专题04二次根式的运算 暑假预习讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

专题04二次根式的运算暑假预习讲义 ·理解二次根式乘、除运算法则的推导依据，熟记乘法公式=（a≥0，b≥0）、除法公式（a≥0,b>0），能准确判断公式成立的取值范围。 ·掌握利用乘除法则化简二次根式的方法，会将根式化为最简二次根式，识别最简二次根式两大判定标准。 ·类比整式加减，理解同类二次根式定义，能准确识别同类二次根式，熟练进行二次根式的合并加减运算。 ·掌握二次根式混合运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号内；整式乘法公式（平方差、完全平方）可直接套用在根式运算中。 ·了解分母有理化概念，会对含根号的分母进行有理化化简，解决分式型根式求值问题。 ·能规范书写根式运算步骤，区分各类运算的取值限制，规避乘除公式忽略范围、非同类根式强行合并、分母漏乘有理化因式等常见错误。 ·体会类比转化思想，将整式运算规律迁移到二次根式运算，构建完整根式计算体系，提升根式化简与计算的准确率。 预习必备 知识梳理 1.最简二次根式 2.二次根式的乘法 3.二次根式的出发 4.分母有理化 5.同类二次根式 6.二次根式加减法 7.二次根式混合运算 8.乘除法则对比 9.常考题型分类 10.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.同类二次根式 2.二次根式的乘法 3.二次根式的除法 4二次根式的乘除混合运算 5.分母有理化 6.二次根式的加减运算 7.二次根式的混合运算 8.二次根式的大小比较 9.由字母的值,化简求值 10.已知条件式.化简求值 11.二次根式的应用 12.实数的混合运算 13与实数运算相关的规律题 14.新定义下的实数运算 强化题型 解答题10题 知识点 01 最简二次根式（所有运算化简最终标准） 1. 定义（两大判定条件，缺一不可） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 被开方数不含分母，分母中不含根号。 2. 快速判断举例 是最简：、 不是最简：（含开得尽方因数 4）、（含分母）、（分母带根号） 知识点 02 二次根式的乘法 1. 乘法运算法则 文字：两个非负数算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 =（a≥0，b≥0） 2. 逆用（化简根式核心） （a≥0，b≥0） 用途：拆分被开方数，开出平方因数，化为最简根式。 3. 拓展：多个根式相乘 =(a≥0,b≥0,c≥0) 知识点 03 二次根式的除法 1. 除法运算法则 文字：两个非负数算术平方根的商，等于两数商的算术平方根。 （a≥0,b>0） 2. 逆用（化简分式根式） =（a≥0，b>0） 3. 关键限制：除数b不能为 0，因此b>0，区别乘法b0 知识点04:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 知识点 05 同类二次根式（加减运算基础） 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个根式叫做同类二次根式。 2. 判断步骤 ① 全部化为最简二次根式；② 对比被开方数，相同即为同类。 3. 举例：=2、=3，化简后被开方数都是 3，是同类二次根式。 4. 核心性质：只有同类二次根式才能合并加减，非同类不能合并 知识点 06 二次根式的加减法 1. 运算步骤（三字口诀：一化、二找、三合并） 一化：把所有二次根式化为最简二次根式； 二找：找出其中的同类二次根式； 三合并：类比合并同类项，根式部分不变，只把根号前的系数相加减。 2. 计算示例 3. 易错提醒：非同类根式不能合并，如+无法化简。 知识点 07 二次根式的混合运算 1. 运算顺序（和实数、整式完全一致） 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 2. 运算律全部适用 加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律。 3. 乘法公式完全适用（高频大题考点） 4. 通用解题流程 去括号→乘除化简→分母有理化→合并同类二次根式。 知识点 08 乘除法则对比表（板书重点，区分取值范围） 运算 公式 字母取值限制 核心用途 乘法 = （a≥0，b≥0） 根式相乘、拆分化简 除法 （a≥0,b>0） 分式根式化简、分母有理化 知识点09常考题型分类 1.基础化简：利用乘除法则将根式化为最简二次根式； 2.分母有理化：单分母、两项分母有理化求值； 3.概念辨析：判断最简二次根式、识别同类二次根式； 4.根式加减：同类二次根式合并计算； 5.混合运算：结合平方差、完全平方公式综合计算； 6.化简求值：先化简含根式代数式，再代入数值计算。 知识点 10 高频易错点汇总 1.使用乘除法则忽略\(a、b\)取值范围，出现错误运算； 2.化简根式不化到最简，残留能开方的因数或分母根号； 3.加减运算不先化简，直接判定根式是否同类； 4.强行合并非同类二次根式，如+=； 5.分母有理化时，分子漏乘有理化因式，只化简分母； 6.完全平方公式展开漏写中间交叉项：(+)2=a+b； 7混合运算顺序混乱，先加减后乘除 题型1.同类二次根式 【典例】最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【跟踪专练1】如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【跟踪专练3】在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 题型2.二次根式的乘法 【典例】计算：__________． 【跟踪专练1】下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为______． 【跟踪专练3】下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 题型3.二次根式的除法 【典例】计算的结果是______． 【跟踪专练1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算的结果是______． 【跟踪专练3】下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 题型4二次根式的乘除混合运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【跟踪专练3】计算： （1）___________． （2）________________． 题型5.分母有理化 【典例】计算：_______． 【跟踪专练1】将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：________． 【跟踪专练3】下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 题型6.二次根式的加减运算 【典例】计算：_______________． 【跟踪专练1】下列各式中计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，化简____________________． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型7.二次根式的混合运算 【典例】已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算的结果是__________． 【跟踪专练2】符号“＊”表示一种新的运算，规定，则的值为______． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型8.二次根式的大小比较 【典例】比较大小： _______(填“”“”或“”) 【跟踪专练1】比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【跟踪专练2】比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【跟踪专练3】下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型9.由字母的值,化简求值 【典例】当时， ____________． 【跟踪专练1】若，则代数式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】已知：，，则的值为__________． 【跟踪专练3】若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 题型10.已知条件式.化简求值 【典例】若、，则 ______ ． 【跟踪专练1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，则的值为______． 【跟踪专练3】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 题型11.二次根式的应用 【典例】高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 【跟踪专练1】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C．28 D．32 【跟踪专练2】小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 【跟踪专练3】观察以下等式：，，，…根据上述三个等式呈现的规律，下列字母n（n为大于1的正整数）表示的通用规律中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型12.实数的混合运算 【典例】计算______． 【跟踪专练1】计算：（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：=________． 【跟踪专练3】实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 题型13与实数运算相关的规律题 【典例】下面是按一定规律排列的一列数：，，，，，…，第9个数是______． 【跟踪专练1】观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 【跟踪专练3】如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（   ） A． B． C． D． 14.新定义下的实数运算 【典例】规定新运算：，其中a，b为实数，则________． 【跟踪专练1】对于任意实数a和b，定义新运算：，则的运算结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于任意两个实数，，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算=______． 【跟踪专练3】对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 解答题 1．计算： (1) (2) 2．计算 (1)． (2)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)． (2) 5．计算：． 6．先化简，再求值：，其中． 7．已知，，求的值． 8．小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 (1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 (2)任务二：比较与的大小． 9．观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 10．定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次根式的运算暑假预习讲义 ·理解二次根式乘、除运算法则的推导依据，熟记乘法公式=（a≥0，b≥0）、除法公式（a≥0,b>0），能准确判断公式成立的取值范围。 ·掌握利用乘除法则化简二次根式的方法，会将根式化为最简二次根式，识别最简二次根式两大判定标准。 ·类比整式加减，理解同类二次根式定义，能准确识别同类二次根式，熟练进行二次根式的合并加减运算。 ·掌握二次根式混合运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号内；整式乘法公式（平方差、完全平方）可直接套用在根式运算中。 ·了解分母有理化概念，会对含根号的分母进行有理化化简，解决分式型根式求值问题。 ·能规范书写根式运算步骤，区分各类运算的取值限制，规避乘除公式忽略范围、非同类根式强行合并、分母漏乘有理化因式等常见错误。 ·体会类比转化思想，将整式运算规律迁移到二次根式运算，构建完整根式计算体系，提升根式化简与计算的准确率。 预习必备 知识梳理 1.最简二次根式 2.二次根式的乘法 3.二次根式的出发 4.分母有理化 5.同类二次根式 6.二次根式加减法 7.二次根式混合运算 8.乘除法则对比 9.常考题型分类 10.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.同类二次根式 2.二次根式的乘法 3.二次根式的除法 4二次根式的乘除混合运算 5.分母有理化 6.二次根式的加减运算 7.二次根式的混合运算 8.二次根式的大小比较 9.由字母的值,化简求值 10.已知条件式.化简求值 11.二次根式的应用 12.实数的混合运算 13与实数运算相关的规律题 14.新定义下的实数运算 强化题型 解答题10题 知识点 01 最简二次根式（所有运算化简最终标准） 1. 定义（两大判定条件，缺一不可） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 被开方数不含分母，分母中不含根号。 2. 快速判断举例 是最简：、 不是最简：（含开得尽方因数 4）、（含分母）、（分母带根号） 知识点 02 二次根式的乘法 1. 乘法运算法则 文字：两个非负数算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 =（a≥0，b≥0） 2. 逆用（化简根式核心） （a≥0，b≥0） 用途：拆分被开方数，开出平方因数，化为最简根式。 3. 拓展：多个根式相乘 =(a≥0,b≥0,c≥0) 知识点 03 二次根式的除法 1. 除法运算法则 文字：两个非负数算术平方根的商，等于两数商的算术平方根。 （a≥0,b>0） 2. 逆用（化简分式根式） =（a≥0，b>0） 3. 关键限制：除数b不能为 0，因此b>0，区别乘法b0 知识点04:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 知识点 05 同类二次根式（加减运算基础） 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个根式叫做同类二次根式。 2. 判断步骤 ① 全部化为最简二次根式；② 对比被开方数，相同即为同类。 3. 举例：=2、=3，化简后被开方数都是 3，是同类二次根式。 4. 核心性质：只有同类二次根式才能合并加减，非同类不能合并 知识点 06 二次根式的加减法 1. 运算步骤（三字口诀：一化、二找、三合并） 一化：把所有二次根式化为最简二次根式； 二找：找出其中的同类二次根式； 三合并：类比合并同类项，根式部分不变，只把根号前的系数相加减。 2. 计算示例 3. 易错提醒：非同类根式不能合并，如+无法化简。 知识点 07 二次根式的混合运算 1. 运算顺序（和实数、整式完全一致） 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 2. 运算律全部适用 加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律。 3. 乘法公式完全适用（高频大题考点） 4. 通用解题流程 去括号→乘除化简→分母有理化→合并同类二次根式。 知识点 08 乘除法则对比表（板书重点，区分取值范围） 运算 公式 字母取值限制 核心用途 乘法 = （a≥0，b≥0） 根式相乘、拆分化简 除法 （a≥0,b>0） 分式根式化简、分母有理化 知识点09常考题型分类 1.基础化简：利用乘除法则将根式化为最简二次根式； 2.分母有理化：单分母、两项分母有理化求值； 3.概念辨析：判断最简二次根式、识别同类二次根式； 4.根式加减：同类二次根式合并计算； 5.混合运算：结合平方差、完全平方公式综合计算； 6.化简求值：先化简含根式代数式，再代入数值计算。 知识点 10 高频易错点汇总 1.使用乘除法则忽略\(a、b\)取值范围，出现错误运算； 2.化简根式不化到最简，残留能开方的因数或分母根号； 3.加减运算不先化简，直接判定根式是否同类； 4.强行合并非同类二次根式，如+=； 5.分母有理化时，分子漏乘有理化因式，只化简分母； 6.完全平方公式展开漏写中间交叉项：(+)2=a+b； 7混合运算顺序混乱，先加减后乘除 题型1.同类二次根式 【典例】最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：． 【跟踪专练1】如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程即可求解a的值． 【详解】解：最简二次根式与能够合并 与是同类二次根式， 解得：． 【跟踪专练2】若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 【跟踪专练3】在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 题型2.二次根式的乘法 【典例】计算：__________． 【答案】 【详解】解：. 【跟踪专练1】下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式合并规则和二次根式乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误； 是整数，是无理数，不是同类二次根式，不能合并，故选项错误； ，计算符合法则，故选项正确； 根据二次根式乘法法则，，故选项错误． 【跟踪专练2】如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为______． 【答案】 【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：由条件可知两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 【跟踪专练3】下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案． 【详解】解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误； ②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误； ③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误； ④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确； 综上，错误的变形有3个， 故选：C． 题型3.二次根式的除法 【典例】计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的除法法则，将系数和被开方数分别计算约分即可得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练2】计算的结果是______． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练3】下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，计算正确． 对选项B：，计算正确． 对选项C：与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误． 对选项D：由平方差公式得，计算正确． 题型4二次根式的乘除混合运算 【典例】计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的混合运算；根据，可以得到，即可得到 ，再根据利用平方差公式求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 【跟踪专练3】计算： （1）___________． （2）________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 题型5.分母有理化 【典例】计算：_______． 【答案】 【分析】利用分母有理化，解答即可； 【详解】解：； 【跟踪专练1】将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 【跟踪专练2】计算：________． 【答案】 【分析】先把题目中的每个二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式的系数进行加减运算，最终得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练3】下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 题型6.二次根式的加减运算 【典例】计算：_______________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列各式中计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用同类二次根式合并法则和二次根式乘法法则判断，只有同类二次根式可以合并，合并时系数相加被开方数不变，二次根式乘法满足． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，A错误； ，B错误； 根据二次根式乘法法则，，计算符合法则，C正确； 与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 【跟踪专练2】若，，化简____________________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变，逐一化简计算即可判断． 【详解】对于选项A：和不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； 对于选项B：和不是同类二次根式，不能合并，∴B错误； 对于选项C：，原计算错误，∴C错误； 对于选项D：，计算正确，∴D正确． 题型7.二次根式的混合运算 【典例】已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可对已知条件变形，结合完全平方公式先求出的值，再代入所求代数式计算，简化运算过程． 【详解】解：， ， 两边同时平方得： 展开得： 整理得： 将代入得 原式． 【跟踪专练1】计算的结果是__________． 【答案】1 【详解】解：原式． 【跟踪专练2】符号“＊”表示一种新的运算，规定，则的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算，根据二次根式的运算法则和成立条件逐一判断选项即可． 【详解】解：A：当，时， 成立，题目缺少条件，错误． B：，错误． C：，正确． D：，错误． 题型8.二次根式的大小比较 【典例】比较大小： _______(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】对于比较两个正无理数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】解：， ． ，且，， ． 【跟踪专练1】比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 【跟踪专练2】比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 【跟踪专练3】下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 题型9.由字母的值,化简求值 【典例】当时， ____________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ 【跟踪专练1】若，则代数式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用完全平方公式可得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【跟踪专练2】已知：，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先将所求代数式展开，再分别计算和的值，代入后即可求出结果，解题用到整式乘法法则与平方差公式． 【详解】解：， ∵，， ∴，， 将，代入展开式：原式． 【跟踪专练3】若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值后代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， 将，代入得： 原式． 题型10.已知条件式.化简求值 【典例】若、，则 ______ ． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵、， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 题型11.二次根式的应用 【典例】高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 【答案】 【分析】将已知的下落高度代入给定关系式，再化简二次根式即可得到所求时间． 【详解】解：把代入，得， ∴如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是． 【跟踪专练1】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C．28 D．32 【答案】A 【分析】 先根据三边长求出的值，再代入海伦—秦九韶公式计算三角形面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴的面积. 【跟踪专练2】小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 【答案】 【详解】解：当时，代入中， 可得 ， 当时，代入中， 可得 ， 所以 ， 则是的倍． 【跟踪专练3】观察以下等式：，，，…根据上述三个等式呈现的规律，下列字母n（n为大于1的正整数）表示的通用规律中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知等式分析各部分与的关系，再通过化简验证得到通用规律． 【详解】解：当时，，分母； 当时，，分母； 当时，，分母； 由此可得，对大于1的正整数，根号内被开方数为，等式右侧为， ． 题型12.实数的混合运算 【典例】计算______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算：（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式化简和乘方运算，先化简二次根式，再计算得数的平方即可得到答案． 【详解】解：． 【跟踪专练2】计算：=________． 【答案】1 【详解】解： ． 【跟踪专练3】实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵实数，对应的点，在原点两侧，且到原点距离相等 ∴与互为相反数，即，且， 选项A，互为相反数的两个数绝对值相等，故一定成立； 选项B， ，故一定成立； 选项C，题目未说明，的正负，若，则，此时 ，故不一定成立； 选项D，，异号，异号两数相乘为负，故一定成立． 题型13与实数运算相关的规律题 【典例】下面是按一定规律排列的一列数：，，，，，…，第9个数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察可知奇数项的符号为正，偶数项的符号为负，其中被开方数是序号的3倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为 第三个数为， 第四个数为， ……， 以此类推可知，第n个数为， ∴第9个数是， 故答案为：． 【跟踪专练1】观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 【跟踪专练2】小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 【答案】 【分析】（1）根据前4个等式写出第5个等式即可； （2）根据前5个等式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1个等式为，即 第2个等式为，即， 第3个等式为，即， 第4个等式为，即， 第5个等式为，即， 归纳推得：第n个等式为，其中n为正整数． 【跟踪专练3】如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察得出被开方数是连续自然数，且第k行有个数，先计算前6行的总个数，第7行从左向右数第8个数的被开方数，化简后即可得到结果． 【详解】解：观察数阵可知，被开方数是从1开始的连续自然数，且第行共有个数， ∴前6行的数的总个数为， ∴第7行从左向右数第8个数是整个数阵的第个数，即被开方数为50， ∴所求数为． 14.新定义下的实数运算 【典例】规定新运算：，其中a，b为实数，则________． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∴． 【跟踪专练1】对于任意实数a和b，定义新运算：，则的运算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照新运算规则代入对应数值，利用二次根式的乘法公式计算即可得到结果． 【详解】解：， ． 【跟踪专练2】对于任意两个实数，，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算=______． 【答案】 【分析】先根据新定义运算的规则把运算转化为一般形式的运算，再根据二次根式的性质化简，合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定的运算规则分别计算，，然后得出，再通过二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 解答题 1．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式                      （2）解：原式                                                          3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先根据二次根式性质化简，然后再按照二次根式的加减运算法则计算即可； （2）先根据二次根式性质化简，然后再按照二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．计算： (1)． (2) 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 5．计算：． 【答案】 【分析】先算立方根，算术平方根，化简绝对值，去括号，再合并同类项运算． 【详解】解：          ． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将根号内的多项式化为完全平方式，再利用 的性质进行化简计算． 【详解】解：， ∴， ， 把代入得： 原式 7．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 8．小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 (1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 (2)任务二：比较与的大小． 【答案】(1)解：（为正整数），证明如下： ∵左边右边， ∴等式成立； (2) 【分析】（1）先观察已知等式的数字变化规律，归纳得到第个等式，再利用平方差公式证明等式成立； （2）先利用平方差公式对进行分母有理化化简，再通过比较常数大小得到两个式子的大小关系． 【详解】（1）略； （2）解：， ∵， ∴， 不等式两边同时加得：， 即． 9．观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)（为正整数）， 证明：， ∴． 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； （2）解：（为正整数）， 证明略． 10．定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $