第五讲 全等三角形的判定-“边边边（SSS）”与“边角边（SAS）”（导图指引+知识梳理+10个考点分类讲练+难度分层随堂练 共50题）-2025年七升八年级暑假衔接培优同步讲练（新教材）

2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步精讲练●2025新教材【新课衔接篇】 第五讲 全等三角形的判定-“边边边（SSS）”与“边角边（SAS）”（章节14.2） （导图指引+知识梳理+10个考点分类讲练+难度分层随堂练 共50题） 知识点梳理01 边边边（SSS）判定全等 1. 边边边（SSS）的概念： 若两个三角形的 分别对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 知识点梳理02 用直尺和圆规作一个角等于已知角 1. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤： 如图：（1）以O为圆心，一定长度为半径画圆弧，与角的两边分别交于C、D两点； （2） 画射线O′A′，以O′为圆心，OC的长度为半径画圆弧，交O′A′于点C′； （3） 以C′为圆心，CD长为半径画圆弧，与（2）中的圆弧交于点D′； （4） 过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB 通过作图步骤可证明△OCD △O′C′D′，从而得到所作的角等于已知角。 知识点梳理03 边角边（SAS）判定全等 1. 边角边（SAS）的概念： 若两个三角形有 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 模块一 用“边边边（SSS）”证明三角形全等 考点01：用SSS证明三角形全等 例1 （24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）（1）计算：． （2）如图，已知，，，求证：． 演练1 （24-25八年级上·河南周口·阶段练习）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 演练2 （24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)若，，求的度数． 考点02：用SSS间接证明三角形全等 例2 （24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 演练1 （24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 演练2 （2024八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足分别为，与相交于点，且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④图中有四对三角形全等． A．1 B．2 C．3 D．4 考点03：全等的性质和SSS综合 例3 （19-20八年级上·山东·单元测试）已知，如图，，在上，且，，，求证：与互相平分． 演练1 （24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 演练2 （24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 模块二 用“边角边（SAS）”证明三角形全等 考点04：用SAS证明三角形全等 例4 （24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）（）． (1)用的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 演练1 （24-25八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 演练2 （24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，已知，点、在线段上，且．请你添加一个条件，使得．你添加的条件是：_____（只填一个）．添加条件后证明：． 考点05：用SAS间接证明三角形全等 例5 （24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 演练1 （24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，射线在外，． (1)在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：； 演练2 （20-21七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图1，若，求线段的长的取值范围； (3)如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值． 考点06：全等的性质和SAS综合 例6 （24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在小正方形的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 演练1 （22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在长方形中，, ．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时．和全等． 演练2 （24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 模块三 与“SSS”、“SAS”有关的尺规作图问题 考点07：尺规作一个角等于已知角 例7 （23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，） (2)求证：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 演练1 （24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在中，，．点为边上一点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若平分，求的度数． 演练2 （23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点． (1)设． ①当时，求的度数； ②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)； (2)把沿着所在的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：； ②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由． 考点08：尺规作角的和、差 例8 （24-25八年级上·江西萍乡·期末）请按下列要求完成作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，请用尺规在射线上作一点，使； (2)如图2，已知：，，请用尺规作，使． 演练1 （24-25八年级上·河南南阳·期中）[教材呈现]如图是华师版八年级上册65页的部分内容． 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．   把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? (1)【操作】如图，，请你用圆规在的另一边找到点，使； (2)【发现】（1）中的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填一定或不一定）； (3)【思考】如图，已知，若，则下列判断不正确的是（   ）    A．一定是钝角三角形B．  C．  D．的面积与的面积相等 演练2 （22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知及上一点A， (1)利用三角板，过点A作的垂线，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线的距离． (2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在下方以点B为顶点作，使得． 考点09：过直线外一点作已知直线的平行线 例9 （22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，一艘航船，在水流的作用下，从点航行到点，此时，小明的船在处，看到点在他的正北方，    (1)请帮小明的船只，设计一条与航线平行的航线（运用尺规作图，保留作图痕迹） (2)两河岸直线，直线之间的距离知道，但小明想知道航线的里程，又不便测量，你能用学习的全等三角形的知识，画图帮他设计吗？并说明你的理由． 演练1 （22-23七年级下·福建福州·期末）如图，交于点，      (1)尺规作图：过点作交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 演练2 （20-21七年级下·河南郑州·阶段练习）（1）如图，利用尺规作图：过点B作BM∥AD．（要求：不写作法保留作图痕迹） （2）若∠ADE＝130°，且∠ADE的两边与∠ABM的两边分别平行，则∠ABM＝　　． 考点10：尺规作图—作三角形 例10 （24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 演练1 （24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，已知． (1)尺规作图：以点为圆心，的长为半径画圆弧，再以点为圆心，的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接，（标明字母，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，判断与的位置关系，并说明理由． 演练2 （24-25八年级上·山东临沂·期中）教科书第39页有下面一段文字： 思考： 如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？ 图1中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案． (1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到上，看它们是否重合． 请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）； (2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3． 求证：．请写出证明过程． 1．（2025八下·湘阴期中）如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 2．（2025八上·绵阳期中）如图，，，，，交于点H，连．则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025八上·内江期末）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点、分别是、上的动点，则的最小值为（　　） A． B．4 C． D． 4．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025七下·深圳期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　 　． 6．（2025八上·招远期末）如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，若的度数为，则的度数为________． 7．（2025七下·双流期中）如图（1），，，，．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 8．（2025八上·淳安期末）如图，已知，，． （1）与是否全等？说明理由； （2）如果，，求的度数． 9．（2024八上·东阳期末）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； （1）求证∶． （2）求的度数． （3）如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 10．（2025八上·射洪期末）如图，在等腰中，，E，F分别是的中点． （1）如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接．（要求：只保留作图痕迹） （2）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是的中点．求证：． 11．（2025八上·开福期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（　　） A．①②④⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③⑤ 12．（2025八上·福州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（　　） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 13．（2025八上·福州期末）如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 14．（2025·自贡模拟）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有　 　． 15．（2025八上·汉阳期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是　 　度． 16．（2025八上·北京市期末）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则　 　． 17．（2025八上·合肥期末）如图，在和中，，，且，与交于点，若． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 18．（2025八上·怀化期末）如图，在中，，高相交于点，且． （1）求线段的长； （2）设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? （3）点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 19．（2024九上·北京市期中）如图，在等边中，点D是线段上一点作射线，点B关于射线的对称点为E，连接延长，交射线于点F． （1）补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 20．课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明. （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长至F，使= ▲ ，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且.求证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步精讲练●2025新教材【新课衔接篇】 第五讲 全等三角形的判定-“边边边（SSS）”与“边角边（SAS）”（章节14.2） （导图指引+知识梳理+10个考点分类讲练+难度分层随堂练 共50题） 知识点梳理01 边边边（SSS）判定全等 1. 边边边（SSS）的概念： 若两个三角形的 三条边 分别对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 知识点梳理02 用直尺和圆规作一个角等于已知角 1. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤： 如图：（1）以O为圆心，一定长度为半径画圆弧，与角的两边分别交于C、D两点； （2） 画射线O′A′，以O′为圆心，OC的长度为半径画圆弧，交O′A′于点C′； （3） 以C′为圆心，CD长为半径画圆弧，与（2）中的圆弧交于点D′； （4） 过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB 通过作图步骤可证明△OCD ≌ △O′C′D′，从而得到所作的角等于已知角。 知识点梳理03 边角边（SAS）判定全等 1. 边角边（SAS）的概念： 若两个三角形有 两边及其夹角 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 模块一 用“边边边（SSS）”证明三角形全等 考点01：用SSS证明三角形全等 例1 （24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）（1）计算：． （2）如图，已知，，，求证：． 【答案】（1）6；（2）见解析 【思路引导】本题考查实数的运算，全等三角形的判定． （1）利用算术平方根，立方根的意义将原式化简，再进行加减运算即可； （2）先求得，利用即可证明． 【完整解答】（1）解： ； （2）证明：∵， ∴，即， ∴，， ∴． 演练1 （24-25八年级上·河南周口·阶段练习）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据即可证明，可得； 【完整解答】解：在和中， ， ， ； 故选：A 演练2 （24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点． （1）利用证明与全等； （2）先根据全等三角形性质得出，进而求出，的长度，再计算； （3）先求出，再根据全等三角形性质得到，最后求出． 【完整解答】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ． ∵， ∴． 又， ． ， ， ； （3）解：，，，， ， ， ， ， ， ． 考点02：用SSS间接证明三角形全等 例2 （24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质， （1）利用证明即可； （2）利用全等的性质和平行线的性质得出，再利用来证明，利用等量代换即可证明． 【完整解答】（1）点是的中点， ， 在和中，， ． （2）， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ， ． 演练1 （24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解 (2)48 (3) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【完整解答】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 演练2 （2024八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足分别为，与相交于点，且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④图中有四对三角形全等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 首先根据三角形的内角和定理可证出，可判断①；再利用定理证明，可判断②；进而可证明，可判断③；，，可判断④． 【完整解答】解：， ， ， ，故①正确； 在和中， ，故②正确； ． 在和中， ，故③正确； ，， ． 在和中， ， 在和中， ， ，故④正确． ∴结论正确的有①②③④关，共4个． 故选：D． 考点03：全等的性质和SSS综合 例3 （19-20八年级上·山东·单元测试）已知，如图，，在上，且，，，求证：与互相平分． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先证明，推出，再证明，得到，进而得到，即可． 【完整解答】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与互相平分． 演练1 （24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可求解． 【完整解答】（1）证明：， ， 在△和△中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 演练2 （24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)是，理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明即可； （2）利用证明，即可； （3）证明，即可得出结论． 【完整解答】（1）证明：在和中 ， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； （3）是，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 模块二 用“边角边（SAS）”证明三角形全等 考点04：用SAS证明三角形全等 例4 （24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）（）． (1)用的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)； (2)与全等，理由见解析； (3)． 【思路引导】本题考查了三角形的动点运动问题，全等三角形的判定，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接根据时间和速度表示的长； （）根据“”证明即可； （3）因为点的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，则，，得，，解出即可． 【完整解答】（1）解：由题意得：， 则， 故答案为：； （2）解：与全等，理由是： 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， 当与全等，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，能够使与全等． 演练1 （24-25八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【完整解答】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 演练2 （24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，已知，点、在线段上，且．请你添加一个条件，使得．你添加的条件是：_____（只填一个）．添加条件后证明：． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【思路引导】本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质，由题意添加的条件是：，先推出，再由平行线的性质得，然后根据证明即可．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【完整解答】解：添加的条件是：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 考点05：用SAS间接证明三角形全等 例5 （24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 【答案】(1)见解析 (2)点的速度为 【思路引导】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握三角形全等的判定定理． （1）先求得，，则可判断； （2）由得，求出点的运动时间，进而可求出点运动的速度． 【完整解答】（1）解：点的速度与点的速度相等，都是， 经1s后，， ， ， ， 点为的中点，， ， ， 在和中，， ∴； （2）解：， ， 点是的中点，， ， 点的运动时间为：， 点运动的时间为， 点运动的速度是：， 当点的速度为时，能够使； 演练1 （24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，射线在外，． (1)在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：； 【答案】(1)图见解析 (2)详见解析 【思路引导】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，正确画出图形是解题关键． （1）根据题意，在射线上截取，连接即可； （2）利用全等三角形的判定方法结合得出答案． 【完整解答】（1）解：作图如图， （2）证明：在和中 演练2 （20-21七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图1，若，求线段的长的取值范围； (3)如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)12 【思路引导】（1）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质和外角的性质可求解； （2）过点作，交的延长线于，由“”可证，可得，，由三角形的三边关系可求解； （3）延长，交于点，由“”可证，可得，，由面积的和差关系可求解． 【完整解答】（1），， ， 平分， ， ； （2）如图1，过点作，交的延长线于， ，， 点为中点， ， ， ，， 在中，，， ， ； （3）如图2，延长，交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值，即有最大值， 的最大值． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 考点06：全等的性质和SAS综合 例6 （24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在小正方形的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明得，又，所以，最后根据外角的定义即可求出的度数． 【完整解答】解：由题意知：，，， ， ， 又， ， ， 故选：C． 演练1 （22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在长方形中，, ．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时．和全等． 【答案】2或9 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及长方形的特点，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．结合和全等分两种情况进行讨论，①当时，②当时，根据题意得出和求解，即可解题． 【完整解答】解：①当时，和全等． 四边形为长方形， ，， ， 在和中， ， ， ， 所以， ②当时，和全等． 与①同理，根据证得：， 在长方形中，， ． ， ， ， 解得． 所以，当t的值为2或9秒时．和全等． 故答案为：2或9． 演练2 （24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【完整解答】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 模块三 与“SSS”、“SAS”有关的尺规作图问题 考点07：尺规作一个角等于已知角 例7 （23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，） (2)求证：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析, ； (2)见解析； (3)33． 【思路引导】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用作一个角等于已知角的方法作图，再根据全等三角形的判定定理分析即可； （2）利用“”证明全等即可； （3）由（2）可知，得到，，根据的周长得到，即可求出的周长． 【完整解答】（1）解：如图，点为所求作，作图依据是； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ； （3）解：由（2）可知， ，， 的周长为15， ， ， 的周长． 演练1 （24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在中，，．点为边上一点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】（1）首先利用尺规作图作一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，可证知； （2）根据等边对等角可知，根据角平分线的定义可知，根据两直线平行内错角相等可得． 【完整解答】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 以点为圆心，为半径画弧，交于点， 以点为圆心，为半径画弧，交前弧于点， 连接并延长，交于点， 点即为所求， 由作图可知， 根据同位角相等，两直线平行可知； （2）解，， ， 平分， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了尺规作图中的作一个角等于已知角、平行线的判定与性质、角平分线的性质、等边对等角．解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． 演练2 （23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点． (1)设． ①当时，求的度数； ②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)； (2)把沿着所在的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：； ②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①见解析；②是定值， 【思路引导】（1）①利用三角形内角和定理即可解答；②分别以点为圆心，小于的长为半径画弧与点，连接，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，即作，连接，点E即为所求； （2）①利用三角形内角和定理及邻补角的定义结合角平分线的定义即可证明；②如图，利用三角形外角的性质及三角形内角和定理得到，，由折叠的性质得到，即可求出，由①得，即可得出结论． 【完整解答】（1）①解： ，， ， ，， ； ②解：如图，作，点E即为所求， 由①可得， ， ， ， ， 与β互补； （2）①证明：如图3， 根据题意得：平分，平分， ， ， ， ， ， ； ②是定值， 如图， ，， 由折叠的性质得到， ，即， ， 由①得． 【考点评析】本题考查尺规作图-作角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 考点08：尺规作角的和、差 例8 （24-25八年级上·江西萍乡·期末）请按下列要求完成作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，请用尺规在射线上作一点，使； (2)如图2，已知：，，请用尺规作，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【思路引导】本题考查的是作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角； （1）在线段的延长线上截取即可； （2）先作射线，再作，在的外部，以为一边，作，则即为所求． 【完整解答】（1）解：如图1，点即为所求； ． （2）解：如图，即为所求； ． 演练1 （24-25八年级上·河南南阳·期中）[教材呈现]如图是华师版八年级上册65页的部分内容． 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．   把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? (1)【操作】如图，，请你用圆规在的另一边找到点，使； (2)【发现】（1）中的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填一定或不一定）； (3)【思考】如图，已知，若，则下列判断不正确的是（   ）    A．一定是钝角三角形    B．    C．    D．的面积与的面积相等 【答案】(1)作图见解析 (2)2，2，不一定 (3)A 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求画出图形即可得结论； （2）由（1）中所作图形，利用全等三角形的性质判断即可得到答案； （3）利用全等三角形的性质判断即可得到答案． 【完整解答】（1）解：如图所示：   点及即为所求； （2）解：由（1）中所作图形可知，这样的点有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等， 故答案为：2，2，不一定； （3）解：，是钝角三角形， 一定是钝角三角形， 故选：A． 演练2 （22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知及上一点A， (1)利用三角板，过点A作的垂线，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线的距离． (2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在下方以点B为顶点作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据垂线的定义，作出图形即可； （2）以点为圆心，已任意长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，以长为半径，在的下方画弧，与之前的弧交于点，再以点为圆心，以长为半径，在点下方画弧，与第一个弧交于点，连接，并延长至点，即可得出． 【完整解答】（1）解：如图，线段即为所求，此时线段的长为点A到直线的距离． （2）解：如图，即为所求， 【考点评析】本题考查作图—复杂作图，垂线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 考点09：过直线外一点作已知直线的平行线 例9 （22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，一艘航船，在水流的作用下，从点航行到点，此时，小明的船在处，看到点在他的正北方，    (1)请帮小明的船只，设计一条与航线平行的航线（运用尺规作图，保留作图痕迹） (2)两河岸直线，直线之间的距离知道，但小明想知道航线的里程，又不便测量，你能用学习的全等三角形的知识，画图帮他设计吗？并说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)能，理由见解析 【思路引导】（1）如图以为边作，交河岸于点，则为所求； （2）如图设两河岸直线，直线之间的距离为过点作于点，在上取，过作于点，交的延长线于点，则，测量出的长即得的长，理由:过点作于点，则，证明即可得，从而测量的长即可得的长。 【完整解答】（1）解：如图，即为小明船只的航线，    由作图可知，， ∴ ∴为所求的航线； （2）解：如图设两河岸直线，直线之间的距离为过点作于点，在上取，过作于点，交的延长线于点，则，测量出的长即得的长，    理由如下: 如图，过点作于点，则，    由作图可知，，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴测量的长即可得的长。 【考点评析】本题主要考查了垂线、平行线的判定及性质，尺规作角，全等三角形的判定及性质，熟练掌握尺规作角及全等三角形的判定及性质是解题的关键。 演练1 （22-23七年级下·福建福州·期末）如图，交于点，      (1)尺规作图：过点作交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据同位角相等，两直线平行，作角相等即可得解； （2）根据平行线的性质求解即可． 【完整解答】（1）解：如图所示，交于点，即为所求，      （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查了尺规作图之作一个角等于已知角、平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键． 演练2 （20-21七年级下·河南郑州·阶段练习）（1）如图，利用尺规作图：过点B作BM∥AD．（要求：不写作法保留作图痕迹） （2）若∠ADE＝130°，且∠ADE的两边与∠ABM的两边分别平行，则∠ABM＝　　． 【答案】（1）见解析；（2）50°或130° 【思路引导】（1）根据平行线的作图方法进行作图即可； （2）分当BM与AD在AB的同侧和当BM与AD在AB的异侧，两种情况讨论求解即可． 【完整解答】解：（1）如图，BM为所作； 以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别为AD，AB交点M，N，再以B为圆心，以AN的长为半径画弧交AB延长线于H，以H为圆心，以MN的长为半径画弧与以B为圆心，AN为半径的圆交于G，作射线BG，即为射线BM； （2）直线BM交DE于C， 当BM与AD在AB的同侧，如图1， ∵AD∥BM，DC∥AB， ∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠ADE+∠DCB=180° ∴∠ABC＝∠ADE＝130°， 即∠ABM＝130°； 当BM与AD在AB的异侧，如图2， 同理可得∠ABC＝∠ADE＝130°， ∴∠ABM＝180°﹣130°＝50°， 综上所述，∠ABM的度数为50°或130°． 故答案为：50°或130°． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，尺规作图—作平行线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 考点10：尺规作图—作三角形 例10 （24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【思路引导】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【完整解答】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 演练1 （24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，已知． (1)尺规作图：以点为圆心，的长为半径画圆弧，再以点为圆心，的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接，（标明字母，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】此题考查了基本作图、全等三角形的判定和性质． （1）根据线段的作法作图即可； （2）证明，得到，即可得到结论． 【完整解答】（1）解：如图所示，即为所求． （2）． 理由如下：由作图可知，． 在和中， ． ． 演练2 （24-25八年级上·山东临沂·期中）教科书第39页有下面一段文字： 思考： 如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？ 图1中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案． (1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到上，看它们是否重合． 请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）； (2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3． 求证：．请写出证明过程． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查尺规作图，全等三角形的判定和性质， （1）作，作，即可； （2）过作，垂足为，过作，垂足为，证明得，证明得，最后利用即可得证； 解题的关键是掌握五个基本作图，全等三角形的判定和性质． 【完整解答】（1）解：如图， 则即为所作； （2）证明：过作，垂足为，过作，垂足为， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 1．（2025八下·湘阴期中）如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 2．（2025八上·绵阳期中）如图，，，，，交于点H，连．则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3．（2025八上·内江期末）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点、分别是、上的动点，则的最小值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 4．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 5．（2025七下·深圳期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H． ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD， 又AE=AE， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴FE=EF′， ∵S△ABC=AB•CH=AC•BC， ∴CH=， ∵EF+CE=EF′+EC， ∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为， 故答案为：． 【思路引导】在AB上取点F'，使AF'=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H，利用SAS证明△AEF≌△AE F′，得出FE=EF′，因为EF+CE=EF'+EC，推出当C、 E、F'共线，且点F'与H重合时，FE+EC的值最小，然后利用面积法求出CH长，即可解答. 6．（2025八上·招远期末）如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，若的度数为，则的度数为________． 【答案】 7．（2025七下·双流期中）如图（1），，，，．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：与全等． 理由如下： ∵，，， ∴，当时，，， 在和中， ∴． （2）解：①若，则， 即，解得； ②若，则， 即，解得； 综上所述，存在或，使得与全等． 【思路引导】（1）根据题意，证得，当时，得到，，结合SAS，即可证得结论； （2）根据题意，分和两种情况讨论：建立方程组，即可求解． （1）解：与全等．理由如下： ∵，，， ∴，当时，，， 在和中， ∴． （2）①若，则， 即，解得； ②若，则， 即，解得； 综上所述，存在或，使得与全等． 8．（2025八上·淳安期末）如图，已知，，． （1）与是否全等？说明理由； （2）如果，，求的度数． 【答案】（1）解：与全等．理由如下：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）解：∵，，由（1）知：， ∴， ∴， ∴的度数为． 【思路引导】（1）根据可以得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的对应角相等得，然后利用三角形内角和定理解题即可． （1）解：与全等．理由如下： ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）∵，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴的度数为． 9．（2024八上·东阳期末）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； （1）求证∶． （2）求的度数． （3）如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，，∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 【思路引导】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明两三角形全等即可； （2）根据全等可以得到，再利用三角形的内角和定理解题即可； （3）分为在线段上，在的延长线上两种情况，得到，即可得到，然后格局线段的和差解题即可． （1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 10．（2025八上·射洪期末）如图，在等腰中，，E，F分别是的中点． （1）如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接．（要求：只保留作图痕迹） （2）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是的中点．求证：． 【答案】（1）解：补全图形如下： （2）证明：分别是的中点， ，． ， ， 平分， ， 在和中， ， ． ． 【思路引导】（1）作的平分线交于点D，连接解题； （2）根据得到，然后根据全等三角形的性质解题即可． （1）解：补全图形如下： （2）证明：分别是的中点， ，． ， ， 平分， ， 在和中， ， ． ． 11．（2025八上·开福期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（　　） A．①②④⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③⑤ 【答案】A 12．（2025八上·福州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（　　） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 13．（2025八上·福州期末）如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 14．（2025·自贡模拟）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有　 　． 【答案】①③④ 15．（2025八上·汉阳期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是　 　度． 【答案】 16．（2025八上·北京市期末）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则　 　． 【答案】 17．（2025八上·合肥期末）如图，在和中，，，且，与交于点，若． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 18．（2025八上·怀化期末）如图，在中，，高相交于点，且． （1）求线段的长； （2）设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? （3）点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点的运动时间是1秒； （3）符合条件的t值为1s或s． 19．（2024九上·北京市期中）如图，在等边中，点D是线段上一点作射线，点B关于射线的对称点为E，连接延长，交射线于点F． （1）补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）解：如图，作于点G，延长到点E，使得，连接延长，交射线于点F． 则E，F为所求点． （2）解：连接，设， ∵点B关于射线的对称点为E， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：线段、、之间的数量关系为，理由如下： 如图，在上截取使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又根据对称性得到， ∴， ∴， ∴， 故． 【思路引导】（1）根据轴对称的基本作图画图即可． （2） 连接，设，根据对称性质可得，，根据等边三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案. （3）在上截取使得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据对称性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）如图，作于点G，延长到点E，使得，连接延长，交射线于点F． 则E，F为所求点． （2）连接，设， ∵点B关于射线的对称点为E， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． （3）线段、、之间的数量关系为，理由如下： 如图，在上截取使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又根据对称性得到， ∴， ∴， ∴， 故． 20．课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明. （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是：延长至F，使= ▲ ，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且.求证：.请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明. 【答案】（1）解：BD；证明：如图1，延长至F，使，连接， 则， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴. （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即平分. 【思路引导】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据等边对等角及三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质的对应角相等得∠ACB=∠F，据此即可得出结论； （2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质得BD=DE，∠ABD=∠AED，从而根据等边对等角及三角形外角的性质即可得出结论； （3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$