专题09：二次根式的运算（1）（4大知识点+7大题型+真题检验） 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）八年级暑假班预修提升课程

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题09 二次根式的运算（1） 知识点一、 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 例如，与是同类次根式,而与不是同类二次根式. 要点： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 知识点二、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 要点： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 知识点三、二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 知识点四、二次根式的除法法则 二次根式的除法法则： (a≥0,b>0), 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化成最简二次根式，最后结果中分母不能带根号. 题型01：同类二次根式的概念 【例1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．有下列二次根式：①、②、③、④，其中，与是同类二次根式的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 2. 下列各组根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 题型02：根据同类二次根式的概念求参数 【例3】已知与是同类二次根式，则的值可以是 （写两个即可）． 【例4】已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 【例5】若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根． 【跟踪训练】 1.若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 2.如果最简二次根式和是同类二次根式，那么这两个二次根式的和为 ． 题型03： 二次根式的加减运算 【例6】计算： (1) (2) (3) (4) 【例7】合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； 【跟踪训练】 1．合并下列各式中的同类二次根式并计算． (1)； (2)； (3)． 2.计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 3．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 题型04：二次根式的乘法 【例8】式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 【例9】计算：=__________ ．__________． 【例10】计算： (1)； (2)． 【跟踪训练】 1．等式成立的条件是（    ） A． B． C．或 D． 2．计算： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6) 3.设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05;二次根式的除法 【例11】 ． ． 【例12】计算：＝___．_________． 【例13】计算： (1)；(2)；(3)． 【例14】能使成立的x的取值范围是（   ） A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2 【跟踪训练】 1．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___． 2.计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3.计算：(1)(2)(3)(4)3．计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型06：二次根式的乘除混合运算 【例15】计算：＝___． 【例16】计算：（　　　） A． B． C． D． 【例17】计算： （1） （2） （3） （4） （5）． 【例18】计算: （1）; （2）; （3） 【跟踪训练】 1.计算： 2.计算：． 3.计算： (1) (2)． 4.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型07：二次根式运算的实际应用 【例19】某一长方形纸片的长为，宽为，则此长方形纸片的周长为 cm． 【例20】情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． 【跟踪训练】 1．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 2．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ． 3.如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 一、选择题 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列各组二次根式中是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024市北中学期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·上海徐汇·期末）下列计算中正确的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（2022秋•宝山区期中）当x＝　　时，最简二次根式与3是同类二次根式． 7．已知最简二次根式和是同类二次根式，则______． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算： ． 9．（2024上海八年级课时作业）计算 的结果为 ． 10．（23-24八年级上·上海宝山期末）计算： ． 11．（2025文来中学期中） ． 3、 解答题 12．（23-24八年级上·上海·期末）计算：． 13．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）计算： 14．（23-24八年级上·上海·期末）计算： 15．（23-24八年级上·上海·期末）计算： 16．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：（）． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题09 二次根式的运算（1） 知识点一、 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 例如，与是同类次根式,而与不是同类二次根式. 要点： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 知识点二、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 要点： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 知识点三、二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 知识点四、二次根式的除法法则 二次根式的除法法则： (a≥0,b>0), 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化成最简二次根式，最后结果中分母不能带根号. 题型01：同类二次根式的概念 【例1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了二次根式的加减，先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项不符合题意； 、与能合并，原选项符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 故选：． 【例2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 【跟踪训练】 1．有下列二次根式：①、②、③、④，其中，与是同类二次根式的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【知识点】二次根式的除法、化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识．将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是①④ 故选：C． 2. 下列各组根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，不符合题意； B、，故和是同类根式，符合题意； C、，，故和不是同类根式，不符合题意； D、和不是同类根式，不符合题意； 故选：B． 3.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行逐项分析，即可作答．． 【详解】解：A、， 与是同类二次根式，故该选项符合题意； B、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 题型02：根据同类二次根式的概念求参数 【例3】已知与是同类二次根式，则的值可以是 （写两个即可）． 【答案】4或15 【知识点】同类二次根式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查同类二次根式定义、解一元二次方程等知识，先由与是同类二次根式，得到，其中为实数，且，任意取两个值即可得到答案，熟记同类二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：与是同类二次根式， ，其中为实数，且 当时，则，解得； 当时，则，解得； 的值可以是4或15（答案不唯一）， 故答案为：4或15． 【例4】已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并，得 ． 解得， 故答案为：． 【例5】若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根． 【答案】5 【分析】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键．根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值，然后求出平方和的算术平方根即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：，， ∴． 【跟踪训练】 1.若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【知识点】同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式，化简二次根式，熟知被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式是解题的关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ， ， 故答案为：4． 2.如果最简二次根式和是同类二次根式，那么这两个二次根式的和为 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了同类二次根式的知识，一元一次方程，注意掌握同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同且根指数均为2．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于的方程，解出的值，再求和即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：． 故这两个二次根式的和为， 故答案为：． 题型03： 二次根式的加减运算 【例6】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握加减运算法则，是解题的关键： （1）直接合并即可； （2）先化简，再合并即可； （3）先化简，再合并即可； （4）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【例7】合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； 【详解】（1） ； （2）解： ； （3）解： ． 【跟踪训练】 1．合并下列各式中的同类二次根式并计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． （1）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （3）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （4）解： ． 2.计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 3．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 解：（1）原式； （2）原式． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型04：二次根式的乘法 【例8】式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法成立的条件：被开方数非负；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； 故选：B． 【例9】计算：=__________ ．__________． 【详解】解：， ； 【例10】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可； （2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【跟踪训练】 1．等式成立的条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法法则成立的条件为且，即可确定答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解不等式组，得 ， 所以，等式成立的条件是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 2．计算： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6) 【答案】(1)18 (2)15 (3) (4)5 (5)4 (6) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本考查积的算术平方根的性质，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质和二次根式乘法运算法则是解题的关键． （1）根据积的算术平方根的性质求解； （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则计算即可； （5）根据二次根式的乘法法则计算即可； （6）根据二次根式的乘法法则计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 3.设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （2）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （3）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （4）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ； （4）解：， ． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型05;二次根式的除法 【例11】 ． ． 【详解】解： 【详解】解：； 【例12】计算：＝___．_________． 解：（1）原式； （2） = = =x． 【例13】计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键. （1）根据二次根式的除法法则计算即可， （2）根据二次根式的除法法则计算即可， （3）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 【例14】能使成立的x的取值范围是（   ） A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可． 由题意可得：，解得：x＞2． 故选D． 【跟踪训练】 1．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___． 【答案】 解： 等式成立， 由①得： 由②得： 所以则的取值范围为 故答案为： 2.计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 3.计算：(1)(2)(3)(4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握除法法则和二次根式的性质是解题的关键： （1）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （2）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （3）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （4）运用除法法则和二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 3．计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)3； (2)； (3)3； (4) 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算； （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 题型06：二次根式的乘除混合运算 【例15】计算：＝___． 【答案】 【解析】 【分析】 先把除法转化为乘法，再计算即可完成． 故答案为： 【点睛】 本题考查了二次根式的乘除混合运算，注意运算顺序不要出错． 【例16】计算：（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可． 原式． 故选：A 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 【例17】计算： （1） （2） （3） （4） （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【解析】 【分析】 （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （3）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （4）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （5）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可． （1）原式； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式； （5）原式 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待． 【例18】计算: （1）; （2）; （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可． （1）原式 ； （2）原式； （3）原式． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的化简能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 【跟踪训练】 1.计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 2.计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，先计算乘方，再计算二次根式乘法，最后计算除法即可得到答案． 【详解】解： ． 3.计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)15 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法则计算可得； （2）先化简二次根式，再先后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2） . 4.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （4）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 题型07：二次根式运算的实际应用 【例19】某一长方形纸片的长为，宽为，则此长方形纸片的周长为 cm． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算的应用，根据长方形的周长（长+宽），即可得到答案 【详解】解：长方形纸片的周长为 故答案为 【例20】情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． 【答案】(1)的长为(2)剩余部分（阴影）的面积 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则并能正确根据图形，得出数量关系是解决此题的关键． (1)根据小正方形的面积，可求出边长，然后计算线段的和差即可得解； (2)先求出大长方形的长面积，再求出小正方形的面积，然后进行计算即可得解． 【详解】(1)解：∵小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为， ∴小正方形①的边长，小正方形②的边长， ∵， ∴， ∴的长为； (2)解：由(1)知大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④， ∴切下两块完全相同的最大的正方形边长为， ∴切下两块完全相同的最大的正方形面积为， ∴剩余部分（阴影）的面积． 【跟踪训练】 1．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长． 【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2， 丙纸片的边长为， 丁纸片的宽为， ∵丁纸片的面积为， 丁纸片的长为， 乙纸片的边长为， 甲纸片的边长为， 故选：B． 2．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、几何体的平面展开图，分两种情况展开，再结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：将长方体展开如图（1）所示：此时， 将长方体展开如图（2）所示：此时， ∵， ∴它所行的最短路线的长是， 故答案为：． 3.如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．判断出两个正方形的边长，可得结论． 【详解】解：两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为，． 阴影部分的面积 故选∶A． 一、选择题 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的化简，把几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，据此把四个选项中的二次根式化简即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与是同类二次根式，符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列各组二次根式中是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】先利用二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，逐项判断即可求解． 【解析】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、和，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，，是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式化简后，被开方数完全相同的二次根式是同类二次根式是解题的关键． 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式加减运算法则，二次根式的性质，直接利用二次根式加减运算法则判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，原计算正确； D. ，原计算错误； 故选C． 4．（2024市北中学期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 5．（23-24八年级上·上海徐汇·期末）下列计算中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键． 二、填空题 6．（2022秋•宝山区期中）当x＝　　时，最简二次根式与3是同类二次根式． 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，可得3x﹣2＝x+6，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵最简二次根式与3是同类二次根式， ∴3x﹣2＝x+6， 3x﹣x＝6+2， 2x＝8， x＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 7．已知最简二次根式和是同类二次根式，则______． 【答案】 【分析】根据同类二次根式定义：两个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根，列出方程组求解，得出a、b值，再代入计算即可． 【解析】银，根据题意，得 ，解得：， ∴ab=2-1=， 故答案为：． 【点睛】本题考查同类二次根式概念，代数式求值，负整理指数幂的运算，解二元一次方程组，熟练掌握同类二次根式概念是解题的关键． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 9．（2024上海八年级课时作业）计算 的结果为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案． 【详解】解： 故答案为： 10．（23-24八年级上·上海宝山期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质，平方差公式，即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（2025文来中学期中） ． 【答案】2 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 本题考查了二次根式的除法法则：，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：2. 3、 解答题 12．（23-24八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，二次根式的加减运算．先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则，进行运算即可求解． 【详解】解： ． 13．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 14．（23-24八年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】先将各项分别化简，再合并同类二次根式． 【详解】解： = = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则以及二次根式的性质． 15．（23-24八年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可求出，再根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 16．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式乘除法和性质，先根据二次根式的乘除法运算法则计算，再利用性质化简即可求解．掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 【详解】解： ． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)30 (3)1 (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再计算二次根式的乘法； （2）利用二次根式的性质（且）计算可得； （3）根据二次根式的乘除法则进行计算即可； （4）先计算括号内的二次根式的除法，再计算乘法可得． 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）原式； （4）原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$