1.3.2 空间向量运算的坐标表示讲义-2026年新高二数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.3.2 空间向量运算的坐标表示】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 空间向量，，其坐标形式为，． 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ________ 线性运算 若，是两个实数，________ 模 ________ 数量积 ________ 夹角公式 平行 ， 其中， 垂直 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：空间向量线性运算的坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.向量加法： 2.向量减法： 3.数乘向量： 4.两点确定向量：若、，则 方法技巧 1.坐标线性运算对应分量单独加减、数乘，三维分量分开计算互不干扰 2.求两点向量终点坐标减去起点坐标，顺序不可颠倒 3.多层线性组合分步展开，先数乘再合并同类分量 （24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若，则与共线反向的单位向量=___________.经典例题1例题 （25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型2：空间向量数量积的坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.数量积坐标公式： 2.运算恒等式： 3.运算律：， 方法技巧 1.数量积等于三维对应坐标乘积全部相加，无向量分量交叉相乘项 2.求向量平方模长直接用自身数量积简化计算 3.含括号数量积先展开再分项计算，避免符号错误 易错提醒 1.混淆数量积与向量加法，错误写成 2.展开分配律时符号出错，负分量乘积漏写负号 （25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ）经典例题1例题 A．21 B．8 C．68 D．-3 （25-26高二上·安徽·阶段检测）在四面体中，是边长为2的等边三角形，，，则______.小试牛刀1 （25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ）小试牛刀2 A．7 B． C．9 D． （24-25高二下·甘肃·期中）（多选）已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：空间向量模长的坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.向量模长： 2.两点距离公式：A、B两点距离 3.模长性质： 方法技巧 1.先计算各坐标平方和，再整体开二次根号得到模长 2.线段长度求解转化为对应向量模长计算 3.含参数向量模长平方可去掉根号，简化方程运算 易错提醒 1.模长计算根号内漏加某一维坐标平方 2.数乘模长遗漏绝对值，直接写成 （25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ）经典例题1例题 A． B．3 C． D．5 （25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________小试牛刀2 （25-26高二上·重庆·期末）在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：空间向量的夹角坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.夹角余弦核心公式 2.夹角范围： 3.特殊夹角判定 同向；反向；垂直 方法技巧 1.分步计算：先算分子数量积，再分别求两个向量模长，最后作分式除法 2.判断锐角钝角：夹角锐角；夹角钝角 3.求角度时根据余弦值反三角函数求解，注意角度区间限制 易错提醒 1.分母模长乘积漏乘其中一个向量模长 2.混淆夹角范围，将钝角余弦负值判定为锐角 （25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．小试牛刀2 （25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：空间向量的垂直平行坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.向量垂直充要条件： 2.向量平行充要条件：存在实数，使 等价比例式：（分母不为0） 方法技巧 1.垂直类题型直接列坐标乘积和等于0的方程求解参数 2.平行题型列三组坐标比例等式，联立方程组求或参数 3.分母坐标为0时单独讨论对应分子坐标必须为0 易错提醒 1.平行向量比例式分母为0仍直接作分式运算 2.垂直判定误用坐标对应相等，混淆平行与垂直条件 （25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ）小试牛刀1 A．9 B．0 C．1 D． （25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀2 A．， B．， C．， D．， （25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ）小试牛刀3 A．当 时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型6：投影向量】 【练方法】 公式结论 1.在上的投影数量： 2.在上的投影向量： 3.投影数量符号：投影同向；投影反向；等于0两向量垂直 方法技巧 1.先求数量积与，再乘以得到完整投影向量 2.投影向量与基底一定共线，结果可整理为形式 3.仅求投影长度取投影数量的绝对值 易错提醒 1.投影向量分母误用，正确应为 2.混淆投影数量与投影向量，漏乘基底向量 （25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________.经典例题1例题 （25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________．小试牛刀1 （2026·江西南昌·三模）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.小试牛刀2 （25-26高二下·上海徐汇·期末）已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________．小试牛刀3 【题型7：空间向量坐标运算的最值与范围】 【练方法】 公式结论 1.柯西不等式：，等号成立 展开坐标形式： 2.含参数向量模长：，值域由二次函数最值决定 3.数量积范围： 方法技巧 1.模长最值先平方去掉根号，转化为二次函数求值域 2.求数量积最值直接利用柯西不等式快速锁定上下界 3.含多参数向量固定部分分量，单变量分析单调性求最值 （25-26高二下·上海·期末）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________．经典例题1例题 （25-26高二下·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______.小试牛刀1 （2026·河南·二模）点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，为底面的中心，若，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A．3 B．2 C． D． （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________.小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 6．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 7．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 二、多选题 9．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 10．（25-26高二下·河南许昌·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 三、填空题 11．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 12．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知，，则在方向上的投影数量为_______，在方向上的投影向量为_________________ 13．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 14．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 15．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 四、解答题 16．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 17．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 18．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：； (2)若点是线段（含端点）上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 19．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知空间向量，，设函数． (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域． 20．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.3.2 空间向量运算的坐标表示】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 空间向量，，其坐标形式为，． 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ________ 线性运算 若，是两个实数，________ 模 ________ 数量积 ________ 夹角公式 平行 ， 其中， 垂直 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：空间向量线性运算的坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.向量加法： 2.向量减法： 3.数乘向量： 4.两点确定向量：若、，则 方法技巧 1.坐标线性运算对应分量单独加减、数乘，三维分量分开计算互不干扰 2.求两点向量终点坐标减去起点坐标，顺序不可颠倒 3.多层线性组合分步展开，先数乘再合并同类分量 （24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若，则与共线反向的单位向量=___________.经典例题1例题 【答案】 【详解】∵ ，∴ . ∵ 单位向量与共线且反向， ∴ . （25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． （25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 【题型2：空间向量数量积的坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.数量积坐标公式： 2.运算恒等式： 3.运算律：， 方法技巧 1.数量积等于三维对应坐标乘积全部相加，无向量分量交叉相乘项 2.求向量平方模长直接用自身数量积简化计算 3.含括号数量积先展开再分项计算，避免符号错误 易错提醒 1.混淆数量积与向量加法，错误写成 2.展开分配律时符号出错，负分量乘积漏写负号 （25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ）经典例题1例题 A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. （25-26高二上·安徽·阶段检测）在四面体中，是边长为2的等边三角形，，，则______.小试牛刀1 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用已知条件列方程组，根据向量数量积运算求得. 【详解】如图，取棱的中点，连接. 因为是等边三角形，且是线段的中点，所以， 则以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为是边长为2的等边三角形，所以，，. 设，则，，，. 因为，，所以 所以，则. 故答案为： （25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ）小试牛刀2 A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B （24-25高二下·甘肃·期中）（多选）已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算逐项检验即可得结论. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，因，则，故A正确； 对于B，因则，故B错误； 对于C，因则，故C正确；， 对于D，因，则，故D正确. 故选：ACD. 【题型3：空间向量模长的坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.向量模长： 2.两点距离公式：A、B两点距离 3.模长性质： 方法技巧 1.先计算各坐标平方和，再整体开二次根号得到模长 2.线段长度求解转化为对应向量模长计算 3.含参数向量模长平方可去掉根号，简化方程运算 易错提醒 1.模长计算根号内漏加某一维坐标平方 2.数乘模长遗漏绝对值，直接写成 （25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ）经典例题1例题 A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. （25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． （25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________小试牛刀2 【答案】 【分析】利用等体积法计算得三棱锥的体积；建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求出点坐标，进而求出长度. 【详解】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. （25-26高二上·重庆·期末）在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将点 的坐标用表示，代入约束条件后，把转化为关于的二次代数式，再通过代数配方求出最小值. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 将其看作关于的二次式，， 则当时最小值为， 则当时取得最小值，此时. 故选：A. 【题型4：空间向量的夹角坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.夹角余弦核心公式 2.夹角范围： 3.特殊夹角判定 同向；反向；垂直 方法技巧 1.分步计算：先算分子数量积，再分别求两个向量模长，最后作分式除法 2.判断锐角钝角：夹角锐角；夹角钝角 3.求角度时根据余弦值反三角函数求解，注意角度区间限制 易错提醒 1.分母模长乘积漏乘其中一个向量模长 2.混淆夹角范围，将钝角余弦负值判定为锐角 （25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   （25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． （25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．小试牛刀2 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. （25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 【题型5：空间向量的垂直平行坐标表示】 【练方法】 公式结论 1.向量垂直充要条件： 2.向量平行充要条件：存在实数，使 等价比例式：（分母不为0） 方法技巧 1.垂直类题型直接列坐标乘积和等于0的方程求解参数 2.平行题型列三组坐标比例等式，联立方程组求或参数 3.分母坐标为0时单独讨论对应分子坐标必须为0 易错提醒 1.平行向量比例式分母为0仍直接作分式运算 2.垂直判定误用坐标对应相等，混淆平行与垂直条件 （25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即. （25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ）小试牛刀1 A．9 B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得. （25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀2 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. （25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ）小试牛刀3 A．当 时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 【题型6：投影向量】 【练方法】 公式结论 1.在上的投影数量： 2.在上的投影向量： 3.投影数量符号：投影同向；投影反向；等于0两向量垂直 方法技巧 1.先求数量积与，再乘以得到完整投影向量 2.投影向量与基底一定共线，结果可整理为形式 3.仅求投影长度取投影数量的绝对值 易错提醒 1.投影向量分母误用，正确应为 2.混淆投影数量与投影向量，漏乘基底向量 （25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. （25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________．小试牛刀1 【答案】 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. （2026·江西南昌·三模）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.小试牛刀2 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. （25-26高二下·上海徐汇·期末）已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意，求得 ，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为点 ， 可得 ，则 ， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 【题型7：空间向量坐标运算的最值与范围】 【练方法】 公式结论 1.柯西不等式：，等号成立 展开坐标形式： 2.含参数向量模长：，值域由二次函数最值决定 3.数量积范围： 方法技巧 1.模长最值先平方去掉根号，转化为二次函数求值域 2.求数量积最值直接利用柯西不等式快速锁定上下界 3.含多参数向量固定部分分量，单变量分析单调性求最值 （25-26高二下·上海·期末）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________．经典例题1例题 【答案】 【分析】依题意可根据单位向量设出，根据条件求出，再设出，分别求出，再求出模长. 【详解】对任意，且等号能成立，则到组成平面的最短距离为. 设，由，，得. 设，则最短距离，故. 由得； 代入，得，解得. . （25-26高二下·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______.小试牛刀1 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据空间向量的模长公式求出点的轨迹方程，设，，，结合空间向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， 则，， 所以， 则， 整理可得， 不妨设，，， ，， 所以 ， 当或时，取最大值， 当或时，取最小值. 综上所述，的取值范围是. （2026·河南·二模）点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，为底面的中心，若，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】法一：根据空间向量共面定理可得当点P位于平面内时，，设与平面平行的平面为，外接球球心为，分析可得当点P是平面和球相切时的切点时，的值最大，进而分析求解即可； 法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算可得，，进而得到，再结合基本不等式求解即可. 【详解】法一：因为， 所以当点P位于平面内时，， 设与平面平行的平面为，正方体的外接球球心为． 则当点P是平面和球相切时的切点时，的值最大． 记棱的中点为E，则面， 故图中射线与球的交点即为点P． 设棱AB，的中点分别为F，G，取过O，，E的截面，如图， 连接OP交直线FG于点M，过点O作垂足为H， 则，， 则的最大值为． 法二：设正方体的外接球球心为，建立如图的坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 又，得， ， 又点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，则． 得， 设，则， 而， 因为， 故当，且时，取最大值为， 所以的最大值为，即的最大值为． （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________.小试牛刀3 【答案】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 2．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 3．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 4．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 5．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 6．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标运算公式可得，从而求得. 【详解】因为，所以，解得，所以. 7．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 8．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出点关于平面的对称点，再利用两点间线段最短求解. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，连接， 三棱锥是正四面体，令正的重心为，则， 因点即正的中心，则平面， 设，即点，则点与点关于平面对称， 由为平面内动点，得， 则， 当且仅当是线段与平面的交点时取等号， 所以的最小值为. 二、多选题 9．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10．（25-26高二下·河南许昌·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 三、填空题 11．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 【答案】 【详解】在直三棱柱中，平面，且，所以两两垂直， 因此，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意，可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以， 所以的坐标为， 从而． 12．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知，，则在方向上的投影数量为_______，在方向上的投影向量为_________________ 【答案】 【详解】在方向上的投影数量为， 在方向上的投影向量为. 13．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 14．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 【答案】6 【详解】由题意知，，，， 而，为不共线向量，因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数，， 使得， 则应有，解得，，． 15．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【分析】根据与的夹角为钝角，首先满足，解出的取值范围，排除共线的情况. 【详解】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 四、解答题 16．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 17．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则 ， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 18．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：； (2)若点是线段（含端点）上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)已知，则， 为直角三角形，且， ，且，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面， 平面， ． (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理结合已知条件证明结论； （2）建立空间直角坐标系，得出点和相关向量坐标，进而求出法向量，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程，进而求出． 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，为轴正向，为轴正向，过点垂直于轴为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则，设， ， ，解得， ， 设，，则， ， ，故， ，设平面的法向量为，则 ，令，故， 直线与平面所成角的正弦值为，设该角为， 则， ，化简整理得， 解得或， ， ，故． 19．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知空间向量，，设函数． (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期为； （2）当时，，则， 所以的值域为． 20．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过全等三角形得到结论； （2）利用，，求出，从而得到的运动轨迹是圆，通过空间向量法得到的方程及方程中的范围，利用数量积得到直线与直线所成角的余弦值，结合的范围得到所求余弦值的范围. 【详解】（1）证明：在平面上的投影为，点与点重合， 平面，平面，，. 四边形为菱形，，，. （2），. ， 是以为圆心，以3为半径的圆上的点， 以为原点，分别为轴，过作的平行线作为，如图所示， 设，则有，则， ，，，， ，，， 设直线与直线所成角为， 则， ，，，， ，故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $