专题01 平方根与立方根 暑假预习讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

专题01平方根与立方根暑假预习讲义 ·理解平方根、算术平方根、立方根的定义，能区分三者概念，熟记相关符号书写规范。 ·掌握平方根、立方根的性质，明确正数、0、负数分别有几个平方根与立方根，分清正负取值差异。 ·会求非负数的平方根、算术平方根，能准确求出任意实数的立方根，规范书写解题步骤。 ·熟练区分、-、的含义，避免符号混淆出错。 ·掌握双重非负性：算术平方根被开方数a0、结果0，会利用非负性求值。 ·能估算平方根、立方根的取值范围，会比较含根号实数的大小。 ·理清开平方、开立方与平方、立方互为逆运算，会利用互逆关系检验计算结果。 ·规避漏写正负平方根、负数开平方、取值符号混淆等典型易错点，培养严谨计算习惯。 预习必备 知识梳理 1.平方根与算术平方根 2.开平方运算 3.立方根 4.立方根.算术平方根与立方根区别 5.开平方与开立方的区别 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.求一个数的算术平方根 2..由算术平方根的非负性解题 3.估计算术平方根的取值范围 4.求算术平方根的整数与小数部分 5.与算术平方根有关的规律题 6.算术平方根的实际应用 7.平方根概念理解 8.求一个数的平方根 9.求代数式的平方根 10.由一个数的平方根求这个数 11.利用平方根解方程 12.平方根的应用 13.立方根概念理解 14.求一个数的立方根 15.由一个数的立方根求这个数 16.与立方根有关的规律题 17.立方根的实际应用 18.立方根的实际应用 强化题型 解答题10题 知识点01：平方根与算术平方根 （一）平方根定义 若x2=a，则x叫做a的平方根，记作。 （二）算术平方根（重点） 1.定义：一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；0的算术平方根是0。 2.符号写法：记作，只代表非负根，不带正负号。 3.取值范围：只有a0时，才有意义。 4.双重非负性（本节重中之重，大题必考） 1 被开方数非负：a0； 2 算术平方根结果非负：0； 3 拓展：若|m|+n2+=0，则m=0、n=0、p=0，三类非负数和为 0，各项均为 0。 5.核心公式 ： - （三）平方根三条性质 正数有 2 个平方根，互为相反数； 0的平方根、算术平方根都是0； 负数没有平方根、没有算术平方根。 （四）三个符号区分（易混考点） ：a全部平方根（一正一负）； ：a的算术平方根（仅非负根）； ：a的负平方根。 （五）平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 知识点03：立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点04.平方根、算术平方根、立方根对比表 对比项目 平方根 算术平方根 立方根 被开方数 a0 a0 全体实数 根的个数 正数 2 个，0 一个，负数无 仅 1 个（非负） 恒有 1 个 符号特征 一正一负 只有非负数 与被开方数同号 特殊值 ±=0 =0 =0、= 知识点05：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点06：高频易错点 1.求正数平方根只写算术平方根，漏掉负根-； 2.混淆平方根与算术平方根，审题看错、±； 3.忽略要求a0，判定有意义； 4.化简直接写成a，忘记加绝对值； 5.双重非负性题型，漏写被开方数≥0 条件； 6.立方根负号处理错误，不会使用=-； 7.估算根式大小逻辑颠倒。 题型1.求一个数的算术平方根 【典例】的值等于________． 【跟踪专练1】下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则______． 【跟踪专练3】下列各式中，正确的个数是（     ） ①；②；③；④的算术平方根是． A．个 B．个 C．个 D．个 题型2.由算术平方根的非负性解题 【典例】已知，则________． 【跟踪专练1】若，则等于（    ） A． B．0 C． D．2 【跟踪专练2】若实数a，b满足，则_____． 【跟踪专练3】若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型3.估计算术平方根的取值范围 【典例】请写出比大且比小的所有整数：_______． 【跟踪专练1】已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【跟踪专练3】如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型4.求算术平方根的整数与小数部分 【典例】的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】学习了开方运算，小明对进行了研究，想知道的小数部分为______． 【跟踪专练2】已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 【跟踪专练3】如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型5.与算术平方根有关的规律题 【典例】若，，则____． 【跟踪专练1】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【跟踪专练3】已知，，，…，设（为正整数），则值是（   ） A． B． C． D． 题型6.算术平方根的实际应用 【典例】在面积为的正方形正中间挖掉一个面积为的小正方形，则剩余的边框的宽度是______． 【跟踪专练1】如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．4 C． D．3 【跟踪专练2】将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7的正方形，则阴影部分的面积是______． 【跟踪专练3】把长为5，宽为1的长方形按如图所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（    ） A．2 B． C． D．5 题型7.平方根概念理解 【典例】的平方根是（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知是9的平方根，则的值是__________． 【跟踪专练2】若一个正数的两个不同的平方根为和，则为_____． 题型8.求一个数的平方根 【典例】81的平方根是________． 【跟踪专练1】下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果的两个平方根是，，那么_______． 【跟踪专练3】若是81的平方根，是64的立方根，则的值是（   ） A．13 B．－13 C．13或 D．13或 题型9.求代数式的平方根 【典例】若，则__________． 【跟踪专练1】若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【跟踪专练2】若，求的平方根是___________． 【跟踪专练3】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 题型10.由一个数的平方根求这个数 【典例】若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【跟踪专练1】一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【跟踪专练2】在数轴上，点和点表示的数是一个正数的两个平方根，已知表示，表示，则的值为_________． 【跟踪专练3】已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 题型11.利用平方根解方程 【典例】已知，则______． 【跟踪专练1】一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【跟踪专练2】若，，则（   ） A． B． C． D．或 【跟踪专练3】如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 题型12.平方根的应用 【典例】一个正数的平方根是与，则这个正数是_________． 【跟踪专练1】已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【跟踪专练2】若2026的两个不同的平方根是m和n，则的值为___． 【跟踪专练3】按照国际标准，A系列纸为长方形．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……，将一张纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系列纸的长与宽的关系为（） A．长是宽的2倍 B．长是宽的倍 C．宽是长的倍 D．宽是长的倍 题型13.立方根概念理解 【典例】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】0的立方根是________，立方根等于它本身的数是________． 【跟踪专练2】对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 题型14.求一个数的立方根 【典例】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若实数的平方根是，则________． 【跟踪专练3】我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步 确定的位数 因为，，，所以是2位数； 第2步 确定个位数字 因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9； 第3步 确定十位数字 划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3； 综合以上可得． 已知185193是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是______． 题型15.由一个数的立方根求这个数 【典例】若一个数的立方根是，则这个数是__________． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A．0或1 B．0或2或8 C．0或6 D．0或2或6 【跟踪专练2】已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【跟踪专练3】若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 题型16.与立方根有关的规律题 【典例】已知，则的值为________． 【跟踪专练1】若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【跟踪专练2】已知，，依据立方根运算规律得：______． 【跟踪专练3】求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 题型17.立方根的实际应用 【典例】四个棱长相等的正方体的体积之和是，则每个正方体的棱长是______． 【跟踪专练1】若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 【跟踪专练2】某快递自取柜格口尺寸为，现有一个体积为的正方体纸箱，____将该纸箱完整地放入其中（填“能”或“不能”）． 【跟踪专练3】小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型18.立方根的实际应用 【典例】已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 【跟踪专练1】一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【跟踪专练2】一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 解答题 1．计算： 2．求的值： (1)； (2)． 3．已知的算术平方根是5，的立方根是2，求的平方根． 4．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的立方根． 5．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 6．为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 7．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 8．若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 9．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 10．某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对，其中．计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”． 例如：数对的“变换数对”为和． (1)下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________； A． B． C． D． (2)若输入数对，则输出的“变换数对”结果为________； (3)社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01平方根与立方根暑假预习讲义 ·理解平方根、算术平方根、立方根的定义，能区分三者概念，熟记相关符号书写规范。 ·掌握平方根、立方根的性质，明确正数、0、负数分别有几个平方根与立方根，分清正负取值差异。 ·会求非负数的平方根、算术平方根，能准确求出任意实数的立方根，规范书写解题步骤。 ·熟练区分、-、的含义，避免符号混淆出错。 ·掌握双重非负性：算术平方根被开方数a0、结果0，会利用非负性求值。 ·能估算平方根、立方根的取值范围，会比较含根号实数的大小。 ·理清开平方、开立方与平方、立方互为逆运算，会利用互逆关系检验计算结果。 ·规避漏写正负平方根、负数开平方、取值符号混淆等典型易错点，培养严谨计算习惯。 预习必备 知识梳理 1.平方根与算术平方根 2.开平方运算 3.立方根 4.立方根.算术平方根与立方根区别 5.开平方与开立方的区别 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.求一个数的算术平方根 2..由算术平方根的非负性解题 3.估计算术平方根的取值范围 4.求算术平方根的整数与小数部分 5.与算术平方根有关的规律题 6.算术平方根的实际应用 7.平方根概念理解 8.求一个数的平方根 9.求代数式的平方根 10.由一个数的平方根求这个数 11.利用平方根解方程 12.平方根的应用 13.立方根概念理解 14.求一个数的立方根 15.由一个数的立方根求这个数 16.与立方根有关的规律题 17.立方根的实际应用 18.立方根的实际应用 强化题型 解答题10题 知识点01：平方根与算术平方根 （一）平方根定义 若x2=a，则x叫做a的平方根，记作。 （二）算术平方根（重点） 1.定义：一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；0的算术平方根是0。 2.符号写法：记作，只代表非负根，不带正负号。 3.取值范围：只有a0时，才有意义。 4.双重非负性（本节重中之重，大题必考） 1 被开方数非负：a0； 2 算术平方根结果非负：0； 3 拓展：若|m|+n2+=0，则m=0、n=0、p=0，三类非负数和为 0，各项均为 0。 5.核心公式 ： - （三）平方根三条性质 正数有 2 个平方根，互为相反数； 0的平方根、算术平方根都是0； 负数没有平方根、没有算术平方根。 （四）三个符号区分（易混考点） ：a全部平方根（一正一负）； ：a的算术平方根（仅非负根）； ：a的负平方根。 （五）平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 知识点03：立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点04.平方根、算术平方根、立方根对比表 对比项目 平方根 算术平方根 立方根 被开方数 a0 a0 全体实数 根的个数 正数 2 个，0 一个，负数无 仅 1 个（非负） 恒有 1 个 符号特征 一正一负 只有非负数 与被开方数同号 特殊值 ±=0 =0 =0、= 知识点05：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点06：高频易错点 1.求正数平方根只写算术平方根，漏掉负根-； 2.混淆平方根与算术平方根，审题看错、±； 3.忽略要求a0，判定有意义； 4.化简直接写成a，忘记加绝对值； 5.双重非负性题型，漏写被开方数≥0 条件； 6.立方根负号处理错误，不会使用=-； 7.估算根式大小逻辑颠倒。 题型1.求一个数的算术平方根 【典例】的值等于________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负数的非负平方根， ∴ ，A错误； ∵ ， ∴ ，B错误； ∵ ，符合算术平方根的计算规则， ∴ C正确； ∵ ， ∴ ，D错误． 【跟踪专练2】已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 【跟踪专练3】下列各式中，正确的个数是（     ） ①；②；③；④的算术平方根是． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据算术平方根及立方根的定义逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①错误， ∵， ∴，故②错误， ，故③错误， 的算术平方根是，故④正确， 综上所述：正确的个数为1个． 题型2.由算术平方根的非负性解题 【典例】已知，则________． 【答案】 【分析】几个非负数的和为时，每个非负数均为，据此分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ∴，， ∴． 【跟踪专练1】若，则等于（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质与立方根的计算，利用“几个非负数的和为时，每个非负数都为”求出，的值，再代入计算立方根即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 计算得， ∴． 【跟踪专练2】若实数a，b满足，则_____． 【答案】/0.5 【详解】解：由可变形为， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，则， 代入，得， ． 题型3.估计算术平方根的取值范围 【典例】请写出比大且比小的所有整数：_______． 【答案】和 【分析】先估算和的取值范围，再找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：因为 ，所以 ，即 .； 又因为 ，所以 ，即 ； 因此可得 ， 所以比大且比小的所有整数为，． 【跟踪专练1】已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出与8相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 【跟踪专练2】若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【答案】5 【分析】先根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号化简方程组，求解得到的值，再估算无理数的大小得到整数，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：由 得 ， 根据绝对值的非负性得，即； 当时，， 代入 得 ， 整理得， 由得 ， 解得 ， 因此，代入 得， 将代入得：， 解得， 将代入得， ∵，∴， ∵ ，为整数， ∴， ∴ ． 【跟踪专练3】如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】估算出的范围，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故这个比值最接近的整数是4. 题型4.求算术平方根的整数与小数部分 【典例】的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 【跟踪专练1】学习了开方运算，小明对进行了研究，想知道的小数部分为______． 【答案】/ 【分析】该题考查了算术平方根小数部分的确定，估算的整数部分，由于，，且，因此的整数部分为3，小数部分为减去整数部分3． 【详解】解：∵，，且， ∴， 因此的整数部分为3， 小数部分为． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值，找出离19最近的两个平方数，求出的取值范围，进而求出a，b，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 题型5.与算术平方根有关的规律题 【典例】若，，则____． 【答案】 【详解】解：， 由题干可知， ∴． 【跟踪专练1】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知每个代数式都含，系数是从1开始的连续奇数，据此推导第个代数式即可． 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 【跟踪专练2】利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【答案】 【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ，且是的小数点向左移动两位得到的， ． 【跟踪专练3】已知，，，…，设（为正整数），则值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 题型6.算术平方根的实际应用 【典例】在面积为的正方形正中间挖掉一个面积为的小正方形，则剩余的边框的宽度是______． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式求出大正方形与小正方形的边长，即可得剩余的边框的宽度． 【详解】解：∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴剩余的边框的宽度是． 【跟踪专练1】如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】根据正方形的面积可得，，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4， ∴，， ∴ ． 【跟踪专练2】将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7的正方形，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】由正方形的面积可求出大小两个正方形的边长，再由折叠的性质可得阴影图形的长和宽，从而可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【跟踪专练3】把长为5，宽为1的长方形按如图所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据图形剪拼前后面积不变的性质，求出原长方形的面积，即为大正方形的面积，利用算术平方根的定义求出边长即可． 【详解】解：∵原长方形的长为，宽为， ∴原长方形的面积为， ∵剪拼前后图形的面积不变， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 题型7.平方根概念理解 【典例】的平方根是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的基本定义，解题需区分平方根和算术平方根，明确正数的平方根有两个，且互为相反数． 【详解】根据平方根的定义：若，则是的平方根， ∵ ， ∴ 的平方根是． 【跟踪专练1】已知是9的平方根，则的值是__________． 【答案】1或 【分析】根据平方根的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：的平方根是，是的平方根， 或， 解得：或． 【跟踪专练2】若一个正数的两个不同的平方根为和，则为_____． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键；由平方根的性质可求出的值； 【详解】解：由题意可知：， ， ， 故答案为：． 题型8.求一个数的平方根 【典例】81的平方根是________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 【跟踪专练1】下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，根据定义计算各选项即可判断正误； 【详解】解：表示9的算术平方根，结果为非负数，， A错误.； 表示9的平方根，，B错误； ，，，C正确； ，D错误； 【跟踪专练2】如果的两个平方根是，，那么_______． 【答案】 【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可知，，再利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】解：、是的两个平方根， 、互为相反数，即，， ． 【跟踪专练3】若是81的平方根，是64的立方根，则的值是（   ） A．13 B．－13 C．13或 D．13或 【答案】C 【分析】先根据平方根的定义求出m，根据立方根的定义求出n，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：∵是81的平方根，是64的立方根， ，， 当，时，； 当，时，． 综上所述，的值为3或． 题型9.求代数式的平方根 【典例】若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 【跟踪专练2】若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 【跟踪专练3】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 题型10.由一个数的平方根求这个数 【典例】若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，根据这一性质列方程求解即可. 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 合并同类项得， 解得. 【跟踪专练1】一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用正数的平方根的性质求解，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出参数的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 整理得 解得， 将代入，得， ∴这个正数为． 【跟踪专练2】在数轴上，点和点表示的数是一个正数的两个平方根，已知表示，表示，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：正数的两个平方根分别对应数轴上点和点表示的数和， ， 解得：． 【跟踪专练3】已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 题型11.利用平方根解方程 【典例】已知，则______． 【答案】 【详解】， ， ， 根据平方根的定义可得． 【跟踪专练1】一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】根据平方数的非负性，判断方程左边的平方数与右边常数的大小关系，进而确定方程根的情况．本题主要考查了平方数的非负性以及一元二次方程根的判别，熟练掌握平方数的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵ ，对于任意实数，，而方程右边是， ∴ 该一元二次方程没有实数根． 故选： ． 【跟踪专练2】若，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根、立方根定义，求出，，再分类计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 当，时，， 当，时，， 则或． 故选：D． 【跟踪专练3】如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 题型12.平方根的应用 【典例】一个正数的平方根是与，则这个正数是_________． 【答案】49 【分析】根据平方根的定义求出a的值，进而求出这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 【跟踪专练1】已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，设正方体的棱长为x，然后依据表面积为12列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有， 解得． 故选：B． 【跟踪专练2】若2026的两个不同的平方根是m和n，则的值为___． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，可得到的值，再结合平方根的定义求出的值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：正数的两个不同的平方根互为相反数，2026的两个不同的平方根是m和n， ，，且， ， 则． 【跟踪专练3】按照国际标准，A系列纸为长方形．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……，将一张纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系列纸的长与宽的关系为（） A．长是宽的2倍 B．长是宽的倍 C．宽是长的倍 D．宽是长的倍 【答案】B 【详解】解：用两张纸，都按照左侧方式，将纸张线沿虚线剪开, 将四块等腰直角三角形形状的纸张，以三角形的斜边为边，以直角边为对角线，按照右侧图形进行拼装，比较两个图形正方形部分的面积，可以得到边长的平方比． 由题意，已知， ， ， 即，A系列纸的长是宽的倍． 故选：B． 题型13.立方根概念理解 【典例】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义：若，则是的立方根，计算出结果即可选出正确选项． 【详解】解：∵ ， ∴ 的立方根是． 【跟踪专练1】0的立方根是________，立方根等于它本身的数是________． 【答案】 0 ，0 【分析】本题考查了立方根的知识，掌握立方根的概念是解题关键． 本题根据立方根的概念，进行作答，即可求解． 【详解】解：0的立方根是0，立方根等于它本身的数是0，； 故答案为：0；，0 【跟踪专练2】对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 题型14.求一个数的立方根 【典例】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义找到立方等于64的数，即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴ 64的立方根是4. 【跟踪专练1】若实数的平方根是，则________． 【答案】4 【分析】根据平方根的定义求出的值，再根据立方根的定义计算得到结果． 【详解】解：∵实数的平方根是， ， ． 【跟踪专练3】我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步 确定的位数 因为，，，所以是2位数； 第2步 确定个位数字 因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9； 第3步 确定十位数字 划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3； 综合以上可得． 已知185193是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是______． 【答案】 【分析】本题按照题干给出的方法，分三步依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字，即可得到结果. 【详解】解：第1步，确定的位数， ，，， 所以是两位数； 第2步，确定的个位数字， 因为185193的个位上的数是3，，所以的个位上的数是7 ； 第3步，确定的十位数字， 划去185193后面的三位193得到数185，，， 而， 由此确定的十位上的数是5， 因此可得． 题型15.由一个数的立方根求这个数 【典例】若一个数的立方根是，则这个数是__________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，若一个数的立方根是，则这个数是的立方． 【详解】解：， 的立方根是， 这个数是． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A．0或1 B．0或2或8 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【分析】根据立方根等于本身的数有0，，可得到x的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴或或， 解得：或1或2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为0或2或6． 【跟踪专练2】已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 【跟踪专练3】若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 题型16.与立方根有关的规律题 【典例】已知，则的值为________． 【答案】34.56 【详解】解：， ． 【跟踪专练1】若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 【跟踪专练2】已知，，依据立方根运算规律得：______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 题型17.立方根的实际应用 【典例】四个棱长相等的正方体的体积之和是，则每个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】先根据四个正方体体积之和求出单个正方体的体积，再结合正方体体积公式计算得到棱长． 【详解】解：设每个正方体的棱长为， 根据题意列方程得： 系数化为得： 对等式两边开立方得： 棱长为正数，符合实际意义， 故每个正方体的棱长是． 【跟踪专练1】若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 【答案】A 【分析】根据正方体体积等于棱长的立方，结合体积的变化即可求出棱长的变化倍数． 【详解】解：设原正方体的棱长为，则原正方体体积为， 设棱长变为原来的倍，则现棱长为，现体积为， 由题意得，即， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即棱长变为原来的倍． 【跟踪专练2】某快递自取柜格口尺寸为，现有一个体积为的正方体纸箱，____将该纸箱完整地放入其中（填“能”或“不能”）． 【答案】 不能 【分析】根据正方体体积公式求出正方体的棱长，统一单位后比较棱长和格口最短边的大小，即可得出结论． 【详解】解：设正方体纸箱的棱长为， 根据题意得， 解得：， 换算单位得， 该自取柜格口的最短边长为， ， ∴不能将该纸箱完整地放入其中． 【跟踪专练3】小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 题型18.立方根的实际应用 【典例】已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 【答案】C 【分析】根据平方根，立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入求解，再计算出其算术平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴把x的值代入解得： ， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案选：C． 【点睛】此题考查了平方根，立方根的概念，解题关键是根据定义判断出一个非负数的算术平方根，借助乘方运算来寻找答案． 【跟踪专练1】一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 【跟踪专练2】一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 解答题 1．计算： 【答案】 【详解】解：原式 2．求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 3．已知的算术平方根是5，的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得． 的立方根是2， ， ， 解得， ． 的平方根为， 的平方根为． 4．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的取值范围，即可求解； （2）求出的取值范围，进而得出a，b的值，代入计算出的值，最后再求立方根即可． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分为8，的小数部分为． （2）解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， ． 5．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 6．为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中 【分析】设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：∵长方形封皮的长与宽的比为， 设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程，即，，， ， ，，， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 7．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【答案】(1)2，2，22 (2)26 【分析】（1）根据立方数的个位数字规律和数的大小范围来逐步推导． （2）根据题意，先计算出缩小后模型的体素总数，然后利用（1）中学习的方法求其立方根，即可得到缩小后正方体模型的边长． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是2； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是2； ． （2）解：缩小后模型的体素总数为， 设缩小后正方体模型的边长为， 所以， 因为， 所以是一个两位数， 因为，个位数字是， 所以的个位数字一定是， 划去后面的三位得， 因为， 所以的十位数字一定是， 所以． 答：缩小后该正方体模型的边长为． 8．若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【答案】(1)，或（答案不唯一） (2)，（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义是解题的关键． （1）根据，都是整数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可； （2）根据，都是分数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可． 【详解】（1）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 当时，则， ，则， 则符合题意， 故，或（答案不唯一） （2）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 故，（答案不唯一） 9．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 【答案】(1)两；9；3；39 (2)110592的立方根为48，说明见解析 【分析】（1）根据立方根的定义补全过程即可； （2）仿照题干思路作答即可． 【详解】（1）解：因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个两位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是9； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是3．所以． （2）解：因为是一个立方数，即某个整数的立方， 由， 所以， 即能确定是一个两位数； 又∵的个位上的数是 ∴能确定的个位上的数是8； 划去后面的三位592得到数110，即将被开方数小数点向左移三位， ∵， ∴， 由此能确定的十位上的数是4． 所以． 10．某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对，其中．计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”． 例如：数对的“变换数对”为和． (1)下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________； A． B． C． D． (2)若输入数对，则输出的“变换数对”结果为________； (3)社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值． 【答案】(1)B (2) 和 (3) 【分析】（1）根据的取值范围判断选项即可； （2）按定义计算出和，即可写出变换数对； （3）分两种情况讨论输出数对的对应关系，排除不符合定义的情况，逆推计算得到和的值． 【详解】（1）解：由定义得，对任意输入数对，，因此， 任意输出的变换数对为或，因此任意变换数对中必有一个数不大于0， 选项A、，，可能； 选项B、，两个数都大于0，不可能； 选项C、，可能； 选项D、，两个数都不大于0，可能； （2）解：输入数对，则， ∴，， ∴输出的变换数对为和； （3）解：已知其中一个输出结果是， 分两种情况讨论： 若，则与矛盾，此情况舍去； 若， 由，得， 由，得，两边平方得，满足， 因此． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $