1.2 空间向量基本定理讲义-2026年新高二数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.2 空间向量基本定理】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 基底 （1）定义：如果三个向量，___ 不共面__________，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个______ 基底_______，都叫做___基向量__________． （2）性质：空间任意三个___不共面__________的向量都可以构成空间的一个基底． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：空间向量基底的概念辨析】 【练方法】 公式结论 1.基底三要素：3个向量、不共面；共面向量无法构成基底 2.零向量与任意两个向量共面，含的向量组一定不能作为基底 3.空间任意一组基底，三个基向量线性无关，分解式系数唯一 方法技巧 1.快速排除法：向量组里有零向量→直接排除，不可作基底 2.共面判定：若其中一个向量能写成另外两向量线性组合，三向量共面，舍去 3.辨析题答题思路：先判断是否含零向量，再验证三向量能否线性表出，最后下结论 （25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ）经典例题1例题 A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. （25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ）小试牛刀1 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. （25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ）小试牛刀2 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 【题型2：用空间基底表示向量】 【练方法】 公式结论 已知基底，空间任意向量，x,y,z唯一 方法技巧 1.回路拆解法：将目标向量放入封闭图形（平行六面体、三棱锥），利用向量加减法则拆分 2.中点/等分点转化：中点向量，三等分点，逐步替换为基向量 3.统一基底原则：全程只用题目给定三个不共面向量，不引入其他向量 易错提醒 拆分时注意向量方向，减法，不要颠倒起点终点 （25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. （23-24高二下·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）小试牛刀1    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】如图，连接，    ∵N是的中点， ， ， ， ． （25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 所以 . （24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 【题型3：由空间向量基本定理求参数】 【练方法】 公式结论 若，且为基底（不共面），则对应系数相等： 方法技巧 1.等式两侧全部整理为基向量线性组合形式 2.同类基向量系数分别列方程，联立方程组求解参数 3.含多个未知量时，根据方程个数判断有无唯一解 （25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. （25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ） 小试牛刀1    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. （25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）小试牛刀2    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. （25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以 ， 因为、、不共面，所以，所以，故. 【题型4：单位正交基底】 【练方法】 公式结论 设单位正交基底，满足： 1.模长： 2.两两垂直： 3.向量坐标表示： 4.数量积：若，则 方法技巧 1.建系标准：取两两垂直且模为1的棱作为 2.向量分解直接写坐标，计算长度、垂直、夹角优先用单位正交基底简化运算 3.非正交基底先转化为正交基底再计算数量积 （2025高二上·河南鹤壁·专题练习）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】依题意可得，设在基底下的坐标为，根据空间向量基本定理得到方程组，求出、、即可得解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 可得，故在基底下的坐标为. 故答案为： （25-26高二上·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，且， 由于是空间的一个单位正交基底，所以，解得， 因此. 故答案为：. （25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B （25-26高二上·江苏·期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合向量坐标的意义求解即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为， 得， 所以在基底下的坐标为. 故选：B 【题型5：利用空间向量基本定理求线段长度】 【练方法】 公式结论 设，则线段长度 展开： 单位正交基底简化式： 方法技巧 1.第一步：把线段对应向量用基底完整表示 2.第二步：对向量平方展开，代入基向量模长与两两数量积 3.第三步：开平方得到线段长度 （25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点.经典例题1例题 (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式.         (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【详解】（1）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 （2）由（1）可知， 同理可得， . 所以 . （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， .小试牛刀1 (1)用向量，，表示和; (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可以得到向量之间的线性关系，利用空间向量的基本定理及线性运算进行求解； （2）根据空间向量的模的性质及空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为 D是正四面体的棱的中点，， 所以， 所以 ， 所以 （2）由正四面体的棱长为4，可知，且两两夹角为. 由（1）知 . （24-25高二上·广东东莞·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，．小试牛刀2 (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【详解】（1）因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. （2）因为， 所以 . （24-25高二上·广东广州·阶段检测）如图所示，平行六面体中，.小试牛刀3 (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解； （2）（3）利用空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的定义与运算法则即可解. 【详解】（1）在平行六面体中， . （2）因为，，， 所以，， ， 则 . （3）因为， 所以 ， 则. 【题型6：空间向量基本定理与共面定理】 【练方法】 公式结论 1.四点P,A,B,C共面存在实数x,y,z满足，且 2.三向量共面存在不全为0的，使 方法技巧 1.证四点共面：把向量统一用同一基底表示，凑出系数和为1的线性组合 2.证三向量共面：尝试将其中一个向量用另外两个线性表出 3.区分考点：基底判定用“不共面”，四点共面用“系数和为1” （2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. （25-26高二上·吉林延边·期末）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ）小试牛刀1 A．15 B．12 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用向量的基本定理将用进行表示，结合已知，进行整理得到，根据空间向量基本定理可知在平面内存在一点，从而得到，即可得到，利用三棱锥的体积公式求出． 【详解】    因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15， 则． 故选：D． （25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，连接，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【详解】设，连接， 则． 因为，即，故， 因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得，所以. 故选：A. （25-26高二上·安徽·期中）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的条件判断出P点所在的平面，进而转化为C点到该平面的距离问题可得. 【详解】如图：    取中点，则，因为， 所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高， 因为， 所以的面积， 设三棱锥的高为，则，所以. 故选：A. 【题型7：利用空间向量基本定理证明垂直】 【练方法】 公式结论 两向量 若，则 单位正交基底简化： 方法技巧 1.将两条待证垂直线段对应向量全部用基底表示 2.计算两向量数量积，化简后结果为0即可证明垂直 3.几何体中优先选取两两垂直棱作为基底，数量积交叉项直接为0，大幅减少计算量 （25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，.经典例题1例题 (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2） ， 所以． 如图，已知斜三棱柱，，，点在底面上的投影恰为的中点，又知，求三棱锥的体积．小试牛刀1 【答案】 【分析】以，，为基底，表示出，，再根据可求长度，再利用即可求解. 【详解】以，，为基底， 则， ． 因为， 所以． 又，则， 由已知，，平面， 所以平面， 所以． （24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，．小试牛刀2 (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． （24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点．小试牛刀3 (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 【题型8：空间向量基本定理的综合应用】 （25-26高二下·全国·课后作业）（多选）（多选）在棱长为1的平行六面体中，，点满足，其中.则（ ）经典例题1例题 A．当时， B．当时，在平面内 C．当时，的轨迹的面积为 D．当时，点在平行四边形内部及其边上 【答案】BCD 【分析】利用向量模的运算即可判断A，利用向量线性运算结合共面定理可判断BCD. 【详解】当时，， 因为在棱长为1的平行六面体中，，且， 所以 ， 故A错误； 当时，则 可得， 向量共面，即在平面内，故B正确； 当时，， 因为，所以表示以为起点，终点在平行四边形的内部及其边上， 则，表示终点的轨迹为平行六面体中的截面，其面积等于平行四边形的面积， 即，故C正确； 当时，， 可得， 当时，可知点在平行四边形内部及其边上， 故D正确. （24-25高二下·湖北·期末）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ）小试牛刀1 A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由 ，所以，故D正确； 故选：ACD. （24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）（多选）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 【答案】ACD 【分析】由空间向量的基本定理结合面面平行可得A正确；由向量的数量积运算可得B错误；由空间向量的基本定理结合已知得到点的轨迹是线段，再由勾股定理可得C正确；由空间向量的基本定理得到点P的轨迹是线段，当为的中点时可得D正确. 【详解】对于A，若，则点P在线段上，易知平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，若， 即， 则点P的轨迹是以为半径的四分之一圆弧，又， 所以点P的轨迹长度是，故B错误； 对于C，设和的中点分别为M，N， 若，则点P的轨迹是线段， 当P是的中点时，的长度最小， 因为是等腰三角形，，， 所以长度的最小值为.，故C正确； 对于D，若，则点P的轨迹是线段， 设与平面所成的角为， 在等边三角形中，边长为，当P为的中点时，取得最小值，为， 而点P到平面的距离恒为2，所以 ，从而，故D正确. 故选：ACD. （24-25高二上·安徽亳州·期末）（多选）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【分析】选项A：若点P到点B，，D，的距离相等，则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上，计算即可.选项B:长度的最小值为点到平面的距离,计算即可，选项C：若，则点P在上及其内部，长度的最大值为，选项D:若，则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 【详解】对于A，若点P到点B，，D，的距离相等， 则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上， 分别取，的中点，， 连接，如图（1），则点P在线段上，则，， 所以，故A正确；    对于B，若，则点在上及其内部， 如图（2），    则长度的最小值为点到平面的距离， 设为与的交点，则所求距离转化为点到直线的距离， 易知为等腰直角三角形，所以，故B正确； 对于C，若，则点P在上及其内部， 如图（3），    则长度的最大值为，，中的一个，计算可得，， 所以长度的最大值为，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，所以， 则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用向量的几何意义，得到具体的几何关系进行求解是关键，方法点睛：几何与代数的结合求解是关键. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·云南楚雄·期中）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，设在基底下的斜坐标为，则，化简并联立，可得x，y，z的值，即可得答案. 【详解】由空间向量在基底下的斜坐标为，得， 设在基底下的斜坐标为， 则， 所以，解得， 所以空间向量在基底下的斜坐标为. 故选：C. 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为为的中点，则，所以，则， 因为，所以，因此. 故选：C 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 【答案】D 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：D. 4．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由，得， 由，得， 所以， 因为， 所以 即 5．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为点、分别是棱、的中点， 所以 ， 又，、、不共面， 所以，所以. 6．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 7．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，由，得， 由，得， 所以. 8．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，由可知，即可求出，进而得出线段的长度. 【详解】由题意，因为点为棱的中点， 所以， 又因为点为棱的中点，点在棱上， 设， 所以， 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以. 二、多选题 9．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 ，故A正确，C错误； ，故B错误，D正确. 10．（25-26高二上·福建厦门·期中）在以下命题中，正确的命题有（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点 和不共线的三点 ，，，若，则， ，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【答案】CD 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用基底的定义，结合反证法推理判断D即可. 【详解】对于A：非零向量同向时，，共线，但 ，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为且 ， 则由共面向量定理知 四点共面，故C正确； 对于D：因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底， 即存在不全为0的，使得， 即，且不全为0， 这与为空间的一个基底矛盾，故假设不成立， 所以构成空间的另一个基底，故D正确. 三、填空题 11．（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 【答案】 【分析】设，列得相应方程组，求解可得. 【详解】设，则. 所以，解得. 所以. 故答案为：. 12．（25-26高三上·河北邢台·期中）在正三棱柱中，点，分别为和的中点，以为基底，则______；若，则______． 【答案】 10 【分析】利用给定的基底，结合空间向量的线性运算求出；再利用数量积的运算律及数量积的定义求解. 【详解】在正三棱柱中，点，分别为和的中点， ，，， 所以； 正三棱柱中，,，则， 又，，, . 故答案为：；10 13．（25-26高二上·湖北·期中）如图，已知在四棱锥中，与相交于点，且 为的中点，．若平面与棱交于点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为则___________ 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，又、，代入可得，根据四点共面，可得的值，由，分析整理，化简计算，即可得答案. 【详解】因为，且，，所以， 又， 所以， 又为的中点，， 所以，， 则， 因为四点共面， 所以，解得． 所以 故答案为： 14．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 【答案】/ 【详解】由题意得，， 则 ， 因为，， 则 ， 所以线段的长度为 . 15．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【答案】 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 四、解答题 16．（25-26高二上·四川绵阳·期中）在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． (1)用，，表示并求出的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量运算得，再结合已知条件，利用数量积的运算律求出向量的模； （2）先利用向量运算求得，然后利用向量数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为点F为棱的中点，所以， 由得，所以 ， 又， 所以； 由题意，， 所以，，， 所以 ． （2）因为点G为棱的中点，所以， 因为，所以， 所以，· 所以 . 17．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解； （2）利用空间向量的线性运算得到，然后利用三点共线求出，最后利用空间向量数量积的运算律结合余弦定理即可求解； （3）设，利用余弦定理和空间向量数量积的运算律表示出，解方程即可求解. 【详解】（1）在中，， ， ． （2）设， 由（1）可知，， ，， ，，三点共线， ，， ， ， 由余弦定理可得， ， ． （3）设，由余弦定理可得， 由正四面体得， ， ， 化简得， 解得或， 或． 18．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.2 空间向量基本定理】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 基底 （1）定义：如果三个向量，___ 不共面__________，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个______ 基底_______，都叫做___基向量__________． （2）性质：空间任意三个___不共面__________的向量都可以构成空间的一个基底． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：空间向量基底的概念辨析】 【练方法】 公式结论 1.基底三要素：3个向量、不共面；共面向量无法构成基底 2.零向量与任意两个向量共面，含的向量组一定不能作为基底 3.空间任意一组基底，三个基向量线性无关，分解式系数唯一 方法技巧 1.快速排除法：向量组里有零向量→直接排除，不可作基底 2.共面判定：若其中一个向量能写成另外两向量线性组合，三向量共面，舍去 3.辨析题答题思路：先判断是否含零向量，再验证三向量能否线性表出，最后下结论 （25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ）经典例题1例题 A．， B．， C．， D．， （25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ）小试牛刀1 A．， B．， C．， D．， （25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ）小试牛刀2 A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型2：用空间基底表示向量】 【练方法】 公式结论 已知基底，空间任意向量，x,y,z唯一 方法技巧 1.回路拆解法：将目标向量放入封闭图形（平行六面体、三棱锥），利用向量加减法则拆分 2.中点/等分点转化：中点向量，三等分点，逐步替换为基向量 3.统一基底原则：全程只用题目给定三个不共面向量，不引入其他向量 易错提醒 拆分时注意向量方向，减法，不要颠倒起点终点 （25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （23-24高二下·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）小试牛刀1    A． B． C． D． （25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：由空间向量基本定理求参数】 【练方法】 公式结论 若，且为基底（不共面），则对应系数相等： 方法技巧 1.等式两侧全部整理为基向量线性组合形式 2.同类基向量系数分别列方程，联立方程组求解参数 3.含多个未知量时，根据方程个数判断有无唯一解 （25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ） 小试牛刀1    A．1 B．2 C． D． （25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）小试牛刀2    A． B． C． D． （25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：单位正交基底】 【练方法】 公式结论 设单位正交基底，满足： 1.模长： 2.两两垂直： 3.向量坐标表示： 4.数量积：若，则 方法技巧 1.建系标准：取两两垂直且模为1的棱作为 2.向量分解直接写坐标，计算长度、垂直、夹角优先用单位正交基底简化运算 3.非正交基底先转化为正交基底再计算数量积 （2025高二上·河南鹤壁·专题练习）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______.经典例题1例题 （25-26高二上·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______．小试牛刀1 （25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏·期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：利用空间向量基本定理求线段长度】 【练方法】 公式结论 设，则线段长度 展开： 单位正交基底简化式： 方法技巧 1.第一步：把线段对应向量用基底完整表示 2.第二步：对向量平方展开，代入基向量模长与两两数量积 3.第三步：开平方得到线段长度 （25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点.经典例题1例题 (1)求； (2)求. （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， .小试牛刀1 (1)用向量，，表示和; (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. （24-25高二上·广东东莞·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，．小试牛刀2 (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． （24-25高二上·广东广州·阶段检测）如图所示，平行六面体中，.小试牛刀3 (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 【题型6：空间向量基本定理与共面定理】 【练方法】 公式结论 1.四点P,A,B,C共面存在实数x,y,z满足，且 2.三向量共面存在不全为0的，使 方法技巧 1.证四点共面：把向量统一用同一基底表示，凑出系数和为1的线性组合 2.证三向量共面：尝试将其中一个向量用另外两个线性表出 3.区分考点：基底判定用“不共面”，四点共面用“系数和为1” （2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·吉林延边·期末）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ）小试牛刀1 A．15 B．12 C．9 D．10 （25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·安徽·期中）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A． B． C．2 D．2 【题型7：利用空间向量基本定理证明垂直】 【练方法】 公式结论 两向量 若，则 单位正交基底简化： 方法技巧 1.将两条待证垂直线段对应向量全部用基底表示 2.计算两向量数量积，化简后结果为0即可证明垂直 3.几何体中优先选取两两垂直棱作为基底，数量积交叉项直接为0，大幅减少计算量 （25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，.经典例题1例题 (1)分别求，的长； (2)证明：. 如图，已知斜三棱柱，，，点在底面上的投影恰为的中点，又知，求三棱锥的体积．小试牛刀1 （24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，．小试牛刀2 (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． （24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点．小试牛刀3 (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【题型8：空间向量基本定理的综合应用】 （25-26高二下·全国·课后作业）（多选）（多选）在棱长为1的平行六面体中，，点满足，其中.则（ ）经典例题1例题 A．当时， B．当时，在平面内 C．当时，的轨迹的面积为 D．当时，点在平行四边形内部及其边上 （24-25高二下·湖北·期末）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ）小试牛刀1 A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． （24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）（多选）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 （24-25高二上·安徽亳州·期末）（多选）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·云南楚雄·期中）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 4．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 6．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 9．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·福建厦门·期中）在以下命题中，正确的命题有（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点 和不共线的三点 ，，，若，则， ，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 三、填空题 11．（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 12．（25-26高三上·河北邢台·期中）在正三棱柱中，点，分别为和的中点，以为基底，则______；若，则______． 13．（25-26高二上·湖北·期中）如图，已知在四棱锥中，与相交于点，且 为的中点，．若平面与棱交于点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为则___________ 14．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 15．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 四、解答题 16．（25-26高二上·四川绵阳·期中）在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． (1)用，，表示并求出的值； (2)求的值. 17．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 18．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $