第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（思维导图+3知识点+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 空间向量中点的坐标表示与对称问题 题型02 空间向量线性运算、数量积的坐标表示 题型03 空间向量坐标中夹角、模长的运算 题型04 空间向量坐标中平行、垂直、共面关系的运算 题型05 空间向量坐标中投影向量的运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.空间直角坐标系 2.空间向量运算的坐标表示 3.空间向量数量积运算应用的坐标表示 1. 在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置,培养直观想象的核心素养. 2. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,提升数学抽象的核心素养. 3. 掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题,强化数学运算的核心素养. 4. 能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核心素养 学习重点：学会建立合理的空间直角坐标系并求出点的坐标 学习难点：掌握空间向量的平行、垂直、数量积、模长、夹角的坐标运算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间向量的正交分解及其坐标表示 一、空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 （1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. （3）右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都是右手直角坐标系． 二、特殊的的坐标及点的对称坐标 1、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 2、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 三、空间中两点的距离公式 若，，则 （1） 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （2）， 或． 即时即练 1．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 1、建系确定点的坐标的原则 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 2、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 知识点02 空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 即时即练 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【方法总结】 空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b,再求数量积. 知识点03 空间向量平行、垂直、数量积运算应用的坐标运算 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 即时即练 1．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 2．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知向量.求： (1) (2) 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【方法总结】 (1)判断向量是否平行、垂直,可根据向量平行、垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否成立. (2)根据向量的平行、垂直求参数,可转化为解关于参数的方程(组). (3)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. (4)利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明. (5)通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写点的坐标时更便捷.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题 题型01 空间向量中点的坐标表示与对称问题 1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 5．如图长方体中，分别是的中点，如图所示建系，则中点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广西玉林·期末）已知点，，若，则点的坐标是______. 8．（23-24高二上·河南新乡·期中）一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则该光线所走的路程是______． 9．（24-25高二上·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    【技巧归纳】 1、建系确定点的坐标的原则 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 2、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 题型02 空间向量线性运算、数量积的坐标表示 1．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 2．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知，，是轴上一点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点，为的中点．若，，则（   ） A．0 B．-4 C．-8 D．8 【技巧归纳】 空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b,再求数量积. 题型03 空间向量坐标中夹角、模长的运算 1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 3．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东淄博·期中）已知空间向量，．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【技巧归纳】 通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写点的坐标时更便捷.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题 题型04 空间向量坐标中平行、垂直、共面关系的运算 1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知空间四点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数（    ） A．－1 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 5．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 6．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，若，则______. 8．（25-26高二上·广东·期末）设空间向量，，若，则的值为_____________． 9．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若，则与共线反向的单位向量=___________. 【技巧归纳】 (1)判断向量是否平行、垂直,可根据向量平行、垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否成立. (2)根据向量的平行、垂直求参数,可转化为解关于参数的方程(组). (3)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. (4)利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明. 题型05 空间向量坐标中投影向量的运算 1．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建漳州·期中）在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 6．（25-26高二上·福建福州·期中）空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． 7．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心．    (1)求点，的坐标及； (2)求向量在方向上的投影向量． 1．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知，，则是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 4．（25-26高二上·湖南·期中）已知、、，若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知．若点共线，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东·期末）在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 7．已知向量，，则（    ） A． B．0 C．2 D．10 8．（2025高二·全国·专题练习）已知点关于轴的对称点为，一束光线自点出发，被平面反射后到达点被吸收，那么光所走的路程是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 10．（24-25高二上·北京·期中）已知向量，，点为线段中点，则（    ） A．1 B． C． D． 11．（24-25高二上·四川达州·期末）已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 13．向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 14．（25-26高二上·北京延庆·期中）若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（23-24高二上·河北·期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（    ）      A． B． C． D． 17．在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 19．（多选题）（25-26高二上·山东济南·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．向量是的一个单位向量 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 20．（25-26高二上·上海·期末）设、，向量，，，且，，则______. 21．（25-26高二上·北京·期中）已知为坐标原点，,,则的值为______；中，边上中线的长为______． 22．（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图1，在长方形中，已知，，将沿长方形的对角线翻折，使其构成如图2所示的三棱锥，则_________. 23．如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    24．如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 25．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 空间向量中点的坐标表示与对称问题 题型02 空间向量线性运算、数量积的坐标表示 题型03 空间向量坐标中夹角、模长的运算 题型04 空间向量坐标中平行、垂直、共面关系的运算 题型05 空间向量坐标中投影向量的运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.空间直角坐标系 2.空间向量运算的坐标表示 3.空间向量数量积运算应用的坐标表示 1. 在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置,培养直观想象的核心素养. 2. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,提升数学抽象的核心素养. 3. 掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题,强化数学运算的核心素养. 4. 能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核心素养 学习重点：学会建立合理的空间直角坐标系并求出点的坐标 学习难点：掌握空间向量的平行、垂直、数量积、模长、夹角的坐标运算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间向量的正交分解及其坐标表示 一、空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 （1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. （3）右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都是右手直角坐标系． 二、特殊的的坐标及点的对称坐标 1、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 2、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 三、空间中两点的距离公式 若，，则 （1） 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （2）， 或． 即时即练 1．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直， 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，， 则，，，； （2）， ， ． 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 【方法总结】 1、建系确定点的坐标的原则 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 2、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 知识点02 空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 即时即练 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 2．（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 【方法总结】 空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b,再求数量积. 知识点03 空间向量平行、垂直、数量积运算应用的坐标运算 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 即时即练 1．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 2．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知向量.求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过“数乘向量”分别计算、，再通过“向量减法”得到的坐标，最后利用“空间向量模长公式”（）计算模长； （2）先通过“空间向量点积公式”计算，再分别计算、的模长，最后代入“向量夹角公式”（），结合夹角范围确定最终角度. 【详解】（1），， ， 故. （2）， ， ， ， 因为向量夹角范围是，所以 . 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，列出方程组求解即可． 【详解】因为共面，所以存在，使得， 即，解得， 所以． 4．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 【方法总结】 (1)判断向量是否平行、垂直,可根据向量平行、垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否成立. (2)根据向量的平行、垂直求参数,可转化为解关于参数的方程(组). (3)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. (4)利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明. (5)通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写点的坐标时更便捷.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题 题型01 空间向量中点的坐标表示与对称问题 1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在坐标平面上的投影的性质求解. 【详解】因为点在坐标平面内的投影横、竖坐标不变，纵坐标为0. 所以. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【详解】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以. 故选：A 3．（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性规则逐一求出的坐标. 【详解】由题意得，则. 故选：D 4．（25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 5．如图长方体中，分别是的中点，如图所示建系，则中点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的图形，求出相关点的坐标，再利用中点坐标公式求解作答. 【详解】依题意，， 因此线段的中点，线段的中点， 所以中点的坐标为. 故选：B 6．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标. 【详解】空间向量，，则， 故以为单位正交基底时的坐标为. 故选：B. 7．（25-26高二上·广西玉林·期末）已知点，，若，则点的坐标是______. 【答案】 【分析】利用空间向量坐标运算求解即可. 【详解】由点，，得，则， 所以点的坐标是. 故答案为： 8．（23-24高二上·河南新乡·期中）一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则该光线所走的路程是______． 【答案】 【分析】先求出点关于平面的对称点，再根据光的反射定律，将所求路程转化为点到点的距离，即可求解. 【详解】因为入射光线被平面反射后到达点被吸收，所以根据光的反射定律可知，入射光线必过点， 故该光线从发射到吸收所走过的路程为． 故答案为：. 9．（24-25高二上·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    【答案】； 【分析】根据空间向量的线性运算可得，，进而结合题设求解即可. 【详解】由题意 ， 所以. 又， 所以 【技巧归纳】 1、建系确定点的坐标的原则 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 2、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 题型02 空间向量线性运算、数量积的坐标表示 1．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 2．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的坐标规则进行线性运算即可. 【详解】因为，，， 所以 故选：D. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知，，是轴上一点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标，由坐标系中点与点的距离公式求出，然后建立方程解得坐标. 【详解】设， 则，， ∵， ∴，即， ∴，即. 故选：C. 5．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得 ，根据数量积的运算律结合，即可得的值． 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点，为的中点．若，，则（   ） A．0 B．-4 C．-8 D．8 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出，，，的坐标，求出，的坐标，利用向量的数量积公式求解. 【详解】平面，底面为正方形， 以为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ，， ，，，，， 为的中点，为的中点，，，， ，. 故选：C. 【技巧归纳】 空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b,再求数量积. 题型03 空间向量坐标中夹角、模长的运算 1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】由于， 故选：A. 2．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故， 故选：B 3．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得坐标，然后由空间向量夹角余弦坐标公式可得答案. 【详解】. 则. 故选：A 4．（25-26高二上·山东淄博·期中）已知空间向量，．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由得，结合空间向量数量积的坐标表示建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得， 即， 所以，所以，解得. 故选：C 5．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 6．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的余弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系．    设正方体的棱长为1．由分别是的中点， 可得， 所以． 由向量夹角公式，得， 因此直线与所成角的余弦值为． 故选：B 7．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 8．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 9．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】应用向量夹角余弦公式计算，再结合同角三角函数关系得出正弦，进而应用面积公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 故选：A. 【技巧归纳】 通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写点的坐标时更便捷.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题 题型04 空间向量坐标中平行、垂直、共面关系的运算 1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知空间四点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数（    ） A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据共面的性质进行求解即可. 【详解】，显然这两个向量不共线， 若A，B，C，D四点共面， 则有. 故选：C 4．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 5．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】已知点在平面内，，故， 解得， ． 6．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，结合题意求得，进而利用可求解. 【详解】在正方体中， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 则，，， 设，所以， 所以，解得，所以. 设，所以， 所以，解得，所以. 所以. 7．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，若，则______. 【答案】 【详解】由题设，则，可得，可得. 8．（25-26高二上·广东·期末）设空间向量，，若，则的值为_____________． 【答案】8 【分析】由向量的坐标运算求得，然后通过向量垂直数量积为零建立方程，解得的值. 【详解】，， 所以， ∵， ∴，即，∴. 故答案为：8. 9．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若，则与共线反向的单位向量=___________. 【答案】 【详解】∵ ，∴ . ∵ 单位向量与共线且反向， ∴ . 【技巧归纳】 (1)判断向量是否平行、垂直,可根据向量平行、垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否成立. (2)根据向量的平行、垂直求参数,可转化为解关于参数的方程(组). (3)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. (4)利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明. 题型05 空间向量坐标中投影向量的运算 1．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点的坐标确定方法，结合空间向量的坐标表示，写出结论即可. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中的点， 在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以空间向量，在坐标平面上的投影向量坐标是：. 故选：A. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为. 3．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 4．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 5．（25-26高二下·福建漳州·期中）在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 【答案】9 【详解】由已知，， 则的坐标表示为，的坐标表示为， 则向量在上的投影长为. 6．（25-26高二上·福建福州·期中）空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出在上的投影向量即可得解. 【详解】由向量，得，， 因此在上的投影向量，所以. 故答案为： 7．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心．    (1)求点，的坐标及； (2)求向量在方向上的投影向量． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（1）利用给定的图形直接求出点，的坐标，再利用向量的坐标表示并求出模作答. （2）求出的坐标，再利用投影向量的意义求解作答. 【详解】（1）在棱长为1的正方体中，棱的中点，侧面的中心， 因此，所以. （2）依题意，，，则，，， 所以向量在方向上的投影向量为. 1．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可． 【详解】因为点， 所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为， 故选：C． 2．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知，，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的夹角公式求出，结合向量夹角的取值范围可得出的大小. 【详解】由题意可得， 因为，故. 故选：C. 3．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 4．（25-26高二上·湖南·期中）已知、、，若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】设点坐标为，则， 因为、，所以，， 所以，，，，则点的坐标为． 故选：A． 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知．若点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共线得到方程，求出，再求出，得到模长. 【详解】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， . 故选：B. 6．（25-26高二上·广东·期末）在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求数量积即可． 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， ， ． 故选：A． 7．已知向量，，则（    ） A． B．0 C．2 D．10 【答案】B 【分析】由空间向量线性关系的坐标运算得，再由数量积的坐标求法求结果. 【详解】由题设，则， 所以. 故选：B 8．（2025高二·全国·专题练习）已知点关于轴的对称点为，一束光线自点出发，被平面反射后到达点被吸收，那么光所走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于平面的对称点为，然后求出的距离即可. 【详解】点关于平面的对称点为， 由题可知点的坐标为，， 则光所走的路程为． 故选：D. 9．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 【答案】C 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确. 在上的投影向量的坐标是，故B正确； ，故C错误； 两点间的距离即，故D正确. 故选：C 10．（24-25高二上·北京·期中）已知向量，，点为线段中点，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】由已知得， 因为为线段中点，所以， 所以， 所以， 故选：D. 11．（24-25高二上·四川达州·期末）已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系可得，再由投影向量定义计算可得结果. 【详解】由可得，解得，即； 所以; 因此在方向上的投影向量为. 故选：A 12．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用向量共面的定理求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 13．向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计算，即可求得答案. 【详解】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A 14．（25-26高二上·北京延庆·期中）若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，根据题意得出，结合空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】设点，因为四边形为平行四边形，故， 即，即，解得，即点. 故选：A. 15．（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出与的夹角为锐角的的取值范围，与进行比较，根据充分必要条件的判定得解. 【详解】与的夹角为锐角，则要满足， 即且不等于1， 解得：且， 因为是的真子集， 所以是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B 16．（23-24高二上·河北·期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系,从而在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量. 【详解】∵平面,， ∴,, 故以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，令.    则， 则， ∴在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量为. 故选：C. 17．在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 18．（多选题）（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用空间向量的坐标运算可判断A选项；利用空间向量平行的坐标表示可判断B选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断CD选项. 【详解】由题可得：，即，故A正确； 假设(不为)，则，则无解，所以与不平行，故B不正确； 由于,所以，则，故C正确； 由于,，, 所以，，故D正确； 故选：ACD 19．（多选题）（25-26高二上·山东济南·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．向量是的一个单位向量 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【分析】利用空间单位向量的坐标运算来判断A，利用空间向量的模的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【详解】由的单位向量是，故A错误； 由，，可得，故B正确； 由为钝角，则， 又当，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：BD. 20．（25-26高二上·上海·期末）设、，向量，，，且，，则______. 【答案】0 【分析】由求得，再由数量积的坐标运算求值. 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，所以，解得，则， 所以， 故答案为：. 21．（25-26高二上·北京·期中）已知为坐标原点，,,则的值为______；中，边上中线的长为______． 【答案】 【分析】第一小空可以直接用向量的夹角公式求得；第二小空可以使用向量中线定理写出中线的向量坐标，再求模. 【详解】①； ②在中，假设的中点为, 则上的中线可表示为,其模长为. 则上的中线长等于, 故答案为： 22．（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图1，在长方形中，已知，，将沿长方形的对角线翻折，使其构成如图2所示的三棱锥，则_________. 【答案】2 【分析】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得点的坐标满足的关系，由空间向量的数量积的坐标表示求得. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，则， 设，则，， 因为，，所以，则， 所以. 故答案为：. 23．如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    【答案】， 【分析】侧面，而与不垂直，此时在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 则三线两两垂直，可建立空间直角坐标系得各个点的坐标. 【详解】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 如图所示，侧面，侧面，侧面，, 又,所以两两垂直，以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，则， 所以，，，，，， 为棱的中点，则有. 24．如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据题意求出点的坐标，从而能求的坐标； （2）求出的坐标，根据公式计算即可求解. 【详解】（1）过点作于点，由题意，， 则， ， 所以，    因为，是的中点，所以， 所以. （2），所以， ，所以，， 所以， 则与的夹角的余弦值为. 25．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $