第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（暑假培优讲义）新高二数学人教A版

第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 空间直角坐标系 2 知识点02 空间向量的运算及坐标的关系 3 知识点03 向量的坐标及两点间的距离公式 4 剖题型·讲技巧 4 题型1 空间点的坐标表示 4 题型2 空间向量的坐标表示 5 题型3 空间向量的坐标运算 5 题型4 空间向量数量积的坐标表示 6 题型5 空间向量模的坐标表示 7 题型6 空间向量夹角的坐标表示 7 题型7 空间向量平行的坐标表示 8 题型8 空间向量垂直的坐标表示 9 释疑惑·重难拓展 10 题型1 空间向量数量积的最值范围问题（坐标处理） 10 题型2 空间向量模的最值范围问题（坐标处理） 11 知高考·真题探源 12 练好题·提分培优 12 课标要点 1．掌握空间直角坐标系的构建规则、坐标平面划分，熟记坐标轴与坐标平面上点的坐标特征，能准确写出空间任意点的坐标。 2．熟练掌握空间向量加、减、数乘、数量积的坐标运算公式，会利用坐标判定向量共线、垂直关系。 3．牢记空间向量模长、夹角坐标计算公式，理解公式适用条件，规避坐标平面平行时的计算易错点。 4．掌握两点构成向量的坐标求法，熟练运用空间两点间距离公式完成长度计算。 知识点01 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2、空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． 注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 练习1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______. 知识点02 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 注：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 练习3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则为（    ） A． B． C． D． 知识点03 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 练习5．已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 6．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 题型1 空间点的坐标表示 【例1】在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________. 【例2】点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【变式1-3】在空间直角坐标系中，点到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，则的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 题型2 空间向量的坐标表示 方法技巧 两点向量：已知，，，终点坐标减起点坐标。 【例3】在空间直角坐标系中，已知点.设为线段的中点，则向量________. 【例4】在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则_____. 【变式2-1】三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 题型3 空间向量的坐标运算 【例5】已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【例6】已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 【变式3-2】已知空间四点：，判断四点是否共面． 【变式3-3】已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 题型4 空间向量数量积的坐标表示 【例7】已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例8】如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点，为的中点．若，，则（   ） A．0 B．-4 C．-8 D．8 【变式4-1】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________． 【变式4-2】从正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为________． 【变式4-3】如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 题型5 空间向量模的坐标表示 【例9】在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例10】在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【变式5-2】若，，则与方向相反的单位向量的坐标为_______． 【变式5-3】已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型6 空间向量夹角的坐标表示 方法技巧 1．夹角余弦公式： 2．取值范围：夹角，为锐角，为钝角，垂直。 3．关键限制：公式仅适用于向量不平行于任意坐标平面，若向量竖坐标等特殊情况不能直接套用通用简化形式。 【例11】若，则_________． 【例12】在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 【变式6-1】已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【变式6-2】已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【变式6-3】如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型7 空间向量平行的坐标表示 方法技巧 1．平行判定条件：存在实数，使，即（分母不为0）。 2．特殊处理：若某坐标为0，则对应另一向量坐标也必须为0，再根据剩余坐标找比例系数。 3．应用场景：证明线线平行、求共线点坐标、参数求值。 【例13】已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 【例14】已知．若点共线，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，若，则______. 【变式7-2】（多选）在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型8 空间向量垂直的坐标表示 方法技巧 1．设动点坐标含参数，写出两个向量坐标，代入数量积公式，化简为函数。 2．根据参数取值范围，结合二次函数开口、对称轴或者基本不等式求最大、最小值。 【例15】已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【例16】已知向量，若，则________． 【变式8-1】在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【变式8-3】在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 释疑惑·重难拓展 题型1 空间向量数量积的最值范围问题（坐标处理） 方法技巧 1．设动点坐标含参数，写出两个向量坐标，代入数量积公式，化简为函数。 2．根据参数取值范围，结合二次函数开口、对称轴或者基本不等式求最大、最小值。 【例1】如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】P是棱长为2的正方体上底面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【变式1-3】如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为__________. 【变式1-4】已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 题型2 空间向量模的最值范围问题（坐标处理） 【例3】如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________． 【变式2-1】在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______． 【变式2-3】如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为______． 【变式2-4】已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为______. 1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 3．空间直角坐标系中，已知线段，其中点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 4．设，已知向量，，，若、、共面，则关于的值以下选项描述正确的是（     ） A．存在无数个符合题意 B．存在正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在实数符合题意 5．对于三维向量，，定义，，，则（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 6．正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 7．已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 8．已知空间两个不同的单位向量与的夹角都等于，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 9．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 10．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 11．如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 四、解答题 12．已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 13．已知空间向量. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 14．如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．    (1)求证：； (2)若为线段上一动点，，求的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 空间直角坐标系 2 知识点02 空间向量的运算及坐标的关系 3 知识点03 向量的坐标及两点间的距离公式 4 剖题型·讲技巧 5 题型1 空间点的坐标表示 5 题型2 空间向量的坐标表示 6 题型3 空间向量的坐标运算 8 题型4 空间向量数量积的坐标表示 10 题型5 空间向量模的坐标表示 12 题型6 空间向量夹角的坐标表示 14 题型7 空间向量平行的坐标表示 17 题型8 空间向量垂直的坐标表示 19 释疑惑·重难拓展 23 题型1 空间向量数量积的最值范围问题（坐标处理） 23 题型2 空间向量模的最值范围问题（坐标处理） 28 知高考·真题探源 33 练好题·提分培优 34 课标要点 1．掌握空间直角坐标系的构建规则、坐标平面划分，熟记坐标轴与坐标平面上点的坐标特征，能准确写出空间任意点的坐标。 2．熟练掌握空间向量加、减、数乘、数量积的坐标运算公式，会利用坐标判定向量共线、垂直关系。 3．牢记空间向量模长、夹角坐标计算公式，理解公式适用条件，规避坐标平面平行时的计算易错点。 4．掌握两点构成向量的坐标求法，熟练运用空间两点间距离公式完成长度计算。 知识点01 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2、空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． 注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 练习1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因空间中的点的横坐标、纵坐标、竖坐标分别是该点在轴上的投影的坐标， 故点关于平面对称的点的横坐标、纵坐标不变，竖坐标为原竖坐标的相反数， 故所求点坐标为. 故选：B. 2．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______. 【答案】3 【详解】点到轴的距离为. 故答案为：3 知识点02 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 注：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 练习3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，则. 4．已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 知识点03 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 练习5．已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【详解】由题知，因为，所以， 解得 6．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 题型1 空间点的坐标表示 【例1】在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________. 【答案】 【详解】已知，所以点到轴的距离为； 故答案为：. 【例2】点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 【变式1-1】已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标规律为：坐标保持不变，坐标和坐标取相反数，即对称点为， 所以，点关于轴的对称点的坐标是． 【变式1-2】在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【答案】D 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 【变式1-3】在空间直角坐标系中，点到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，则的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，由题意可得，解得， 故点的坐标可能为， 故选：B. 题型2 空间向量的坐标表示 方法技巧 两点向量：已知，，，终点坐标减起点坐标。 【例3】在空间直角坐标系中，已知点.设为线段的中点，则向量________. 【答案】 【详解】由题意，而，则. 故答案为： 【例4】在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则_____. 【答案】 【详解】由题可知， . 故答案是：. 【变式2-1】三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】中点，则. 故选：B. 【变式2-2】若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点是点在平面内的射影， 所以,所以. 故选：A. 【变式2-3】在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点与点关于平面对称且，所以点， 又，所以 故选：D 题型3 空间向量的坐标运算 【例5】已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 【例6】已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得. 【变式3-1】已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 【答案】A 【详解】因为， 所以与不共线， 又因为点在平面内， 所以存在实数，使得， 即， 所以，解得. 故选：A 【变式3-2】已知空间四点：，判断四点是否共面． 【答案】四点共面 【详解】， 则， 因此，，说明四点都在直线上，而一条直线上的所有点必然共面，因此四点共面. 【变式3-3】已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由空间四点，，，构成梯形，得四点共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 得，解得. 当时，， 所以，且， 所以空间四点构成梯形. 所以. 题型4 空间向量数量积的坐标表示 【例7】已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由题意，所以. 【例8】如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点，为的中点．若，，则（   ） A．0 B．-4 C．-8 D．8 【答案】C 【详解】平面，底面为正方形， 以为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ，， ，，，，， 为的中点，为的中点，，，， ，. 故选：C. 【变式4-1】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________． 【答案】 【详解】已知点 ，则其关于平面的对称点的坐标为 ， 因此 ， ， 【变式4-2】从正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为________． 【答案】5 【详解】由题意可得的关系有：，，及既不平行也不垂直； 设正方体的八个顶点为， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，，，，， 当时，则或； 当时，则或； 当时，则； 当既不平行也不垂直时： 如：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为，共5种情况. 【变式4-3】如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 【答案】(1) (2)6 【分析】 【详解】（1）因为， 所以，，，则， 设，因为，则， 即，解得，则. （2）∵， ∴，，，， 由（1）可知，， ∴. 题型5 空间向量模的坐标表示 【例9】在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 【例10】在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式5-1】已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】解：向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 【变式5-2】若，，则与方向相反的单位向量的坐标为_______． 【答案】 【详解】因为，，所以， 则与方向相反的单位向量为． 【变式5-3】已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 题型6 空间向量夹角的坐标表示 方法技巧 1．夹角余弦公式： 2．取值范围：夹角，为锐角，为钝角，垂直。 3．关键限制：公式仅适用于向量不平行于任意坐标平面，若向量竖坐标等特殊情况不能直接套用通用简化形式。 【例11】若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 【例12】在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 【答案】1 【详解】因为，，所以， 因为，所以 ， 因为，所以，解得 . 【变式6-1】已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 【变式6-2】已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 【变式6-3】如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   题型7 空间向量平行的坐标表示 方法技巧 1．平行判定条件：存在实数，使，即（分母不为0）。 2．特殊处理：若某坐标为0，则对应另一向量坐标也必须为0，再根据剩余坐标找比例系数。 3．应用场景：证明线线平行、求共线点坐标、参数求值。 【例13】已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】C 【详解】由，得，， 而与平行，则，所以. 故选：C 【例14】已知．若点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， . 故选：B. 【变式7-1】已知，若，则______. 【答案】 【详解】由题设，则，可得，可得. 【变式7-2】（多选）在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由已知可得，故它们的方向向量共线， 对于B选项，，满足题意； 对于C选项，，满足题意； 由于A、D选项不满足题意． 故选：BC. 【变式7-3】已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【详解】由已知得，，则三点不共线. 假设存在点满足条件， 则，． 因为四边形是等腰梯形，且，所以． 即 所以， 解得或． 当，，时， ，且三点不共线， 故此时四边形为平行四边形，不合题意； 当，，时，点与点重合，不合题意． 故假设不成立，即不存在满足条件的点． 题型8 空间向量垂直的坐标表示 方法技巧 1．设动点坐标含参数，写出两个向量坐标，代入数量积公式，化简为函数。 2．根据参数取值范围，结合二次函数开口、对称轴或者基本不等式求最大、最小值。 【例15】已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即. 【例16】已知向量，若，则________． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 【变式8-1】在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在正方体中， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 则，，， 设，所以， 所以，解得，所以. 设，所以， 所以，解得，所以. 所以. 【变式8-2】如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【答案】 【详解】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. 【变式8-3】在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 释疑惑·重难拓展 题型1 空间向量数量积的最值范围问题（坐标处理） 方法技巧 1．设动点坐标含参数，写出两个向量坐标，代入数量积公式，化简为函数。 2．根据参数取值范围，结合二次函数开口、对称轴或者基本不等式求最大、最小值。 【例1】如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. . 点在线段上运动， ，且. ， ， ， 即， 故选：A. 【例2】P是棱长为2的正方体上底面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，由正方体的棱长为2，且为上底面上一点， 可设，其中，且， 所以， 则， 因为，可得， 所以取得最小值为，最大值为，所以取值范围为. 故选：C. 【变式1-1】已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 且， 由正六边形的性质可得，，，，， 设，其中， 所以，， 所以，所以的取值范围. 故选：D. 【变式1-2】在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 【变式1-3】如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 由于，，设P点纵坐标为m， 则， 则 ， 由于，当时，取最小值， 当时，取最大值3， 即的取值范围为， 故答案为： 【变式1-4】已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】以为轴，为轴，底面上与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设圆锥的高为， 则，设，则， ，由得， 所以的取值范围为    题型2 空间向量模的最值范围问题（坐标处理） 【例3】如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-1】在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 【变式2-2】如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______． 【答案】 【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则， ，又，所以， 即，则． 当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF， 所以，， ， 当时，，当时，， 所以线段的长度的取值范围是． 故答案为： 【变式2-3】如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】 【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-4】已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为______. 【答案】 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 设，，则，则， 所以，， 显然与不可能同向， 因为是锐角，所以， 则，解得或， 又，所以，又， 所以，即线段长度的取值范围为. 故答案为： 1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 2．已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 3．空间直角坐标系中，已知线段，其中点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知点，若点的坐标为， 则，故A错误； 若点的坐标为，则，故B正确； 若点的坐标为，则，故C错误； 若点的坐标为，则，故D错误. 4．设，已知向量，，，若、、共面，则关于的值以下选项描述正确的是（     ） A．存在无数个符合题意 B．存在正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在实数符合题意 【答案】B 【详解】因为、、共面，则存在实数，使得， 即， 所以，解得，所以存在唯一正整数符合题意. 5．对于三维向量，，定义，，，则（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【详解】已知，，根据题意，， 因此. 6．正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 二、多选题 7．已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 【答案】ABC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以共面，B正确； ，所以，C正确； ，D错误. 8．已知空间两个不同的单位向量与的夹角都等于，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】由题意，得，所以，故A正确． 由题意，所以，故B正确， 由，(同理有)， 解得或， 设， 则在上的投影向量为，故C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 10．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【详解】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 11．如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 【详解】 由题意得：，,则的外接圆圆心为中点. 则三棱锥的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上. 平面，则易得,又， 故可以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系. ,,,,，设， 则， 由，解得. 所以外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积. 四、解答题 12．已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 13．已知空间向量. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 当时，， 所以，不存在，所以； 当时，可得，解得， 所以 （2）因为， 所以，即， 所以当时，y的最小值为 （3）， 因为， 所以，即， 由，解得 则所求 ， 所以当时，的最大值为 14．如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．    (1)求证：； (2)若为线段上一动点，，求的最小值． 【答案】(1)∵分别是的中点，，∴. ∵，∴. ∵，平面，平面∴平面. ∵平面，∴. (2)6 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为，，与相交于点，且平面，平面. 所以平面. 因为平面，所以. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    则，，. 设， . 所以的最小值为6. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $