精品解析：山东省泰安市泰山区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷（五四制）

第二学期期末学情检测 初二数学样题 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案前的字母代号填在下表内．） 1. “翻开鲁教版《数学》七年级下册课本恰好翻到概率初步这部分内容”这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义分析该事件发生的可能性即可得到结论． 【详解】解：鲁教版《数学》七年级下册课本中既包含概率初步这部分内容，也包含其他章节内容， 翻开课本恰好翻到概率初步这部分内容，可能发生，也可能不发生， 该事件是随机事件． 2. 关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先确定数轴上的数，再根据空心向右表示为，然后确定数轴上的数3，根据实心向左表示为，最后根据公共部分得出解集即可． 【详解】解：如图所示，不等式组的解集是． 3. 用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（ ） A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得 D. 由②得 【答案】D 【解析】 【分析】利用等式的基本性质，对方程组中的两个方程分别移项变形，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：对①移项变形，可得， ∴，故A、B错误； 对②移项变形，可得，故C错误，D正确． 4. 根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、当，时，满足，但，故A不符合题意； B， 解得，故B不符合题意； C、， ， ，故C符合题意； D、 解得，故D不符合题意． 5. 围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子3个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先列出所有等可能的结果，再找出满足条件的结果，结合概率公式即可求解． 【详解】解：记3个黑子分别为黑1，黑2，黑3，1个白子为白，列表如下： 黑1 黑2 黑3 白 黑1 黑1，黑2 黑1，黑3 黑1，白 黑2 黑2，黑1 黑2，黑3 黑2，白 黑3 黑3，黑1 黑3，黑2 黑3，白 白 白，黑1 白，黑2 白，黑3 由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出1个黑子和1个白子的结果有6种， 摸出1个黑子和1个白子的概率为． 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 7. 如图，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，据此进行作图即可得到答案． 【详解】解：根据题意可以作出的三角形如下图所示： △BAE ≌△ABC △DCB ≌△ABC △CFA ≌△ABC △ABG ≌△ABC △IBC ≌△ABC △AHC ≌△ABC 故选C． 【点睛】此题结合了三角形全等的判定作图，是一道较难的数学综合性操作题，需要认真研究才能得出正确答案，解题时注意：三条边分别对应相等的两个三角形全等． 8. 如图，直线l与直线a交于点A，过直线l上的点B作直线a的平行线，下列尺规作图中，不一定能得到直线a平行于直线b的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据作图痕迹，结合平行线的判定方法进行分析即可． 【详解】解：同位角相等，两直线平行，故选项A一定能得到直线a平行于直线b； 内错角相等，两直线平行，故选项B一定能得到直线a平行于直线b； 同旁内角相等，故选项C不一定能得到直线a平行于直线b； 同旁内角互补，两直线平行，故选项D一定能得到直线a平行于直线b； 故选C． 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点，点是上任一点，以为圆心，以同样长为半径画弧交于点，以为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线，然后以为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图步骤得到，，结合平行线判定及等腰三角形性质逐项判断即可 【详解】由作图过程可知，是作出的等于的角，  ，故A选项结论正确；  ，  （同位角相等，两直线平行），故B选项结论正确； 由作图过程可知，，  （等边对等角），故C选项结论正确；  ，  （两直线平行，内错角相等），  ， 即平分，  ， 又，  ，故D选项结论错误． 10. 如图，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，；作直线，分别与，交于点，；再以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据作图痕迹可知是线段的垂直平分线，可得；由可证是直角三角形；设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图， 由作图可知，垂直平分， ，， 由作图可知，， ， ，， ， ，即， 设，则， ， ， 在中， 解得， ． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 已知x，y满足方程组，则x+y的值为__． 【答案】5 【解析】 【分析】根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， ①+②得：4x+4y＝20， 则x+y＝5， 故答案为：5． 【点睛】此题考查解二元一次方程组—特殊法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对应相加或相减即可得到答案的方法更为简便． 12. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，．若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线性质和三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13. 中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图2所示：则转动一次获得奖励“图书”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】观察图2确定总区域数和“图书”区域数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由图2可知，该“东南西北”玩具展开后共有8个面积相等的区域，即所有等可能的结果数为8 其中写有“图书”的区域有2个，即获得奖励“图书”的结果数为2 根据概率公式，转动一次获得奖励“图书”的概率为． 14. 如图，在中，平分．若，，，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线的性质得出点到、的距离相等，设为，根据三角形面积公式列出方程求出，再计算的面积． 【详解】过点作于，于  平分    设      解得     ． 15. 如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的度数，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如下图所示，作， , ∴， ∴ ∴ ∴． 16. 关于的不等式组恰有5个整数解，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解不等式组得到含的解集，根据整数解的个数确定具体的整数解，再根据整数解的范围得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， 不等式组的解集为：， 该不等式组恰有5个整数解， ∴整数解为， 解得． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 现有正面分别写有“国”“泰”“民”“安”的卡片共20张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“国”字的卡片有9张，“民”字卡片有4张，“安”字卡片有3张，其余卡片写有“泰”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）事件“随机抽取4张，全是写有‘安’字的卡片”为_________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）随机抽取一张卡片，求抽到写有“泰”字卡片的概率． 【答案】（1）不可能； （2） 【解析】 【分析】（1）结合安字卡片的实际数量，根据三类事件的定义判断即可； （2）先计算出泰字卡片的数量，再根据概率公式计算所求概率即可． 【小问1详解】 解：“安”字卡片只有张，不可能抽取得到张全是“安”字的卡片， 该事件为不可能事件； 【小问2详解】 解：由题意得，“泰”字卡片的数量：（张）， ∴抽到“泰”字卡片的概率为：， 答：抽到写有“泰”字卡片的概率为． 18. 如图，已知直线，直线分别与、交于点A、B． （1）请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．保留作图痕迹，不写作法； （2）由（1）知，证明点到，的距离相等． 【答案】（1）如图，点即为所求： （2）证明：如图，作于点，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点到，的距离相等． 【解析】 【分析】（1）分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点、，作直线，与的交点，即为所求的点； （2）作于点，延长交于点，由平行线的性质可得，则，容易证明，因此． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 解下列方程或不等式（组） （1），并写出它的正整数解； （2）． 【答案】（1） ，正整数解为 （2） 不等式组的解集为 【解析】 【分析】（1）按照一元一次方程的标准步骤求解方程，再提取正整数解即可； （2）分别求解两个一元一次不等式，再根据解集确定法则得到不等式组的最终解集． 【小问1详解】 解：对于方程  两边同乘去分母，得   去括号，得   移项合并同类项，得   系数化为，得   因此方程的正整数解为. 【小问2详解】 解不等式① ，得 解不等式② ，得 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为． 20. 在学习数学的过程中，及时对知识进行归纳和整理是一个重要的学习习惯．善于学习的小明在学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数之后，把相关知识归纳整理如下： 一次函数与方程的关系： （1）一次函数的关系式就是一个二元一次方程； （2）点的横坐标是方程①的解； （3）点的坐标中的，的值是方程组②的解． 一次函数与不等式的关系： （1）函数的函数值大于0时，自变量的取值范围是不等式③的解集； （2）函数的函数值小于0时，自变量的取值范围是不等式④的解集． （1）请根据方框中的内容在下面序号后面的横线上写出相应的结论． 方程①__________________；方程组②__________________；不等式③____________________；不等式④____________________． （2）如果点的坐标是，那么不等式的解集是_________________． 【答案】（1）；；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干与图象进行填空即可； （2）根据图象即可判断不等式的解集． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知，点的左侧，直线高于直线， ∴不等式的解集为． 21. 已知关于，的二元一次方程． （1）_________，_________；请写出该方程的一个解； （2）若一次函数的图象经过点，求它与直线的交点坐标； （3）求（2）中两个一次函数的图象与轴所围成三角形的面积． 【答案】（1） ，，方程的一个解为（解不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二元一次方程的定义先求出和的值，再依次求解各问.第一问利用二元一次方程未知数次数为1，一次项系数不为0求解，再写任意一个满足方程的解即可； （2）利用点在函数图象上满足函数解析式求出，再联立两个一次函数解析式解方程组得到交点坐标； （3）先求出两个一次函数与轴的交点坐标，得到三角形的底边长，再结合交点横坐标得到三角形的高，代入三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：是关于的二元一次方程    解得  原方程整理为， 令得， 即方程一个解为（解不唯一） 【小问2详解】 解：由（1）得点为  将代入 得  解得  则两个一次函数解析式分别为，  联立方程组  解得  所以交点坐标为 【小问3详解】 解：在中，令，得， 即该函数与轴交点为  在中， 令，得， 即该函数与轴交点为  两个交点间的距离为  两直线交点的横坐标为， 即三角形的高为  所以三角形面积为：． 22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” （1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，求王老师的水杯容量； （2）小军同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求小军同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 【答案】（1） （2）小军同学的接水时间为 【解析】 【分析】（1）用时间乘以对应的水流速度，再求和即可； （2）设先接了温水，又接了开水，根据水的体积和温度列出方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，王老师的水杯容量为； 【小问2详解】 解：设先接了温水，又接了开水， 根据题意，可列方程组：， 解得， ∴． 答：小军同学的接水时间为． 23. 在解题中，若遇2倍角问题，可通过构造等腰三角形、将2倍角转化为该等腰三角形顶角的邻补角，进而求解相关问题． 在中，，垂足为点． （1）如图1，已知，在上截取，连接．求证：； （2）如图2，已知、，为延长线上一点，连接，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）容易证明，则，，结合可得，由三角形外角的性质可得，从而得到，由等量代换可得； （2）在上截取线段，连接，设，容易证明，则，从而得到，则．在中，使用勾股定理构造方程，求解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，在上截取线段，连接，设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 24. 综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； （2）如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； （3）如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 【答案】（1） 解：， ， ， ， ， ，， 则． （2） 解：仍然成立， 理由：， ， ， ， ， ，， ； （3）4 【解析】 【分析】此题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意得，可得，有和，即可证明结论； （2）根据，得，即可证明，则有和，即有成立； （3）根据全等三角形的判定和性质定理以及三角形的面积的计算即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：同（2）可得， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， 即 ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二学期期末学情检测 初二数学样题 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案前的字母代号填在下表内．） 1. “翻开鲁教版《数学》七年级下册课本恰好翻到概率初步这部分内容”这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 2. 关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 3. 用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（ ） A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得 D. 由②得 4. 根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 5. 围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子3个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 8. 如图，直线l与直线a交于点A，过直线l上的点B作直线a的平行线，下列尺规作图中，不一定能得到直线a平行于直线b的是（ ） A. B. C. D. 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点，点是上任一点，以为圆心，以同样长为半径画弧交于点，以为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线，然后以为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，；作直线，分别与，交于点，；再以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 已知x，y满足方程组，则x+y的值为__． 12. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，．若，则的度数为_________． 13. 中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图2所示：则转动一次获得奖励“图书”的概率为______． 14. 如图，在中，平分．若，，，则的值为_________． 15. 如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为_________． 16. 关于的不等式组恰有5个整数解，则的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 现有正面分别写有“国”“泰”“民”“安”的卡片共20张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“国”字的卡片有9张，“民”字卡片有4张，“安”字卡片有3张，其余卡片写有“泰”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）事件“随机抽取4张，全是写有‘安’字的卡片”为_________事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）随机抽取一张卡片，求抽到写有“泰”字卡片的概率． 18. 如图，已知直线，直线分别与、交于点A、B． （1）请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．保留作图痕迹，不写作法； （2）由（1）知，证明点到，的距离相等． 19. 解下列方程或不等式（组） （1），并写出它的正整数解； （2）． 20. 在学习数学的过程中，及时对知识进行归纳和整理是一个重要的学习习惯．善于学习的小明在学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数之后，把相关知识归纳整理如下： 一次函数与方程的关系： （1）一次函数的关系式就是一个二元一次方程； （2）点的横坐标是方程①的解； （3）点的坐标中的，的值是方程组②的解． 一次函数与不等式的关系： （1）函数的函数值大于0时，自变量的取值范围是不等式③的解集； （2）函数的函数值小于0时，自变量的取值范围是不等式④的解集． （1）请根据方框中的内容在下面序号后面的横线上写出相应的结论． 方程①__________________；方程组②__________________；不等式③____________________；不等式④____________________． （2）如果点的坐标是，那么不等式的解集是_________________． 21. 已知关于，的二元一次方程． （1）_________，_________；请写出该方程的一个解； （2）若一次函数的图象经过点，求它与直线的交点坐标； （3）求（2）中两个一次函数的图象与轴所围成三角形的面积． 22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” （1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，求王老师的水杯容量； （2）小军同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求小军同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 23. 在解题中，若遇2倍角问题，可通过构造等腰三角形、将2倍角转化为该等腰三角形顶角的邻补角，进而求解相关问题． 在中，，垂足为点． （1）如图1，已知，在上截取，连接．求证：； （2）如图2，已知、，为延长线上一点，连接，，求的长． 24. 综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； （2）如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； （3）如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $