专题18 全等三角形证明题（不同判定方法&添加条件&灵活选择判定方法7类56道）【暑期培优】2026年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

**基本信息** 以全等三角形判定方法为核心，分7类56题系统覆盖单一判定、条件补充及综合选择，形成从基础到应用的递进训练，培养推理意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |SSS/SAS/ASA/AAS/HL|各8道|给定三边/边角边/角边角/角角边/斜边直角边条件证全等|从单一判定方法到特殊直角三角形判定，构建判定方法应用体系| |添加条件|8道|补全条件使三角形全等，考查判定方法条件要素|强化对判定方法构成条件的逆向推理| |灵活选择|8道|多条件组合选择判定方法，综合应用各类判定|实现判定方法的融会贯通，提升几何直观与推理能力|

专题18全等三角形证明题 (不同判定方法&添加条件&灵活选择判定方法7类56道) 专题目录 【类型1“SSS”证明全等】… .1 【类型2“SAS”证明全等】 6 【类型3“ASA”证明全等】… …12 【类型4“AAS”证明全等】… .17 【类型5“HL”证明全等】… …23 【类型6添加条件证明全等】.… 28 【类型7灵活选择判定方法】… 37 【类型1“sSs”证明全等】 1.如图，AC与BD相交于点O,且OA=OB,OC=OD」 (1)△AOD与△BOC全等吗？请说明理由. (2)△ACD与△BDC全等吗？为什么？ 【答案】(1)解：△AOD≌△BOC,理由如下， 在△AOD和△BOC中， OA=OB ∠AOD=∠BOC OD=OC ,△AOD≌ABOC(SAS) (2)解：△ACD≌aBDC,理由如下， 由 得△AOD≌△BOC ①) ∴AD=BC ..OA=OB.OC=OD .OA+OC=OB+OD,即AC=BD 第1页共48页 在△ACD和△BDC中， AD=BC AC=BD CD=CD' △ACD≌△BDC(SSS) 【分析】 O通过：SAS~即可证明△M0D2aBOC (②)由9得a40D2B0C,所以4D=BC,又01=0B.0C=0D,所以O1+0C=0B+OD,即 AC=BD,然后通过“SSS”即可证明△ACD≌aBDC】 【详解】(1)略： (2)略 2.己知，如图，AB=DE,AC=DF,BE=CF D B E 求证：∠A=∠D. 【答案】 证明：BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF, 在△ABC和△DEF中， AB=DE BC=EF AC=DF △ABC≌ADEF(SSS) ∴.∠A=∠D 【分析】先由“SSS”判定△ABC≌aDEF,即可证明∠A=∠D. 【详解】略 第2页共48页 3.如图，AB=DC,AE=DE,点E是线段BC的中点，求证：△ABE≌△DCE 【答案】证明：，点E是线段BC的中点， .BE=CE, 在△ABE和△DCE中， AB=DC AE=DE BE=CE' △ABE≌aDCE(SSS) 【分析】利用判定方法“SSS”证明即可. 【详解】略 4.△ABD和△ACE都为等腰三角形，A为顶角的顶点，连接BC、DE,则BC=DE,且∠BAD=30°， 求∠CAE的度数. B D 【答案】∠CAE=30° 【分析】先由等腰三角形性质，得AB=AD,AC=E,再结合BC=DE,证 ABC≌△ADE(SSS) 接着 由全等得∠BAC=∠DAE,同减∠DAC,推出∠CAE=∠BAD,最后代入∠BAD=30°，得∠CAE=30° 【详解】解：，△ABD和△ACE都为等腰三角形，A为顶角的顶点， .'AB=AD,AC=AE, 在△ABC和△ADE中， 第3页共48页 AB=AD AC=AE BC=DE' △ABC≌△ADE(SSS) :.∠BAC=∠DAE .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∠BAD=∠CAE, ∠BAD=30°， ∴.∠CAE=30° 【点睛】本题利用共顶点等腰三角形的边相等，通过SSS全等实现角的全等转化，关键是证 △ABC≌△ADE,得到∠CAE=∠BAD 5.如图，点D,A,E,B在同一直线上，BC=EF,AC=DF,BE=AD.求证：BC∥EF, E 【答案】 证明：，BE=AD, .BE+AE=AD+AE, ∴AB=DE, 在△ABC与△DEF中， BC=EF AC=DF AB=DE' △ABC≌ADEF(SSS) ∴.∠B=∠DEF, ∴BCI EF 【分析】根据等式的性质得出AB=DE,利用SSS证明△ABC与△DEF全等，进而解答即可. 【详解】略 第4页共48页 6.如图，C是线段AF的中点，BC=EC,AB=FE.求证：△ABC≌aFEC. B E 【答案】 证明：：C是线段AF的中点， ∴AC=FC 在△ABC和△FEC中， AC=FC BC=EC AB=FE' ∴.△ABC≌△FEC(S,S,S) 【分析】根据中点的性质得到AC=FC,再由SSS证明三角形全等. 【详解】略 7.如图，点A,E,F,D在同一直线上，AB=DC,BF=CE,AE=DF.求证：△ABF≌△DCE. E 【答案】 证明：AE=DF, .AE+EF DF+EF, .AF =DE 在△ABF与△DCE中 AB=DC BF=CE AF=DE' ∴.△ABF≌△DCE(SSS) 第5页共48页 【分析】根据AE=DF得出AF=DE,根据“SSS”即可证明△ABF≌△DCE 【详解】略 8.如图，已知：A、F、C、D四点在一条直线上，AF=CD,BC=EF,且AB=DE.请说明 △ABC≌ADEF A B 【答案】见解析 【分析】由AF=CD可得AC=DF,再根据SSS判定全等即可. 【详解】证明：AF=CD ∴.AF+CF=CD+FC,即AC=DF, 在△ABC和△DEF中 AC=DF AB=DE BC=EF △ABC≌△DEF(SSS) 【类型2“SAS”证明全等】 9.如图，在△ABC和△CDE中，点E在AC边上，AB=DC,DE=AC,∠A=∠D.判断DE与BC的位 置关系，并说明理由 E B 【答案】BCIIDE, 理由如下：在△ABC和△CDE中， AB=DC ∠A=∠D AC=DE' 第6页共48页 △ABC≌ACDE(SAS) .∠ACB=∠DEC ∴BCDE(内错角相等，两直线平行)· 【分析】利用全等三角形的判定，得到△1C≌aCDE(S4S)., 根据内错角相等，两直线平行，即可解答. 【详解】略 1O.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AC,DE相交于点G,AB=DE,AB∥DE,BE=CF D (1)请判断AC与DF的位置关系，并说明理由： (2)若∠B=45°，∠F=60°，求∠EGC的度数. 【答案】()AC∥DF,理由如下： 因为AB∥DE, 所以∠B=∠DEF. 因为BE=CF, 所以BE+CE=CF+CE, 所以BC=EF. 在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠B=∠DEF BC=EF △ABC≌△DEF(SAS) 所以 所以∠F=∠ACB, 所以AC∥DF: (2)75° 【分析】(1)根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，进行解答即可： (2)根据全等三角形的性质、三角形的内角和定理，进行解答即可. 第7页共48页 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可知，△ABC≌aDEF」 所以∠DEF=∠B=45°，∠ACB=∠F=60°， 所以∠EGC=180°-∠DEF-∠ACB=180°-45°-60°=75° 11.己知：在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.请判断线段CE和BD有怎样 的关系？请说明理由。 D E 【答案】解：CE=BD,CE⊥BD,理由如下： 如图，延长CE,交BD于点F,交AB于点O, B ,∠BAC=∠DAE=90°， 、.∠BAC-∠BAE=LDAE-∠BAE,即∠CAE=∠BAD, 在△ACE和△ABD中， 「AC=AB ∠CAE=∠BAD AE=AD △ACE≌△ABD(SAS) ∴.CE=BD,∠ACE=∠ABD, 由对顶角相等得：∠AOC=∠BOF, :.180°-∠ABD-∠BOF=180°-∠ACE-∠AOC,即∠BFC=∠BAC=90°， 第8页共48页 CE⊥BD 【分析】延长CE,交BD于点F,交AB于点O,先得出△ACE≌aABD,则CE=BD,∠ACE=∠ABD 再得出∠BFC=∠BAC=90°，进而可得CE⊥BD 【详解】解：略 12.如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB,DE∥AB,交AC于点F,若DE=BC,求证： ∠DCE=∠DFC D 【答案】证明：DE∥AB, .∠CDE=∠ABC,∠DFC=∠BAC, 在△CDE和△ABC中， CD=AB ∠CDE=∠ABC DE=BC ∴△CDE≌aABC(SAS) .∠DCE=∠BAC, ∴.∠DCE=∠DFC 【分析】根据平行线的性质可 ∠CDE=∠ABC,∠DFC=∠BAC,再i证 CDE≌AABC(SAS) 得到 ∠DCE=∠BAC,然后得证. 【详解】略 13.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=50°，AD,BE相交于点H,连接CH. B (1)求证：△ACD≌△BCE: (2)求∠AHE的度数. 第9页共48页 【答案】(1)证明：：∠ACB=∠DCE=50°， ∴.∠ACD=∠BCE 在△ACD和△BCE中， AC=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE ÷△ACD2RCE(SaS) (2)130° 【分析】(1)由CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE,利用SAS,即可判定△ACD≌aBCE: (2)由△ACD≌△BCE,可得∠CAD=∠CBE,继而求得∠AHB=∠ACB=50°，则可求得∠AHE的度 数 【详解】(1)略 (2)解：设AH与BC交于点O, B :△ACD≌△BCE, ·∠CAD=∠CBE, .·∠AOC=∠BOH, 、∠AHB=∠ACB=50°， .∠AHE=130° 14.己知：如图，A,C,F,D在同一直线上，AF=DC,AB=DE,∠A=∠D A E B D (1)求证：△ABC≌aDEF; 第10页共48页 (2)判断线段BC与EF满足的数量关系和位置关系，并给出证明， 【答案】(1)证明：：AF=DC, ∴AF-CF=DC-CF, 即AC=DF 在△ABC和△DEF中： AC=DF ∠A=∠D AB=DE ·△ABC≌aDEF(SAS) (2)BC=EF,且BC∥EF,证明如下： 由(1)得△ABC≌△DEF .BC=EF,∠ACB=∠DFE ∠BCF=∠EFC, BC∥EF 综上，BC=EF,且BC∥EF 【分析】(1)因为已知AF=DC,所以先对该等式同时减去公共线段CF,推导得到AC=DF,结合已 知的AB=DE、∠A=∠D,用SAS全等判定定理证明△ABC≌aDEF (2)BC和EF的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对 应角∠ACB=∠DFE,推导其补角∠BCF=∠EFC,根据平行线的判定定理确定位置关系。 【详解】(1)略. (2)略 15.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点E,连接DE. (1)求证：△ABE≌aDBE: (2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数. 【答案】(1)见解析 (2)∠AEB=65° 第11页共48页 【分析】(1)先确定已知的等边条件AB=DB,再由BE是角平分线得到一组等角，结合公共边BE=BE, 用SAS全等判定定理证明三角形全等： (2)先利用三角形内角和为180°，计算出∠ABC的度数：再根据角平分线的性质，求出∠ABE的度数， 最后在△ABE中，再次使用三角形内角和公式计算∠AEB的度数. 【详解】(1)证明：，BE平分∠ABC, .∠ABE=∠DBE, 在△ABE和△DBE中， AB=DB ∠ABE=∠DBE BE=BE △ABE=△DBE(SAS) (2)解：在△ABC中，∠A=100°，∠C=50°， .∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-100°-50°=30°， ,BE平分∠ABC, 太∠ABE=)∠ABC=15 2 在△ABE中， ,∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65° 16.如图，在△ABC与△DEC中，CA=CD,∠ACE=∠DCB,BC=EC.试说明：AB=DE B 【答案】证明：~∠ACE=∠DCB ∴.∠ACE+∠BCE=∠DCB+∠BCE,即∠ACB=∠DCE, 在△ABC和和△DEC中， 第12页共48页 CA=CD ∠ACB=∠DCE BC=EC :.△ACB≌aDCE(SAS) .AB=DE. 【分析】由∠ACE=∠DCB得∠ACB=∠DCE,证明 ACB≌△DCE(SAS ,可得AB=DE 【详解】略 【类型3“ASA”证明全等】 17.如图，点D,A,E,B在同一直线上，EF∥BC,EF=BC,∠F=∠C.求证：△DEF≌△ABC D B A E 【答案】证明：EF川BC, .∠B=∠FED 在△DEF和△ABC中 I∠F=∠C EF=BC ∠FED=∠B’ △DEF≌△ABC(A,S,A) 【分析】先根据平行线的性质得到∠B=∠FED,再利用ASA证明△DEF≌△ABC即可. 【详解】略 18.已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G,BE=CF,∠AFB=∠DEC,∠B=∠C.求证： △ABF≌△DCE A E 第13页共48页 【答案】答案见解析 【分析】先证明BF=CE,再利用“角边角”证明△ABF≌aDCE即可. 【详解】解：BE=CF, .BE+EF CF+EF, .BF=CE. 在△ABF和△DCE中， 「∠AFB=∠DEC BF=CE ∠B=∠C △ABF≌△DCE(ASA) 19.如图，∠A=∠B,I=∠2，AE=BE,点D在AC边上. B D (1)求证：△ACE≌△BDE: (2)判断ED与EC的数量关系，并说明理由， 【答案】(1)见解析 (2)ED=EC,理由见解析 【分析】(1)利用ASA证明两个三角形全等即可： (2)根据全等三角形的性质，即可得证 【详解】(1)解：，∠1=∠2， ∴.∠I+∠AED=∠2+∠AED ∠BED=∠AEC, 在△ACE和△BDE中， I∠A=∠B AE=BE ∠AEC=∠BED' 第14页共48页 △ACE≌△BDE(ASA) (2)解：ED=EC,理由如下： 由(1)知：△ACE≌△BDE, ∴.ED=EC 20.如图，在△ABC中，AB=AC,A,D,E三点在同一直线上，∠BAD=∠ACE, ∠BAC=∠ABD+∠BAD B (1)求证：△BAD≌△ACE: (2)猜想线段BD,CE,DE之间的数量关系并证明. 【答案】(1)见解析 (2)BD=DE+CE 【分析】(1)利用ASA可证△BAD≌△ACE: (2)根据全等三角形的性质可证AE=BD,AD=EC,根据AE=AD+DE可知BD=DE+CE. 【详解】(1)证明：∠BAC=∠BAD+∠EAC,∠BAC=∠ABD+∠BAD. ∴.∠EAC=∠ABD ∠EAC=∠ABD AC=AB 在 和 中， BAD△ACE ∠ACE=∠BAD' .△BAD≌△ACE(ASA) (2)解：，△BAD≌△ACE, :AE=BD,AD=EC, AE=AD+DE, ∴.BD=DE+CE 21.如图，点E,C都在线段BF上，BE=CF,∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.求证：△ABC≌aDEF 第15页共48页 【答案】 证明：BE=CF, ∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠DEF BC=EF ∠ACB=∠F' △ABC≌△DEF(ASA)） 【分析】根据角边角的证明方法证明即可， 【详解】略 22.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,AE=BD,BC∥EF,求证：△ABC≌aDEF E B 【答案】证明：：BC∥EF, .∠ABC=LDEF, AE BD .AE+BE=BD+BE,AB=DE, 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D AB=DE ∠ABC=∠DEF' .△ABC≌ADEF(ASA) 第16页共48页 【分析】根据AE=BD,可得AB=DE,再由BC∥EF,可得∠ABC=∠DEF,再由角边角可证得 △ABC≌aDEF,即可求解. 【详解】略 23.如图所示，AC,BD相交于点E,AE=CE,AB‖CD,求证：△ABE≌△CDE 【答案】 证明：AB‖CD, ∴.∠A=∠C 在△ABE和△CDE中， 「∠A=∠C AE=CE ∠AEB=∠CED' △ABE≌ACDE(ASA) 【分析】利用AB‖CD得出∠A=∠C,再利用“ASA”证明即可. 【详解】略 24.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC,AC=AD,点F 在ED上，∠AFB=∠ADC. (1)求证：△ABC≌△AFD: (2)若BE=FE,求证：AF平分∠EAD 第17页共48页 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键 (1)根据∠AFB=∠ADC,可得∠FAD=∠CDE=∠BAC,即可求证： (2)根据△ABC≌△AFD,可得AB=AF,∠DAF=∠BAE,从而得到∠DAF=∠BAE=∠EAF,即可求 证 【详解】(1)证明：：∠AFB=∠ADC,∠AFB=∠FAD+∠ADF, ·∠FAD+∠ADF=∠CDE+∠ADF, .∠FAD=∠CDE=∠BAC, 在△ABC和△AFD中， [∠BAC=∠FAD AC=AD ∠ACB=∠ADF' ∴△ABC≌△AFD(ASA) (2)证明：由(1)得△ABC≌aAFD, ,AB=AF,∠DAF=∠BAE, BE =FE, ∴.∠BAE=∠EAF .∠DAF=∠BAE=∠EAF, .AF平分∠EAD 【类型4“AAS”证明全等】 25.如图，AE∥BF,∠E=∠F,AD=BC.求证：△ACE≌△BDF E 【答案】证明；AE∥BF, ∠A=∠B 又DA=BC, 第18页共48页 .AD-CD=BC-DC. ∴AC=BD 在△AEC和△BFD中， 「∠E=∠F ∠A=∠B AC=BD' ∴.△ACE≌△BDF(AAS) 【分析】根据平行线的性质可得∠A=∠B,再由DA=BC,可得AC=BD,即可求证. 【详解】略 26.己知：如图，点C、F在线段BE上，BF=CE,ACI/DF,∠A=∠D.求证：AB=DE. F B E C D 【答案】见解析 【分析】由平行线可得∠DFE=∠ACB,再根据线段的和差得到BC=EF,运用AAS证明△ABC≌△DEF 即可得出结论 【详解】证明：：AC∥DF, ∴.∠DFE=∠ACB. .BF=CE. .BF+CF=CE+CF,BC=EF, ,∠A=∠D △ABC≌ADEF(AAS) .AB=DE」 27.已知：如图，AD与BE相交于点F,BD与CE相交于点G,∠D=∠E,∠A=∠C,BA=BC.求证： AF=CG 第19页共48页 B 【答案】见解析 【分析】首先由己知条件可依据“AAS”判定△BAD和△BCE全等，从而得∠ABD=∠GBE,进而可得 ∠ABF=∠CBG,然后再依据“ASA”判定△ABF和△CBG全等即可得出结论. 【详解】证明：在△BAD和△BCE中， ∠D=∠E ∠A=∠C BA=BC' △BAD≌△BCE(AAS) ∴.∠ABD=∠GBE, ÷∠ABD-∠FBG=LGBE-LFBG, 即∠ABF=∠CBG, 在△ABF和aCBG中， [∠ABF=∠CBG BA=BC ∠A=∠C △ABF≌ACBG(ASA) ∴.AF=CG 28.如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，AB∥DE,AB=DE,∠ACB=∠F (1)求证：AC=DF, 第20页共48页 (2)添加一个与LD有关的条件，使得AC⊥DE.(不需要证明) 【答案】(1)证明：ABDE, .∠B=∠DEF, 在△ABC与△DEF中， :∠B=∠DEF,∠ACB=∠F,AB=DE, .△ABC≌△DEF(AAS) .AC=DF (2)∠D=90° 【分析】(1)先由AB/DE推出一组同位角相等，结合己知AB=DE、∠ACB=∠F,利用AAS证明 △ABC≌aDEF,再根据全等三角形对应边相等得到AC=DF: (2)要使AC⊥DE,结合△ABC≌△DEF的角相等关系，构造直角条件，写出一个和∠D相关的条件即可， 【详解】(1)略 (2)解：添加条件：∠D=90°， 理由：若∠D=90°，则△DEF是直角三角形，∠DEF+∠F=90°， 由△ABC≌△DEF得∠ACB=∠F, 等量代换得∠DEF+∠ACB=90°， 因此AC⊥DE 29.如图，BD=CF,∠ACB=∠F,∠BDE=LA+∠ACB,求证：△ABC≌△EDF 【答案】见解析 【分析】根据线段的和差可得BC=DF,根据三角形的外角性质结合己知可得∠A=∠E,进而利用AAS 即可证得结论 【详解】证明：，BD=CF, .'BC=DF, :∠BDE=∠A+∠ACB,∠BDE=∠F+∠E,∠ACB=∠F, .∠A=∠E, 第21页共48页 △ABC,△EDF 在 中， ∠A=∠E ∠ACB=∠F BC=DF △ABC≌△EDF(AAS) 30.如图，AB⊥BD,AC⊥DC,垂足分别为B,C,∠BAD=∠CAD.求证：△ABD≌△ACD D 【答案】 证明：AB⊥BD,AC⊥DC, .∠ABD=∠ACD=90°， 在△ABD和△ACD中， ∠BAD=∠CAD ∠ABD=∠ACD AD=AD :.△ABD≌△ACD(AAS) 【分析】先由垂直条件推出两个直角相等，再结合题目给的角相等和公共边，用AAS判定两个三角形全等 【详解】略 31.如图，在四边形ABCD中，ABI‖CD,点E,F在对角线BD上，BE=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD 求证：△ABF≌aCDE 第22页共48页 B 【答案】 证明：AB∥CD 、∠ABF=∠CDE, .BE=FD. .'BE+EF FD+EF, .BF=DE, AF⊥AB,CE⊥CD .∠BAF=∠DCE=90°， 在△ABF和△CDE中， ∠BAF=∠DCE=90° ∠ABF=∠CDE BF=DE △ABF≌△CDE(AAS) 【分析】首先根据平行线的性质得到∠ABF=∠CDE,然后得到BF=DE,∠BAF=∠DCE=9O°，最后证 明△ABF.CDE(11S 即可. 【详解】略 32.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.求证：AE=CE」 F E D 【答案】见解析 第23页共48页 【分析】首先，根据平行线的性质得∠A=∠ACF,然后，证得 ADE≌ACFE(AAS ,即可得到4E=CE 【详解】证明：，FC‖AB」 ∴∠A=∠ACF 在△ADE和△CFE中， ∠A=∠ACF,∠AED=∠CEF,DE=FE, △ADE≌△CFE(AAS) .AE=CE 【类型5“HL”证明全等】 33.如图，∠ACB=90°，∠DCA=∠ECB,AB=DE,BC=EC.求证：AC=DC. D B 【答案】证明：：∠DCA=∠ECB, ∴∠DCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE,即∠DCE=∠ACB, 又∠ACB=90°， .∠DCE=90°， ∴△ACB与△DCE均为直角三角形， 在Rt△ACB和RtADCE中： AB=DE BC=EC ∴.RtAACB≌Rt△DCE(HL) ∴AC=DC 【分析】先利用∠DCA=∠ECB，等式两边同时加∠ACE,推导出∠DCE=∠ACB=90°，再结合已知 AB=DE,BC=EC,通过HL证明RtAACB≌RtADCE,由全等三角形对应边相等即可证得AC=DC 【详解】略 34.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在CA的延长线上，CD=CB,连接BD,过点C作 CF⊥BD分别交AB,BD于点E,F.试说明： 第24页共48页 D A E (1)F为BD的中点： (2)CE=2BF 【答案】(1)证明：，CF⊥BD, ∴.∠CFB=∠CFD=90°， 在RtACFD和RIACFB中， CF=CF CD=CB, RIACFD≌Rt△CFB(HL) ∴，BF=DF,即F为BD的中点： 2)证明：：∠BFC=∠CAB=90°，∠CEA=∠BEF, .∠ABD=∠ACE,∠BAD=180°-∠CAB=90°， 又AB=AC,∠CAE=∠BAD=90°， ACAE≌△BAD(ASA) .CE =BD, 由(1)知：F为BD的中点， .CE=BD=2BF 【分析】(1)证明aCDF≌aCBF,即可得出结论： (2)证明△CAE≌aBAD,得到CE=BD,即可得证 【详解】(1)略 (2)略 35.如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD,过D点作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, 且BE=CF.求证：DE=DF, 第25页共48页 【答案】证明：：点D是边BC的中点， ∴.BD=CD ,DE⊥AB,DF⊥AC, .∠DEB=∠DFC=90°， 在RtADEB和Rt△DFC中， BD=CD BE=CF, RtADEBS≌RtADFC(H) .'DE=DF 【分析】由点D是边BC的中点得BD=CD,由DE⊥AB,DF⊥AC得∠DEB=∠DFC=90°，结合 BE=CF可证 t△DEB≌Rt△DFC(HL) 即可得DE=DF 【详解】略 36.如图，点C在BE上，AB⊥BE,DE⊥BE,且AB=BE,AC=BD,AC交BD于F. D F C (1)求证△ABC≌△BED: (2)求∠BFC的度数. 【答案】(1)证明：，AB⊥BE,DE⊥BE, ∴.∠ABC=∠BED=90°， 在Rt△ABC和Rt△BED中， 第26页共48页 (AC=BD AB=BE, Rt△ABC≌Rt△BED(HL) (2)90° 【分析】(I)根据条件可知△ABC和△BED都是直角三角形，利用HL证明△ABC≌△BED; (2)根据全等三角形的性质进行等量代换，再利用三角形内角和180°，得到∠BFC的度数. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知，△ABC≌△BED, .∠BAC=∠EBD, AB⊥BE, .∠BAC+∠BCF=90°， ∴.∠EBD+∠BCF=90°， ∠BFC=180°-（∠EBD+∠BCF)=180°-90°=90° 37.如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB=DE,AC⊥BD,EF⊥BD,垂足分别为点C、点 F,CD=BF.求证：ABIDE. D 【答案】证明：：AC⊥BD,EF⊥BD, .∠ACB=∠EFD=90°， ..CD=BF, ∴CD+CF=BF+CF,即DF=BC, 在Rt△ABC和Rt△EDF中， AB=DE BC=DF, Rt△ABC≌Rt△EDF(HL） 第27页共48页 ∠B=∠D, .AB//DE 【分析】由AC⊥BD,EF⊥BD得∠ACB=∠EFD=9O°，由CD=BF得DF=BC,可证 Rt△ABC≌Rt△EDF(HL ,可得∠B=∠D,即可证明4BDE 【详解】略 38.如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD,∠DBE=∠C,若AB=6,CF=2,求AC的 长 E 【答案】AC=10 【分析】先根据AAS证明△DBE≌△DCF,则可得DE=DF,BE=CF=2,再根据HL证明 △ADE≌△ADF,得出AF=AE=8,进而可得AC的长. 【详解】证明：，DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠E=∠DFC=90° 又：BD=CD,∠DBE=∠C, △DBE≌△DCF(AAS) ∴.DE=DF,BE=CF=2, 在Rt△ADE和Rt△ADF中， DE=DF AD=AD, RtAADE≌Rt△ADF(HL) ∴AE=AF, AB=6, .AF=AE=AB+BE=6+2=8. ∴AC=AF+CF=8+2=10 第28页共48页 39.如图，CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D,且BC=CD D C (1)求证：△ABC≌△ADC: (2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)证明：，CB⊥AB,CD⊥AD, ∠B=∠D=90° ,在Rt△ABC和Rt△ADC中， (AC=AC BC=DC. Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) (2)12 【分析】(1)根据“HL”证明△ABC≌△ADC即可： (2)根据全等三角形的性质求出BC,求出△ABC和△ADC的面积，即可求解. 【详解】(1)略 Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) (2)解： .BC=DC=3. ∠B=90° Se.we4BBC 1 ×4×3=6 2 SRLADC =SRI4BC =6 S四边形ABCD=SABC+S。ADc=6+6=12 40.如图，点A,B,C,D在同一直线上，且EA⊥AD,FD⊥AD,EC与FB相交点O,AB=DC, 第29页共48页 EC=FB.求证：AE=DF 0 B D 【答案】证明见解析 【分析】利用“HL”证明RtAACES≌RtADBF,由全等三角形的性质可得结论， 【详解】证明：：EA⊥AD,FD⊥AD .∠A=∠D=90°， AB=DC. AB+BC=BC+CD,即AC=DB, 在Rt△ACE和Rt△DBF中， AC=DB EC=FB, Rt△ACE≌Rt△DBF(HL) ∴.AE=DF 【类型6添加条件证明全等】 41.如图，AB‖CD,∠ACD的平分线CP交AB于点E,在线段CE上取一点F,连接AF.要使 △ACF≌△AEF,还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明△ACF≌△AEF.(只要给出 一种情况即可，图中不再增加字母和线段) P E B 【答案】解：①添加AF⊥CE, 证明过程如下：：CP平分∠ACD, ∴.∠ACE=∠ECD 第30页共48页 :AB∥CD, ∴，∠AEC=∠ECD ∴.∠ACE=∠AEC .AC=AE :AF⊥CE. ∴.∠AFC=∠AFE=90° 在△ACF和△AEF中， 「∠AFC=∠AFE ∠ACF=∠AEF AC=AE ∴.△ACF≌△AEF(AAS) ②添加点F为CE中点， 证明过程如下：：CP平分∠ACD, ∴.∠ACE=∠ECD AB∥CD .∠AEC=∠ECD ∴.∠ACE=∠AEC .AC=AE 点F为CE中点， :.CF=EF, 在△ACF和△AEF中， AC=AE ∠ACF=∠AEF CF=EF .△ACF≌△AEF(SAS) ③添加点F为CE中点， 证明过程如下：：CP平分∠ACD, ∴∠ACE=∠ECD 第31页共48页 :AB∥CD, ∴，∠AEC=∠ECD ∴.∠ACE=∠AEC .AC=AE :点F为CE中点， :.CF=EF, 在△ACF和△AEF中， 「AC=AE AF=AF CF=EF' ∴.△ACF≌AAEF(SSS) ④添加AF为∠CAE的角平分线， 证明过程如下：：CP平分∠ACD, ∴.∠ACE=∠ECD :AB∥CD .∠AEC=∠ECD ∴.∠ACE=∠AEC .AC=AE ·AF为∠CAE的角平分线， ∠CAF=∠EAF, 在△ACF和△AEF中， [∠ACE=∠AEC AC=AE ∠CAF=∠EAF' .△ACF≌△AEF(ASA 【分析】①添加AF⊥CE,利用角角边证明三角形全等：②添加点F为CE中点，利用边角边证明三角形 全等：③添加点F为CE中点，利用边边边证明三角形全等：④添加AF为∠CAE的角平分线，利用角边 角证明三角形全等. 第32页共48页 【详解】略 42.己知：如图，点E,F在CD上，AE=BF,AE∥BF, A C E D B 请从①AC=BD;②∠A=∠B:③AC∥BD这三个选项中，选择一个作为条件，使得△ACE≌△BDF, 并说明理由， 解：选择条件是 理由是： 【答案】 ②∠A=∠B, 理由：AE∥BF, ∴∠AEC=∠BFD, 在△ACE和△BDF中 「∠AEC=∠BFD AE=BF ∠A=∠B △ACE≌△BDF(ASA) ③AC∥BD: :AC∥BD, ∴∠C=∠D, AE∥BF, ∴∠AEC=∠BFD. 在△ACE和△BDF中 「∠AEC=∠BFD ∠C=∠D AE=BF △ACE≌ABDF(AAS) 若选①AC=BD,满足的是边边角，不能判定两个三角形全等 第33页共48页 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可： 【详解】略 43.如图，在△ABC和△DEF中，点E在AC边上，点C在DF边上，若∠ACB=∠F,∠A=∠D,请你从 以下三个选项：①BC=EF；②AC=DF;③LB=∠DEF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得 △ABC≌ADEF (1)你选择的补充条件是. (填序号)； (2)根据你选择的补充条件，写出△ABC≌△DEF的证明过程. 【答案】(1)①（或②） (2)选①，证明如下： 在△ABC和△DEF中， [∠ACB=∠F ∠A=∠D BC=EF △ABC≌△DEF(AAS) 选②，证明如下： 在△ABC和△DEF中， 「∠ACB=∠DFE AC=DF ∠A=∠D △ABC≌△DEF(ASA) 【分析】(1)根据三角形全等的判定定理进行求解即可： (2)若选择①，则根据“AAS”判定三角形全等；若选择②，则根据“ASA”判定三角形全等. 【详解】(1)略 (2)略 第34页共48页 44.如图，点B,F,C,E四点在同一直线上，BF=CE,∠B=∠E.若 一，则 △ABC≌aDEF.请从①LA=∠D:②AB=DE;③AC=DF这三个选项中选择一个作为条件（写序号）， 使结论成立，并说明理由， D 【答案】①或②；理由如下： BF=CE, ..BF+FC=CE+FC BC=EF. ①：在△ABC和△DEF中， 「∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF' ∴.△ABC≌△DEF(AAS) ②：在△ABC和△DEF中， 「AB=DE ∠B=∠E BC=EF' ∴.△ABC≌△DEF(SAS) ③：此时条件为∠B=∠E、BC=EF、AC=DF,此时无法推出△ABC≌aDEF. 【分析】分别添加三个条件中的1个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】略 45.如图，己知：点E、C、D、B在一直线上，AB=EF,BD=CE,如果_，那么AB∥EF.请从① AC∥FD:②AC=FD;③∠A=∠F这三个选项中选择一个作为条件（在空格中填入对应序号），使结论 成立，并证明结论， 第35页共48页 B 【答案】② 证明：，BD=CE, 、BD+CD=CE+CD,即BC=DE, ·AC=FD,AB=EF, △ABC≌△FEB(SSS) ∴∠B=∠E, .AB∥EF」 【分析】由BD=CE可得BC=DE,选择①AC∥FD时，可得∠ACB=∠FDE,两个三角形对应角边为 ASS，无法证明两个三角形全等，不能证明结论；选择②AC=FD,可由SSS证明两个三角形全等，得到 ∠B=∠E,可证明结论：选择③∠A=∠F时，两个三角形对应角边为ASS,无法证明两个三角形全等，不 能证明结论， 【详解】略 46.已知：如图点B,F,C,E;在同一条直线上，∠B=∠E,AC=DF.若一，则BF=CE.请 你从①AB=DE;②∠A=∠D;③∠BFD=∠ECA这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成 立，并说明理由。 B ∠A=∠D ∠B=∠E 【答案】添加②：理由如下：在 和 中， △ABC ADEF AC=DF' ∴.△ABC≌△DEF(AAS) .BC=EF,BF+FC=FC+CE. 第36页共48页 :BF=CE: 若选③∠BFD=∠ECA: :∠BFD+∠DFE=180°，∠ECA+∠ACB=180°， .∠DFE=∠ACB, ∴△ABC≌△DEF(AAS) 后续同上可证： AB=DE AB=DE ∠B=∠E AC=DF' SSA不行，不能证全等，①不可选 【分析】要证BF=CE,可先证BC=FE,即证明△ABC≌△DEF,己知∠B=∠E,AC=DF,搭配所选条 件用全等判定证明三角形全等，得到BC=EF,等式同减FC即可得BF=CE. 【详解】略 47.如图，在△ACE和aBDF中，∠C=∠D,点C、F、E、D在同一直线上，CF=DE. B (1)请你添加一个条件，使得△ACE≌△BDF,则这个条件可以是_一一；（只写一个） (2)根据你所添加的条件，求证：△ACE≌△BDF. 【答案】(L)AC=BD或∠CAE=∠DBF或∠AEC=∠BFD (2)证明：，CF=DE, .CF+EF=DE+EF,即CE=DF 在△ACE和△BDF中， AC=BD ∠C=∠D CE=DF' 第37页共48页 :△ACE2△BDF(SMS) 或证明：，CF=DE, ∴CF+EF=DE+EF,即CE=DF. 在△ACE和△BDF中， ∠CAE=∠DBF ∠C=∠D CE=DF :△ACE≌△BDF(AAS) 或证明：，CF=DE, ∴CF+EF=DE+EF,即CE=DF. 在△ACE和△BDF中， ∠C=∠D CE=DF ∠AEC=∠BFD :△ACE2△BDF(ASA) 【分析】(1)根据三角形全等的判定定理添加条件即可： (2)在△ACE和△BDF中，∠C=∠D,CF=DE,由CF=DE可得出CE=DF,由三角形全等的判定 定理知，添加条件AC=BD或∠CAE=∠DBF或∠AEC=∠BFD,满足SAS,AAS,ASA从而得证. 【详解】(1)略 (2)略 48.如图，在△ABC和△DEF中，点C,F,B,E在同一条直线上，若∠C=∠DFE,AC=DF,请你 从以下三个选项：①CF=BE:②AB=DE;③∠ABC=∠DEF中选择一个合适的选项作为补充条件，使 得△ABC≌ADEF, 第38页共48页 (1)你选择的补充条件是」 (填序号)： (2)根据你选择的补充条件，写出△ABC≌△DEF的证明过程 【答案】(1)①或③ (2) 选①， 证明：CF=BE, ∴.CF+BF=BE+BF,即BC=EF, 在△ABC和△DEF中， AC=DF ∠C=∠DFE BC=EF △ABC≌△DEF(SAS) 选③， 证明：在△ABC和△DEF中， ∠ABC=∠DEF ∠C=∠DFE AC=DF △ABC≌△DEF(AAS) 【分析】选①，由CF=BE可得BC=EF，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等： 选③，直接根据角角边可判定全等. 【详解】(1)解：选①或③： (2)略 【类型7灵活选择判定方法】 第39页共48页 49.如图，点B,E,C,F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为 命题的结论，进行证明. E ①AB∥DE;②AC∥DF;③AB=DE;④∠A=∠D:⑤BE=CF. 题设： 结论： 证明： 【答案】 题设：①AB∥DE;②AC∥DF:③AB=DE; 结论：④∠A=∠D:⑤BE=CF. 证明：：AB∥DE,AC∥DF ,∠B=∠DEC,∠ACB=∠F 又，AB=DE △1BC≌aDEF(AMS) ∴，∠A=∠D,BC=EF ∴.BC-EC=EF-EC .BE=CF 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意选择三个条件，然后证明出△ABC≌△DEF,然后 根据全等三角形的性质证明即可. 【详解】略 50.如图，点E、F在直线AC上，现有以下6个条件：①AE=CF;②AD=BC;③∠A=∠C:④ BE=DF:⑤BE∥DF:⑥ADBC, B 第40页共48页 (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的 判定定理来判断△ADF≌△CBE(注意：边用 “S”,角用“A”表示) (2)请用(1)中的判定定理选条件 (填序号) (3)请你用(1)中的判定(2)中的条件写出证明△ADF≌△CBE的证明过程. 【答案】(1)SAS(答案不唯一) (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键. (1)根据全等三角形的判定条件，求解即可： (2)根据全等三角形的判定条件，求解即可： (3)先推导出AF=CE,再根据SAS证明△ADF≌△CBE即可. 【详解】(1)解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的SAS判定定理来判断△ADF≌△CBE 故答案为：SAS(答案不唯一)， (2)解：根据SAS判定定理来判断△ADF≌△CBE,需要选条件①②③. 故答案为：①②③（答案不唯一）· (3)证明：：AE=CF, ∴.AE+EF=CF+EF, 即AF=CE, 在△ADF和△CBE中， (AD=BC ∠A=∠C AF=CE △ADF≌△CBE(SAS) 51.如图，在△ABC和△ABD中，给出下列三个论断：①AD=BC;②∠C=∠D:③I=∠2.请选择其 中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题.请写出你选择的一个真命题加以证明. 第41页共48页 D 20 已知： 求证： 证明： 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键：根据 全等三角形的性质与判定可进行求解。 【详解】解：若选择①③作为条件，②作为结论，则有： 已知：如图，在△ABC和△ABD中，AD=BC,∠I=∠2. 求证：∠C=∠D 证明：在△ABC和△BAD中， 「BC=AD ∠2=∠1 AB=BA' △ABC≌△BAD(SAS) ∴∠C=∠D 若选择①②作为条件，③作为结论，是一个假命题，无法证明： 若选择②③作为条件，①作为结论，则有： 已知：如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D,I=∠2」 求证：AD=BC」 证明：在△ABC和△BAD中， ∠C=∠D ∠2=∠1 AB=BA' △ABC≌△BAD(AAS) 第42页共48页 .AD=BC 52.如图，以下三个关系：①BC=AD;②∠ABC=∠BAD;③AC=BD.请从这三个关系中，选取其中 两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的一种组合方式并进行证明. 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，分条件：已知①②，求证：③：条件：①③，求证：②两种 情况，证明△ABC≌aBAD,即可得出结论. 【详解】解：已知：①②， 求证：③： 证明：在△ABC和△BAD中， BC=AD ∠ABC=∠BAD AB=BA △ABC≌△BAD(SAS) ∴AC=BD: 已知：①③， 求证：②： 证明：在△ABC和△BAD中， BC=AD AC=BD AB=BA' △ABC≌△BAD(SSS) ∴.∠ABC=∠BAD 第43页共48页 53.如图，己知点E,C在线段BF上，有下列条件：①BE=CF:②AB∥DE;③AC=DF:④ AB=DE.从中任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，则有很多正确的命题，如①③④户②等. (1)仿照上面的写法写出所有正确的命题. (2)选择其中一个命题加以证明， 【答案】(1)①③④→②：①②④→③： (2)见解析. 【分析】本题考查全等三角形的判定.这是一道开放题.四个条件可组合成四个命题，其中有真有假，考 生既要会证明真命题，还要会对假命题举反例加以否定，本题既考查了学生的基础知识，又考查了学生的 创新能力.给学生提供了充分展示才能的空间，不同层次不同能力的学生可以给出不同的结果 本题考查的是全等三角形的判定，要根据全等三角形判定条件中的SAS,AAS,ASA,SSS等条件，来判 断选择哪些条件可得出三角形全等，得出全等后又可得到什么等量关系. 【详解】(1)解：①③④→②，①②④→③. (2)示例：选择①②④→③ 证明：AB∥DE, ∴.∠B=∠DEF. .BE =CF, ,∴.BE+EC=CF+EC. ·BC=EF 又：AB=DE, :△1BC≌aDEF(S4S) ∴.AC=DF 54.如图，己知E,F是线段AB上的两点，AE=BF,从①∠A=∠B,②DF=CE,③AD=BC中选择两 个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程.你选的补充条件是一，结论是 (填序号) 证明： 第44页共48页 B 【答案】①③、②： 证明：AE=BF, ,AE+EF=BF+EF,即AF=BE 在△DAF与△CBE中 AD=BC ∠A=∠B AF=BE ∴.ADAF≌ACBE(SAS) ∴DF=CE 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法(SAS,ASA,AAS, SSS,还有直角三角形的HL)是解题的关键. 本题主要考查了全等三角形的判定与性质.选的补充条件是①③，结论是②，证明△DAF≌△CBE即可： 【详解】略 55.如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3个 作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE,②AC=DF,③ ∠ABC=∠DEF,④BE=CF. D E 【答案】 情况一、当取①③④作为题设，②作为结论时， 即如果AB=DE,∠ABC=∠DEF,BE=CF,那么AC=DF, 已知：AB=DE,∠ABC=∠DEF,BE=CF,求证：AC=DF, 证明：BE=CF, ..BE+EC=CF+EC, .BC=EF, 第45页共48页 AB=DE ∠ABC=∠DEF 和 △ABCADEE 中， BC=EF △ABC≌△DEF, .AC=DF 情况二、当取①②④作为题设，③作为结论时， 即如果AB=DE,AC=DF,BE=CF,那么∠ABC=∠DEF 己知：AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证：∠ABC=∠DEF, 证明：：BE=CF, ..BE+EC=CF+EC, :BC=EF, AB=DE AC=DF 在 和 中， ABC DEF BC=EF' .∴AABC≌ADEF ∴.∠ABC=∠DEF 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题是一道开放性试题，需要把所有可能出现的情况 都考虑到，证明全等三角形的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS,本题共有四种情况，①、②、③、 ④均可以作为命题的结论，当①或④作结论时，其余三个条件的位置关系是SSA不能证明三角形全等， 所以不能得到真命题，只有把②、③作为结论时，得到的是真命题 【详解】略 56.如图，点A,D,C,F在同一条直线上，AD=FC,∠A=∠EDF,请从以下三个选项中① AB=DE,②∠ACB=∠DFE,③∠B=∠E,选择一个选项作为已知条件，使得△ABC≌aDEF. D C (1)你选择添加的选项是一（填序号）； (2)添加条件后，请证明△ABC≌aDEF」 【答案】(1)①或②或③ 第46页共48页 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， (1)添加①或②或③均可证明全等： (2)由平行线的性质可得∠D=∠A,如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明 三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等， 【详解】(1)解：选择①或②或③ (2)选择①，证明如下： AD=FC, ∴，AD+DC=DC+CF即AC=DF, 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠EDF AB=DE △ABC≌ADEF(SAS) 选择②，证明如下： AD=FC. ·.AD+DC=DC+CF即AC=DF, 在△ABC和△DEF中 I∠A=∠EDF ∠ACB=∠DFE AC=DF △ABC≌△DEF(ASA) 选择③，证明如下： AD=FC. .AD+DC=DC+CF即AC=DF, 在△ABC和△DEF中 第47页共48页 ∠A=∠EDF ∠B=∠E AC=DF △ABC≌△DEF(AAS) 第48页共48页 专题18 全等三角形证明题 （不同判定方法&添加条件&灵活选择判定方法7类56道） 专题目录 【类型1 “SSS”证明全等】 1 【类型2 “SAS”证明全等】 2 【类型3 “ASA”证明全等】 4 【类型4 “AAS”证明全等】 6 【类型5 “HL”证明全等】 7 【类型6 添加条件证明全等】 9 【类型7 灵活选择判定方法】 11 【类型1 “SSS”证明全等】 1．如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 2．已知，如图，，，， 求证：． 3．如图，，，点是线段的中点．求证：． 4．和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 5．如图，点D，A，E，B在同一直线上，，，．求证：． 6．如图，是线段的中点，，．求证：． 7．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 8．如图，已知：、、、四点在一条直线上，，，且．请说明． 【类型2 “SAS”证明全等】 9．如图，在和中，点在边上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 10．如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 11．已知：在和中，，，．请判断线段和有怎样的关系？请说明理由． 12．如图，在中，点在边上，，，交于点，若，求证： 13．如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)求 的度数． 14．已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 15．如图，在中，D是边上的一点，， 平分，交边于点E，连接． (1)求证： ； (2)若， ，求的度数． 16．如图，在 与 中，，，．试说明：． 【类型3 “ASA”证明全等】 17．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 18．已知：如图，点、在上，与交于点，，，．求证：． 19．如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 20．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 21．如图，点，都在线段上，，，．求证：． 22．如图，在和中，，，，求证： 23．如图所示，，相交于点E，，，求证：． 24．如图，四边形的对角线相交于点，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【类型4 “AAS”证明全等】 25．如图，，，．求证：． 26．已知：如图，点、在线段上，，，．求证：． 27．已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 28．如图，点、、、是同一直线上顺次四点，，，． (1)求证：； (2)添加一个与有关的条件，使得．（不需要证明） 29．如图，，，，求证：． 30．如图，，，垂足分别为，，．求证：． 31．如图，在四边形中，，点，在对角线上，，且，．求证：． 32．如图，D是上一点，交于点E，，．求证：． 【类型5 “HL”证明全等】 33．如图，，，，．求证：． 34．如图，在中，，，点在的延长线上，，连接，过点作分别交，于点，．试说明： (1)为的中点； (2) 35．如图，在中，点是边的中点，连接，过点作于点，于点，且．求证：． 36．如图，点C在上，，，且，，交于F． (1)求证； (2)求的度数． 37．如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 38．如图，于点E，于点F，，，若，，求的长． 39．如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 40．如图，点，，，在同一直线上，且，，与相交点，，．求证：． 【类型6 添加条件证明全等】 41．如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 42．已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 43．如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 44．如图，点，，，四点在同一直线上，，．若__________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 45．如图，已知：点E、C、D、B在一直线上，，，如果 ，那么．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（在空格中填入对应序号），使结论成立，并证明结论． 46．已知：如图点，，，，在同一条直线上，，．若______，则．请你从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 47．如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． (1)请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） (2)根据你所添加的条件，求证：≌． 48．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【类型7 灵活选择判定方法】 49．如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 50．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 51．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明． 已知： 求证： 证明： 52．如图，以下三个关系：①；②；③．请从这三个关系中，选取其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的一种组合方式并进行证明． 已知： 求证： 53．如图，已知点E，C在线段BF上，有下列条件：①；②；③；④．从中任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，则有很多正确的命题，如①③④⇒②等． (1)仿照上面的写法写出所有正确的命题． (2)选择其中一个命题加以证明． 54．如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 55．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 56．如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $