专题02实数暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固 )2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

专题02实数暑假预习讲义 1.能区分有理数与无理数，牢记无理数定义为无限不循环小数，熟练识别四类常见无理数，会对实数按定义、正负两种标准分类，理清实数整体分类框架。 2.掌握实数与数轴一一对应的核心关系，理解无理数能填补数轴空隙，会借助勾股定理在数轴上表示、等无理数，运用数轴比较实数大小。 3.迁移有理数知识，掌握实数范围内相反数、倒数、绝对值的概念与求法，理解绝对值的几何意义，能准确化简含无理数的绝对值式子。 4.明确有理数的运算法则、运算律在全体实数中同样适用，掌握实数混合运算顺序，会对含平方根、立方根、的式子进行精确计算或近似求值。 5.熟练运用数轴法、平方比较法、作差法、估算法多种方法比较含无理数的实数大小。 6.熟记实数范围内三大非负数（绝对值、平方、算术平方根）的特征，掌握 “多个非负数相加和为 0，则每一项均为 0” 的解题模型，能完成综合求值题型。 7.体会数形结合、类比迁移、分类讨论数学思想，打通有理数到实数的知识衔接，规避无限循环小数当作无理数、开方数直接判定无理数等常见易错点，培养严谨的数感与计算习惯。 预习必备 知识梳理 1.无理数有理数 2.实数的概念与分类 3.实数与数轴的关系 4.实数的相关概念 5.实数的运算 6.实数的大小比较 7.近似值 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.无理数 2.无理数大小估算 3.无理数整数部分的有关计算 4.计算器-平方根和立方根 5.求一个数的近似数 6.求近似数的精确度 7.近似数推断取值范围 8.实数概念理解 9.实数的分类 10.实数的性质 11.实数与数轴 12.实数的大小比较 13.程序设计与实数运算 14.实数运算的实际应用 15.大数的科学记数法表示 16.科学记数法大数还原原数 17.小数的科学记数法表示 18.科学记数法小数还原原数 强化题型 解答题8题 知识点01：有理数与无理数 1. 有理数 能够写成(p.q)为整数，(q≠0）形式的数；包含整数、有限小数、无限循环小数。 2. 无理数（定义重点） 无限不循环小数叫做无理数， 四类常见形式： （1）开方开不尽的数：、； （2）含常数的数：3、-1； （3）构造型无限不循环小数：0.2020020002....（每两个 2 之间多一个 0）； （4）无理数与有理数加减组合：+3。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点03：实数与数轴（数形结合核心） 一一对应：任意一个实数都能在数轴上找到唯一对应点；数轴上任意一点对应唯一实数。 大小规律：数轴右侧的实数＞左侧实数。 作图应用：利用勾股定理，以直角三角形斜边在数轴截取、等无理数。 知识点04:实数的相关概念 知识点05:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点06：实数大小比较常用方法 1.数轴法：右大左小； 2.正负判定：正数＞0＞负数；两负数比较，绝对值大的数值更小； 3.平方比较法（仅正数）：a>0,b>0，若a2>b2，则a>b； 4.估算夹逼法：估算无理数整数范围后比较； 5.作差法：a-b>0 a>b。 题型07.近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 4.科学记数法取近似 大数 a10n(1a<10)，有效数字只看前面的 a。 例：3.14104 保留 2 个有效数字为 3.1104 知识点08：高频易错点 1.误将无限循环小数判定为无理数； 2.认为带根号的数都是无理数（如=2是有理数）； 3.化简含负数的绝对值、根式时符号出错； 4.比较两个负无理数大小时，忽略 “绝对值大，数更小”； 5.忽略算术平方根被开方数a的限制条件。 题型1.无理数 【典例】下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【跟踪专练1】在，，，，（相邻两个之间逐次增加一个）中，无理数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】在实数：中，负无理数有___________个． 【跟踪专练3】已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2.无理数大小估算 【典例】已知，则整数的值为___________． 【跟踪专练1】介于两个整数之间，那么这两个整数的和为（     ） A． B． C．8 D．9 【跟踪专练2】若为正整数，且满足，则________． 【跟踪专练3】读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 题型3.无理数整数部分的有关计算 【典例】的整数部分为_________． 【跟踪专练1】若，且n是正整数，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【跟踪专练3】若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A．6 B． C． D．1 题型4.计算器-平方根和立方根 【典例】用计算器计算：________，________，________．（结果精确到0.001） 【跟踪专练1】．用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是 （    ） A．5.2 B．6.0 C．6.2 D．6.3 【跟踪专练2】某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 【跟踪专练3】如图，某计算器中、、三个按健，以下是这三个按键的功能． （1）：将荧幕显示的数变成它的平方； （2）：将荧幕显示的数变成它的倒数； （3）：将荧幕显示的数变成它的算术平方根． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（    ） A．5 B． C． D．25 题型5.求一个数的近似数 【典例】用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【跟踪专练1】用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到0.01） D．（精确到百位） 【跟踪专练2】用四舍五入法将精确到，结果是______． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（     ） A．近似数2.1和2.10精确度相同 B．0.0357精确到0.001为0.035 C．近似数，精确到百位 D．近似数2.7万精确到十分位 题型6.求近似数的精确度 【典例】由四舍五入法得到的近似数精确到______位． 【跟踪专练1】用四舍五入法把某数取近似值为，精确度正确的是（     ） A．精确到万分位 B．精确到千分位 C．精确到0.01 D．精确到0.1 【跟踪专练2】数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数位是____． 【跟踪专练3】下列说法：①近似数是精确到个位的数；②近似数和是一样的；③近似数万是精确到百位的数；④近似数是精确到十分位的数．其中说法正确的有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型7.近似数推断取值范围 【典例】已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】最近，浙江省篮球联赛组委会公布了调整后的2025浙城市篮球争霸赛各参赛队大名单，其中温州苍南队调整为24名球员，该篮球队所有球员中身高最高的一位约为，近似数表示实际身高（单位：）的范围是_____． 【跟踪专练2】一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是_______． 【跟踪专练3】近似数的准确数的范围是（　　） A． B． C． D． 题型8.实数概念理解 【典例】下列四个数中，属于负数的是（     ） A． B．0 C． D． 【跟踪专练1】若实数满足，则代数式的值为______． 【跟踪专练2】关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是___________． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 题型9.实数的分类 【典例】下列实数中，无理数是（     ） A． B．0 C．3.14 D． 【跟踪专练1】下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 【跟踪专练2】下列各数中：、3.1415、、、0.321、π、2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），无理数有（　　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型10.实数的性质 【典例】．的相反数是______，的绝对值是______． 【跟踪专练1】下列实数中最小的数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得______分． 【跟踪专练3】如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 题型11.实数与数轴 【典例】实数，在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【跟踪专练2】如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，点表示的数为__________． 【跟踪专练3】将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 题型12.实数的大小比较 【典例】在，，，这四个数中，比大的数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】请写出一个绝对值大于且小于的无理数是_____． 【跟踪专练2】比较大小：______．（填“”“”或“”） 【跟踪专练3】，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型13.程序设计与实数运算 【典例】如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 【跟踪专练1】根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 【跟踪专练2】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 【跟踪专练3】按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 题型14.实数运算的实际应用 【典例】若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【跟踪专练1】《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【跟踪专练2】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则下列说法中正确的有（　　） ①；②；③；④正方形与正方形的面积之和为29． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型15.大数的科学记数法表示 【典例】2026年四川“春假”与清明小长假叠加，形成了一个较长的春日假期，全省A级旅游景区接待游客总量为14991000人次，将14991000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某卫星绕地球飞行的速度约为，则飞行所走的路程约是________m（结果用科学记数法表示）． 【跟踪专练2】年，我国规模以上互联网企业（上年互联网企业收入达到两千万元及以上）完成互联网业务收入约为亿元，其中京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入占全国收入的，则年京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入约为（     ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 题型16.科学记数法大数还原原数 【典例】2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【跟踪专练1】减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为____________． 【跟踪专练2】2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 题型17.小数的科学记数法表示 【典例】深圳市全面推进美丽深圳建设，生态环境质量持续改善，去年全市浓度降至毫克/立方米，位居全省第一，将数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】2026年，中国科学院武汉病毒研究所王延轶团队在国际权威期刊《PNAS》上发文：基孔肯雅病毒颗粒的直径约为0.00000007米（70纳米），病毒通过激活宿主细胞的SMARCA4蛋白，上调膜蛋白TMEM47进而诱导细胞质膜重塑，形成直径约50-70纳米的球状复制结构，为病毒RNA复制提供了关键场所．用科学记数法将数据0.00000007表示为________． 【跟踪专练2】方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型18.科学记数法小数还原原数 【典例】芯片是承载集成电路的硅片，是电子设备的核心，负责运算、存储与控制指令．若某芯片的电路宽度约为，则用小数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某种细胞的直径约为，用小数表示这个数为______m． 【跟踪专练2】红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 解答题 1．数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 2．如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 3．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 4．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 5．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 6．探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 7．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 8．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数暑假预习讲义 1.能区分有理数与无理数，牢记无理数定义为无限不循环小数，熟练识别四类常见无理数，会对实数按定义、正负两种标准分类，理清实数整体分类框架。 2.掌握实数与数轴一一对应的核心关系，理解无理数能填补数轴空隙，会借助勾股定理在数轴上表示、等无理数，运用数轴比较实数大小。 3.迁移有理数知识，掌握实数范围内相反数、倒数、绝对值的概念与求法，理解绝对值的几何意义，能准确化简含无理数的绝对值式子。 4.明确有理数的运算法则、运算律在全体实数中同样适用，掌握实数混合运算顺序，会对含平方根、立方根、的式子进行精确计算或近似求值。 5.熟练运用数轴法、平方比较法、作差法、估算法多种方法比较含无理数的实数大小。 6.熟记实数范围内三大非负数（绝对值、平方、算术平方根）的特征，掌握 “多个非负数相加和为 0，则每一项均为 0” 的解题模型，能完成综合求值题型。 7.体会数形结合、类比迁移、分类讨论数学思想，打通有理数到实数的知识衔接，规避无限循环小数当作无理数、开方数直接判定无理数等常见易错点，培养严谨的数感与计算习惯。 预习必备 知识梳理 1.无理数有理数 2.实数的概念与分类 3.实数与数轴的关系 4.实数的相关概念 5.实数的运算 6.实数的大小比较 7.近似值 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.无理数 2.无理数大小估算 3.无理数整数部分的有关计算 4.计算器-平方根和立方根 5.求一个数的近似数 6.求近似数的精确度 7.近似数推断取值范围 8.实数概念理解 9.实数的分类 10.实数的性质 11.实数与数轴 12.实数的大小比较 13.程序设计与实数运算 14.实数运算的实际应用 15.大数的科学记数法表示 16.科学记数法大数还原原数 17.小数的科学记数法表示 18.科学记数法小数还原原数 强化题型 解答题8题 知识点01：有理数与无理数 1. 有理数 能够写成(p.q)为整数，(q≠0）形式的数；包含整数、有限小数、无限循环小数。 2. 无理数（定义重点） 无限不循环小数叫做无理数， 四类常见形式： （1）开方开不尽的数：、； （2）含常数的数：3、-1； （3）构造型无限不循环小数：0.2020020002....（每两个 2 之间多一个 0）； （4）无理数与有理数加减组合：+3。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点03：实数与数轴（数形结合核心） 一一对应：任意一个实数都能在数轴上找到唯一对应点；数轴上任意一点对应唯一实数。 大小规律：数轴右侧的实数＞左侧实数。 作图应用：利用勾股定理，以直角三角形斜边在数轴截取、等无理数。 知识点04:实数的相关概念 知识点05:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点06：实数大小比较常用方法 1.数轴法：右大左小； 2.正负判定：正数＞0＞负数；两负数比较，绝对值大的数值更小； 3.平方比较法（仅正数）：a>0,b>0，若a2>b2，则a>b； 4.估算夹逼法：估算无理数整数范围后比较； 5.作差法：a-b>0 a>b。 题型07.近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 4.科学记数法取近似 大数 a10n(1a<10)，有效数字只看前面的 a。 例：3.14104 保留 2 个有效数字为 3.1104 知识点08：高频易错点 1.误将无限循环小数判定为无理数； 2.认为带根号的数都是无理数（如=2是有理数）； 3.化简含负数的绝对值、根式时符号出错； 4.比较两个负无理数大小时，忽略 “绝对值大，数更小”； 5.忽略算术平方根被开方数a的限制条件。 题型1.无理数 【典例】下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】无理数是无限不循环小数． 【详解】解：选项A：是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 选项B： ，结果是整数，属于有理数，不符合题意； 选项C：0是有理数，不符合题意； 选项D：，结果是整数，属于有理数，不符合题意． 【跟踪专练1】在，，，，（相邻两个之间逐次增加一个）中，无理数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】无理数的定义：无限不循环小数是无理数，逐一判断给出的数即可得到结果． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； （相邻两个1之间逐次增加一个5）是无限不循环小数，属于无理数。 因此无理数的个数有个． 【跟踪专练2】在实数：中，负无理数有___________个． 【答案】2 【分析】先化简题目中各实数，再根据负无理数的定义（即小于的无理数）逐个判断，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是开方开不尽的数，属于无理数，且，因此是负无理数； 是正整数，属于正有理数，不符合要求； ，是分数，属于负有理数，不符合要求； ，是开方开不尽的数，属于无理数，且，因此是负无理数； ，是正整数，属于正有理数，不符合要求． 综上，负无理数共有个． 【跟踪专练3】已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义和运算法则判断即可． 【详解】解： 若a是无理数，假设是有理数，则也为有理数，与是无理数矛盾，的相反数一定是无理数，故①正确； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ②错误； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ③错误； 综上，正确的结论只有个． 题型2.无理数大小估算 【典例】已知，则整数的值为___________． 【答案】 【分析】利用夹逼法确定的范围，即可求出整数的值，掌握无理数的估算方法是解题的关键. 【详解】解：， ，即， 整数满足， . 【跟踪专练1】介于两个整数之间，那么这两个整数的和为（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用立方数估算立方根的范围，结合立方根的性质得到的范围，再计算两个整数的和． 【详解】解：∵，， ∴， 对不等式开三次方，得， ∵ ， ∴， ∴ ，即介于整数和之间， ∴两个整数的和为． 【跟踪专练2】若为正整数，且满足，则________． 【答案】3 【分析】先将变形为，利用算术平方根的性质确定的取值范围，再推导得到的范围，结合为正整数和已知不等式求出的值即可． 【详解】解：，又， ∴， ∴， ，且为正整数， ． 【跟踪专练3】读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选：B． 题型3.无理数整数部分的有关计算 【典例】的整数部分为_________． 【答案】 【分析】通过比较被开方数与相邻整数的立方大小，确定的取值范围，即可得到其整数部分． 【详解】解：，， 又， ， 即， 的整数部分为． 【跟踪专练1】若，且n是正整数，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】估算出即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且是正整数， ∴． 【跟踪专练2】若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，再推导的取值范围，最后根据题目规定的的定义求出结果． 【详解】解：，， ， 不等式两边同时减，得 ， 根据表示实数的整数部分的定义，可得． 【跟踪专练3】若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】A 【分析】先判断，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， 原式． 题型4.计算器-平方根和立方根 【典例】用计算器计算：________，________，________．（结果精确到0.001） 【答案】 1.287 2.772 5.972 【分析】使用计算器计算每个立方根，并按照要求将结果精确到0.001； 本题考查了开立方，熟练使用计算器开立方是解题的关键． 【详解】解：使用计算器计算得： ， ， ， 故答案为1.287，2.772，5.972． 【跟踪专练1】．用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是 （    ） A．5.2 B．6.0 C．6.2 D．6.3 【答案】C 【分析】本题考查了计算器的使用、立方根、算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意计算即可． 【详解】解：根据按键顺序，计算， ∴最接近的是． 故选：C ． 【跟踪专练2】某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【详解】解：由题意知第1步结果为x2， 第2步结果为， 第3步结果为=， 第4步结果为， 第5步结果为x2， 第6步计算结果为x， 第7步计算结果为x2， …… ∴运算的结果以x2，，，，x2，x六个数为周期循环， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4， ∴输入的数x是±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2，，，，x2，x六个数循环，这是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，某计算器中、、三个按健，以下是这三个按键的功能． （1）：将荧幕显示的数变成它的平方； （2）：将荧幕显示的数变成它的倒数； （3）：将荧幕显示的数变成它的算术平方根． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（    ） A．5 B． C． D．25 【答案】C 【分析】本题考查了计算器-数的开方和找数字的规律，弄清程序中的运算是解本题的关键．根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：第一步为， 第二步为， 第三步为， 第四步为， 第五步为， 第六步为，… 综上所述，是6个数字一个循环， ∵， ∴按了第2020下后荧幕显示的数是， 故选：C． 题型5.求一个数的近似数 【典例】用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【答案】 【详解】解：根据四舍五入法则，的十分位数字为，需向个位进，因此（精确到个位）． 【跟踪专练1】用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到0.01） D．（精确到百位） 【答案】C 【分析】本题考查近似数的四舍五入取法，关键是明确精确到某一位时，需观察该位的下一位数字，小于5则舍去，大于等于5则向该位进1，据此判断各选项的正误． 【详解】解：A选项中，304.25精确到个位，十分位数字2，，舍去，∴，正确． B选项中，1.804精确到十分位，百分位数0，，舍去，∴，正确． C选项中，0.0158精确到0.01（百分位），千分位数字5，需向百分位进位，百分位1进1变为2，∴，而选项中结果为0.016，错误． D选项中，1205精确到百位，看十位数字0，，舍去，∴，正确． 故选C． 【跟踪专练2】用四舍五入法将精确到，结果是______． 【答案】 【分析】本题主要考查“四舍五入”，熟练掌握“四舍五入”是解题的关键．根据“四舍五入”即可得到答案． 【详解】解：用四舍五入法将精确到，结果是． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（     ） A．近似数2.1和2.10精确度相同 B．0.0357精确到0.001为0.035 C．近似数，精确到百位 D．近似数2.7万精确到十分位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数精确度的概念．近似数的精确度由最后一位有效数字所在数位决定．根据近似数的精确度概念，逐项判断每一项即可． 【详解】解：近似数2.1精确到十分位，2.10精确到百分位，故A错误； 0.0357精确到0.001（千分位），万分位，应进1，结果为0.036，故B错误； ，数字3在百位，精确到百位，故C正确； ，数字7在千位，精确到千位，故D错误， 故选：C． 题型6.求近似数的精确度 【典例】由四舍五入法得到的近似数精确到______位． 【答案】百 【分析】根据用科学记数法表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看原近似数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 【详解】解：∵， ∴还原后的最后一个8在百位， ∴近似数精确到百位． 【跟踪专练1】用四舍五入法把某数取近似值为，精确度正确的是（     ） A．精确到万分位 B．精确到千分位 C．精确到0.01 D．精确到0.1 【答案】A 【分析】先将科学记数法表示的近似数还原为普通小数，其最后一个有效数字所在的数位决定了它的精确度，据此判断即可． 【详解】解：∵， 又∵ 0.0048中最后一个有效数字8在万分位， ∴该数精确到万分位． 【跟踪专练2】数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数位是____． 【答案】万位 【分析】把题目中数据1.44×106还原为1440000，从而可以得到题目中的数据精确到万位，问题得解． 【详解】解：因为1.44×106=1440000， ∴近似数01.44×106精确到万位． 故答案为：万位． 【点睛】本题考查了近似数和科学记数法，熟知近似数的意义并准确将近似数还原为原数是解题关键． 【跟踪专练3】下列说法：①近似数是精确到个位的数；②近似数和是一样的；③近似数万是精确到百位的数；④近似数是精确到十分位的数．其中说法正确的有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，根据近似数最后一位数字所在的数位确定精确度. 【详解】解：∵ 近似数的最后一位在百分位，∴ 精确到百分位，不是个位，故①错误； ∵ 近似数精确到十分位，精确到百分位，∴ 精确度不同，故②错误； ∵ 近似数万中，最后一位对应万，即，∴ 精确到百位，故③正确； ∵ 近似数的最后一位在十分位，∴ 精确到十分位，故④正确； ∴ 正确的说法有种， 故答案选：C． 【点睛】判断近似数的精确度时，需注意单位转换和最后一位数字所在的数位. 题型7.近似数推断取值范围 【典例】已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：这个数在和之间，则符合题意的只有B选项． 【跟踪专练1】最近，浙江省篮球联赛组委会公布了调整后的2025浙城市篮球争霸赛各参赛队大名单，其中温州苍南队调整为24名球员，该篮球队所有球员中身高最高的一位约为，近似数表示实际身高（单位：）的范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了近似数；近似数表示四舍五入到百分位，因此实际身高x的范围需满足大于或等于且小于． 【详解】解：近似数精确到百分位，根据四舍五入法则，实际身高需满足． 故答案为． 【跟踪专练2】一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是_______． 【答案】8.3049 【分析】本题考查了近似数，设原数为x，根据近似数的精确度得到，然后写出有四位小数的最大数即可． 【详解】解∶ 设原数为x， 根据题意得， 所以这个数原来最大是8.3049， 故答案为∶8.3049． 【跟踪专练3】近似数的准确数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数和准确数，掌握近似数和准确数的定义是解题关键．近似数可能是由原数“四舍”得到的，也可能是“五入”得到的，若是“四舍”得到的，则原数的十分位上是0，百分位上的数小于5，据此进行解答即可． 【详解】解：结合四舍五入法取近似值的方法可知：只有大于等于小于的数，经过四舍五入才能得，所以a的范围是：． 故选：C． 题型8.实数概念理解 【典例】下列四个数中，属于负数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，是正数，不符合要求； B． 既不是正数也不是负数，不符合要求； C．，是正数，不符合要求； D．，是负数，符合要求． 【跟踪专练1】若实数满足，则代数式的值为______． 【答案】7 【详解】解：∵， ， 将代入得． 【跟踪专练2】关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次方程，得到的表达式，再根据方程的解为正实数得到，列出不等式求解即可. 【详解】解：， 移项可得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： ∵方程的解为正实数， ∴， ∴， 解得. 【跟踪专练3】下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 题型9.实数的分类 【典例】下列实数中，无理数是（     ） A． B．0 C．3.14 D． 【答案】D 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数． 【详解】解：选项A 、 是分数，属于有理数； 选项B、 是整数，属于有理数； 选项C、 是有限小数，属于有理数； 选项D 、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 【跟踪专练1】下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 无理数有，，（每两个1之间的0依次加1），共个． 【跟踪专练2】下列各数中：、3.1415、、、0.321、π、2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），无理数有（　　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断各数，其中、π、2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）是无理数． 【详解】解：∵ （整数，有理数）， （有限小数，有理数）， （开方开不尽，无理数）， （分数，有理数）， （有限小数，有理数）， （无理数）， 2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）（无限不循环小数，无理数）， ∴ 无理数有、π、2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）共3个． 故选：A． 题型10.实数的性质 【典例】．的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 / / 【详解】解：的相反数为． ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】下列实数中最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“正数大于，负数小于；两个负数比较，绝对值大的数反而小”求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵，即， ∴， 综上所述，四个数的大小关系为， ∴最小的数是． 【跟踪专练2】甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得______分． 【答案】5 【分析】此题考查最佳对策问题，实数，注意比赛的规则和数据的特点，灵活选用适当的方法解答； 通过分析可知：，甲要划掉4个连续的自然数一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．这样甲的得分就可以保证至少5分， 【详解】，甲要划掉4个连续的自然数．一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的． 而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数． 甲第一次勾掉这2个数，将剩下的数两两配对：，同一对两数之差为5．在每次勾掉2个数之后，甲的策略是甲勾掉的2个数与乙勾掉的2个数恰好组成上述3对数中的2对，这样一来，余下的两个数必须是上述3对数中的一对，这两个数之差必为5．可见甲可保证自己得5分． 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，相反数的意义，绝对值的定义以及倒的定义，数轴上点 A 表示的数是，根据相反数的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题可知，数轴上点 A 表示的数是，即3的相反数， 故选：B． 题型11.实数与数轴 【典例】实数，在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴、实数大小比较、相反数、绝对值有关内容，根据数轴得出，即可判断出答案． 【详解】解：根据数轴可得，，， ． A、，正确 B、，，错误； C、，，错误； D、，，错误． 【跟踪专练1】如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【答案】/ 【详解】解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 【跟踪专练2】如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，点表示的数为__________． 【答案】/ 【点睛】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵由题意，正方形的面积为7，且， ∴， ∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：． 【跟踪专练3】将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据数轴有：，则有：． 题型12.实数的大小比较 【典例】在，，，这四个数中，比大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，只需分别判断四个数与的大小关系，即可得到正确答案． 【详解】解：， 排除A选项和B选项； ， 排除D选项； 比较和， ，，， ．因此比大的数是． 【跟踪专练1】请写出一个绝对值大于且小于的无理数是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意确定所求无理数的绝对值介于和之间，找出被开方数介于和之间的开方开不尽的数即可． 【详解】解：设所求无理数为，由题意得， ， ， 符合题意．（答案不唯一）． 【跟踪专练2】比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：两个分数的分母均为，且，因此只需比较分子与的大小， ∵，， ∴， ∴， ∴. 【跟踪专练3】，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 题型13.程序设计与实数运算 【典例】如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 【答案】 【详解】解：由程序计算图可得：当输入x的值是64时，则第一次输出结果为，，是有理数， ∴第二次输出结果为． 【跟踪专练1】根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先计算的结果，若结果小于2，则输出结果，若结果大于或等于2，则把结果作为x的值重新输入到进行计算，据此逐步求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴输出的结果为． 【跟踪专练2】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 【答案】 【分析】根据程序流程图，先取729的立方根为9，再取9的算术平方根为3，然后取3的立方根即可． 【详解】解：若开始输入的的值是729，取立方根为，是有理数， 取算术平方根为，是有理数， 取立方根为，是无理数，则输出． 【跟踪专练3】按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 【答案】 【分析】根据数值转换器原理，输入 x后先计算其算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，直到结果为无理数时输出． 【详解】解：由算术平方根的定义判断可得： 当输入的数x为81时，，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，是无理数，输出． 故答案为：． 题型14.实数运算的实际应用 【典例】若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练1】《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 【跟踪专练2】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则下列说法中正确的有（　　） ①；②；③；④正方形与正方形的面积之和为29． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】首先求出重合部分小正方形的边长为，然后表示出，得到，即可判断③；然后表示出和即可判断①②；然后根据长方形的面积与各个部分面积之间的关系得到，整理后求出，进而求解即可． 【详解】解：由题意得重合部分小正方形的面积为5，其边长为 ∵ ∴，故③错误； ∵ ∴；故①正确； ∵ ∴，故②错误； 由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 代入得， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有2个． 题型15.大数的科学记数法表示 【典例】2026年四川“春假”与清明小长假叠加，形成了一个较长的春日假期，全省A级旅游景区接待游客总量为14991000人次，将14991000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为正整数，解题关键是正确确定和的值； 【详解】解：根据科学记数法的定义，需满足，等于原数的整数位数减； ∵是位整数，∴，， ∴； 【跟踪专练1】某卫星绕地球飞行的速度约为，则飞行所走的路程约是________m（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练2】年，我国规模以上互联网企业（上年互联网企业收入达到两千万元及以上）完成互联网业务收入约为亿元，其中京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入占全国收入的，则年京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入约为（     ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【分析】用全国互联网业务总收入乘以京津冀地区收入占比，再将结果整理为标准科学记数法形式即可得到答案． 【详解】解：∵全国总收入为 亿元，京津冀地区收入占比为 ， ∴京津冀地区收入为：（亿元）． 题型16.科学记数法大数还原原数 【典例】2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 【跟踪专练1】减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 【跟踪专练2】2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数，换算为以亿为单位的数，利用亿的换算关系即可得到结果。 【详解】解：∵亿， 又， ∴元可表示为951亿元． 题型17.小数的科学记数法表示 【典例】深圳市全面推进美丽深圳建设，生态环境质量持续改善，去年全市浓度降至毫克/立方米，位居全省第一，将数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示为的形式，其中，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为． 【跟踪专练1】2026年，中国科学院武汉病毒研究所王延轶团队在国际权威期刊《PNAS》上发文：基孔肯雅病毒颗粒的直径约为0.00000007米（70纳米），病毒通过激活宿主细胞的SMARCA4蛋白，上调膜蛋白TMEM47进而诱导细胞质膜重塑，形成直径约50-70纳米的球状复制结构，为病毒RNA复制提供了关键场所．用科学记数法将数据0.00000007表示为________． 【答案】 【分析】绝对值小于的数用科学记数法表示的形式为，其中，为正整数，即为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：对于数字，第一个不为零的数字为，前面共有个， ． 【跟踪专练2】方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：本题答案为1， ， 根据题意可得， ， 所以小数中总共有个“0”， 则破损处“0”的个数为个． 题型18.科学记数法小数还原原数 【典例】芯片是承载集成电路的硅片，是电子设备的核心，负责运算、存储与控制指令．若某芯片的电路宽度约为，则用小数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，． 【跟踪专练1】某种细胞的直径约为，用小数表示这个数为______m． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法还原成原数，掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法还原成小数即可，绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为（，n为正整数），与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，以及幂的运算，根据相关概念和运算法则对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：， A项错误，不符合题意； ， B项错误，不符合题意； 是8位小数， 故C项正确，符合题意；D项错误，不符合题意； 故选：C． 解答题 1．数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 【答案】(1)3 (2)； 【分析】（1）根据无理数的定义解答； （2）根据有理数分类解答即可. 【详解】（1）解：由题可知，“无理数”有： 则共有无理数3个． （2）解：由题可知：“整数”席为：； “分数”席为：． 2．如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为. （2）解：，即， ． ． 3．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的定义列出关于，的方程，解方程求出，，再估算，求出其整数部分即可； （2）把（1）中所求，，的值代入所求代数式进行计算，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：由题可得：，， ，， ∵，即，是的整数部分， ∴．   （2）解：，   ，   的平方根为． 4．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 【答案】(1)小王加工的轴不合格，理由见解析 (2)轴长为的车间工人加工完原轴的范围是 【分析】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格； （2）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】（1）解：小王加工的轴不合格，理由如下： 图纸要求精确到，则原轴的范围是，故轴长为与的产品不合格； （2）解：近似数的要求是精确到， 所以轴长为的车间工人加工完原轴的范围是． 5．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 6．探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 7．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)输入的数据可能是负数，理由见解析 (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 8．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $