精品解析：山东菏泽市菏泽经济技术开发区2025-2026学年七年级下学期期末阶段学情自测数学试题

七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 美术课上，同学们用数学曲线设计校园文创图案，下列四种曲线中，无法通过折叠对称快速绘制的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线曲线 3. 如图，在下列条件中，不一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 班级举办“概率与生活”主题班会，同学们分享了以下关于事件类型的说法，其中正确的是（ ） A. 煮熟的鸭子飞了是随机事件 B. 玩飞行棋掷一次骰子，向上一面的点数是3（刚好可以前进3格）是随机事件 C. 校射击队的小明射击一次命中10环是必然事件 D. 计算两个负数相乘，积是正数是不可能事件 5. 如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系．当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下表所示的关系： 氮肥施用量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 根据表格，下列说法错误的是（ ） A. 氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 B. 氮肥施用量越大，土豆产量越高 C. 当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨~34.03吨 D. 当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加 7. 如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案） 11. 在学校劳动实践基地，同学们收获了个劳动成果：个包装成红色礼盒的手工香皂和个包装成黄色礼盒的多肉植物，随机抽取一个礼盒作为劳动奖励，抽到红色礼盒（手工香皂）的概率是____________． 12. 已知是完全平方式，则m为___________． 13. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点F，的垂直平分线交于点G，交于点H．则____________． 14. 如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 15. 如图，在中，，，于点，，垂直平分交于点，交于点，点是线段上一个动点，则的周长的最小值是____________． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算与化简求值： （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中，． 17. 如图，，如果，那么与的大小有什么关系？并说明理由． 18. 【实践背景】 校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】 社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】 （1）表中____________，____________． （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． （3）学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 19. 一个零件的形状如图所示，按规定应等于，、应分别等于和，李师傅量得，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？ 20. 如图，点在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 【实践背景】 周末，小明计划前往文华公园参加“书香伴成长”读书分享会．为节省时间，他先坐公交车到书城选购分享书籍，再继续乘公交前往公园；爸爸担心小明迟到，在小明出发一段时间后，驾车沿相同路线追赶，准备送小明直达会场． 【问题情境】 周末，小明坐公交车到文华公园参加读书分享会，他从家出发0.8小时后到达书城，停留选购书籍一段时间后，继续坐公交车前往文华公园．在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同路线前往文华公园送小明直达会场．如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图象，请根据图象回答下列问题： 【问题提出】 （1）图象反映的两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； （2）小明在书城停留了多长时间？小明从家出发到达文华公园的平均速度为多少？ （3）爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离文华公园多远？ 22. 【实践背景】 为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中． 【知识建构】 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：． 【类比探究】 （1）学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________． 【实战运用】 （2）若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________． 【深度拓展】 （3）校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值． 【迁移运用】 （4）如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 23. 【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 （1）课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 （2）小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 （3）挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 2. 美术课上，同学们用数学曲线设计校园文创图案，下列四种曲线中，无法通过折叠对称快速绘制的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）求解即可． 【详解】解：A．可以通过折叠对称快速绘制，故该选项不符合题意， B．可以通过折叠对称快速绘制，故该选项不符合题意， C．可以通过折叠对称快速绘制，故该选项不符合题意， D．无法通过折叠对称快速绘制，故该选项符合题意． 3. 如图，在下列条件中，不一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，不一定能判定，符合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； D 、，根据同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选：A． 4. 班级举办“概率与生活”主题班会，同学们分享了以下关于事件类型的说法，其中正确的是（ ） A. 煮熟的鸭子飞了是随机事件 B. 玩飞行棋掷一次骰子，向上一面的点数是3（刚好可以前进3格）是随机事件 C. 校射击队的小明射击一次命中10环是必然事件 D. 计算两个负数相乘，积是正数是不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、煮熟的鸭子飞了是一定不会发生的事件，属于不可能事件，故A错误； B、掷一次骰子，向上一面的点数可能是到中的任意一个，点数为可能发生也可能不发生，该事件是随机事件，故B正确； C、小明射击一次命中环可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是必然事件，故C错误； D、 根据有理数乘法法则，两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，不是不可能事件，故 D错误； 故选：B． 5. 如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项A；利用角平分线的定义判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：A、∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论A正确，故该选项不符合题意； B、∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴结论B正确，故该选项不符合题意； C、∵是的中线， ∴， ∴， 即， ∴结论C正确，故该选项不符合题意； D、∵，但不一定小于， 故选项D错误，符合题意， 故选：D． 6. 研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系．当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下表所示的关系： 氮肥施用量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 根据表格，下列说法错误的是（ ） A. 氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 B. 氮肥施用量越大，土豆产量越高 C. 当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨~34.03吨 D. 当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查结合实际土豆产量和施用氮肥量确定变量间的关系，解题的关键是掌握表格法表示两个变量间的关系．根据表格信息逐一分析判断即可． 【详解】解：A、氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量，原说法正确，故选项不符合题意； B、氮肥施用量大于336千克/公顷时，土豆产量逐渐减少，原说法错误， 故选项符合题意； C、当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆产量32.29吨~34.03吨，原说法正确，故选项不符合题意； D、当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随施肥量的增加而增加，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 8. 如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由即可判定求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：在与， ∵， ∴， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 9. 我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分为顶角和为底角两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，结合“特征值”的定义计算即可． 【详解】解：①当为顶角时，底角度数为， 特征值； ②当为底角时，顶角度数为， 特征值； 综上，该等腰三角形的特征值为或， 故选：D． 10. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案） 11. 在学校劳动实践基地，同学们收获了个劳动成果：个包装成红色礼盒的手工香皂和个包装成黄色礼盒的多肉植物，随机抽取一个礼盒作为劳动奖励，抽到红色礼盒（手工香皂）的概率是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：抽到红色礼盒的概率为， 故答案为：． 12. 已知是完全平方式，则m为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴． 故答案为． 13. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点F，的垂直平分线交于点G，交于点H．则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，利用线段垂直平分线的性质得出，，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解： 在中，， 根据三角形内角和定理，得 是的垂直平分线， .   同理可得， ，  ． 14. 如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出  的度数，再结合平角的定义计算即可． 【详解】解： 由  翻折得到，，  ，， ， ． 15. 如图，在中，，，于点，，垂直平分交于点，交于点，点是线段上一个动点，则的周长的最小值是____________． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，由垂直平分，推出，则，由，推出，则的最小值为5，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为5， ∴的周长的最小值为． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算与化简求值： （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） 化简结果为，值为. 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开原式，合并同类项化简后，代入，的值计算结果． 【小问1详解】 解：    【小问2详解】 解：        当，时 原式． 17. 如图，，如果，那么与的大小有什么关系？并说明理由． 【答案】与互补，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即与互补． 【解析】 【分析】由，根据内错角相等，两直线平行得到，再由，根据平行公理的推论得出，再根据两直线平行，同旁内角互补得出，即可得出结论． 【详解】略 18. 【实践背景】 校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】 社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】 （1）表中____________，____________． （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． （3）学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 【答案】（1）， （2）第二组不适合用频率估计概率，一株该植物开出红花的概率约为 （3）棵 【解析】 【分析】（1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 第二组不适合用频率估计概率，理由：试验的植株数太少； 除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为； 【小问3详解】 （棵）， 答：该学校此植物植株的总数量为棵． 19. 一个零件的形状如图所示，按规定应等于，、应分别等于和，李师傅量得，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？ 【答案】不合格，理由见解析 【解析】 【分析】首先延长交于点E，然后根据三角形外角的性质得出和度数，从而得出答案． 【详解】如图，延长交相交于点E． 由三角形的外角性质，得， ． ∵李师傅量得，不是， ∴这个零件不合格． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理的应用与三角形外角的性质，难度不大，基础知识扎实是解题关键 20. 如图，点在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理： （1）证明即可； （2）全等三角形的性质，得到，等边对等角，求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． 21. 【实践背景】 周末，小明计划前往文华公园参加“书香伴成长”读书分享会．为节省时间，他先坐公交车到书城选购分享书籍，再继续乘公交前往公园；爸爸担心小明迟到，在小明出发一段时间后，驾车沿相同路线追赶，准备送小明直达会场． 【问题情境】 周末，小明坐公交车到文华公园参加读书分享会，他从家出发0.8小时后到达书城，停留选购书籍一段时间后，继续坐公交车前往文华公园．在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同路线前往文华公园送小明直达会场．如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图象，请根据图象回答下列问题： 【问题提出】 （1）图象反映的两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； （2）小明在书城停留了多长时间？小明从家出发到达文华公园的平均速度为多少？ （3）爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离文华公园多远？ 【答案】（1）小明离家的时间；他们离家的路程 （2）小明在书城停留了；小明从家出发到达文华公园的平均速度为 （3）爸爸驾车经过追上小明，此时距离文华公园 【解析】 【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量； （2）根据图象中数据进行计算，即可得到时间、平均速度； （3）根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追及问题关系式即可解答． 【小问1详解】 解：由图象可得，自变量是小明离家的时间，因变量是他们离家的路程； 【小问2详解】 解：由图象可得，小明在书城停留的时间为， 小明从家出发到达文华公园的平均速度为：； 【小问3详解】 解：由图象可得，小明从书城到公园的平均速度为， 小明爸爸驾车的平均速度为， 爸爸驾车经过追上小明， ； 即爸爸驾车经过追上小明，此时距离文华公园． 22. 【实践背景】 为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中． 【知识建构】 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：． 【类比探究】 （1）学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________． 【实战运用】 （2）若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________． 【深度拓展】 （3）校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值． 【迁移运用】 （4）如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 【答案】（1） （2）90 （3）5 （4）12 【解析】 【分析】（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案； （2）利用（1）的结论，整体代入计算即可； （3）设，，则，，根据代入计算即可； （4）设，，由题意得到，，根据代入计算即可． 【小问1详解】 解：图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即， 由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为， 因此阴影部分的面积为， 所以有代数恒等式：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 【小问3详解】 解：设，，则，， ∴ ； 【小问4详解】 解：∵，设，， ∴，，，， ∵种花区域的面积和为，即， ∴， ∵， ∴种草区域的面积和为： ． 23. 【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 （1）课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 （2）小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 （3）挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【答案】（1）①；②5 （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ； ②∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $