专题03二次根式及其性质暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学上册

专题03二次根式及其性质暑假预习讲义 ·掌握二次根式定义，识别形如(a≥0)的式子，能根据被开方数非负，求字母取值范围。 ·牢记二次根式双重非负性：被开方数a≥0、≥0，会结合绝对值、平方综合求值。 ·熟练掌握两条核心性质()2=a(a≥0)、=|a|，能准确化简含平方、根号的代数式。 ·分清()2与的适用条件与运算区别，规避取值范围、符号类错误。 ·能利用二次根式性质化简简单根式，规范书写化简步骤。 ·运用类比、分类讨论思想，衔接之前平方根、算术平方根知识，构建完整开方知识体系。 ·理清典型易错点：忽略被开方数≥0、化简遗漏绝对值、混淆两条根式性质适用条件，养成严谨计算习惯。 预习必备 知识梳理 1.二次根式的定义 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的核心性质 4.()2 vs 对比表 5.化简二次根式的方法 6.根式化简速记结论 7.常考题型分类 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.二次根式的识别 2.求二次根式的值 3.求二次根式中的参数 4.二次根式有意义的条件 5.利用二次根式的性质化简 6.复合二次根式的化简 7..最简二次根式的判断 8.化为最简二次根式 9.由最简二次根式求参数 强化题型 解答题5题 知识点 01 二次根式的定义 1.定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 2.判定三大条件： 1 带有二次根号； 2 根指数为 2（默认省略，区别立方根）； 3 被开方数a整体必须大于或等于 0。 3.补充说明： a可以是数字、字母、整式、分式；k、+b这类含二次根式的式子，统称为含二次根式的代数式。 4.基础题型：判断式子是否为二次根式；求根式有意义时字母的取值范围。 知识点02：二次根式有意义的条件（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 有意义 a 0 基础选择题高频 无意义 a 0 负数不能开算术平方根 有意义 a 0 既要非负，又要分母不为 0 有意义 a+10 整体被开方数≥0 知识点03:核心性质｜必背清单 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 知识点04：易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点05:化简二次根式一般方法 知识点 06 根式化简常用速记结论 1.a≥0时，=a； 2.a<0时，=-a； 3.=0，()2=0； 4.拓展：=|x-y|，化简必须分x y、x<y讨论。 知识点 07 ：本节常考题型分类 1.基础判断：识别二次根式； 2.取值范围：求二次根式有意义时字母取值； 3.化简计算：利用两条根式性质直接化简求值； 4.综合大题：结合绝对值、平方的非负性，求参数的值； 5.分类化简：给出字母正负条件，化简型式子。 知识点 08 ：高频易错点汇总 1.忽略被开方数a≥0，判定负数可以放在根号内； 2.分式带根号时，忘记分母不能为 0； 3.混淆两条性质，计算()2时代入负数； 4.化简直接写成a，忘记加绝对值，不讨论字母正负； 5.多重非负性题型，只列部分等式，漏写一项等于 0； 6.区分不清二次根式和含二次根式的代数式，判断概念出错。 题型1.二次根式的识别 【典例】二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 【答案】 / 2 【详解】解：根据二次根式的定义，在中，根号内的式子为被开方数，为二次根式的系数，二次根式的根指数为； ∴由可得被开方数是，系数是，根指数是． 【跟踪专练1】下列式子一定是二次根式的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据定义，形如的式子叫做二次根式，即只有被开方数恒非负时，式子一定是二次根式． 对选项A，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项C，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项D，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项B，对任意实数，都有，满足二次根式被开方数非负的要求，一定是二次根式． 【跟踪专练2】下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 【跟踪专练3】按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别找出单项式的系数和次数的变化规律，即可推出第n个单项式的表达式． 【详解】解：将已知单项式按序号整理可得： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， ... 根据规律可得，第个单项式的系数为，的次数为， ∴第个单项式为． 题型2.求二次根式的值 【典例】当时，二次根式的值为__________． 【答案】2 【详解】解：当时，． 【跟踪专练1】要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将各选项的x依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案． 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 【跟踪专练2】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 【跟踪专练3】将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________ 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 题型3.求二次根式中的参数 【典例】已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 【跟踪专练1】已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 【跟踪专练2】若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 题型4.二次根式有意义的条件 【典例】要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 【跟踪专练1】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， ∴． 【跟踪专练2】要使式子有意义，则x的最大值为________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，最后确定的最大值． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的最大值为2． 【跟踪专练3】若，则______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：要使二次根式和有意义，满足 ， 解得， 将代入，得：， 所以． 题型5.利用二次根式的性质化简 【典例】将化成最简二次根式的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的化简，解题思路是先分解被开方数，分离出能开得尽方的完全平方因数，再利用二次根式的性质化简得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】化简：________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练2】若为整数，且为正整数．则符合条件的的最小值为_________． 【答案】 【分析】化简可得，则为正整数，进而可得是完全平方数，且，据此解答即可． 【详解】解：， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴是完全平方数，且， 又∵为整数， ∴符合条件的的最小值为3． 【跟踪专练3】实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：，则有， ∴． 题型6.复合二次根式的化简 【典例】化简：____________________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 【跟踪专练2】计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【跟踪专练3】已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 题型7.最简二次根式的判断 【典例】写出一个小于3的最简二次根式________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：满足条件的最简二次根式可以为. 【跟踪专练1】下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 符合两个条件的即为所求． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； B、满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式； C、，被开方数含分母，∴不是最简二次根式； D、，被开方数含分母，化简得，∴不是最简二次根式． 【跟踪专练2】在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 【答案】 【分析】满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对所给二次根式逐个判断即可得到答案． 【详解】解：，原被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式只有，共1个． 【跟踪专练3】下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个分析即可． 【详解】解：，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 综上可知，最简二次根式共有个． 题型8.化为最简二次根式 【典例】化为最简二次根式：______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】将化简，结果正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质化简，即可得到结果． 【详解】． 【跟踪专练2】已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合的条件去掉绝对值符号，即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足． ∵， ∴，因此可得， ． ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 题型9.由最简二次根式求参数 【典例】若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需为非负数，且不含能开得尽方的因数，据此求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴被开方数的值需为不含完全平方因数的正整数， ∴可令， 解得（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 【跟踪专练2】请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 【跟踪专练3】已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 解答题 1．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 2．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 3．已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______的解答是错误的； (2)若，求的值． 【答案】(1)乙 (2) 【分析】（1）利用二次根式的性质，化简求值即可得到答案； （2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∴乙的解答在去绝对值时，没有判断的正负情况，是错误的． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 4．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 5．已知最简二次根式与能合并，求m的值． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数相同，据此列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴，且， 解得：， 此时且，且为最简二次根式， ∴符合题意． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次根式及其性质暑假预习讲义 ·掌握二次根式定义，识别形如(a≥0)的式子，能根据被开方数非负，求字母取值范围。 ·牢记二次根式双重非负性：被开方数a≥0、≥0，会结合绝对值、平方综合求值。 ·熟练掌握两条核心性质()2=a(a≥0)、=|a|，能准确化简含平方、根号的代数式。 ·分清()2与的适用条件与运算区别，规避取值范围、符号类错误。 ·能利用二次根式性质化简简单根式，规范书写化简步骤。 ·运用类比、分类讨论思想，衔接之前平方根、算术平方根知识，构建完整开方知识体系。 ·理清典型易错点：忽略被开方数≥0、化简遗漏绝对值、混淆两条根式性质适用条件，养成严谨计算习惯。 预习必备 知识梳理 1.二次根式的定义 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的核心性质 4.()2 vs 对比表 5.化简二次根式的方法 6.根式化简速记结论 7.常考题型分类 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.二次根式的识别 2.求二次根式的值 3.求二次根式中的参数 4.二次根式有意义的条件 5.利用二次根式的性质化简 6.复合二次根式的化简 7..最简二次根式的判断 8.化为最简二次根式 9.由最简二次根式求参数 强化题型 解答题5题 知识点 01 二次根式的定义 1.定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 2.判定三大条件： 1 带有二次根号； 2 根指数为 2（默认省略，区别立方根）； 3 被开方数a整体必须大于或等于 0。 3.补充说明： a可以是数字、字母、整式、分式；k、+b这类含二次根式的式子，统称为含二次根式的代数式。 4.基础题型：判断式子是否为二次根式；求根式有意义时字母的取值范围。 知识点02：二次根式有意义的条件（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 有意义 a 0 基础选择题高频 无意义 a 0 负数不能开算术平方根 有意义 a 0 既要非负，又要分母不为 0 有意义 a+10 整体被开方数≥0 知识点03:核心性质｜必背清单 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 知识点04：易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点05:化简二次根式一般方法 知识点 06 根式化简常用速记结论 1.a≥0时，=a； 2.a<0时，=-a； 3.=0，()2=0； 4.拓展：=|x-y|，化简必须分x y、x<y讨论。 知识点 07 ：本节常考题型分类 1.基础判断：识别二次根式； 2.取值范围：求二次根式有意义时字母取值； 3.化简计算：利用两条根式性质直接化简求值； 4.综合大题：结合绝对值、平方的非负性，求参数的值； 5.分类化简：给出字母正负条件，化简型式子。 知识点 08 ：高频易错点汇总 1.忽略被开方数a≥0，判定负数可以放在根号内； 2.分式带根号时，忘记分母不能为 0； 3.混淆两条性质，计算()2时代入负数； 4.化简直接写成a，忘记加绝对值，不讨论字母正负； 5.多重非负性题型，只列部分等式，漏写一项等于 0； 6.区分不清二次根式和含二次根式的代数式，判断概念出错。 题型1.二次根式的识别 【典例】二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 【跟踪专练1】下列式子一定是二次根式的为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练3】按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（     ） A． B． C． D． 题型2.求二次根式的值 【典例】当时，二次根式的值为__________． 【跟踪专练1】要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练2】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【跟踪专练3】将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________ 题型3.求二次根式中的参数 【典例】已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【跟踪专练1】已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若实数x，y满足，则的值为__________． 【跟踪专练3】已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 题型4.二次根式有意义的条件 【典例】要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 【跟踪专练1】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】要使式子有意义，则x的最大值为________． 【跟踪专练3】若，则______． 题型5.利用二次根式的性质化简 【典例】将化成最简二次根式的结果是________． 【跟踪专练1】化简：________． 【跟踪专练2】若为整数，且为正整数．则符合条件的的最小值为_________． 【跟踪专练3】实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 题型6.复合二次根式的化简 【典例】化简：____________________． 【跟踪专练1】下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】计算：_______． 【跟踪专练3】已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 题型7.最简二次根式的判断 【典例】写出一个小于3的最简二次根式________．（写出一个即可） 【跟踪专练1】下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 【跟踪专练3】下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型8.化为最简二次根式 【典例】化为最简二次根式：______． 【跟踪专练1】将化简，结果正确的是（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 题型9.由最简二次根式求参数 【典例】若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【跟踪专练1】若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【跟踪专练3】已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 解答题 1．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 2．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 3．已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______的解答是错误的； (2)若，求的值． 4．阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 5．已知最简二次根式与能合并，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $