1.3.1空间直角坐标系讲义-2026年新高二数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.3.1空间直角坐标系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．空间直角坐标系 （1）在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴两两互相垂直，它们都称为__坐标轴______；通过每两个坐标轴的平面都称为____坐标平面______，分别记为xOy平面，yOz平面与zOx平面. 空间中建立空间直角坐标系之后，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了_8__个部分，每一部分都称作一个___卦限_____ （2）空间直角坐标系的画法：把轴、轴画成水平放置，轴正方向与轴正方向夹角为___135°（或45°）___________，z轴与轴（或轴）__垂直______.从轴的正半轴看平面，轴的正半轴绕点沿__逆时针_____方向旋转90°能与轴正半轴重合. 2．空间直角坐标系的画法 （1）空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系时，一般使_（或）______， _______． （2）右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__ x轴________的正方向，食指指向___ y轴_______的正方向，如果中指指向___z轴_____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：建立空间直角坐标系及表示点的坐标】 【练方法】 公式结论 1.建系判定三条直线两两垂直且共顶点可作为x yz轴遵循右手螺旋定则 2.坐标对应过P向xOy yOz xOz平面作垂线垂足坐标依次为(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)则P(x,y,z) 3.特殊位置点坐标 x轴上点(x,0,0) y轴上点(0,y,0) z轴上点(0,0,z) xOy平面内点(x,y,0) yOz平面内点(0,y,z) xOz平面内点(x,0,z) 原点O(0,0,0) 方法技巧 1.建系优选规则长方体与直棱柱优先选取两两垂直的顶点棱为坐标轴侧棱垂直底面的几何体将垂直棱设为z轴底面两条互相垂直棱设x y轴 2.找点坐标步骤过目标点分别向三个坐标平面作垂线读取三条坐标轴上截距按(x,y,z)固定顺序书写 3.无天然垂直棱的几何体作辅助线构造两两垂直直线后再建系 易错提醒 坐标轴书写顺序不可颠倒严格遵循(x,y,z)格式区分坐标轴与坐标平面内零点的位置 （25-26高二·全国·暑假作业）已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据空间向量的加法运算和减法运算即可求解. 【详解】因为，所以可设．由于是的中点， 所以， 又因为是的中点， 所以，所以． （25-26高二下·全国·课后作业）如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标；小试牛刀1 【答案】，，，， 【详解】根据点的位置写出各点的坐标； 由题可知，，，，，. （25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求点的坐标；小试牛刀2 【答案】，，， 【详解】由底面ABCD是边长为的正方形，底面，且，是棱PD的中点， 由图知，，，，，，． （25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系．小试牛刀3 (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直， 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，， 则，，，； （2）， ， ． 【题型2：求与坐标轴，坐标平面的对称点】 【练方法】 公式结论 设原始点P(x,y,z) 1.关于坐标平面对称 关于xOy平面对称z坐标变号x y坐标不变 关于yOz平面对称x坐标变号y z坐标不变 关于xOz平面对称y坐标变号x z坐标不变 2.关于坐标轴对称 关于x轴对称x坐标不变y z坐标变号 关于y轴对称y坐标不变x z坐标变号 关于z轴对称z坐标不变x y坐标变号 3.关于原点对称全部坐标同时变号 方法技巧 1.记忆口诀坐标平面对称保留平面内两个坐标垂直平面的坐标轴对应坐标取反坐标轴对称保留坐标轴对应坐标剩余两个坐标取反 2.核验方法两点连线的中点落在对称平面或坐标轴上可用来校验坐标正误 （25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由关于平面对称的点的坐标的特点可得结果. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. （25-26高二·全国·暑假作业）已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标规律为：坐标保持不变，坐标和坐标取相反数，即对称点为， 所以，点关于轴的对称点的坐标是． （25-26高二下·福建宁德·期中）点关于坐标平面对称的点的坐标是__________.小试牛刀2 【答案】 【详解】在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标规律是： 坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数 按照这个规律，对称点的坐标为． （25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ）小试牛刀3 A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 【题型3：求点坐标轴坐标平面的距离】 【练方法】 公式结论 设点P(x,y,z) 1.到坐标平面的距离 到xOy平面距离 到yOz平面距离 到xOz平面距离 2.到坐标轴的距离 到x轴距离 到y轴距离 到z轴距离 方法技巧 1.平面距离快速判断剔除垂直该平面的坐标轴剩余坐标取绝对值即为距离 2.坐标轴距离快速判断剔除该坐标轴对应的坐标剩余两个坐标平方求和再开根号 3.几何理解点到坐标平面距离为垂直平面的垂线段长度点到坐标轴距离为点向坐标轴所作垂线段的长度 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ）经典例题1例题 A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】空间点到平面的距离即为该点坐标的绝对值. 【详解】因为，所以点P到平面Oxy的距离为5. （安徽天一大联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试卷）在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ）小试牛刀1 A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】点到轴的距离为. （25-26高二上·河北沧州·期末）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ）小试牛刀2 A．5 B．6 C．7 D． 【答案】B 【分析】空间中点坐标到平面的距离就是该点竖坐标的绝对值. 【详解】因为，所以点到平面的距离为6. 故选：B. （25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系下点的坐标的特征计算可得. 【详解】点到轴的距离为. 故答案为： 【题型4：利用空间向量坐标系求线段长度】 【练方法】 公式结论 1.两点间线段长度公式 已知 向量 线段长 2.单点到原点距离公式 方法技巧 1.解题步骤先写出线段两端点坐标计算对应向量坐标代入距离公式计算平方和后开算术平方根 2.简化运算技巧坐标含正负数值时先平方消除负号再合并同类项计算 3.拓展用途该公式可直接用于求解三棱锥棱长空间两点间距几何体体对角线长度 （25-26高三上·浙江·阶段检测）如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．经典例题1例题    (1)求证：； (2)若为线段上一动点，，求的最小值． 【答案】(1)∵分别是的中点，，∴. ∵，∴. ∵，平面，平面∴平面. ∵平面，∴. (2)6 【分析】（1）将线线垂直问题转换为线面垂直问题； （2）证明三直线两两垂直进而建立空间直角坐标系求解. 【详解】（1）略 （2）因为，，与相交于点，且平面，平面. 所以平面. 因为平面，所以. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    则，，. 设， . 所以的最小值为6. （24-25高二下·甘肃定西·阶段检测）如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.小试牛刀1 (1)求的坐标； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间直角坐标系中点的坐标的规定易得两点坐标； （2）利用题设条件先求出点的坐标，再代入两点间距离公式计算即得. 【详解】（1）如图，由题意可知， 因，则 . （2）为的中点，. 是上的靠近点的三等分点，. 由两点间的距离公式，得. 如图所示，已知直三棱柱中，，且D，E分别是棱的中点．建立适当的空间直角坐标系，求与的长．小试牛刀2 【答案】， 【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，再利用两点间距离公式求解作答. 【详解】在直三棱柱中，，， 以C为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 棱的中点，棱的中点， 所以 . 如图，正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，，求MN的长．小试牛刀3 【答案】 【分析】先写出点的坐标，然后算出答案即可. 【详解】因为正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，， 所以， 所以. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用对称性求出，再根据两点间的距离公式可得答案. 【详解】点关于坐标平面对称的点为， 所以. 故选：D 2．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系的性质，直接判断结果即可. 【详解】点关于轴的对称点为． 故选：C． 3．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【答案】D 【分析】根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 4．（25-26高二上·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为， 故点关于原点对称的点的坐标为. 故选：B 5．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在坐标平面上的投影的性质求解. 【详解】因为点在坐标平面内的投影横、竖坐标不变，纵坐标为0. 所以. 故选：C 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴的对称点求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为. 故选：B. 7．（25-26高二上·广东茂名·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】点关于平面对称的点的坐标为. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 故选：B. 8．（25-26高二上·河南驻马店·期末）点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于坐标平面的对称点的坐标为，即可求解. 【详解】点关于平面对称点的坐标为. 故选：A 9．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角坐标系的性质求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是. 故选：D. 10．（25-26高二上·天津静海·期中）已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题与关于点对称问题直接求解. 【详解】设点关于平面对称的点为，易知两个点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标相反，故点； 设点关于点对称的点为，则点为线段的中点，故有：，解得，即. 故选：A. 二、多选题 11．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在正四面体中，点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】把正四面体补全为正方体，根据正方体的性质，结合三角形重心坐标公式进行求解即可. 【详解】由正四面体对棱相等，补全为如图所示的正方体，易知． 由对称性可知，点还有可能落在图中点处，因四面体为正四面体， 所以是正三角形，取的重心为点． 由正三角形性质可得 因为点与点关于点对称， 设， 则根据中点坐标公式可得，， 所以． 故选：BC 12．（25-26高二上·河北邢台·期中）若是空间直角坐标系中的一点，则（    ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点到平面的距离为3 D．点到轴的距离为 【答案】BC 【分析】由空间直角坐标系点的概念逐项判断即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为，A错误. 点关于轴对称的点的坐标为，B正确. 点到平面的距离为3，C正确. 点到轴的距离为，D错误. 故选：BC 三、填空题 13．（25-26高二上·安徽池州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________. 【答案】 【分析】在空间直角坐标系中，点到轴的距离等于该点坐标与坐标的平方和的平方根 【详解】已知，所以点到轴的距离为； 故答案为：. 14．（2025高二上·福建福州·专题练习）在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据空间中点的坐标，利用对称性即可求解. 【详解】由关于x轴的对称点坐标：x坐标符号不变，y、z坐标符号改变，故对称点为； 故答案为：. 15．（25-26高二上·广东·期中）在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______. 【答案】3 【分析】由点到轴的距离公式计算即可． 【详解】点到轴的距离为. 故答案为：3 四、解答题 16．（24-25高二下·全国·课后作业）已知在长方体中，，，点N是的中点，点M是的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标.    【答案】，，. 【分析】利用空间坐标系上点的坐标表示与中点坐标表示即可得解. 【详解】由于D为坐标原点，所以， 因为，，则，，，， 因为点N是的中点，点M是的中点，所以，. 17．（23-24高二上·全国·随堂练习）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 【答案】答案见解析 【分析】取的中点E，连接OE，由题意可证OD，OE，两两垂直，则以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标. 【详解】解：取的中点E，连接OE， 在矩形中，是中点，所以，则， 由题可知平面，所以OD，OE，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz， 因为，且，所以， 则O，E，A，D四点共面，平面xOz， x轴，z轴，， ，，，. 18．（23-24高二上·山东聊城·阶段检测）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【答案】. 【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解. 【详解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . .    19．棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，以为正交基底，求下列向量的坐标： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，， 【详解】在正交基底下， （1）， ， ， ． （2）， ； ， ， ． 20．（23-24高二下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求点的坐标.    【答案】 【分析】法一：分别求得在坐标轴上的投影可得； 法二：设的单位向量分别为，利用空间的线性运算可得，即可求解. 【详解】法一：设点在轴、轴、轴上的射影分别为， 它们在坐标轴上的坐标分别为，所以点的坐标是.    法二：设的单位向量分别为，则为空间的一个基底， . 所以点的坐标是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.3.1空间直角坐标系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．空间直角坐标系 （1）在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴两两互相垂直，它们都称为__坐标轴______；通过每两个坐标轴的平面都称为____坐标平面______，分别记为xOy平面，yOz平面与zOx平面. 空间中建立空间直角坐标系之后，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了_8__个部分，每一部分都称作一个___卦限_____ （2）空间直角坐标系的画法：把轴、轴画成水平放置，轴正方向与轴正方向夹角为___135°（或45°）___________，z轴与轴（或轴）__垂直______.从轴的正半轴看平面，轴的正半轴绕点沿__逆时针_____方向旋转90°能与轴正半轴重合. 2．空间直角坐标系的画法 （1）空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系时，一般使_（或）______， _______． （2）右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__ x轴________的正方向，食指指向___ y轴_______的正方向，如果中指指向___z轴_____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：建立空间直角坐标系及表示点的坐标】 【练方法】 公式结论 1.建系判定三条直线两两垂直且共顶点可作为x yz轴遵循右手螺旋定则 2.坐标对应过P向xOy yOz xOz平面作垂线垂足坐标依次为(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)则P(x,y,z) 3.特殊位置点坐标 x轴上点(x,0,0) y轴上点(0,y,0) z轴上点(0,0,z) xOy平面内点(x,y,0) yOz平面内点(0,y,z) xOz平面内点(x,0,z) 原点O(0,0,0) 方法技巧 1.建系优选规则长方体与直棱柱优先选取两两垂直的顶点棱为坐标轴侧棱垂直底面的几何体将垂直棱设为z轴底面两条互相垂直棱设x y轴 2.找点坐标步骤过目标点分别向三个坐标平面作垂线读取三条坐标轴上截距按(x,y,z)固定顺序书写 3.无天然垂直棱的几何体作辅助线构造两两垂直直线后再建系 易错提醒 坐标轴书写顺序不可颠倒严格遵循(x,y,z)格式区分坐标轴与坐标平面内零点的位置 （25-26高二·全国·暑假作业）已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标．经典例题1例题 （25-26高二下·全国·课后作业）如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标；小试牛刀1 （25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求点的坐标；小试牛刀2 （25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系．小试牛刀3 (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【题型2：求与坐标轴，坐标平面的对称点】 【练方法】 公式结论 设原始点P(x,y,z) 1.关于坐标平面对称 关于xOy平面对称z坐标变号x y坐标不变 关于yOz平面对称x坐标变号y z坐标不变 关于xOz平面对称y坐标变号x z坐标不变 2.关于坐标轴对称 关于x轴对称x坐标不变y z坐标变号 关于y轴对称y坐标不变x z坐标变号 关于z轴对称z坐标不变x y坐标变号 3.关于原点对称全部坐标同时变号 方法技巧 1.记忆口诀坐标平面对称保留平面内两个坐标垂直平面的坐标轴对应坐标取反坐标轴对称保留坐标轴对应坐标剩余两个坐标取反 2.核验方法两点连线的中点落在对称平面或坐标轴上可用来校验坐标正误 （25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二·全国·暑假作业）已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·福建宁德·期中）点关于坐标平面对称的点的坐标是__________.小试牛刀2 （25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ）小试牛刀3 A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【题型3：求点坐标轴坐标平面的距离】 【练方法】 公式结论 设点P(x,y,z) 1.到坐标平面的距离 到xOy平面距离 到yOz平面距离 到xOz平面距离 2.到坐标轴的距离 到x轴距离 到y轴距离 到z轴距离 方法技巧 1.平面距离快速判断剔除垂直该平面的坐标轴剩余坐标取绝对值即为距离 2.坐标轴距离快速判断剔除该坐标轴对应的坐标剩余两个坐标平方求和再开根号 3.几何理解点到坐标平面距离为垂直平面的垂线段长度点到坐标轴距离为点向坐标轴所作垂线段的长度 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ）经典例题1例题 A．1 B． C．5 D． （安徽天一大联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试卷）在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ）小试牛刀1 A．2 B． C． D．3 （25-26高二上·河北沧州·期末）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ）小试牛刀2 A．5 B．6 C．7 D． （25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________.小试牛刀3 【题型4：利用空间向量坐标系求线段长度】 【练方法】 公式结论 1.两点间线段长度公式 已知 向量 线段长 2.单点到原点距离公式 方法技巧 1.解题步骤先写出线段两端点坐标计算对应向量坐标代入距离公式计算平方和后开算术平方根 2.简化运算技巧坐标含正负数值时先平方消除负号再合并同类项计算 3.拓展用途该公式可直接用于求解三棱锥棱长空间两点间距几何体体对角线长度 （25-26高三上·浙江·阶段检测）如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．经典例题1例题    (1)求证：； (2)若为线段上一动点，，求的最小值． （24-25高二下·甘肃定西·阶段检测）如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.小试牛刀1 (1)求的坐标； (2)求线段的长度. 如图所示，已知直三棱柱中，，且D，E分别是棱的中点．建立适当的空间直角坐标系，求与的长．小试牛刀2 如图，正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，，求MN的长．小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 4．（25-26高二上·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东茂名·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南驻马店·期末）点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·天津静海·期中）已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、多选题 11．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在正四面体中，点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河北邢台·期中）若是空间直角坐标系中的一点，则（    ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点到平面的距离为3 D．点到轴的距离为 三、填空题 13．（25-26高二上·安徽池州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________. 14．（2025高二上·福建福州·专题练习）在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是_________． 15．（25-26高二上·广东·期中）在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______. 四、解答题 16．（24-25高二下·全国·课后作业）已知在长方体中，，，点N是的中点，点M是的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标.    17．（23-24高二上·全国·随堂练习）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 18．（23-24高二上·山东聊城·阶段检测）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    19．棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，以为正交基底，求下列向量的坐标： (1)； (2)． 20．（23-24高二下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求点的坐标.    1 学科网（北京）股份有限公司 $