第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（3大知识点+8大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第03讲 空间向量及其运算的坐标表示 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、空间直角坐标系 3 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 3 知识点三、 空间向量的坐标运算 4 03 题型精讲举一反三 6 题型一：空间向量坐标体系与表示 6 题型二：空间向量直角坐标运算法则 6 题型三：利用坐标判断向量共线、共面 7 题型四：由坐标求空间向量模长 7 题型五：向量平行的坐标条件 8 题型六：向量垂直的坐标条件 8 题型七：基于坐标计算向量夹角 8 题型八：综合应用 9 04 过关测试 11 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 题型一：空间向量坐标体系与表示 【例1】（25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【变式1-1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型二：空间向量直角坐标运算法则 【例2】（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 题型三：利用坐标判断向量共线、共面 【例3】（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·湖北·期中）已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．6 C． D．8 【变式3-3】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 题型四：由坐标求空间向量模长 【例4】（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 【变式4-1】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【变式4-2】（25-26高二上·河南·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为_____. 【变式4-3】（25-26高二上·广西贵港·期中）在三棱柱中，，，，，，的外心为，则的长为_________ 题型五：向量平行的坐标条件 【例5】（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【变式5-1】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于_____. 【变式5-2】（25-26高二上·天津·期中）已知空间向量，，若，则_____. 【变式5-3】（24-25高二上·天津北辰·期中）设，向量，，且，，则___________. 题型六：向量垂直的坐标条件 【例6】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知向量，向量，若，则__________. 【变式6-1】（25-26高二上·广东·期末）设空间向量，，若，则的值为_____________． 【变式6-2】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知空间向量，且，则___________． 【变式6-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知，，若，则的值为__________. 题型七：基于坐标计算向量夹角 【例7】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 【变式7-1】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【变式7-2】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，，，则与所成角的大小为______． 【变式7-3】（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 题型八：综合应用 【例8】（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【变式8-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【变式8-2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【变式8-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知空间向量，，. (1)若，求x； (2)设，，求； (3)若向量与向量共面，求实数x的值. 1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 2．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 6．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 7．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 9．（多选题）（25-26高二下·福建宁德·期中）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．（多选题）（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）（25-26高二下·浙江·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 12．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）已知向量，且，则________________． 13．若，则_________． 14．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 15．（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 16．已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 17．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 18．（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 19．（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知． (1)若点满足，求； (2)求的面积． 20．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间向量及其运算的坐标表示 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、空间直角坐标系 3 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 3 知识点三、 空间向量的坐标运算 4 03 题型精讲举一反三 6 题型一：空间向量坐标体系与表示 6 题型二：空间向量直角坐标运算法则 7 题型三：利用坐标判断向量共线、共面 8 题型四：由坐标求空间向量模长 9 题型五：向量平行的坐标条件 12 题型六：向量垂直的坐标条件 13 题型七：基于坐标计算向量夹角 14 题型八：综合应用 15 04 过关测试 19 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 题型一：空间向量坐标体系与表示 【例1】（25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 【变式1-1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 【变式1-2】（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】关于平面对称的点，横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原坐标的相反数， 已知点的坐标为，按照规律可得关于平面的对称点坐标为. 【变式1-3】（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，则. 故选：D 题型二：空间向量直角坐标运算法则 【例2】（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 【变式2-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，，， 所以，，， 因此点的坐标为. 【变式2-2】（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，则. 【变式2-3】（25-26高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，点，，，则. 故选：B. 题型三：利用坐标判断向量共线、共面 【例3】（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 【变式3-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为共面，所以存在，使得， 即，解得， 所以． 【变式3-2】（25-26高二上·湖北·期中）已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【解析】由，共线，，，所以， 解得，得. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【解析】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B 题型四：由坐标求空间向量模长 【例4】（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 【答案】 【解析】因为，所以， 即， 解得，则． 【变式4-1】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【答案】 【解析】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. 【变式4-2】（25-26高二上·河南·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为_____. 【答案】 【解析】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量， 其模为， 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高二上·广西贵港·期中）在三棱柱中，，，，，，的外心为，则的长为_________ 【答案】/ 【解析】以为坐标原点，正方向为轴正方向，在平面内作轴，作轴平面，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，， ，，，设， 则，，， ，，， ，， ，，又，，由图可知，， ； 在平面直角坐标系中，，，， 则中点为，中点为， 线段垂直平分线方程为；线段垂直平分线方程为，即， 由得：，，， ，即的长为. 故答案为：. 题型五：向量平行的坐标条件 【例5】（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【答案】 【解析】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于_____. 【答案】3 【解析】因为，，，所以， 因为，所以，得， 故，故. 故答案为： 【变式5-2】（25-26高二上·天津·期中）已知空间向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】已知空间向量，，若，则， 即，有，解得， 所以，则， 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二上·天津北辰·期中）设，向量，，且，，则___________. 【答案】 【解析】因为，所以，即，解得， 又因为∥，所以存在实数使得，即，解得， 所以， 所以， 故答案为： . 题型六：向量垂直的坐标条件 【例6】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知向量，向量，若，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以， 即，解得. 【变式6-1】（25-26高二上·广东·期末）设空间向量，，若，则的值为_____________． 【答案】8 【解析】，， 所以， ∵， ∴，即，∴. 故答案为：8. 【变式6-2】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知空间向量，且，则___________． 【答案】/0.5 【解析】因为，所以，即，解得. 故答案为： 【变式6-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知，，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】因为，， 则， ， 又，所以， 即，化简得，解得. 故答案为： 题型七：基于坐标计算向量夹角 【例7】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 【答案】1 【解析】因为，，所以， 因为，所以 ， 因为，所以，解得 . 【变式7-1】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 【变式7-2】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，，，则与所成角的大小为______． 【答案】 【解析】由题意知，，， 设与所成角为， 则， 因为，所以， 所以与所成角的大小为. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【解析】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 题型八：综合应用 【例8】（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【解析】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 【变式8-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【解析】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 【变式8-2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【解析】（1）由题意得，. （2），则. （3），则. 【变式8-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知空间向量，，. (1)若，求x； (2)设，，求； (3)若向量与向量共面，求实数x的值. 【解析】（1）由，所以，解得； （2）由，所以存在实数，使得，即， 又因为，所以，解得， 当时，，当时，； （3）由向量与向量共面，存在有序实数对，使得， 所以， 所以，解得， 所以. 1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】已知点在平面内，，故， 解得， ． 2．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 3．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 4．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 又， 所以， 所以. 5．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由空间四点，，，构成梯形，得四点共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 得，解得. 当时，， 所以，且， 所以空间四点构成梯形. 所以. 6．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 7．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 【答案】D 【解析】对于A：因为，所以，所以，A正确； 对于B：因为，所以，B正确； 对于C：因为，所以， ，所以在上的投影向量是，C正确； 对于D：因为，所以， 所以与共线的单位向量是，D错误. 8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题可得. 因，则.故选：B 9．（多选题）（25-26高二下·福建宁德·期中）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【解析】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 10．（多选题）（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】选项A， 根据空间向量模长公式，若，则， 得，即，故A错误； 选项B， 若存在实数使得，则对应坐标成比例 ， 由解得，此时矛盾，因此不存在这样的，故B正确； 选项C ，若，则，计算得 令，得，故C错误； 选项D， 若，即，得， 此时，符合结论，故D正确. 11．（多选题）（25-26高二下·浙江·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得， 若三点共线，则存在实数，使得， 即，无解，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由题意得， ， 即与不垂直，故D错误. 12．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）已知向量，且，则________________． 【答案】 / 【解析】，解得 . 13．若，则_________． 【答案】 【解析】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 14．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【解析】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 15．（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 【答案】/ 【解析】如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 则当时取得最小值，此时最小值为． 16．已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【解析】因为，所以可设．由于是的中点， 所以， 又因为是的中点， 所以，所以． 17．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 【解析】（1）因为、、，，， 所以，， 则． （2）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 18．（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【解析】（1）由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． （2）， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即，解得，∵与不共线，∴②， 由①②得. 19．（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知． (1)若点满足，求； (2)求的面积． 【解析】（1）设点，因为，， 所以， 则，解得，所以点， 所以，故． （2）由已知得，，则， ，， 所以，则为锐角， 所以， 因此， 故的面积为． 20．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 【解析】（1）由，得； （2）由（1）得，而， 因此，所以； （3）由（1）知，， 由，得 ，所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $