第07讲 二次根式运算与分母有理化应用 2026年八年级数学暑假预习讲义（新教材沪教版五四制）

第07讲 二次根式运算与分母有理化应用（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次根式的加法和减法 知识点02：二次根式的乘法和除法 知识点03：分母有理化 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：二次根式的加减运算 题型02：二次根式的乘除混合运算 题型03：分母有理化 题型04：比较二次根式的大小 题型05：二次根式的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识点02】二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 【知识点03】分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 【题型01】二次根式的加减运算 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）若，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的加法，将原方程化简，合并同类项后，分离无理数部分和有理数部分，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴， 故选：C． 【典例1-2】．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 【典例1-3】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：______． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，通过二次根式的减法运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【典例1-4】．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，先运用二次根式性质化简，再根据二次根式的加减混合运算进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-1】．（23-24八年级上·上海崇明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减法，根据二次根式的运算法则逐项计算可得正确结果. 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】．化简计算：_____________． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查二次根式的加法，先把二次根式化简后再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加减解答即可． 本题考查了二次根式的性质，加减运算，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1-4】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】0 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，先证明，再化简二次根式，最后根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：∵式子和有意义，且， ∴， ∴ ． 【题型02】二次根式的乘除混合运算 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 【典例2-2】．（23-24八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】利用二次根式乘除运算法则，分别计算系数部分和被开方数部分，再化简即可得到结果． 【详解】解： ． 【典例2-3】．（25-26八年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海松江·期末）计算：； 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除是解题的关键．先将除法转化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 根据二次根式的运算法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-4】．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除法，原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型03】分母有理化 【典例3-1】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】分母有理化 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 【典例3-2】．（23-24八年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【详解】解：． 【典例3-3】．（25-26八年级上·上海闵行·期末）分母有理化：______． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，关键是确定分母的有理化因式，通过分子分母同乘该因式消去分母中的根号． 【详解】解：分子分母同乘，得原式． 故答案为：． 【典例3-4】．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化，先化简二次根式，再分母有理化，最后根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 【变式3-2】．（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式． 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 【变式3-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查分母有理化，观察规律第个加数为，进行分母有理化得，将原式进行变形，相加，结果只剩下首尾两项 ，从而可得结论． 【详解】解：观察式子中的加数可得，第个加数为 ， ∵， ∴， ∴ ． 【变式3-4】．（25-26八年级上·上海·寒假作业）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式化简，掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可； （2）分子分母直接乘以分母的有理化因式，化简即可； （3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：， ， 故． 【题型04】比较二次根式的大小 【典例4-1】．已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 【典例4-2】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【答案】< 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的混合运算 【分析】两个数均为负数，先对两个数做分子有理化变形，再比较绝对值的大小，根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， 对两个数变形得：， ， ， ， ， ． 【典例4-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 ，，，比较的大小关系． 【答案】 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】此题考查二次根式比较大小，分母有理化，先将a、b、c分别进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、实数比较大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先分母有理化，然后根据负数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式4-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小： (1)______； (2)______． 【答案】(1) (2) 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别计算两个无理数的平方，比较平方的大小，即可得解； （2）对两个无理数进行分子有理化，得到分子相同的分数，比较分母的大小，即可得解． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， ∵，， ∴， ∴． 【题型05】二次根式的应用 【典例5-1】．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的应用 【分析】将代入原式求得，将代入原式求得即可解答． 【详解】解：将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； 将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【典例5-2】．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）如果一个长方形的面积是，它的长是，则它的宽是________________． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，因此宽等于面积除以长． 【详解】解：宽， 故答案为：． 【典例5-3】．（25-26八年级上·上海宝山·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)说法不正确，理由见解析； (2)这个鸡蛋在下落过程中所带能量为； 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查的知识点是二次根式的应用，解题关键是理解公式，正确运算代入求值． （1）将、分别代入公式求出时间，再进行比较即可得解； （2）利用公式求出，代入能量计算公式即可得解． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 由题意得，当时，， 当时，， ， 说法不正确； （2）解：当时，， 解得， 鸡蛋下落过程中所带能量为， ， 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【变式5-1】．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段检测）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的求法——“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为、、，三角形的面积为S，则．已知在中，，，，那么的面积为______． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，，，然后代入题中所给公式即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴； 故答案为． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2 (2) 能量为，会对无防护人体造成伤害 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 【变式5-3】．（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析； (2)（n为任意自然数，且） 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可； （2）根据题中式子的验证过程找出规律即可． 【详解】（1）猜想：， 验证：； （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 【变式5-4】．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)可能造成伤害，理由如下 【知识点】二次根式的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查二次根式的实际应用，通过具体情境考查二次根式，读懂题意，理解题中现实情境相关的公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）根据公式，代入计算公式求出这个苹果产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解∶ 物体从的高处自由下落， ． 故答案为∶； （2）解∶ 可能造成伤害，理由如下∶ ，，， （焦）焦 答：可能会对楼下的行人造成伤害． 一、高频易错点总结 1. 忽略取值范围：乘除法中被开方数非负，除法分母对应的被开方数必须大于0； 2. 加减运算误区：未化简直接判断同类根式、强行合并非同类二次根式； 3. 有理化失误：仅分母乘因式、分子漏乘，或选错共轭因式导致无法去根号； 4. 结果不规范：运算最终结果分母含根号、根式未化为最简。 二、课堂总结 二次根式运算的核心逻辑：先化简、后运算，最后标准化。加减法抓“同类合并”，乘除法抓“公式活用”，分式根式核心抓“分母有理化”。分母有理化是根式运算的关键技巧，贯穿化简、求值、比较大小等各类题型，熟练掌握有理化因式的运用，能有效解决绝大多数二次根式计算问题，为后续代数运算筑牢基础。 一、单选题 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理化因式，有理化因式是指与给定表达式相乘后结果为有理式的表达式．对于单个平方根表达式 ，其自身即为有理化因式，因为相乘后可得有理式 ． 【详解】∵ （有理式）， ∴ 是自身的一个有理化因式． 故选：D． 2．（23-24八年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A，，A计算错误； 对选项B，，B计算正确； 对选项C，，C计算错误； 对选项D，，D计算错误. 3．（23-24八年级上·上海·期中）下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理化因式的定义，两个含根式的代数式相乘，若积不含有根式，则二者互为有理化因式，将各选项与相乘，判断积是否含根式即可得到结果． 【详解】解：A：，积不含根式，是有理化因式； B：，积不含根式，是有理化因式； C：，乘积仍含有根式，不是有理化因式； D：，积不含根式，是有理化因式． 4．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为，，，设，则这个三角形面积为：，并进行了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当，，时，三角形边上的高等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，则有，设边上的高为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意，得：，，； ； ； 设边上的高为，则， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 5．（22-23八年级上·上海宝山·期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质可判断①，根据二次根式的乘法运算可判断②，根据二次根式的性质和乘法可判断③，根据同类二次根式的定义可判断④． 【详解】解：，所以①正确； ，所以②正确； 因为，则，所以③正确； 与不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键． 6．（24-25八年级上·上海·阶段检测）在下列式子中等号能成立的式子共有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，二次根式的性质．根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质化简，逐项判断即可． 【详解】解：①，不成立； ②，不成立； ③，不成立； ④不能合并，不成立； ⑤是最简二次根式，不能化简，不成立； 故成立的个数为0个， 故选：A． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：____________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先去括号，然后移项，最后化系数为1解不等式即可． 本题主要考查了二次根式的应用和解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 【详解】解：， 去括号得：， 移项，得， 合并同类项得， 化系数为1，得 故答案为：． 10．（22-23八年级上·上海·阶段检测）已知，则______． 【答案】7 【分析】对已知等式两边平方，展开计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，分式的运算，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 11．（23-24八年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 【答案】4 【分析】本题考查了分母有理化、利用二次根式的性质化简，通过分母有理化，将每一项化为差的形式，再利用裂项相消即可求解． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：4． 14．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积．熟练掌握正方形，长方形的面积公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算顺序和法则，是解决本题的关键． 根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：设两个正方形的边长分别是x、y（）， 则． ∴． ∴阴影部分的面积是． 故答案为：6． 15．（23-24八年级上·上海·期中）比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 16．（23-24八年级上·上海·期中）已知，，且，则实数n的值为________． 【答案】 【分析】先将，进行分母有理化，再分别求出，的值，然后将已知等式变形为，最后代入求解． 【详解】解： ∴， ， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 解得 ∵ ∴． 17．（23-24八年级上·上海·期中）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“法”就应用了黄金比．设，，记，，…，则_______． 【答案】 【分析】先利用二次根式的乘法运算可得，再运用分式的互化运算化简、并将代入求值，然后发现规律即可解答． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， …， ． 18．（23-24八年级上·上海·阶段检测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 【答案】 【分析】利用分式的计算推出，即可求出的值． 【详解】∵， ∴， ， …… ， …… ， ∴， ∴． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简二次根式，根据题意可得，据此先计算二次根式乘法，再化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式，和有意义， ∴， ∴ ． 20．（22-23八年级上·上海虹口·阶段检测）解方程：． 【答案】 【分析】按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴ ， ∴方程的解为． 【点睛】本题考查了解方程，涉及二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 21．（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是关键，根据二次根式的性质化简，分母有理化的计算得到结果，最后再计算和差． 【详解】解： ． 22．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 23．（25-26八年级上·上海普陀·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， ， 把代入，原式． 24．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 【答案】（1）1，1；（2）；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键． （1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据（1）的规律，可得答案； （3）利用（2）的结论，可得答案． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：1，1； （2）∵ ， ∴ ， 故答案为：； （3） ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)当 时，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④. 故答案为：②④ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 26．（23-24八年级上·上海·期中）阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）仿照题干给定的方法求出原式的倒数，进而求出原式即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ∴原式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次根式运算与分母有理化应用（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次根式的加法和减法 知识点02：二次根式的乘法和除法 知识点03：分母有理化 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：二次根式的加减运算 题型02：二次根式的乘除混合运算 题型03：分母有理化 题型04：比较二次根式的大小 题型05：二次根式的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识点02】二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 【知识点03】分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 【题型01】二次根式的加减运算 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）若，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例1-2】．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【典例1-3】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：______． 【典例1-4】．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段检测）计算：__________． 【变式1-1】．（23-24八年级上·上海崇明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】．化简计算：_____________． 【变式1-3】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【变式1-4】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： 【题型02】二次根式的乘除混合运算 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】．（23-24八年级上·上海·期中）计算：． 【典例2-3】．（25-26八年级上·上海金山·期末）计算：． 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海松江·期末）计算：； 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 【变式2-4】．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）计算： 【题型03】分母有理化 【典例3-1】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【典例3-2】．（23-24八年级上·上海·期中）计算：________． 【典例3-3】．（25-26八年级上·上海闵行·期末）分母有理化：______． 【典例3-4】．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（25-26八年级上·上海·期末）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【变式3-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【变式3-4】．（25-26八年级上·上海·寒假作业）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 【题型04】比较二次根式的大小 【典例4-1】．已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【典例4-2】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【典例4-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 ，，，比较的大小关系． 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（填“”“ ”或“”） 【变式4-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小： (1)______； (2)______． 【题型05】二次根式的应用 【典例5-1】．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）如果一个长方形的面积是，它的长是，则它的宽是________________． 【典例5-3】．（25-26八年级上·上海宝山·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 【变式5-1】．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段检测）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的求法——“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为、、，三角形的面积为S，则．已知在中，，，，那么的面积为______． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【变式5-3】．（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【变式5-4】．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 一、高频易错点总结 1. 忽略取值范围：乘除法中被开方数非负，除法分母对应的被开方数必须大于0； 2. 加减运算误区：未化简直接判断同类根式、强行合并非同类二次根式； 3. 有理化失误：仅分母乘因式、分子漏乘，或选错共轭因式导致无法去根号； 4. 结果不规范：运算最终结果分母含根号、根式未化为最简。 二、课堂总结 二次根式运算的核心逻辑：先化简、后运算，最后标准化。加减法抓“同类合并”，乘除法抓“公式活用”，分式根式核心抓“分母有理化”。分母有理化是根式运算的关键技巧，贯穿化简、求值、比较大小等各类题型，熟练掌握有理化因式的运用，能有效解决绝大多数二次根式计算问题，为后续代数运算筑牢基础。 一、单选题 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海·期中）下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 4．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为，，，设，则这个三角形面积为：，并进行了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当，，时，三角形边上的高等于（  ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·上海宝山·期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（24-25八年级上·上海·阶段检测）在下列式子中等号能成立的式子共有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：____________． 8．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：______． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）不等式的解集是________． 10．（22-23八年级上·上海·阶段检测）已知，则______． 11．（23-24八年级上·上海·期中）计算：________． 12．（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：_______． 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 14．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为_____． 15．（23-24八年级上·上海·期中）比较大小：______（填“”，“”，“”）． 16．（23-24八年级上·上海·期中）已知，，且，则实数n的值为________． 17．（23-24八年级上·上海·期中）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“法”就应用了黄金比．设，，记，，…，则_______． 18．（23-24八年级上·上海·阶段检测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 20．（22-23八年级上·上海虹口·阶段检测）解方程：． 21．（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 22．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 23．（25-26八年级上·上海普陀·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 24．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 25．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 26．（23-24八年级上·上海·期中）阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $