精品解析： 山东省泰安市泰山区2024-2025学年下学期期末七年级数学试题

第二学期期末学情抽测 初二数学样题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的对应位置） 1. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 同角的补角相等 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，点在上，，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 5. 如图，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 以下四种沿折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线a、b互相平行的是（ ） A. 展开后测得 B. 展开后测得且 C. 测得 D. 测得 7. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是 试验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.28 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B. 在一个装有3个红球、6个白球的箱子里（小球除颜色外都相同），从中摸到的是红球 C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是5 D. 抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面 8. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多.”两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．请问甲乙各有多少只羊呢？设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，的角平分线，交于点F，，，且于点G，则有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题、每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 已知关于，的方程组，则______． 12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____． 13. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 14. 如图，在中，，点在线段上（点不与点，重合），连接，作且边交线段于，若，则的大小为______． 15. 对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是____． 16. 如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 解不等式（组）： （1），并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 18. 若方程组的解满足不等式：，求的最小整数值． 19. 如图所示，已知△ABC中，AB=AC，E，D，F分别在AB，BC和AC边上，且BE=CD，BD=CF，过D作DG⊥EF于G．求证：EG=EF． 20. 新冠疫情以来，各地政府为活跃消费市场，释放消费潜力，各商家采取各种促销以此来对冲疫情影响．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券（若指向边界则重转），凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． （1）求转动一次转盘获得购物券的概率； （2）某顾客在此商场购物220元，通过转转盘获得购物券和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？谈谈你的理由． 21. 已知，交直线于点，交直线于点． （1）如图1，若点在边上，则与有怎样的数量关系？并给与证明； （2）若点在边的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请在备用图中画出图形并加以证明． 22. 阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 23. 第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有，两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买5个种吉祥物和2个种吉祥物共需490元；购买3个种吉祥物和4个种吉祥物共需630元． （1）求，两种吉祥物每件的售价分别是多少元； （2）某公司举行“追梦新时代，巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖50名，其中一等奖名，奖励一件种吉祥物，二等奖不多于名，奖励一件种吉祥物．公司如何购买最省钱？ （3）在（2）最省钱的基础上，特许商品店推出种吉祥物打九折，种吉祥物打九五折的促销活动，该公司共能省多少钱？ 24. 如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． （1）若，求的度数； （2）若平分交于点，求证：点是的中点； （3）在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二学期期末学情抽测 初二数学样题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的对应位置） 1. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 同角的补角相等 【答案】D 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要判断各题设是否能推出结论，结合平行线的性质、对顶角的定义、全等三角形的判定以及补角的性质逐项判断，从而得出答案． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题是假命题，不符合题意； D、同角的补角相等，故原命题是真命题，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查命题与真理，熟练掌握相关知识是解答的关键． 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集。.熟练掌握一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．先分别解出不等式组的每一个不等式的解集，再找出其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后数形结合在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：   故选：C． 3. 如图，在四边形中，点在上，，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识，解题关键是找出各角的关系． 由平行线的性质可得，在中，根据其内角和为，联立，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中， ， ， ， 即， 联立， 解得：，， 故选：A． 4. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB 【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 5. 如图，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：如图： 根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况， 使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：． 故选：B． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．解题的关键是注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义． 6. 以下四种沿折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线a、b互相平行的是（ ） A. 展开后测得 B. 展开后测得且 C. 测得 D. 测得 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答． 【详解】解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确； B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， 故正确； C、测得∠1=∠2， ∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角， ∴不一定能判定两直线平行，故错误； D、测得∠1=∠2, 根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；，故选C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理． 7. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是 试验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.28 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B. 在一个装有3个红球、6个白球的箱子里（小球除颜色外都相同），从中摸到的是红球 C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是5 D. 抛一枚质地均匀的硬币，出现的是反面 【答案】B 【解析】 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，继而进行判断． 【详解】解：由表中数据可知，出现这一结果的概率是， A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； B、在一个装有3个红球、6个白球的箱子里（小球除颜色外都相同），从中摸到红球的概率是，符合题意； C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意； D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意； 故选B． 【点睛】此题考查利用频率估计概率，计算简单事件的概率，解题的关键是理解利用频率估计概率的原理．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 8. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多.”两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．请问甲乙各有多少只羊呢？设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出相应的二元一次方程组即可 【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意得： 故选：D 【点睛】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，正确找到等量关系是关键 9. 对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键． 根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 该不等式的正整数解为1，2共2个， 故选：B． 10. 如图，的角平分线，交于点F，，，且于点G，则有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，结合角平分线定义可得，①正确；根据角平分线定义可得，，然后利用三角形外角的性质即可求出，②正确；由于条件不足，无法得出平分，③错误；根据直角三角形两锐角互余可得，根据平行线的性质可得，即，结合角平分线的定义可得，④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴，①正确； ②∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，②正确； ③∵，而与不一定相等， ∴不一定平分，③错误； ④∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∵，且， ∴，即， ∴，④正确． 综上，正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理、角平分线定义、平行线的性质、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题、每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 已知关于，的方程组，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．将两个方程相加，进而得出答案． 【详解】解：， ①②，得， ， 等式两边同时除以4，得． 故答案为：． 12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长，即可求解． 【详解】解：由作图可得DF垂直平分线段AB， ∴， ∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴△AFH的周长， 故答案为：6． 【点睛】本题考查尺规作图—线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 13. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点在线段上（点不与点，重合），连接，作且边交线段于，若，则的大小为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和的性质，得到是等腰三角形是解决本题的关键． 先由可得，再由，可得，即是等腰三角形，可求解的度数，再结合三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴的大小为． 故答案为：30 ． 15. 对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 【详解】解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． 16. 如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是利用面积证明，属于中考常考题型． 作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， （）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∴， ∴， ∵ ∴， 故⑤正确； 若②平分成立，则， ∵， ∴，推出，由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故②错误， 即正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 解不等式（组）： （1），并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1），数轴表示见解析； （2）原不等式组的解集为，整数解是：，，，，，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据，并熟记确定不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”． （1）根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1依次计算即可，再将解集表示在数轴上即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 则， 将解集表示在数轴上如下： 【小问2详解】 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为，其整数解为、、、0、1、2． 18. 若方程组的解满足不等式：，求的最小整数值． 【答案】的最小整数值是 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤和不等式的基本性质．解方程组得出、，代入不等式，解之即可得出答案． 【详解】解：整理得， 解得， ， ， 解得， 的最小整数解为． 19. 如图所示，已知△ABC中，AB=AC，E，D，F分别在AB，BC和AC边上，且BE=CD，BD=CF，过D作DG⊥EF于G．求证：EG=EF． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】做辅助线DE、DF，证明△EBD≌△DCF（SAS），证得△EDF为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得． 【详解】解：如图连接DE、DF， ∵AB=AC， ∴∠EBD=∠DCF， 在△EBD和△DCF中， ， ∴△EBD≌△DCF（SAS）， ∴DE=DF，则△EDF为等腰三角形， 又∵DG⊥EF， ∴EG=GF， ∴EG=EF． 【点睛】此题考查了等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形并证明△EDF是等腰三角形． 20. 新冠疫情以来，各地政府为活跃消费市场，释放消费潜力，各商家采取各种促销以此来对冲疫情影响．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券（若指向边界则重转），凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． （1）求转动一次转盘获得购物券的概率； （2）某顾客在此商场购物220元，通过转转盘获得购物券和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？谈谈你的理由． 【答案】（1）；（2）选择转转盘对顾客更合算，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，直接利用概率公式即可求得答案； （2）首先求得指针正好对准红色、黄色、绿色区域的概率，继而可求得转转盘的情况，继而求得答案． 【详解】解：（1）∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况， ∴P（转动一次转盘获得购物券）＝； （2）∵P（红色）＝， P（黄色）＝， P（绿色）＝， ∴200×+100×+50×＝40（元） ∵40元＞30元， ∴选择转转盘对顾客更合算． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 已知，交直线于点，交直线于点． （1）如图1，若点在边上，则与有怎样的数量关系？并给与证明； （2）若点在边的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请在备用图中画出图形并加以证明． 【答案】（1）（相等），证明见解析； （2）不成立，（互补），证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等以及两直线平行，同旁内角互补等知识，此题难度不大． （1）根据平行线的性质即可得到与的数量关系； （2）首先作出图形，再结合平行线的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解： （相等） 证明：，（已知） （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 【小问2详解】 解：不成立，（互补） 证明：完善图形，如图所示， （已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （两直线平行，同旁内角互补） （等量代换） 22. 阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】（1）；（2）；，． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；根据两个方程组有相同的解求出，的值，继而求出的值即可得． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：； （2）由（1）得：， 解得：， 即原方程组的解为， 故答案为：； ，的方程组与有相同的解， ， 解得：， 将代入方程得：，解得：， 将代入方程得：，解得：， 则，， 解得：，． 23. 第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有，两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买5个种吉祥物和2个种吉祥物共需490元；购买3个种吉祥物和4个种吉祥物共需630元． （1）求，两种吉祥物每件的售价分别是多少元； （2）某公司举行“追梦新时代，巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖50名，其中一等奖名，奖励一件种吉祥物，二等奖不多于名，奖励一件种吉祥物．公司如何购买最省钱？ （3）在（2）最省钱的基础上，特许商品店推出种吉祥物打九折，种吉祥物打九五折的促销活动，该公司共能省多少钱？ 【答案】（1）（1）种吉祥物每件的售价是50元，种吉祥物每件的售价是120元； （2）购进种吉祥物36件，种吉祥物14件时，公司最省钱； （3）特许商品店打折后，该公司共能省264元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，有理数的乘法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设种吉祥物每件售价是元，种吉祥物每件售价是元，再列出方程组，进行解方程，即可作答． （2）先列出不等式，解得，整理得，运用一次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）根据题意列式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设种吉祥物每件售价是元，种吉祥物每件售价是元， 由题意得． 解得 答：种吉祥物每件的售价是50元，种吉祥物每件的售价是120元； 【小问2详解】 解：由题意可知：， 解得： 设总费用为元， 依题意，， ， 随的增大而增大， 当时，取最小值，此时， 购进种吉祥物36件，种吉祥物14件时，公司最省钱； 【小问3详解】 解：（元）， 答：特许商品店打折后，该公司共能省264元． 24. 如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． （1）若，求的度数； （2）若平分交于点，求证：点是的中点； （3）在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）结论：，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用平角定义解题即可； （2）根据角平分线定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，利用等角对等边得到，即可得证； （3）连接，则有，再利用勾股定理推理即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 证明：平分， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即点是的中点； 【小问3详解】 结论：，理由如下： 如图2，连接． ，点为的中点． 为的中垂线． ． 在中，． 由勾股定理得． ． 【点睛】本题考查了角的和差，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练运用以上性质推理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $