：当点A从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 【变式1】．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． 【变式2】．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线．取格点E，使，作射线，则，然后比较和的大小，根据等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，取格点E，使，作射线， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】．若，，则________．（填“”或“”或“”） 【答案】> 【分析】本题考查了角的大小，与角的换算，解题的关键在于度与分的换算关系． 将两个角的单位统一为度分形式，再依据角的大小比较规则进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 则. 又因为，， 所以． 故答案为：>． 题型2 三角板中角度计算问题 解题技巧（固定组合法）：1. 熟记两套三角板固定角度，直接套用；2. 拼接叠加：两角相加求组合角，两角相减求差值角；3. 重叠题型：总角度减去重叠部分角度，得剩余角度；4. 快速判定：所有拼接角度必为15°整数倍，可用于验算答案正误。 高频组合：75°(30+45)、105°(60+45)、120°(90+30)、135°(90+45)、150°(90+60)。 【典例2】．如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 【变式1】．将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角板的性质可知其在直线上的角为 ，利用平角的定义及对顶角性质建立 与 的关系，即可求解． 【详解】解： 三角板是含有 的等腰直角三角板 ， 三角板在直线上的角为 ， ∴ 与 的邻补角构成直角， ， ， ， ． 【变式2】．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】先根据邻补角定义求出，再根据三角形内角和求出，然后利用角的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型3 几何图形中角度计算问题 解题技巧（和差拆解法）：1. 观察射线位置，判断角的叠加、包含关系；2. 大角拆小角、小角拼大角，逐步推导未知角；3. 结合直角90°、平角180°、周角360°固定值辅助计算；4. 多射线图形分层拆解，逐个求出中间角，避免跳步出错。 解题核心：所有静态图形角度，均可通过和差关系层层推导。 【典例3】．如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的定义得到，于是得到． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式2】．如图所示，把平角放置在量角器上，与量角器的中心重合，射线，分别对准刻度和，在内部作射线，使平分，则的度数为________． 【答案】/65度 【分析】根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 题型4 角度的四则运算 解题技巧（六十进制规范运算）：1. 加减运算：度对度、分对分、秒对秒，满60进1，不够借1当60；2. 乘法运算：分别相乘，从秒开始逐级进位；3. 除法运算：从度开始依次除，余数换算为下一级单位；4. 结果化简：保证分、秒数值小于60，格式规范统一。 易错警示：严禁十进制运算，六十进制进退位是核心扣分点。 【典例4】．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算度、分与乘数的乘积，再根据进率进位即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． ∴的值为． 【变式1】．如图，是直线上一点，是的平分线，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，度分秒的计算，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． 根据角平分线的定义以及平角的定义求出，然后利用度分秒的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵是的平分线，且， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】．（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】．度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 题型5 实际问题中角度计算问题 解题技巧（建模转化法）：1. 场景转化：将钟表、方向、折叠、实物夹角转化为几何角；2. 画图辅助：根据题意画出射线、夹角，明确已知角度；3. 套用平角、直角、周角固定值，结合和差运算求解；4. 结合生活常识校验结果，杜绝超范围角度。 常见场景：钟面夹角、方位夹角、折叠角度、工具开合角度。 【典例5】．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 【变式1】．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1) (2)①分钟；②，理由见解析 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．【问题背景】如图1，设一钟表中心为点O，已知时针长为10厘米，分针长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置． (1)每经过1小时，时针转______度，每经过1分钟，分针转______度； (2)【迁移应用】如图2，若钟面上还有一损坏的秒针，该秒针指向“3”保持不动，请问几分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角？ (3)【创新应用】如图1，从12点整开始，两动点M，N分别从点和点出发，点按照的路线移动，点按照的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点时为1厘米/分钟，远离点时为2厘米/分钟，每次时针与分针共线时，动点M，N的运动方向立刻反向，设运动时间为分钟： ①求动点M，N第一次相遇的时间，以及此时分针与时针的夹角； ②请直接写出动点M，N第二次、第三次相遇的时间． 【答案】(1)30；6 (2)分钟 (3)①时，两动点第一次相遇；此时时针与分针夹角为度； ②动点M，N第二次相遇共用时分钟；动点M，N第三次相遇共用时分钟 【分析】（1）根据时针与分针的转动规律，得到每经过1小时，时针转，每经过1分钟，分针转，即得答案； （2）设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，根据秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，列出方程，求得t的值，即得答案； （3）①时，点到达处并要继续向运动，点在分针上且距点的位置，根据相遇模型，列出算式，即可求得答案； ②动点M，N第二次、第三次相遇的时间与两动点的变速运动相关，分清每一个变速节点，分别计算各段的时间，求得动点M，N第二次、第三次相遇的时间，即可得到答案． 【详解】（1）解：每经过1小时，时针转， 每经过1分钟，分针转； 故答案为：30，6； （2）解：设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角， 则由题意可得，， 解得：； （3）解：①时，点到达处并要继续向运动，此时点在分针上且距点的位置， 随后经过分钟，即时，两动点第一次相遇； 此时分针比时针多转的角度为度， 即此时时针与分针夹角为度； ②第二次相遇：时针与分针第一次共线时，动点M，N的运动时间为分钟， 点按照的路线，第一次到点所需时间为分钟， 点按照的路线，第一次到点所需时间为分钟， ∴当时，点在离点处，转向后，运动到点B需用时分钟；当时，点在离点处，转向后，运动到点需用时分钟， ∴当时，点在点处，点在离点处， 此时两点相向而行，之后相遇所需时间为分钟， ∴第二次相遇的时间为分钟； 第三次相遇：时针与分针第二次共线时，动点M，N的运动时间为分钟， 动点M，N第二次相遇后，点N继续按照的路线运动，从点到点的用时为分钟，即，此时点在离点处， 当时，点在离点处，点在离点处，点M，N之间距离为，此时转向，则点M，N同时朝向点运动， 点运动到点所需时间为分钟，当点到达点时，点M距离点， 当点转向后，与点相向而行，相遇所需的时间为分钟， ∴第三次相遇时间为分钟． 故答案为：动点M，N第二次相遇共用时分钟；动点M，N第三次相遇共用时分钟． 【点睛】本题考查钟面角的计算，角平分线的性质，钟面上的行程问题，变速度的动点问题，根据条件逐段分析动点的运动状态是解题关键． 【变式3】．【材料阅读】如图1，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1． （1）若要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，则可将点B向左移动 个单位长度； （2）若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒6个单位长度和每秒5个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为 ， ， （用含t的代数式表示）； ②记点P与点Q之间的距离为d，点Q与点R之间的距离为m，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线的夹角为？ 【生活运用】周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 【答案】（1）2（2）①；； ②没有变化；23；方法迁移10秒或27.5秒；生活运用 【分析】主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减，数轴，一元一次方程的应用，线段的计算，以及钟面角等问题，根据题意列出方程是解决问题的关键． （1）根据中点坐标公式求出中点表示的数，再用移动前点B表示的数减去中点表示的数即可得到答案； （2）①根据左减右加（路程）的规律求解即可；②表示出，化简后即可判断； 【方法迁移】分追上前和追上后两种情况分别建立方程解答即可； 【生活运用】设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，分别求出时针和分针每一分钟所走的路程，再列方程解答即可． 【详解】解：（1）∵数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1，要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等， 则，． 故可将点B向左移动2个单位长度， 故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为；；， 故答案为：；；； ②∴不变化；理由如下： 点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴， ∴不变化，； 【方法迁移】∵，平分， ∴． （秒）． 设经过x秒后，射线的夹角为， 当追上前，则， 解得：； 当追上后，则， 解得：． ∴经过10秒或27.5秒后，射线的夹角为； 【生活运用】设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， 解得：， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 故答案为：． 题型6 角平分线的有关计算 解题技巧（半角代换法）：1. 看到平分线直接写等量关系：平分得两角相等、半角关系；2. 已知大角求小角除以2，已知小角求大角乘2；3. 多层嵌套：先拆分外层角，再求解内层平分角；4. 无图题型分类讨论：射线在角内、角外两种情况，避免漏解。 万能思路：平分线=二等分，全程等量代换，简化计算。 【典例6】．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 【变式1】．如图，，平分，平分，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据平角的定义得出，根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得，进而根据，即可求解； （2）根据设，则，，根据角平分线的定义得，，由得，根据列方程，求出后即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：设，则， ， 平分， ，， ， ， ， ， 解得， ． 【变式3】．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 题型7 角n等分线的有关计算 解题技巧（份数秒杀法）：1. n等分即平均分成n份，单份角度=原角度÷n；2. 优先设份数，用份数表示各角，再代入数值计算；3. 区分位置：靠近顶点、靠边等分线的不同角度取值；4. 多等分叠加：逐层计算每一段等分角，分步求解。 适用场景：三等分、四等分高频考查，份数法可大幅降低计算难度。 【典例7】．，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将均分为四份，根据图形可得是其中的3份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故选：C． 【变式1】．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴， ∴， ∵图中所有的锐角之和为， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：． 【变式2】．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 【变式3】．通过本学期的学习，我们已经知道“如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等角，那么这条射线叫做这个角的平分线”．类似，我们规定：“如果从角的顶点出发的两条射线把这个角分成三个相等角，那么这两条射线都称为这个角的三等分线”．例如：如图，射线，在内，且，那么是的三等分线，也是的三等分线． (1)如图，，，判断是否是的三等分线，并说明理由． (2)在（）的条件下，若是的三等分线，求的度数． (3)在（）的条件下，如图，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，到达后停止．在射线出发秒后，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，到达后立即绕逆时针旋转，速度不变，到达后停止运动．当从出发时，开始计时，设时间为秒．当为的三等分线时，直接写出的值． 【答案】(1)是的三等分线，理由见解析； (2)的度数为或； (3)的值为或或或． 【分析】本题考查了角度和差，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，再根据“三等分线”即可求解； （）由（）得，，然后分当，当两种情况求解即可； （）依题意得，，当未到达时，则，分当时，当时，当从转向且未达到时，则，再分当时，当时，当从转向且已达到时，此时，再分当时，当时，分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：是的三等分线，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的三等分线； （2）解：由（）得，， 如图，当， ∴； 如图，当， ∴； 综上可得：的度数为或； （3）解：依题意得，， ∴， 当未到达时，即，则， 当时，即， ∴，解得：； 当时，即， ∴，解得：； 当从转向且未达到时，即，则， 当时，即， ∴，解得：（舍去）； 当时，即， ∴，解得：； 当从转向且已达到时，即，则，此时， 当时，即， ∴，解得； 当时，即， ∴，解得（舍去）； 综上可得：的值为或或或． 题型8 压轴题型——三角板旋转模型 解题技巧（动态定值分析法）：1. 抓不变量：旋转过程中三角板自身角度始终不变；2. 找动态关系：旋转角度为变量，结合平角、直角、和差关系列式；3. 分段讨论：旋转未重叠、刚好重叠、旋转超出区间三段临界状态；4. 定值求解：多数题型存在固定不变的夹角，无需逐一代值计算。 压轴核心：动静结合，以不变的三角板角度，解动态旋转角度。 【典例8】．探究与发现 在数学实验课上，学习小组准备研究如下问题：将一副三角板的一个顶点重合在一点，产生重合角和非重合的角，然后研究这些角之间的关系． 【操作发现】 （1）小组成员小明按图1摆放两块三角板，一块含角和另一块含角的顶点重合于点O． ①的度数为______．（用含的代数式表示）； ②小明发现，总是保持不变，这个固定的差值是______． 【问题探究】 （2）小芳受到启发，继续探究：将等腰直角三角板固定不动（），再把另一块三角板的角顶点重合于点O，两块三角板有重合角．这时小芳让这块三角板绕着点O旋转，她发现和仍有一定的固定关系．请你说一下她发现了什么关系呢？并说明理由． 【拓展延伸】 （3）学习小组进一步探究：将等腰直角三角板固定不动，用含的三角板的任意一角的顶点与等腰直角三角板的直角顶点O重合．当满足时，求的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或或 【分析】（1）①根据求解即可； ②先写出的度数，再求即可； （2）先写出的度数，再求即可； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）①由题意得，， ∴； ②由题意得，， ∴； （2）总是保持不变，这个固定的差值是，理由如下： 如图，， ∴； ∴总是保持不变，这个固定的差值是； （3）当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 综上，的度数为或或． 【点睛】注意分类讨论思想的应用． 【变式1】．（1）如图，两个形状、大小完全相同的含有，的三角板按如图所示放置，、与直线重合，且三角板和三角板均可以绕点逆时针旋转．的度数为_____； （2）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分，求的度数． （3）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．在两块三角板旋转过程中（转到重合时，两三角板都停止转动），设两块三角板旋转的时间为，试说明为定值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，利用数形结合得出等式是解题关键． （1）利用含有、的三角板得出，进而求出即可； （2）设，，则，进而利用求出即可； （3）设运动时间为t秒，则，表示出和的度数即可得出答案． 【详解】解：（1），，， ； （2）∵平分，平分， ∴设，， 则， ， ， ， ． （3）设运动时间为秒，则， ，． ， ． 【变式2】．如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点A重合，点E落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于180°）． (1)如图2，若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第5秒时，的度数为________°，的度数为________°，此时________． (2)若将三角板绕点A顺时针旋转一周后停止，把旋转角记为，而三角板保持静止不动，则（1）中和的数量关系是否始终成立？请画出图形并说明理由． (3)若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【答案】(1)20，160，； (2)成立，见解析 (3)第秒或秒或秒时． 【分析】（1）根据旋转速度和时间可求出旋转角度，进而得出相关角的度数； （2）通过设旋转角度，用含未知数的式子表示出和，验证它们的数量关系； （3）设旋转时间，根据两个三角板的旋转速度表示出和，再根据已知数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴第5秒时，旋转的角度为， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：20，160，； （2）解：成立，理由如下， 设三角板绕点顺时针旋转度（）， 情况1，当时，如图2， ，， ∵， ∴， ∴； 情况2，当时，如图3， ； ∴（1）中始终成立． （3）解：设秒时，， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，则三角板旋转了， 三角板以每秒的速度逆时针旋转，则三角板旋转了， 情况1，时，如图4， ，， ∴， 解得：； 情况2，时，如图5 ，， ∴， 解得：； 情况3，时，如图6， ，， ∴， 解得：； 综上，第秒或秒或秒时． 【变式3】．根据以下素材，探索完成任务． 操作三角板，理解几何图形关系 素材 三角板作为基础几何工具，其摆放位置的变化蕴含着丰富的几何知识．如图是一副三角板，，，，，．    问题解决 任务图 任务1 某同学在数学实验课上将一副三角板按图1、图2所示摆放，使得边与边重合，在上述所拼图形中，图1中．的度数为________°，图2中的度数为________°． 任务2 将三角板按图2摆放（点C与E重合），现将三角板绕着点C以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转过程中，当边所在的直线恰好平分时，旋转的时间是多少秒？ 任务3 将三角板按图3摆放（点C与E重合），，现将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板也绕着点C以每秒的速度顺时针旋转，当三角板旋转一周时，两个三角板同时停止运动．在旋转过程中，当边所在直线与边所在直线垂直时，旋转的时间是多少秒？ 【答案】（1）75，15； （2）1.5秒或7.5秒； （3）3.2秒或10.4秒 【分析】（1）观察图形，利用角的和差进行计算即可． （2）分两种情况讨论，①当平分时，②当的反向延长线平分时，分别求出旋转的角度，再除以即可求得旋转的时间． （3）设运动时间为t秒，分两种情况讨论，①当于G点时，②当的反向延长线于G点时，分别求出转过的角度和转过的角度，结合图形列方程求出t的值即可求得旋转的时间． 【详解】解：（1）图1中，； 图2中，． 故答案为：75，15． （2）①如图，当平分时， ， 旋转时间为（秒）． ②如图，当的反向延长线平分时， 旋转角， 旋转时间为（秒）． 综上，在旋转过程中，当边所在的直线恰好平分时，旋转的时间是1.5秒或7.5秒． （3）设运动时间为t秒， ①当于G点时， 转过的角度为， 转过的角度为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得． ②当的反向延长线于G点时, 转过的角度为， 转过的角度为， ∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， 解得． 综上，当边所在直线与边所在直线垂直时，旋转的时间是3.2秒或10.4秒． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，角的和差的计算，旋转的性质，一元一次方程的应用，正确地作出图形并进行分类讨论是解题的关键． 题型9 压轴题型——双角平分线模型 解题技巧（模型定值秒杀）：1. 模型识别：同一个顶点，两个相邻角分别作角平分线；2. 核心定值：平分线夹角 = 总角度的一半，与中间射线位置无关；3. 内外通用：射线在角内、角外、延长线上，半角结论不变；4. 大题步骤：先写平分性质，再通过角度和差推导定值，小题直接口算出结果。 期末必考结论：双分一半，动点不动，角度恒定。 【典例9】．在深圳坪山无人机表演编程中，控制飞行路径（线段）和灯光射束（角）有相似的数学原理．请根据下表的对比，迁移研究线段的思路来研究角． 研究主题 飞行路径（线段） 灯光射束（角） 【中点问题】 若无人机的飞行轨迹线段的中点为，则 （1）若无人机射束的最大开角的角平分线为，则___________． 【三等分点问题】 若线段中有一组点，将分为相等的三条线段，则称这组点为的三等分点． 若中有一组射线，将分为相等的三个角，则称这组射线为的三等分线． 【三等分点问题】 （2）①如图所示，若线段点是上最靠近点的一个三等分点，取的中点和的中点，则___________ ②如图所示，若，是最靠近的一条三等分线，作的角平分线和的角平分线，则___________ 【动态变化问题】 （3）①在线段上，若无人机从点出发，全程匀速移动到点再返回至点，则无人机会经过线段的三等分点4次． ②根据①的提示，若，无人机动态激光从出发，绕点以每分钟的速度匀速旋转至OB再返回，激光过多少分钟会经过的三等分线？ 【等分点问题】 （4）①若在线段上，点是最靠近点的一个等分点，，取的中点和的中点，则___________（用含的代数式表示） ②若是最靠近的一条等分线，，作的角平分线和的角平分线，则___________（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）①7；②         （3）4分钟、8分钟、16分钟、20分钟     （4）①；②   【分析】本题考查线段的中点，角的平分线，线段的三等分点，角的三等分线，线段的n等分点，角的n等分线的性质； （1）根据角平分线的性质即可解答； （2）①根据线段的中点，线段的三等分点的性质即可解答；②根据角的平分线，角的三等分线的性质即可解答； （3）根据角的三等分线的性质求出经过时扫过的角度即可解答； （4）①根据线段的中点，线段的n等分点的性质即可解答；②根据角的平分线，角的n等分线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴； （2）解：①∵点是的中点，， ∴， ∵点是上最靠近点的一个三等分点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 解：②∵是的角平分线，， ∴， ∵是最靠近的一条三等分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， 在到过程中， 当时，需要（分钟）； 当时，需要（分钟）； 在到过程中， 当共扫过时，需要（分钟）； 当共扫过时，需要（分钟）； ∴激光过4分钟，8分钟，16分钟，20分钟时经过的三等分线； （4）解：①∵点是的中点，， ∴， ∵点是最靠近点的一个等分点， ∴， ∵点是的中点， ， ∴； 解：②∵是的角平分线，， ∴， ∵是最靠近的一条等分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式1】．点为直线上一点，在直线同侧作射线，，使得． (1)如图1，过点作射线使得射线为的角平分线，且，求的度数． (2)如图2，过点作射线使得射线为的角平分线，过点作射线使得射线为的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，求出，再由三角形内角和定理计算答案即可． （2）先求出，根据角平分线的定义得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：平分，且， ， ． ， ； （2）解：为的角平分线，为的角平分线， ，． ， ， ， ． 【变式2】．如图1，，，分别为和的角平分线． (1)若，则 °； (2)如图2，从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒的速度旋转；当与重合时，立即反向绕点O顺时针以每秒的速度旋转，直到与互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，的大小不变，旋转后的对应射线记为，旋转后的对应射线记为，的角平分线记为，的角平分线记为．设运动时间为t秒． ①当平分时，求出对应的t的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①t的值为5或30；②满足条件的t的值为：或或 【分析】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小； （2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t； ②求出与重合时t的值，射线，共线时t的值，射线与射线重合时t的值，可得结论． 【详解】（1）解：∵为的角平分线、， ∴． ∵， ∴． ∵为的角平分线， ∴． ∴， ∴． （2）解：①逆时针旋转时：如图① 当在B上方时，根据题意可知，，．， ∵平分， ∴，即， 解得：． 当在B下方时，此时也在下方，此时不存在平分． 顺时针旋转时：如图②， 由题意可求与重合用的时间 ． ∴与重合之后，． ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得： 综上所述t的值为5或30． ②逆时针旋转时：如图3中，当射线在射线的上方时， ∵，， ∴ ∴， 当与重合时，，解得． ∴时，的值不变，是． 当射线返回时与重合时．时间， 当运动到射线与共线时，时，解得， 观察图象可知，时，的值不变，是． 当射线运动到与射线共线时，，解得， 当时，如图4中，同法可得，， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为：或或． 【变式3】．已知直线与相交于点，点，分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点，若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点，的角平分线所在的直线与的角平分线相交于点，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)∵， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (3)或 【分析】（1）利用三角形的内角和定理计算出的值，根据角平分线的定义计算出，进而得到； （2）先表示出，结合角平分线和平角表示出和，再根据三角形的内角和定理计算出； （3）设，同理（2）可知，，容易计算出，则，分为和两类讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：设， 同理（2）可得，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ①当时， ∴，解得； ②当时， ∴，解得； 综上所述，的度数为或． 1．将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知 ，利用角的和差关系 即可求解． 【详解】解： 该图中一副三角尺的直角顶点重合， ． 2．已知，，，则（   ） A．射线在内 B．射线在外 C．射线与射线重合 D．射线与射线重合 【答案】B 【分析】本题考查利用角的和差关系判断射线位置，通过计算角的和差即可推出射线位置． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴射线在外． 3．下列选项中，不能用一副三角板画出的角是（   ） A．的角 B．的角 C．的角 D．的角 【答案】C 【分析】利用三角板的所有度数的和或差解题即可． 【详解】解：A、，故能画出； B、，故能画出； C、三角板中，没有两个角的和或差是，故不能画出； D、，故能画出． 4．已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据射线在外部的两种不同位置分类讨论，利用角平分线的定义和角的和差关系计算即可得到结果． 【详解】解：由题意，分两种情况讨论： ①如图1，当和分别在两侧时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②如图2，当和分别在两侧时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 5．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若的度数为，则用含的代数式表示的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角的和差以及翻折的性质进行求解． 【详解】解：根据翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，剪刀张开角度，射线与剪刀上半部分的夹角，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 7．一束光从空气斜射入水中，入射光线和折射光线如图所示，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵法线垂直于水面， ∴法线与水面夹角为， ∵，， ∴． 8．如图，以灯塔O为中心，A港口在灯塔的北偏东方向上，B港口在灯塔的北偏西方向上，点C在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方位角的计算，角度制，根据方位角的描述可得，再根据平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵射线表示北偏东方向，射线表示北偏西方向， ∴， ∵点C在射线的反向延长线上， ∴． 故选：A． 9．在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角的和差和网格的特征等知识，求出是关键．根据网格的特征和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 由图可知，， ∴ 故选：B 10．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 11．如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【答案】 /120度 【分析】设，则，求出，，得出，即可求出答案． 【详解】解：设，则． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 12．已知和的两边分别互相平行，且比的2倍少，的度数为______． 【答案】 或 【分析】根据两边分别平行的两个角的位置关系，分两种情况讨论，利用方程思想求解. 【详解】解：设，则， 分两种情况讨论： ①当时， 由两边分别平行的两个角相等，可得方程： ， 解得， ∴； ②当与互补时， 由两边分别平行的两个角互补，可得方程： ， 解得， ∴， 综上所述，的度数为或. 13．如图，中，，、是线段上的两个动点，连接，；在线段上再取两点，，连接，，使得，．若，则______________． 【答案】或 【分析】先设，，则， 然后分两种情况讨论，根据角的和差计算结合整体的思想求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，，则， 当点在点上方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点下方时，如图 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：或． 14．如图1，含有的直角三角板的边在直线上，如图2，将三角板绕点A以每秒的速度沿顺时针方向旋转t秒，旋转以后的射线记为，旋转以后的线段记为，当落在上时停止转动，在运动的过程中，射线平分，射线平分，当时，则t为______ ． 【答案】 【分析】由，得，，根据旋转的性质，可得，，，，再由角平分线可得，，，代入可得关于t的方程，解方程求 【详解】解：，边在直线上， ， ， ， 当落在上时停止转动，则运动时间为， 如图所示， 由旋转的性质得：，， ， 射线平分，射线平分， ，， ，， ， ， 解得：． 15．如图，是内部的一条射线，、分别平分、，平分．下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号____________． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是角平分线的定义，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键．根据角平分线的定义以及再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵分别平分、， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ，故④正确． 故答案为：①②③④． 16．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】（1）先求的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数，最后根据平角的定义，求出的度数； （2）先根据是的平分线，，推出，同理推出，再求出，最后根据 求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 即． 18．如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上（），是射线，且，，并求出的度数（用含α或β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到和的度数，再根据计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，得到，，又根据，可得，利用，求出的度数，即可的度数； （3）分情况画出图形，根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， 则的度数为； （2）解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则的度数为； （3）解：∵和分别平分和， ∴，， 第一种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 第二种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上可知：的度数为． 19．如图，已知，平分，且，求的大小． ∵， ∴设，则， ∴________x． ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得， ∴． 【答案】3，，，，，50，150 【分析】本题考查了角度的计算，准确理解角平分线的定义是解题的关键．根据题意，结合几个角之间的数量关系，完善证明过程即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得， ∴． 20．如图，已知射线、、在内部，平分，平分，且，若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据角平分线的定义求出，再根据可得、的度数，然后根据角平分线的定义求出，最后根据即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21．【问题解决】 （1）如图1，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． ①直接写出线段_________， _________； ②求线段的长． 【类比探究】 （2）如图2，已知，、均为内的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①直接写出_________，_________； ②求的度数． 【答案】（1）①5；4；②；（2）①24；30；② 【分析】（1）利用线段的和差以及线段中点计算即可； （2）利用角平分线的定义以及角度的和差计算即可 【详解】解：（1）①∵，， ∴，， ∴，． ②∵，，， ∴，． ∵点M是线段的中点， ∴， ∴． ∵点N是线段中点， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴，． ②∵，，， ∴， ． ∵射线平分， ∴， ∴； ∵射线平分， ∴， ∴． 22．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 23．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． (1)的度数是__________． (2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒． (3)当为何值时，，并说明理由？ (4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；或 (3)或 理由如下：根据题意，得，， ， ， 解得； 根据题意，得，， ， 解得； (4)存在；或 【分析】（1）根据，解答即可． （2）分且在的上方， 且在的下方，两种情况求解． （3）根据题意，得，或，求解即可； （4）当在的左侧时，此时，根据题意，得，当在的右侧时，此时，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 故; （2）解：三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为秒， 故旋转角． 当且在的上方时， 根据题意，得，， ， ， 解得； 当且在的下方时， 根据题意，得，， ， ， 解得； （3）略 （4）解：根据题意，当在的左侧时， 此时， 根据题意，得， 整理，得， 解得； 当在的右侧时， 此时， 根据题意，得， 整理，得， 解得； 故当t为或时，; 24．按要求完成下列各题： (1)如图，正方形的四个内角，，，均为直角，边在直线上，的平分线交正方形的边于点P．的度数为 ；与的度数之间的关系为 ． (2)将正方形绕点A旋转至如图②所示的位置，此时，的平分线交正方形的边于点P，请探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． (3)将正方形绕点A旋转至如图③的位置，平分，请探究与的度数之间的关系． 【答案】(1)，； (2)与的度数之间的关系没有发生改变，理由如下： 如图②，由条件可知， ∵的平分线交正方形的边于点P， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）如图①，由四边形为正方形，得，所以，从而得到； （2）如图②，先根据平角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，由，即可得到； （3）如图③，先根据角平分线的定义得到，则，根据平角的定义得到，变化后 ，消去，可得到． 【详解】（1）如图①， 四边形为正方形， ， ， ∴， （2）略 （3）如图③， 平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $