专题22.2 角平分线 【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

专题22.2 角平分线（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能灵活运用。 · 理解角平分线性质定理的证明过程，培养逻辑推理能力。 · 掌握尺规作图作角平分线的方法，并能应用于实际问题。 · 能运用角平分线的性质解决与面积、线段长度相关的综合问题。 · 体会角平分线在几何证明和实际应用中的价值。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 角平分线的性质定理 定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 · 已知：OP是∠AOB的平分线，点P在OP上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，则PD＝PE。 · 应用：常用于证明线段相等、求距离、求面积等。 ☑ 典型例题 1 题目： 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝10，BE＝4，则AC的长度为（ ） 解析： 由角平分线性质得DE＝DC，证△AED≌△ACD（AAS），得AC＝AE＝AB－BE＝10－4＝6。 答案： B ☆ 2. 角平分线的判定定理（逆定理） 定理： 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 · 即：若点P在∠AOB内部，且PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，则OP平分∠AOB。 · 常用于证明某条线是角平分线。 ☑ 典型例题 2 题目： 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF。求证：AD平分∠BAC。 解析： 证明△BED≌△CFD（AAS），得DE＝DF，根据角平分线判定定理，点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC。 答案： ☆ 3. 尺规作角平分线 作法： 1. 以角的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于M、N。 1. 分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在角的内部交于点P。 1. 作射线OP，OP即为角平分线。 · 作图依据：SSS判定三角形全等，从而得到角相等。 ☑ 典型例题 3 题目： 用尺规作图作∠AOB的平分线，并说明作图依据。 解析： 按上述步骤作图，依据是SSS，通过证明三角形全等得到角相等。 答案： 略 ☆ 4. 角平分线在面积和周长中的应用 利用角平分线上点到角两边距离相等，可将三角形面积分割，或利用等面积法求线段长度。 · 常见模型：角平分线将三角形分成两个小三角形，其面积比等于对应底边（角的两边）之比。 · 常用于求点到边的距离或边的长度。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（ ） 解析： 由角平分线性质得DF＝DE＝4，＝＋＝×8×4＋ ×AC×4＝28，解得AC＝6。 答案： 6 ☆ 5. 角平分线与其他知识综合 角平分线常与平行线、垂直平分线、等腰三角形等结合，形成综合题。解题时需灵活运用角平分线的性质及判定。 · 如：角平分线+平行线→等腰三角形。 · 角平分线+垂直→距离相等，常用于面积法。 ☑ 典型例题 5 题目： 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，求点D到AB的距离。 解析： 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线性质得DE＝DF。利用面积法：＝＋，即×5×12＝×5×DE＋×12×DF，且DE＝DF，解得DE＝ 。 答案： ☆知识总结表 核心概念 定理内容 应用方向 角平分线性质 角平分线上点到角两边距离相等 证明线段相等、求距离 角平分线判定 内部到角两边距离相等的点在角平分线上 证明角平分线 尺规作图 作角平分线的步骤 实际作图问题 面积法 利用角平分线性质分割面积 求线段长度或面积 综合应用 与平行线、等腰三角形等结合 复杂几何证明 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】角平分线定理（第1–5题） · 直接利用性质：角平分线上点到两边距离相等。 · 常结合全等三角形求线段长度。 1．（2025秋•南沙区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝10，BE＝4，则AC的长度为（　　） A．10 B．6 C．4 D．2 【分析】根据角平分线的性质得出ED＝DC，易证△AED≌△ACD（AAS），得到AC＝AE，再根据线段的和差求解即可． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90° ∴ED＝DC，∠DAE＝∠DAC（角平分线的性质）， ∵∠AED＝∠ACD＝90°， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AC＝AE（全等三角形对应边相等）， ∵BE＝4，AB＝10， ∴AC＝AE＝AB﹣BE＝10﹣4＝6． 则AC的长度为6， 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是相关性质和判定定理的熟练掌握． 2．（2025秋•汉川市期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】首先由角平分线的性质可知DF＝DE＝4，然后由S△ABC＝S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果． 【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F， ∴DF＝DE＝4． 又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8， ∴288×4AC×4， ∴AC＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌握应用． 3．（2026春•南海区期中）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝7cm，BD＝4cm，则点D到AB的距离为　3　 cm． 【分析】过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出CD＝DE，求出CD即可． 【解答】解：过D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB， ∴CD＝DE， ∵BC＝7cm，BD＝4cm， ∴CD＝BC﹣BD＝3cm， ∴DE＝3cm， 即D到AB的距离为3cm， 故答案为：3． 【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出CD＝DE是解此题的关键． 4．（2026春•长春期中）如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30，AB＝12，AC＝10，则DE＝　　 ． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用△ABC的面积列方程求解即可． 【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵△ABC面积是30， ∴12•DE10•DF＝30， 解得DE， 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 5．（2026•富锦市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE＝DF． 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据全等三角形的判定和性质得出DE＝DF即可； 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∵点D为BC中点， ∴DB＝DC， ∴在△DBE和△DCF中， ∴△DBE≌DCF（AAS）， ∴DE＝DF． 解法二：连接AD，由等腰三角形三线合一 可以知道AD是△ABC的角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，及角平分线的性质可得结论． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C． 【考点2】尺规作角平分线（第6–10题） · 掌握基本作图步骤，保留作图痕迹。 · 理解作图依据（SSS）。 6．（2025春•榆中县期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由SAS可判断△OAD≌△OBC，由全等三角形的性质得∠OAD＝∠OBC，由AAS可判定△APC≌△BPD，全等三角形的性质得AP＝BP，由SSS可判定△OAP≌△OBP，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质CP∥OB，由等腰三角形的性质得∠COP＝∠CPO，即可判断；第五个图由SSS可判定△OAE≌△OBE，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【解答】解： 由作图①痕迹得知射线OP为∠AOB的平分线； 由作图②痕迹得知OC＝OD，OP是CD的垂直平分线， ∴OP⊥CD， ∴∠COP＝∠DOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图③痕迹得知OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠AOB， 在△OAD和△OBC中， ， ∴△OAD≌△OBC（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBC， ∵AC＝BD，∠APC＝∠BPD， ∴△APC≌△BPD（AAS）， ∴AP＝BP， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图④痕迹得知∠ACP＝∠AOB，CO＝CP， ∴CP∥OB，∠COP＝∠CPO， ∴∠CPO＝∠BOP， ∴∠COP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图⑤痕迹得知OA＝OB，作OA、OB的垂直平分线， ∴OE＝AE＝BE， ∴△OAE≌△OBE（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的尺规作图，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 7．（2024秋•海港区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．DE⊥AB B．AD＝BD C．DE＝DC D．∠BDE＝∠BAC 【分析】根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，依据这两个条件即可逐项判断即可． 【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DC， ∴∠BDE＝90°﹣∠B， ∵△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°﹣∠B， ∴∠BDE＝∠BAC， 无法证明AD＝BD， 所以选项A、C、D一定正确，不符合题意，选项B不一定正确，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，垂线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 8．（2024秋•新市区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：BD＝DE； 乙：∠CDE＝∠CAB； 丙：AB+EC＝AC． 下列判断正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．三人说的都对 【分析】由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC，由角平分线的性质定理可得BD＝DE，即可判断甲；由∠CAB+∠C＝∠C+∠CDE＝90°即可判断乙；证明Rt△ABD≌Rt△AED（HL）即可判断丙，即可得解． 【解答】解：由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC， ∵∠B＝90°， ∴BD＝DE，故甲正确； ∠CDE＝∠CAB，故乙正确； 在Rt△ABD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴AB＝AE， ∴AC＝AE+CE＝AB+CE，故丙正确； 故选：D． 【点评】本题考查了尺规作图—基本作图，角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2025秋•鞍山月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图作射线BP，交AC于点D，并使D到BC，AB的距离相等． （2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，求CD的长． 【分析】（1）步骤：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、CB于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，相交于点P；③作射线BP，交AC于点D，BP即为所求的平分线，则点D到BC，AB的距离相等； （2）过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝DC，设DE＝DC＝x，根据，列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， （2）如图所示，过点D作DE⊥AB于点E， 由条件可知DE＝DC， 设DE＝DC＝x， 在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴， ∴， 解得：x＝3， 即CD的长为3． 【点评】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（2025秋•青秀区校级期中）已知：△ABC如图所示． （1）请用尺规作图法，画出∠BAC的平分线AD，交BC于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请用三角板，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（要求：不写作法，标注直角标记）．求证：AE＝AF． 【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线即可； （2）根据角平分线的性质得到DE＝DF，再根据HL进行证明即可． 【解答】解：（1）如图，AD即为所求， ； （2）证明：作图如下： ， ∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F， ∴ED＝DF， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）． ∴AE＝AF． 【点评】本题主要考查作图，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【考点3】角平分线逆定理（第11–14题） · 证明点到角两边距离相等即可。 · 结合全等三角形进行证明。 11．（2025秋•阳新县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 【分析】求出∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，根据全等三角形的判定得出△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质得出DE＝DF，再推出答案即可． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴点D在∠BAC的角平分线上， ∴AD平分∠BAC． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能求出DE＝DF是解此题的关键． 12．（2025秋•甘井子区期末）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线BE和一个外角∠ACD的平分线CE相交于点E． （1）若∠A＝m°，则∠E的大小是　m °；（用含m的式子表示） （2）如图2，连接AE．求证：AE平分另一个外角∠FAC． 【分析】（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即可； （2）过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H，利用角平分线的性质解答即可． 【解答】（1）解：设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则可得：， 可得：∠Em， 故答案为：m； （2）证明：过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H， ∵EB，EC分别平分∠ABC，∠ACD， ∴EM＝EH，EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴E在∠EAC的平分线上， ∴EA平分∠FAC． 【点评】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，题目有一定的难度． 13．（2024秋•沈丘县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． 【分析】（1）根据已知条件结合角平分线性质定理的逆定理即可证明； （2）根据直角三角形的两个锐角互余求解． 【解答】（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC， ∴点D在∠ABC的平分线上， ∴BD平分∠ABC． （2）解：∵∠C＝90°，∠A＝36°， ∴∠ABC＝54°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝27°． 【点评】此题主要考查了角平分线性质的运用和直角三角形性质的运用．题目比较简单，属于基础题． 14．（2025秋•庐江县校级期中）如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． （1）求证：OC平分∠MON； （2）若AD＝6，BO＝8，求AO的长． 【分析】（1）证明Rt△ADC≌Rt△BEC，可得CD＝CE，结合已知即可证得结论； （2）由Rt△ADC≌Rt△BEC，可得AD＝BE，从而可得OE，证明Rt△ODC≌Rt△OEC，可得OD＝OE，从而可得AO的长． 【解答】（1）证明：由条件可知∠CDA＝∠CDO＝90°，∠CEB＝∠CEN＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL）， ∴CD＝CE， 又∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴OC平分∠MON． （2）解：由条件可知AD＝BE， ∵AD＝6，BO＝8， ∴OE＝OB+BE＝OB+AD＝14， 在Rt△ODC和Rt△OEC中， ， ∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）， ∴OD＝OE， ∴OA＝OD+AD＝OE+AD＝14+6＝20， ∴AO的长为20． 【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定．熟练掌握以上知识点是关键． 【考点4】角平分线的应用（第15–17题） · 实际问题中构造角平分线模型。 · 结合垂直平分线、线段和最短问题。 15．（2025秋•谷城县月考）如图所示，为促进全民健身活动开展，某镇计划在张村与李村之间建一个娱乐健身场所．张村、李村坐落在两条相交的公路内，健身场所到两条公路的距离相等，并且到两村的距离之和最短，请你通过作图确定健身场所的位置． 【分析】作∠ACB的平分线CM，连接EF交CM于点O，则点O即为所求作的位置． 【解答】解：①以点C为圆心，以适当的长为半径画弧分别交CA，CB于点P，Q， ②分别以P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点M， ③作射线CM， ④连接EF交CM于点O，则点O即为健身场所的位置，如图所示： 理由如下： 由作图可知：点O在∠ACB的平分线上， ∴点O到AC，BC的距离相等， 又∵点E，O，F共线， ∴点O到E，F的距离之和为最短， 故点O即为所求作的位置． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，线段的性质，理解两点之间线段最短，熟练掌握角平分线的性质及角平分线的作法是解决问题的关键． 16．（2025秋•江阴市期中）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到AB、AC两条道路的距离相等，而且要使PM＝PN，请你用尺规作图的方法找出P点（不写画法，但保留作图痕迹） 【分析】因为使P到AB、AC两条道路的距离相等，所以点P应在∠BAC的平分线上；而且要使PM＝PN，所以点P还应在MN的中垂线上，即∠BAC的平分线和MN的中垂线的交点，即为点P． 【解答】解： 点P即为所求． 【点评】此题考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，以及作法，难度中等． 17．（2025秋•单元）如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路．现要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的位置有几处？请在图中标出来． 【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断． 【解答】解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【考点5】角平分线与面积边长（第18–25题） · 利用面积比等于对应边比。 · 角平分线性质配合三角形面积公式。 18．（2026春•北碚区月考）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积． 【分析】（1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AF⊥BC，∠BAF＝54°， ∴∠ABF＝90°﹣54°＝36°． ∵BE平分∠ABF， ∴∠ABE∠ABF＝18°， ∵∠BED＝40°， ∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝40°﹣18°＝22°； （2）∵AD是△ABC的中线且△ACD的面积是30， ∴S△ABD＝S△ACD＝30． ∵DE：AE＝2：3， ∴S△ABES△ABD30＝18． 【点评】本题主要考查了角平分的性质，熟知角平分线的定义及性质是解题的关键． 19．（2026春•朝阳区校级期中）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，则△ABE的面积为　18　 ． 【分析】（1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AF⊥BC，∠BAF＝54°， ∴∠ABF＝90°﹣54°＝36°． ∵BE平分∠ABF， ∴∠ABE∠ABF＝18°． ∵∠BED＝40°， ∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝40°﹣18°＝22°； （2）∵AD是△ABC的中线且△ACD的面积是30， ∴S△ABD＝S△ACD＝30． ∵DE：AE＝2：3， ∴． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了角平分的性质，熟知角平分线的定义及性质是解题的关键． 20．（2026春•集美区校级期中）在三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AB上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在AC上，连接CD、DE，∠CDE＝45°． （1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：DE⊥AC； （2）如图2，CD是∠BCM的角平分线，连接DM，EM．若DM∥AC，∠MED+∠BCD＝45°，试判断DE与EM的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠ACD＝45°，再根据∠CDE＝45°，利用三角形的内角和＝180°得出∠DEC＝90°，从而得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD∠ACB90°＝45°， ∵∠CDE＝45°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∴DE⊥AC； （2）解：DE＝EM，理由如下： ∵DM∥AC， ∴∠ACM＝∠CMD， ∵CD是∠BCM的角平分线， ∴∠MCD＝∠BCD， 设∠BCD＝x，则∠MCD＝x， ∵∠CDE＝45°， ∴∠EDM＝∠CDE+∠CDM＝45°+x， ∵∠MED+∠BCD＝45°， ∴∠MED＝45°﹣x， 在△DEM中，∠DEM＝180°﹣∠EDM﹣∠MED＝180°﹣（45°+x）﹣（45°﹣x）＝90°， ∴∠M＝180°﹣∠EDM﹣∠MED＝180°﹣90°﹣（45°﹣x）＝45°+x， ∴∠EDM＝∠M， ∴DE＝EM． 【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和的性质，灵活应用这些性质解决问题是解题的关键． 21．（2025春•城关区校级期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 【分析】（1）如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，由角平分线的性质可得OF＝OG，OH＝OG，进而得OF＝OH，再根据角平分线的判定即可求证； （2）由△AOC的面积为12可得OG＝OF＝OH＝4，再根据S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝30可得AB+BC＝15，进而即可求解． 【解答】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H， ∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE， ∴OF＝OG，OH＝OG， ∴OF＝OH（等量代换）， ∵OF⊥BD，OH⊥BE， ∴点O在∠ABC的角平分线上， 即BO平分∠ABC； （2）解：∵△AOC的面积为12， ∴， ∵AC＝6， ∴， ∴OG＝4， ∴OF＝OH＝OG＝4， ∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30， ∴， 即， 整理得AB+BC＝15， ∴AB+BC+AC＝15+6＝21， △ABC的周长为21． 【点评】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22．（2025秋•斗门区校级期中） 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E，连接AD． （1）求证：AD平分∠MAC； （2）若△ABC周长为20，求BE的长． 【分析】（1）如图：过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q，由角平分线的性质证明DP＝DQ，则由角平分线的判定定理可得证明结论． （2）证明Rt△ADQ≌Rt△ADP可得AP＝AQ，同理BP＝BE、CQ＝CE，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得BC+CE＝10，据此即可求出BE的长． 【解答】（1）证明：如图：过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q， ∵DE⊥BN，BD平分∠ABC，CD平分∠ACN， ∴DP＝DE，DQ＝DE， ∴DP＝DQ（等量代换）， ∵DP⊥BM，DQ⊥AC， ∴AD平分∠MAC； （2）解：如图，由（1）可知：DP＝DQ， 在Rt△ADQ和Rt△ADP中， ， ∴Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL）， ∴AP＝AQ（全等三角形对应边相等）， 同理得：BP＝BE、CQ＝CE， ∵三角形ABC的周长为20， ∴AB+BC+AC＝20， ∴AB+BC+AQ+CQ＝20， ∴AB+BC+AP+CE＝20 ∵AB+AP＝BC+CE， ∴BC+CE＝20÷2＝10，即：BE＝10， 则BE的长为10． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 23．（2024秋•高唐县期末）在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，CE平分∠ACB． （1）若∠CEB＝46°，求∠B的度数． （2）若BC＝4，△ABC的周长比△EBC的周长多8，△EBC的面积为6，则三角形AEC的面积为多少？ 【分析】（1）利用垂直平分线的性质得到∠A＝23°，再得到∠ACB＝46°，利用三角形内角和即可解答； （2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，根据题意求得AC，EF的长即可解答． 【解答】解：（1）由条件可知EA＝EC， ∴∠A＝∠ACE， ∵∠BEC＝46°， ∴， ∵CE为角平分线， ∴∠ACB＝2∠ACE＝46°， ∴∠B＝180°﹣46°﹣23°＝111°； （2）如图，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F， ∵EF⊥BC，DE⊥AC，CE为角分平线， ∴EF＝DE， ∴， ∴EF＝DE＝3， ∵C△ABC＝AB+AC+BC，C△EBC＝EB+EC+BC＝AB+BC，且C△ABC﹣C△EBC＝8， ∴AC＝8， ∴12， ∴△AEC的面积为12． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． 24．（2025秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝110°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，已知∠AEF＝55°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝12，AD＝6，CD＝14，且S△ACD＝30，求△ABE的面积． 【分析】（1）先根据三角形外角性质计算出∠BAC＝145°，然后计算∠BAC﹣∠BAD即可； （2）过E点作EM⊥AD于M点，EN⊥BC于N点，如图，先计算出∠EAF＝35°得到AE平分∠DAF，根据角平分线的性质得到EF＝EM，EF＝EN，所以EM＝EN，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到AD•EMCD•EN＝30，则可计算出EM＝3，所以EF＝3，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】（1）解：∵BF⊥BA， ∴∠AFE＝90°， ∴∠BAC＝90°+∠AEF＝90°+55°＝145°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝145°﹣110°＝35°； （2）证明：过E点作EM⊥AD于M点，EN⊥BC于N点，如图， ∵∠EAF＝90°﹣∠AEF＝35°， 而∠DAC＝35°， ∴∠DAC＝∠EAF， ∴AE平分∠DAF， ∵EF⊥AF，EM⊥AD， ∴EF＝EM， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，EN⊥BC， ∴EF＝EN， ∴EM＝EN， ∴点E在∠ADC的平分线上， 即DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ADE+S△CDE＝S△ADC， ∴AD•EMCD•EN＝30， 而AD＝6，CD＝14，EM＝EN， ∴6×EM14×EM＝30， ∴EM＝3， ∵EF＝EM＝3，AB＝12， ∴△ABE的面积12×3＝18． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． 25．（2025•遵义校级模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，且∠ABC＝60°． （1）若∠ACB＝40°，求∠BOC的度数； （2）若OB＝4，且△ABC的周长为32，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用角平分线的定义及三角形内角和即可得出答案； （2）过O作OD⊥BC于D点，连接AO，通过O为角平分线的交点，得出点O到三边的距离相等，利用含30度角的直角三角形的性质求出距离，然后利用S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC和周长即可得出答案． 【解答】解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°， ∴∠OBC30°，20°， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（30°+20°）＝130°，即∠BOC＝130°； （2）过O作OD⊥BC于D点，连接AO， ∵O为角平分线的交点， ∴点O到三边的距离相等， 又∵∠ABC＝60°，OB＝4， ∴∠OBD＝30°，OD＝2， 即点O到三边的距离都等于2， ∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC ＝AC+AB+BC， 又∵△ABC的周长为32， ∴S△ABC＝AC+AB+BC＝32． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【考点6】创新及压轴题（第26–28题） · 综合运用角平分线性质、全等、面积等。 · 注意构造辅助线（如作垂线）。 26．（2023秋•黄冈期末）如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质得出即可； （2）首先过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF，根据角平分线的性质，可得FH＝FG，又由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，求得∠GEF＝75°＝∠HDF，又由∠DHF＝∠EGF＝90°，利用AAS，即可证得△DHF≌△EGF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE＝FD； （3）过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FN＝FM，由∠ABC＝60°，即可求得∠MFN＝120°，∠EFD＝∠AFC＝120°，继而求得∠DFM＝∠DFE，利用ASA，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE＝FD． 【解答】解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠DAC＝∠DAB∠BAC＝15°，∠ACE∠ACB＝45°， ∴∠CDA＝∠BAD+∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC+∠ECA＝75°， ∴∠BEC＝∠ADC； （2）相等， 理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴HF＝FG，∠DHF＝∠EGF＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠DAC∠BAC＝15°， ∴∠CDA＝75°， ∵∠HFC＝45°，∠HFG＝120°， ∴∠GFE＝15°， ∴∠GEF＝75°＝∠HDF， 在△DHF和△EGF中， ， ∴△DHF≌△EGF（AAS）， ∴FE＝FD； （3）成立． 理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°， ∴四边形BNFM是圆内接四边形， ∵∠ABC＝60°， ∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠ABC）＝180°（180°﹣60°）＝120°， ∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°． 又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE， ∴∠DFM＝∠NFE， 在△DMF和△ENF中， ∴△DMF≌△ENF（ASA）， ∴FE＝FD． 【点评】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 27．（2023秋•丰台区校级期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　 ； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案． 【解答】解：（1） 过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（BD•AE）：（CD•AE）＝1：1， 故答案为：1：1； （2） 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（AB•DE）：（AC•DF）＝m：n； （3） ∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝10， ∴S△ABD＝10， ∵AC＝3，AB＝5，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝5：3， ∴S△ACD＝6， ∴S△ABC＝10+6＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 28．（2024秋•江阳区校级期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【分析】（1）由平角的定义可求解∠ACD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠ECH＝40°，进而可求解； （2）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM＝EN，进而可证明结论； （3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°， ∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°， ∵EH⊥BD， ∴∠CHE＝90°， ∵∠CEH＝50°， ∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°， ∴∠ACE＝80°﹣40°＝40°； （2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N， ∵BE平分∠ABC， ∴EM＝EH， ∵∠ACE＝∠ECH＝40°， ∴CE平分∠ACD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴AE平分∠CAF； （3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH， ∴S△ACD＝S△ACE+S△CEDAC•ENCD•EH（AC+CD）•EM＝21， 即， 解得EM＝3， ∵AB＝8.5， ∴S△ABEAB•EM． 【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：角平分线性质练习2：角平分线面积比练习3：角平分线与距离 练习4：角平分线与中线练习5：角平分线综合 【练习1】（2025秋•宁江区校级期末）如图，在7×9的正方形网格中，到∠AOB两边距离相等的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【分析】根据题意可知到角两边距离相等的点在角的角平分线上，通过网格特点，大致确定∠AOB的平分线，进而可知本题答案． 【解答】解：点M在∠AOB的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到∠AOB两边的距离相等，故A选项正确； 点N不在∠AOB的角平分线上，所以点N到∠AOB两边的距离不相等，故B选项错误； 点P不在∠AOB的角平分线上，所以点P到∠AOB两边的距离不相等，故C选项错误； 点Q不在∠AOB的角平分线上，所以点Q到∠AOB两边的距离不相等，故D选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线性质，关键是看懂图片，掌握平分线性质． 【练习2】（2025春•开江县期末）如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【分析】根据题意可得点O到△ABC三边的距离相等，设点O到AB的距离为a，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【解答】解：由条件可知点O到△ABC三边的距离相等， 设点O到AB的距离为a， 则S△ABO：S△BCO：S△CAO ＝AB：BC：AC ＝5：6：7， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【练习3】（2024秋•黔江区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4即可． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E， 由条件可知：PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4， 即点P到BC的距离是4． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 【练习4】（2025秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ 　1　 ． 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线性质得DF＝AD＝1，进而得S△BCDBC•DF＝2，再根据点E是BD的中点得DE＝BE，由此得S△BEC＝S△DEC＝1/2S△BCD＝1，据此可得出答案． 【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，AD＝1， ∴DF＝AD＝1， 又∵BC＝4， ∴S△BCDBC•DF4×1＝2， ∵点E是BD的中点， ∴DE＝BE， ∵△DEC的边DE上的高和△BEC的边BE上的高相同， ∴S△BEC＝S△DECS△BCD＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 33．（2025秋•钢城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，此时点E恰为AB的中点． （1）求∠B的大小； （2）若BC＝12，求DE的长． 【分析】（1）根据垂直平分线的判定及性质得出AD＝BD，再根据等边对等角得出∠B＝∠BAD，然后根据角平分线得出∠CAD＝∠BAD，最后根据余角的概念即可得出答案； （2）根据角平分线的性质得出DC＝DE，再根据含30度角的直角三角形的性质得出BD＝2DE，然后根据等量代换及线段的和差即可得出答案． 【解答】解：（1）∵DE⊥AB，且E为AB的中点， ∴DE垂直平分AB， ∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）， ∴∠B＝∠BAD， ∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质）， ∵∠C＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴3∠B＝90°， ∴∠B＝30°； （2）∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵∠B＝30°， ∴BD＝2DE， ∴BD＝2DC， ∵BC＝12， ∴BD+CD＝3DE＝12， ∴DE＝4． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：角平分线性质与全等作业2：角平分线逆定理作业3：尺规作图作业4：角平分线与面积 作业5：角平分线与外角作业6：角平分线综合作业7：角平分线与高作业8：角平分线应用 作业9：角平分线与中线面积作业10：创新综合 ❤ 复习建议 牢记性质与判定： 角平分线上的点到角两边距离相等，是解题的核心工具。 灵活运用面积法： 当遇到角平分线时，常通过作垂线构造高，利用面积建立方程。 掌握尺规作图： 能熟练作出角平分线，并理解作图依据。 注意辅助线添加： 常见辅助线是过角平分线上一点向角的两边作垂线。 综合题多分析： 结合平行线、垂直平分线、等腰三角形等知识，综合运用。 【作业1】（2025秋•宁江区期中）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合，连接OP并延长．若∠BOP＝26°，则∠AOP的度数为（　　） A．13° B．26° C．39° D．52° 【分析】根据题意，易得点P到射线OA和射线OB的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到OP平分∠AOB，得到∠AOP＝∠BOP＝26°，即可． 【解答】解：由图和题意，得点P到射线OA和射线OB的距离相等，均为长方形直尺的宽， ∴OP平分∠AOB， ∵∠BOP＝26°， ∴∠AOP＝∠BOP＝26°，则∠AOP的度数为26°， 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是角平分线性质的熟练掌握． 【作业2】（2025春•周村区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　） A．20 B．30 C．50 D．100 【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：过O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D， ∴OE＝OD＝5， ∴△AOB的面积， 故选：C． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答． 【作业3】（2025春•盐湖区校级期中）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中∠C＝90°，BC＝800m，一个人从B处出发沿着BC行走了500m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（　　） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，推出DE＝CD＝BC﹣BD． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD为∠CAB的平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝BC﹣BD＝800﹣500＝300（m）， 故选：D． 【点评】此题考查角平分线的性质定理，解答本题的关键要明确：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【作业4】（2025秋•海州区校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，AB＝4，点D是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则点D到BC的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．3.5 【分析】先利用角平分线的性质得出DE＝DF＝DG，再根据等面积法计算即可． 【解答】解：如图所示，过点D作作DE、DF、DG分别垂直于AC，AB、BC，垂足分别为E、F、G，连接AD ∵∠ACB与∠ABC的角平分线交于点D， ∴DE＝DF＝DG， ∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD+S△ACD ∴ ∴， ∴6DG＝6， ∴DG＝1， ∴点D到BC的距离为1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题． 【作业5】（2025秋•惠城区校级期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为20，AB＝12，DE＝2，则BC的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】作DF⊥BC可得DE＝DF＝2，根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD即可求解． 【解答】解：作DF⊥BC，如图所示： 由角平分线性质可知：DE＝DF＝2， ∵AB＝12， ∴， ∵△ABC的面积为20， ∴S△BCD＝20﹣12＝8， ∵， ∴， ∴BC＝8， 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握该知识点是关键． 【作业6】（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于点F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF；⑤GF+FC＝GA．其中正确的有　①②③④⑤　 ． 【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④⑤进行一一判断，从而求解． 【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴∠PAB∠CAB，∠PBE∠CBE， ∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB；故①正确； 过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S， ∴PM＝PN＝PS， ∴PC平分∠BCD， ∴S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB，故②正确； ∵BE＝BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确； ∵PG∥AD， ∴∠FPC＝∠DCP， ∵PC平分∠DCB， ∴∠DCP＝∠PCF， ∴∠PCF＝∠CPF，故④正确， ∵AD平行PG，AP平分∠BAC， ∴∠DAP＝∠APG， ∴AG＝GP， ∵∠PCF＝∠CPF， ∴CF＝FP，GP＝PF+FG，故⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．综合性强，难度偏大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【作业7】（2025春•沙坪坝区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE．若AB：AC＝5：7，△ABC的面积为24，则图中阴影部分的面积为 　2　 ． 【分析】延长BE交AC于点F，过D作DG⊥AB交AB的延长线于G，作DH⊥AC于H，由三角形内角和定理推出∠ABE＝∠AFE，得到AF＝AB，因此AF：AC＝5：7，得到S△BCFS△ABC，由等腰三角形的性质推出BE＝EF，得到S△BECS△BCFS△BCF，由角平分线的性质推出DH＝DG，由三角形的面积公式得到BD：DC＝AB：AC＝5：7，于是S△CEDS△BECS△ABC＝2． 【解答】解：延长BE交AC于点F，过D作DG⊥AB交AB的延长线于G，作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵BE⊥AD于点E， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°， ∴∠ABE＝∠AFE， ∴AF＝AB， ∵AB：AC＝5：7， ∴AF：AC＝5：7， ∴FCAC， ∴S△BCFS△ABC， ∵AB＝AF，AE平分∠BAC， ∴BE＝EF， ∴S△BECS△BCFS△BCA， ∵DG⊥AB，DH⊥AC，AD是△ABC的角平分线， ∴DH＝DG， ∵△ABD的面积AB•DG，△ACD的面积AC•DH， ∴△ABD的面积：△ACD的面积＝AB：AC， ∵△ABD的面积：△ACD的面积＝BD：DC， ∴BD：DC＝AB：AC＝5：7， ∴S△CEDS△BECS△ABC24＝2， ∴图中阴影部分的面积为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，关键是由三角形的面积公式得到S△CEDS△BEC． 【作业8】（2024春•广饶县期末）课堂上，老师提出问题： 如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？ （1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出作图依据：　角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等　 ． 【分析】（1）作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P； （2）根据（1）中图形证明即可． 【解答】解：（1）如图1，点P为所求； （2）作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P， 连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G． ∵PF⊥ON，PG⊥OM， 且点P在∠MON的平分线上， ∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， 即活动中心P到两条马路的距离相等， ∵点P在线段AB的垂直平分线DE上， ∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）， 即活动中心P到两个小区的距离也相等， ∴点P为所求作的点． 故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键． 【作业9】（2026春•青羊区校级月考）如图1，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，D是AB边上一点，连接CD交BE于点F，∠ADE＝2∠EBC＝70°，，连接ED． （1）求∠BED的度数； （2）若BM为△BFC的中线，△BFM的面积为a，请用字母a表示△BCE的面积； （3）如图2，过点C作BE的垂线交直线BE于点G，若CG＝5，EF＝2，求△DEF的面积． 【分析】（1）由∠ADE＝2∠EBC＝70°得∠EBC＝35°，再由角平分线定义得∠EBA＝∠EBC＝35°，由此得∠ABC＝∠ADE＝70°，进而得DE∥BC，再根据平行线的性质可得∠BED的度数； （2）由BM为△BFC的中线得S△BCM＝S△BFM＝a，则S△BCF＝2a，设EF＝m，则BF＝3m，根据得S△CEFS△CBF，由此可得△BCE的面积； （3）先求出BF＝6，由三角形面积公式得S△BCF＝15，S△CEF＝5，则S△BCE＝20，设△DEF的面积为x，由得S△DBF＝3S△DEF＝3x，由此得S△BCD＝3x+15，再由DE∥BC得S△BCD＝S△BCE，解3x+15＝20，据此可得△DEF的面积． 【解答】解：（1）∵∠ADE＝2∠EBC＝70°， ∴∠ADE＝70°，∠EBC＝35°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠EBA＝∠EBC＝35°， ∴∠ABC＝∠EBA+∠EBC＝70°， ∴∠ABC＝∠ADE＝70°， ∴DE∥BC， ∴∠BED＝∠EBC＝35°； （2）∵BM为△BFC的中线， ∴CM＝FM， ∴△BCM的边CM上的高与△BFM的边FM上的高相同， ∴S△BCM＝S△BFM， ∵△BFM的面积为a， ∴S△BCM＝S△BFM＝a， ∴S△BCF＝S△BCM+S△BFM＝2a， ∵EFBF， ∴设EF＝m，则BF＝3m， ∵△CEF的边EF上的高与△CBF的边BF上的高相同， ∴， ∴S△CEFS△CBF， ∴S△BCE＝S△BCF+S△CEF； （3）∵EF＝2，EFBF， ∴BF＝3EF＝6， ∵CG＝5，CG⊥BE，垂足为点G， ∴S△BCFBF•CG6×5＝15，S△CEFEF•CG2×5＝5， ∴S△BCE＝S△BCF+S△CEF＝15+5＝20， 设△DEF的面积为x， ∵△DEF的边EF上的高与△DBF的边BF上的高相同， ∴， ∴S△DBF＝3S△DEF＝3x， ∴S△BCD＝S△DBF+S△BCF＝3x+15， 由（1）可知：DE∥BC， ∴△BCD的边BC上的高与△BCE的边BC上的高相同， ∴S△BCD＝S△BCE， ∴3x+15＝20， 解得：x， ∴△DEF的面积是． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，三角形的面积，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形的面积是解决问题的关键． 【作业10】（2015秋•迁安市校级期末）在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容． （1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整： 角平分线性质定理：角平分线上的点到 　这个角的两边　 的距离相等． 角平分线判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在 　角平分线上　 ． （2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整 已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD＝PE ，求证：点P在∠AOB的 　平分线上　 上 （3）请你完成证明过程： （4）知识运用：如图2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有 　4　 处． 【分析】（1）根据角平分线的性质定理和判定定理解答； （2）根据题意结合图形写出已知； （3）作射线OP，证明Rt△OPD≌Rt△OPE即可； （4）根据角平分线的性质定理解答． 【解答】解：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上， 故答案为：这个角的两边；角平分线上； （2）已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD＝PE，求证：点P在∠AOB的平分线上． 故答案为：PE；平分线上； （3）如图：作射线OP， ∵PD⊥AO，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°， 在Rt△OPD和Rt△OPE中， ， ∴Rt△OPD≌Rt△OPE， ∴∠DOP＝∠EOP， ∴OP是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB平分线上； （4）如图2，M、N、G、H即为所求， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是角平分线的性质定理和判定定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.2 角平分线（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能灵活运用。 · 理解角平分线性质定理的证明过程，培养逻辑推理能力。 · 掌握尺规作图作角平分线的方法，并能应用于实际问题。 · 能运用角平分线的性质解决与面积、线段长度相关的综合问题。 · 体会角平分线在几何证明和实际应用中的价值。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 角平分线的性质定理 定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 · 已知：OP是∠AOB的平分线，点P在OP上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，则PD＝PE。 · 应用：常用于证明线段相等、求距离、求面积等。 ☑ 典型例题 1 题目： 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝10，BE＝4，则AC的长度为（ ） 解析： 由角平分线性质得DE＝DC，证△AED≌△ACD（AAS），得AC＝AE＝AB－BE＝10－4＝6。 答案： B ☆ 2. 角平分线的判定定理（逆定理） 定理： 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 · 即：若点P在∠AOB内部，且PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，则OP平分∠AOB。 · 常用于证明某条线是角平分线。 ☑ 典型例题 2 题目： 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF。求证：AD平分∠BAC。 解析： 证明△BED≌△CFD（AAS），得DE＝DF，根据角平分线判定定理，点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC。 答案： ☆ 3. 尺规作角平分线 作法： 1. 以角的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于M、N。 1. 分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在角的内部交于点P。 1. 作射线OP，OP即为角平分线。 · 作图依据：SSS判定三角形全等，从而得到角相等。 ☑ 典型例题 3 题目： 用尺规作图作∠AOB的平分线，并说明作图依据。 解析： 按上述步骤作图，依据是SSS，通过证明三角形全等得到角相等。 答案： 略 ☆ 4. 角平分线在面积和周长中的应用 利用角平分线上点到角两边距离相等，可将三角形面积分割，或利用等面积法求线段长度。 · 常见模型：角平分线将三角形分成两个小三角形，其面积比等于对应底边（角的两边）之比。 · 常用于求点到边的距离或边的长度。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（ ） 解析： 由角平分线性质得DF＝DE＝4，＝＋＝×8×4＋ ×AC×4＝28，解得AC＝6。 答案： 6 ☆ 5. 角平分线与其他知识综合 角平分线常与平行线、垂直平分线、等腰三角形等结合，形成综合题。解题时需灵活运用角平分线的性质及判定。 · 如：角平分线+平行线→等腰三角形。 · 角平分线+垂直→距离相等，常用于面积法。 ☑ 典型例题 5 题目： 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，求点D到AB的距离。 解析： 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线性质得DE＝DF。利用面积法：＝＋，即×5×12＝×5×DE＋×12×DF，且DE＝DF，解得DE＝ 。 答案： ☆知识总结表 核心概念 定理内容 应用方向 角平分线性质 角平分线上点到角两边距离相等 证明线段相等、求距离 角平分线判定 内部到角两边距离相等的点在角平分线上 证明角平分线 尺规作图 作角平分线的步骤 实际作图问题 面积法 利用角平分线性质分割面积 求线段长度或面积 综合应用 与平行线、等腰三角形等结合 复杂几何证明 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】角平分线定理（第1–5题） · 直接利用性质：角平分线上点到两边距离相等。 · 常结合全等三角形求线段长度。 1．（2025秋•南沙区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝10，BE＝4，则AC的长度为（　　） A．10 B．6 C．4 D．2 2．（2025秋•汉川市期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（2026春•南海区期中）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝7cm，BD＝4cm，则点D到AB的距离为　 　 cm． 4．（2026春•长春期中）如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30，AB＝12，AC＝10，则DE＝　 　 ． 5．（2026•富锦市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE＝DF． 【考点2】尺规作角平分线（第6–10题） · 掌握基本作图步骤，保留作图痕迹。 · 理解作图依据（SSS）。 6．（2025春•榆中县期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2024秋•海港区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．DE⊥AB B．AD＝BD C．DE＝DC D．∠BDE＝∠BAC 8．（2024秋•新市区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：BD＝DE； 乙：∠CDE＝∠CAB； 丙：AB+EC＝AC． 下列判断正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．三人说的都对 9．（2025秋•鞍山月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图作射线BP，交AC于点D，并使D到BC，AB的距离相等． （2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，求CD的长． 10．（2025秋•青秀区校级期中）已知：△ABC如图所示． （1）请用尺规作图法，画出∠BAC的平分线AD，交BC于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请用三角板，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（要求：不写作法，标注直角标记）．求证：AE＝AF． 【考点3】角平分线逆定理（第11–14题） · 证明点到角两边距离相等即可。 · 结合全等三角形进行证明。 11．（2025秋•阳新县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 12．（2025秋•甘井子区期末）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线BE和一个外角∠ACD的平分线CE相交于点E． （1）若∠A＝m°，则∠E的大小是　 　 °；（用含m的式子表示） （2）如图2，连接AE．求证：AE平分另一个外角∠FAC． 13．（2024秋•沈丘县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． 14．（2025秋•庐江县校级期中）如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． （1）求证：OC平分∠MON； （2）若AD＝6，BO＝8，求AO的长． 【考点4】角平分线的应用（第15–17题） · 实际问题中构造角平分线模型。 · 结合垂直平分线、线段和最短问题。 15．（2025秋•谷城县月考）如图所示，为促进全民健身活动开展，某镇计划在张村与李村之间建一个娱乐健身场所．张村、李村坐落在两条相交的公路内，健身场所到两条公路的距离相等，并且到两村的距离之和最短，请你通过作图确定健身场所的位置． 16．（2025秋•江阴市期中）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到AB、AC两条道路的距离相等，而且要使PM＝PN，请你用尺规作图的方法找出P点（不写画法，但保留作图痕迹） 17．（2025秋•单元）如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路．现要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的位置有几处？请在图中标出来． 【考点5】角平分线与面积边长（第18–25题） · 利用面积比等于对应边比。 · 角平分线性质配合三角形面积公式。 18．（2026春•北碚区月考）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积． 19．（2026春•朝阳区校级期中）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，则△ABE的面积为　 　 ． 20．（2026春•集美区校级期中）在三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AB上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在AC上，连接CD、DE，∠CDE＝45°． （1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：DE⊥AC； （2）如图2，CD是∠BCM的角平分线，连接DM，EM．若DM∥AC，∠MED+∠BCD＝45°，试判断DE与EM的大小关系，并说明理由． 21．（2025春•城关区校级期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 22．（2025秋•斗门区校级期中） 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E，连接AD． （1）求证：AD平分∠MAC； （2）若△ABC周长为20，求BE的长． 23．（2024秋•高唐县期末）在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，CE平分∠ACB． （1）若∠CEB＝46°，求∠B的度数． （2）若BC＝4，△ABC的周长比△EBC的周长多8，△EBC的面积为6，则三角形AEC的面积为多少？ 24．（2025秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝110°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，已知∠AEF＝55°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝12，AD＝6，CD＝14，且S△ACD＝30，求△ABE的面积． 25．（2025•遵义校级模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，且∠ABC＝60°． （1）若∠ACB＝40°，求∠BOC的度数； （2）若OB＝4，且△ABC的周长为32，求△ABC的面积． 【考点6】创新及压轴题（第26–28题） · 综合运用角平分线性质、全等、面积等。 · 注意构造辅助线（如作垂线）。 26．（2023秋•黄冈期末）如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 27．（2023秋•丰台区校级期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　 ； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 28．（2024秋•江阳区校级期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 随堂检测 · 精选练习 练习1：角平分线性质练习2：角平分线面积比练习3：角平分线与距离 练习4：角平分线与中线练习5：角平分线综合 29．（2025秋•宁江区校级期末）如图，在7×9的正方形网格中，到∠AOB两边距离相等的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 30．（2025春•开江县期末）如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 31．（2024秋•黔江区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 32．（2025秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ 　 　 ． 33．（2025秋•钢城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，此时点E恰为AB的中点． （1）求∠B的大小； （2）若BC＝12，求DE的长． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：角平分线性质与全等作业2：角平分线逆定理作业3：尺规作图作业4：角平分线与面积 作业5：角平分线与外角作业6：角平分线综合作业7：角平分线与高作业8：角平分线应用 作业9：角平分线与中线面积作业10：创新综合 ❤ 复习建议 牢记性质与判定： 角平分线上的点到角两边距离相等，是解题的核心工具。 灵活运用面积法： 当遇到角平分线时，常通过作垂线构造高，利用面积建立方程。 掌握尺规作图： 能熟练作出角平分线，并理解作图依据。 注意辅助线添加： 常见辅助线是过角平分线上一点向角的两边作垂线。 综合题多分析： 结合平行线、垂直平分线、等腰三角形等知识，综合运用。 34．（2025秋•宁江区期中）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合，连接OP并延长．若∠BOP＝26°，则∠AOP的度数为（　　） A．13° B．26° C．39° D．52° 35．（2025春•周村区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　） A．20 B．30 C．50 D．100 36．（2025春•盐湖区校级期中）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中∠C＝90°，BC＝800m，一个人从B处出发沿着BC行走了500m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（　　） A．1300m B．800m C．500m D．300m 37．（2025秋•海州区校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，AB＝4，点D是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则点D到BC的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．3.5 38．（2025秋•惠城区校级期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为20，AB＝12，DE＝2，则BC的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 39．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于点F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF；⑤GF+FC＝GA．其中正确的有　 　 ． 40．（2025春•沙坪坝区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE．若AB：AC＝5：7，△ABC的面积为24，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 41．（2024春•广饶县期末）课堂上，老师提出问题： 如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？ （1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出作图依据：　 　 ． 42．（2026春•青羊区校级月考）如图1，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，D是AB边上一点，连接CD交BE于点F，∠ADE＝2∠EBC＝70°，，连接ED． （1）求∠BED的度数； （2）若BM为△BFC的中线，△BFM的面积为a，请用字母a表示△BCE的面积； （3）如图2，过点C作BE的垂线交直线BE于点G，若CG＝5，EF＝2，求△DEF的面积． 43．（2015秋•迁安市校级期末）在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容． （1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整： 角平分线性质定理：角平分线上的点到 　 　 的距离相等． 角平分线判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在 　 　 ． （2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整 已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD＝　 　 ，求证：点P在∠AOB的 　 　 上 （3）请你完成证明过程： （4）知识运用：如图2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有 　 　 处． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $