第21讲 余角和补角（5类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第21讲余角和补角 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1求一个角的余角 题型2求一个角的补角 题型3利用一元一次方程求余角或补角 题型4与余角、补角有关的计算 题型5同（等）角的余（补）角相等的应用 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解余角和补角的概念（余角：两角和为90°；补角：两角和为 180°)，能准确判断互余与互补关系。 余角、补角、互余、 2.掌握余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的 互补、性质、同角或 补角相等。 等角、方位角。 3.能根据余角、补角的性质进行简单的角度计算与推理证明。 4.了解方位角的概念，能结合图形识别方位角，体会几何知识在实际生活中 的应用。 学习重点：余角和补角的概念及其性质，能进行相关的角度计算。 学习难点：理解“同角（或等角）的余角（补角）相等”的推理过程，并能运用该性质进行简单的几 何证明；方位角的识别与表达。 02教材全解 ◇ 知1识1框1架 1/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两角度数和为90° 定义 余角补角概念混淆 高频易错点 余角 互为余角 性质中等角条件忽略 性质 同角或等角的余角相等 余角补角性质应用 高频考点 两角度数和为180° 定义 互余互补关系判断 余角和补角 补角 互为补角 余角=90°-角 性质 同角或等角的补角相等 已知一角求余角补角 补角=180°-角 常见计算 余角与补角的区别 余角90° 角度和不同 方程法解角度问题 补角180 知1识I精讲 知识点01余角、补角的概念与性质 1.余角概念 余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余 2.补角概念 补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补 3.余角的性质：同角或等角的余角相等 4.补角的性质：同角或等角的补角相等 【易错提醒】 余角补角错警示：互余两角和90°，互补两角和180°。性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角） 的补角相等。注意：余角补角是数量关系（只与度数有关），与位置无关。锐角有余角，钝角有补角，直 角无余角。勿将补角与邻补角混淆。 即时即练1.如图，点O在直线AD上，过点O作OC⊥AD,射线OB在∠AOC内，过点O作OE⊥OB, 则下列结论错误的是() A.∠AOE=∠COB B.∠AOB与∠COB互为余角 C.∠COE=∠DOE D,∠COE与∠AOB互为补角 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，点O是直线AB上的一点，OC是任意一条射线，OD平分∠BOC,OE平分LAOC B (1)图中∠BOC的补角为一. (②)若∠B0C=62°，求∠A0E的度数， (3)∠COD与∠EOC存在怎样的数量关系？ 03 题型突破 题型1求一个角的余角 【例1】一个角是40°，则这个角的余角的度数是 【例2】已知∠A=2434,那么∠A的余角度数为 【技巧归纳】 余角：两角和为90°。若∠A的余角为90°-∠A。互余的两个角均为锐角。注意：只有锐角有余角，直角和 钝角没有余角。求时直接用90°减已知角，若结果为负则不存在。若已知两个角互余，设其中一个为x,则 另一个为90°-x。常用于方程。常与直角结合。 【变式1-1】己知∠A=3830,则∠A的余角大小是 3.(2425八年级上贵州遵义期末)如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合， ∠1=2745'，∠2的余角的大小是一 3/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型2求一个角的补角 【例3】已知∠1=4330'，那么∠1的补角等于 【例4】若∠A=137°49'，则∠A的补角的余角为. 【技巧归纳】 补角：两角和为180°。∠A的补角为180°-∠A。锐角的补角是钝角，直角的补角是直角，钝角的补角是锐 角。求时直接180°减已知角。若已知两个角互补，设x,另一个180°-x。用于平行线、四边形内角。注意 0°<角<180°才有补角。常用方程求解。与余角类似但和不同。 【变式1-1】已知点A在点B的南偏西30°方向上，点C在点B的北偏西40°方向上，则∠ABC的补角的度 数为 3.(24-25七年级上新疆吐鲁番期末)若∠A=5517',则∠A的余角等于一，补角等于一， 题型3利用一元一次方程求余角或补角 【例5】已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是180°，求这个角的度数. 【例6】已知一个角的余角的2倍比它的补角少50°，求这个角的度数. 【技巧归纳】 设未知角为x,根据“余角=90°-x”或“补角=180°-x”,列方程。如”一个角的补角比它的余角的3倍多 20”,则180-x=3(90x)+20,解出x。注意未知数的范围（锐角）。解方程后检验是否满足题意。常结合 倍数、差条件。列出方程后按步骤求解。验证结果合理性。 【变式1-1】已知∠1与∠2互为邻补角，且∠1比∠2的3倍少20°，求∠1与∠2的度数. 3.(2425七年级下·甘肃张掖阶段练习)已知一个角的余角比这个角的补角的；小20°，求这个角的度数. 题型4与余角、补角有关的计算 【例7】如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC,∠DOE=90°. 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A B 0 I)若LAOC=50°，求∠BOD的度数： (②)试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系，说说你的理由 【例8】如图，己知∠AOD和∠BOE都是直角，它们有公共顶点O. E D B (I)若∠DOE=60°，求∠A0B的度数. (2)判断∠AOE和∠BOD的大小关系，并说明理由 (3)猜想：∠AOB和∠DOB有怎样的数量关系，并说明理由. 【技巧归纳】 利用余角、补角定义列等式。多个角关系：设中间角为x,用x表示其他角。如∠A与∠B互余，∠B与∠C 互补，则∠A=90°-∠B,∠C-180°-∠B。常用方程思想。注意一个角的余角与补角之差为90°（补角-余角 =9°)。可由此快速求解。结合图形找等量关系。结果需在范围内。 【变式1-1】如图，直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD E (I)图中与∠AOF互余的角是_与∠COE互补的角是_.（要求把符合条件的角都写出来） (②)如果∠4OC比∠EOF的5小6°，求∠B0D的度数. 3.(2425六年级下黑龙江大庆期中)已知∠A0B=120°，∠C0D在∠A0B内部，∠C0D=60°. 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ① ② ③ (I)如图①，若∠B0D=30°，求∠A0C的度数： (②)如图②，若OE平分∠BOC,请说明：∠AOC=2∠EOD: B)如图③，分别作∠AOP,∠BO0,其中∠AOP+∠AOC-90°，∠BO0+∠BOD=90°，试探究∠AOP, ∠BOQ,∠COD三者之间的数量关系，并说明理由. 题型5同（等）角的余（补）角相等的应用 【例9】如图，已知∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°. <3 4入 (1)∠1与∠3是什么关系？为什么？ (2)当∠1与∠4满足什么关系时，∠2与∠4相等？为什么？ 【例10】如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合， E (1)若∠ACE=40°，求∠DCB的度数： (②)写出以C为顶点的所有相等的角： 3)请找出∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由」 【技巧归纳】 同角（或等角）的余角相等，补角相等。用于等量代换：如∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。在几何 证明中，用于证明角相等。也可由相等推出余角或补角相等。注意分清“同角”和“等角”。应用时，先 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 找公共角或相等角，再利用此性质转移角度。简化计算。 【变式1-1】如图，将两块三角板的直角顶点重合. (1)写出以C为顶点的所有相等的角 (②)若∠ACB=148°，求∠DCE的度数. B)猜想：∠ACB与∠DCE之间的数量关系为 3.(2425六年级下·山东泰安·期中)在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在 一起，如图1 图1 图2 (1)∠B0D=3248',则∠A0C= (2)写出图1中相等的角： 3)若∠BOD变大，∠AOC如何变化，说明原因； 4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2中利用直角三角尺画一个与 ∠MON相等的角. 04过关检测 一、单选题 1.己知∠A=70°，则它的余角是() A.20° B.110° C.30° D.40° 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知一个角比它的余角的4倍还多15°，则这个角的补角的度数为() A.15 B.35° C.75° D.105° 3.如图，一副直角三角板如图摆放，若La=55°，则∠P的度数是() a入 A.15° B.25° C.35° D.45° 4.如图，点B,O,D在同一条直线上，∠C0A=90°，直线DB从与OA重合的位置开始绕点O逆时针旋 转，形成∠1（小于45°），∠2，∠3.当∠3增加15°时，下列说法正确的是() B D A.∠2增加15°B.∠2减少15° C.∠1增加30° D.∠1减少30 5.如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，∠AOF=∠DOF,点E为OF反向延长线上一点（图中 所有角均指小于180°的角).下列结论：①∠C0E=∠B0E:②∠A0D+∠B0C=180°；③ ∠BOC-∠AOD=90°：④∠COE+∠BOF=180°.其中正确结论的个数有() D A E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.角26.5°的补角为一°. 7.已知∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1 ∠3，根据是 8.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，则这个角等于 9.如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=46°，过点O作射线OD,使得OD1OC,则∠BOD的度数是 8/11 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 10.如图：己知直线AB、CD相交于点O,OE1AB,射线OF在∠BOC内部，有如下结论： ①∠AOC的补角是∠DOF; ②若LD0E=70°，则∠A0C=20°： ③若OF平分∠BOC,则∠AOF=∠DOF: ④若∠COE=4∠BOD,则∠D0E=60°. 上述结论中，所有正确结论的序号是 E D A B F 三、解答题 11.解答下列各题： )一个角的余角比它的补角的2少10°，求这个角。 (②)如图，若OB平分∠A0C,∠A0D=78°，∠B0C=20°，求∠COD的度数. A 12.如图，点O在直线AB上，射线OC.OD.OE都在直线AB的上方，射线OF在直线AB的下方. C0⊥D0,垂足为点O,OE在∠COD的内部，∠COE=35°。 (I)求证：∠AOC与∠BOD互为余角： (2)若∠AOC=25°，∠COE与∠BOF互为余角，求∠DOF的度数. 13.新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”，己知∠40B=a(5°<a<45), 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余.如图，当点B在∠AOC的内部，且点B,点D 在OA的同侧时. B E (1)若∠B0C=60°，则a=° ②若∠A0E=∠A0D,射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM=3∠4OM,求∠BOM的度数（用合a 的式子表示) BM:. ∠40M=∠40E+∠B0M∠40c=120-a∠40E=30-4 :∠A0M=30°-x+∠E0M,∠COM=120°-a-∠B0M-30P+a=90-2。 1 a-∠EOM 3 3 :∠COM=3∠AOM, :90°-3a-∠E0M=330°-a+∠E0M 3 14.如图，点O在直线AB上，∠COD与∠EOF互补，且∠COD:∠EOF=2:3」 D E (1)求∠COD、∠EOF的度数： (②)若2∠BOF-∠BOD=36°，猜想∠AOC与∠AOE的数量关系并说明理由： 3)在(2)的条件下，OC平分∠DOE时，在∠D0E内部作射线OG,使∠EOG:∠COG=4:1,求∠AOG 的度数 15.如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起. 10/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图(1) 图(2) (I)试判断图(1)中∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由： (2)在图(1)中若∠DCE=40°，求∠ACB的度数： 3)在图(1)中猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由： 4)若改变其中一个三角板的位置，如图(2)，则第(3)小题的结论还成立吗？并说明理由 16.设∠A0C=a,∠C0B=B(0°<a<180,0°<B<180),0D、0E分别是∠A0C、∠C0B的角平分线， 记∠DOE=B.如果a,8互补，或者B,0互补，则称∠AOC,∠COB是一对“分补角”. ·D B 图1 图2 图3 (I)如图1，∠AOB=130°，OC在∠AOB内，∠AOC=50°.分别作∠AOC,∠COB的角平分线OD、OE, 则∠DOE=°，∠AOC,∠COB 一对“分补角”（填“是”或“不是”）： 2)如图2，若∠A0C=120°，∠C0B=B(0°<B<90),∠A0C,∠C0B是一对“分补角”，且OB在 ∠AOC的外部，求B的值； B)如图3，∠AOB=160°.若∠AOC和∠COB是一对“分补角”，且OC在∠AOB内部，请直接写出 ∠AOC的所有可能值. 11/11 第21讲 余角和补角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个角的余角 题型2 求一个角的补角 题型3 利用一元一次方程求余角或补角 题型4 与余角、补角有关的计算 题型5 同（等）角的余（补）角相等的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 余角、补角、互余、互补、性质、同角或等角、方位角。 1. 理解余角和补角的概念（余角：两角和为90°；补角：两角和为180°），能准确判断互余与互补关系。 2. 掌握余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 3. 能根据余角、补角的性质进行简单的角度计算与推理证明。 4. 了解方位角的概念，能结合图形识别方位角，体会几何知识在实际生活中的应用。 学习重点：余角和补角的概念及其性质，能进行相关的角度计算。 学习难点：理解“同角（或等角）的余角（补角）相等”的推理过程，并能运用该性质进行简单的几何证明；方位角的识别与表达。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 余角、补角的概念与性质 1.余角概念 余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.补角概念 补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补. 3.余角的性质：同角或等角的余角相等. 4.补角的性质：同角或等角的补角相等. 【易错提醒】 余角补角易错警示：互余两角和90°，互补两角和180°。性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。注意：余角/补角是数量关系（只与度数有关），与位置无关。锐角有余角，钝角有补角，直角无余角。勿将补角与邻补角混淆。 即时即练1．如图，点在直线上，过点作，射线在内，过点作，则下列结论错误的是（　　） A． B．与互为余角 C． D．与互为补角 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键． 根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴, ∴， ∴选项正确，不符合题意； B、∵， 即与互为余角 ∴选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴选项不正确，符合题意； D、∵, ∴与互为补角 ∴选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．如图，点是直线上的一点，是任意一条射线，平分，平分． (1)图中的补角为　　． (2)若，求的度数． (3)与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2) (3)与互余 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、求一个角的补角 【分析】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键． （1）根据互为补角的和等于找出即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的定义解答； （3）根据角平分线的定义表示出与，然后整理即可得解． 【详解】（1）解：的补角为 故答案为： （2）解：， ， 平分， ； （3）解：与互余或， 证明：， ， 与互余． 题型1 求一个角的余角 【例1】一个角是，则这个角的余角的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角的计算，熟练掌握定义是解题的关键．根据两个角的和为称作互为余角解答即可． 【详解】解：根据题意，得的余角为， 故答案为：． 【例2】已知，那么的余角度数为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角，度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒的换算．根据余角的定义可知的余角为，计算时应首先从中取出化为，然后让分和分相减、度和度相减即可． 【详解】解：的余角为：． 故答案为： ． 【技巧归纳】 余角：两角和为90°。若∠A的余角为90°-∠A。互余的两个角均为锐角。注意：只有锐角有余角，直角和钝角没有余角。求时直接用90°减已知角，若结果为负则不存在。若已知两个角互余，设其中一个为x，则另一个为90°-x。常用于方程。常与直角结合。 【变式1-1】已知，则的余角大小是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了互为余角的概念，根据互为余角的两个角的和为作答即可，熟记和为的两个角互为余角是解题的关键． 【详解】解：根据余角定义可得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的余角的大小是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了余角的概念和度分秒的计算，关键是求出的度数， 根据，，求出的度数，再根据的余角，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 的余角， 故答案为：． 题型2 求一个角的补角 【例3】已知，那么的补角等于 ． 【答案】/ 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义即可直接求解，熟练掌握补角的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴的补角等于， 故答案为：． 【例4】若，则的补角的余角为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查求补角和余角，由互补定义“互补的两个角和为”即可求出的补角，再由互余定义“互余的两个角和为”即可求出的补角的余角．熟记互余、互补定义是解决问题的关键． 【详解】解：， 的补角为， 则的补角的余角为， 故答案为：． 【技巧归纳】 补角：两角和为180°。∠A的补角为180°-∠A。锐角的补角是钝角，直角的补角是直角，钝角的补角是锐角。求时直接180°减已知角。若已知两个角互补，设x，另一个180°-x。用于平行线、四边形内角。注意0°<角<180°才有补角。常用方程求解。与余角类似但和不同。 【变式1-1】已知点在点的南偏西方向上，点在点的北偏西方向上，则的补角的度数为 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、求一个角的补角 【分析】本题考查了方向角，补角的定义，正确画出图形是解题的关键．根据方向角的定义，画出图形得到即可求解． 【详解】如图所示， 所以， 所以的补角为． 故答案为：. 3．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）若，则的余角等于 ，补角等于 ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角和补角的定义即可求解，熟练掌握余角和补角的有关计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的余角等于，的补角等于， 故答案为：，． 题型3 利用一元一次方程求余角或补角 【例5】已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角，补角，一元一次方程的应用，熟练掌握定义，找出等量关系列出方程是解题的关键．设这个角的度数为，根据这个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数的度数为， 根据题意，得， 解得． 这个角的度数为． 【例6】已知一个角的余角的2倍比它的补角少，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查与余补角有关的计算，设这个角的度数为，根据余补角的定义，结合题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，由题意，得： ， 解得：； 故这个角的度数为． 【技巧归纳】 设未知角为x，根据“余角=90°-x”或“补角=180°-x”，列方程。如“一个角的补角比它的余角的3倍多20°”，则180-x=3(90-x)+20，解出x。注意未知数的范围（锐角）。解方程后检验是否满足题意。常结合倍数、差条件。列出方程后按步骤求解。验证结果合理性。 【变式1-1】已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 【答案】， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查角的有关计算，考生需熟知互为邻补角的两个角的和是，能够灵活应用方程求解是解决此题的关键． 根据“比的3倍少”建立与的等量关系式；根据“与互为邻补角”可知，计算即可． 【详解】解：由题可得：， ∴， 解得， ∴． 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的度数． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角与补角，一元一次方程的应用，熟记“余角的和等于，补角的和等于”是解题的关键．设这个角的度数为，由一个角的余角比这个角的补角的小建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，由题意得： ， 解得：， ∴这个角的度数为． 题型4 与余角、补角有关的计算 【例7】如图，O为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，补角的计算等知识． （1）根据角平分线的定义得出，再根据补角的定义求解即可． （2）根据角平分线的定义得出，再根据，可得出，，进而可得出． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【例8】如图，已知和都是直角，它们有公共顶点O． (1)若，求的度数． (2)判断和的大小关系，并说明理由． (3)猜想：和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)相等，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据和都是直角，，可得，进而可求的度数； （2）由，，可得； （3）由，可得． 本题考查了角的大小比较，解决本题的关键是掌握余角和补角定义． 【详解】（1）解：∵和都是直角，， ∴ ∴ 答：的度数为． （2）和的大小关系是相等，理由如下： ∵和都是直角 ∴， ∴． （3）．理由如下： ∵， ∴． 【技巧归纳】 利用余角、补角定义列等式。多个角关系：设中间角为x，用x表示其他角。如∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，则∠A=90°-∠B，∠C=180°-∠B。常用方程思想。注意一个角的余角与补角之差为90°（补角-余角=90°）。可由此快速求解。结合图形找等量关系。结果需在范围内。 【变式1-1】如图，直线与相交于点O，，． (1)图中与互余的角是 与互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来） (2)如果比的小，求的度数． 【答案】(1)，；， (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角； （1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可； （2）设，则，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图中与互余的角是，； 图中与互补的角是，； （2）解：，， ， 设，则， ， ， 解得 ， ． 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键． （1）根据即可得出答案； （2）设，根据平分可得，，然后表示出，再进行求解即可； （3）设，则，根据题意得，，结合，即可得出，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：在内部，， ， ， ； （2）解：设， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：，，三者之间的数量关系是：，理由如下： 设，则， ， ， 又， ． 题型5 同（等）角的余（补）角相等的应用 【例9】如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． （1）根据同角的余角相等解答； （2）根据同角的余角相等解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴． 【例10】如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)写出以C为顶点的所有相等的角； (3)请找出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互补，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三角板中角度计算问题 【分析】本题题主要考查了旋转的性质和互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）根据同角的余角相等作答即可； （2）由图直接回答即可； （3）由可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ； （2）解：以C为顶点的所有相等的角有；； （3）解：与互补，理由如下： ∵， ∴与互补； 【技巧归纳】 同角（或等角）的余角相等，补角相等。用于等量代换：如∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。在几何证明中，用于证明角相等。也可由相等推出余角或补角相等。注意分清“同角”和“等角”。应用时，先找公共角或相等角，再利用此性质转移角度。简化计算。 【变式1-1】如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、求一个角的余角、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等求解即可； （2）由图得，求的度数即可； （3）根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在一起，如图1．          (1)，则_____． (2)写出图1中相等的角； (3)若变大，如何变化，说明原因； (4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2中利用直角三角尺画一个与相等的角． 【答案】(1) (2)；； (3)变小，见解析 (4)，图形见解析 【知识点】三角板中角度计算问题、角度的四则运算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握角度的和差关系是解题关键． （1）先求出的度数，根据即可求解； （2）根据题意得，再利用，即可求解； （3）根据即可求解； （4）根据同角的余角相等即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ． 故答案为:． （2）解：根据题意，可得：， ， ． 故答案为：；；． （3）解：由（1）得：， 若的度数变大，则的度数变小． （4）解：如图，，理由如下； ， ，， ． 一、单选题 1．已知，则它的余角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个角的和为 ，则这两个角互为余角． 【详解】解：∵， ∴ 的余角  ． 2．已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设未知数列方程求出这个角的度数，再计算该角的补角即可得到答案． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵互余两角的和为， ∴这个角的余角为， 由题意列方程得：， 展开整理得， 解得， ∵互补两角的和为， ∴这个角的补角为． 3．如图，一副直角三角板如图摆放，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图形可知，一个三角板的直角顶点落在另一个三角板的边上， ∴， ∴． 4．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 【答案】B 【分析】根据平角定义得出与的关系，根据直角定义得出与 的关系，进而根据变化量进行推导． 【详解】解：点，，在同一条直线上， ． 增加， 减少． ， ． 减少， 增加． 综上所述，减少，增加． 5．如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论的个数有①②④共3个． 二、填空题 6．角的补角为______． 【答案】 【分析】根据补角的定义求解即可． 【详解】解：． 7．已知， 所以∠1 ________∠3，根据是______ 【答案】 同角的补角相等 【分析】根据已知条件判断和都是的补角． 再根据同角的补角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（同角的补角相等）． 8．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角等于 ________． 【答案】 【分析】先设这个角的度数为，再根据题意结合余角补角的定义列出一元一次方程，解方程即可得到这个角的度数． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，余角为， 根据题意得：， 解得：， 即这个角等于． 9．如图，点O为直线上一点，，过点O作射线，使得，则的度数是______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当，可得，再结合已知条件根据得出答案； 当，可得，再求出，然后根据补角定义解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 所以的度数为或． 10．如图：已知直线、相交于点，，射线在内部，有如下结论： ①的补角是； ②若，则； ③若平分，则； ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】①根据补角定义进行判断；②利用得到与互余，代入数据计算验证；③结合对顶角相等和角平分线定义，通过等式变形证明两角相等；④利用对顶角相等列方程求出，再结合直角求出． 【详解】解：， 的补角不是，故①错误； ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ，即， ，即， ，故④正确． 综上，正确的结论为②③④． 三、解答题 11．解答下列各题： (1)一个角的余角比它的补角的少，求这个角． (2)如图，若平分， ， ，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个角为，列出方程即可求解； （2）由平分，可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：设这个角为， 由题意得，， 解得， ∴这个角为． （2）解：∵平分，， ∴， ∴． 12．如图，点O在直线上，射线都在直线的上方，射线在直线的下方．，垂足为点O，在的内部，． (1)求证：与互为余角； (2)若，与互为余角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义，平角的定义，得到，即可得证； （2）根据余角的定义结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 则． ∴与互为余角． （2）解：∵，由（1）可得，． ∵与互为余角，， ∴． ∴． 13．新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由“兄弟角”的定义可得，再根据角的和差可得，然后得到方程即可解答； （2）由已知可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为“兄弟角”， ， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 如图： ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14．如图，点在直线上，与互补，且． (1)求、的度数； (2)若，猜想与的数量关系并说明理由； (3)在（2）的条件下，平分时，在内部作射线，使，求的度数． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由题意设，再由与互补，建立方程求解即可； （2）根据平角的定义结合，以及，求解即可； （3）设，则由（2）知，由角平分线可得，则由，得到，解得，再分两种情况，根据角的和差计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴设 ∵与互补， ∴ 解得 ∴，； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，则由（2）知 ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， ①当在内部时， ∵ ∴ ∴； ②当在内部时， ∵ ∴ ∴， 综上：的度数为或． 15．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断图（1）中与的大小关系，并说明理由； (2)在图（1）中若，求的度数； (3)在图（1）中猜想与的数量关系，并说明理由； (4)若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 (4)结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明两角相等； （2）先求，再通过角的和差计算即可； （3）用两个直角的和减去重叠角，即可推导两角互补； （4）利用周角减去两个直角的和，即可证明互补结论仍成立． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （4）解：结论仍然成立 ∵， ∴， 又∵， ∴． 16．设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值； (3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值． 【答案】(1)，不是 (2) (3)或 【分析】（）利用角平分线的定义可求出，再分别求出与即可判断，是否是“分补角”； （）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解； （）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，不是一对“分补角”； （2）解：∵，平分，平分， ∴，， ∴， ∵，是一对“分补角”， ∴，即， 解得； （3）解：∵平分，平分，且在内部， ∴，， ∴， 如图，当时， 则， ∴； 如图，当时， 则； 综上，的可能值为或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $