专题05相似与位似多边形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

专题05相似与位似多边形暑假预习讲义 1.掌握相似多边形定义，能准确说出两个多边形相似需要同时满足的两个条件：对应角相等、对应边成比例，会依据定义判断多边形是否相似，区分相似多边形与仅角等 / 仅边成比例的图形。 2.熟记相似多边形核心性质：对应角相等，对应边的比值等于相似比；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，能利用性质完成边长、周长、面积相关计算。 3.理解相似多边形与相似三角形的联系，知道相似三角形是相似多边形的特殊形式，会把四边形分割成三角形，借助三角形证明多边形相似。 4.认识位似图形、位似中心、位似比的概念，分清位似图形属于特殊的相似图形，掌握位似图形两大核心特征：对应顶点连线交于同一点（位似中心）、对应边互相平行或共线。 5.能区分位似与普通相似，会判断两个相似图形是否为位似图形，能准确找出图形的位似中心，分清位似中心在图形内部、外部、边上三种不同情况。 6.掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律，能根据位似比写出放大 / 缩小后对应点坐标，也能由坐标反求位似比。 7.学会利用位似作图：给定原图、位似中心、位似比，规范作出放大或缩小后的位似多边形，掌握作图完整步骤。 8.能结合相似多边形、位似的知识解决图形缩放实际题型，理清相似比、周长比、面积比之间的换算关系，规避面积忘平方、坐标符号出错、位似中心找错等易错点。 9.体会类比、数形结合、从特殊到一般的数学思想，搭建 “相似三角形 — 相似多边形 — 位似图形” 完整知识体系，提升识图、作图和几何计算能力。 预习必备 知识梳理 1.相似多边形定义 2.相似比 3.相似多边形性质 4.常见特殊多边形相似判断 5.位似图形相关概念 6.位似图形的性质 7.位似图形判定方法 8.位似图形作图步骤 9.平面直角坐标系中位似 10.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.相似多边形 2.相似多边形的性质 3.位似图形相关概念辨析 4.位似图形的识别 5.判断位似中心 6.求两个位似图形的相似比 7.已知图形缩放n倍的位似图形 8.求位似图形的对应坐标 9.坐标系位似图形比值计算 10.在坐标系中画位似图形 11.在坐标系中画位似中心 12.坐标与图形综合 强化题型 解答题8题 知识点01：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 1 对应角全部相等； 2 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别：若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点04：常见特殊多边形相似判断（高频考点） 1.正方形：任意两个正方形一定相似。 理由：四个角都是 90°（对应角相等），边长比值恒定（对应边成比例）。 2.矩形：两个矩形不一定相似。 反例：长 2 宽 1、长 3 宽 1 的矩形，角都相等，但边长比不相等。 3.菱形：两个菱形不一定相似。 理由：四边一定成比例，但内角不一定全部对应相等。 4.正n边形：所有边数相同的正多边形一定相似。 知识点05：位似图形相关基础概念 1.位似图形定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），这样的两个图形叫做位似图形，这个公共交点叫做位似中心。 2.核心关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，位似是特殊的相似。 3.位似比：位似图形的相似比也叫位似比。 4. 位似中心的 4 种位置分类 位似中心在两个图形外部； 位似中心在两个图形内部； 位似中心在图形的一条边上； 位似中心在图形的某个顶点上。 知识点06:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点07:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点08:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O.，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点09：平面直角坐标系中的位似（高频考点） 位似中心为坐标原点的坐标变化规律 设原图形任意一点坐标为(x,y)，以原点为位似中心，位似比为k： 位似中心 位似比 k 同向位似对应点坐标 反向位似对应点坐标 原点 O(0,0) k>0 (kx,ky) (−kx,−ky) 任意点 P(a,b) k>0 (a+k(x−a),b+k(y−b)) (a−k(x−a),b−k(y−b)) 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 知识点10：高频易错汇总 1.判定多边形相似需同时满足：对应角相等、对应边成比例，缺一不可，长方形、菱形不能直接判定相似。 2.相似 / 位似比有顺序，前后图形颠倒，比值互为倒数，审题看清原图与缩放图。 3.周长比 = 相似（位似）比，面积比 = 相似（位似）的平方，计算面积易漏平方。 4.书写相似图形，顶点必须对应，否则找错边角。 5.位似一定相似，相似不一定位似；位似要求对应顶点连线交于一点、对应边平行。 6.原点位似坐标分正负，异侧缩放坐标符号改变，容易遗漏负号。 7.位似作图要延长顶点连线，按比例截取，比例取值错误会导致图形变形。 8.分不清位似比缩放规则：|k|>1放大，0<|k|<1缩小。 题型1.相似多边形 【典例】各角分别相等，各边_________的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做____________． 【跟踪专练1】下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【跟踪专练2】一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________． 【跟踪专练3】如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 题型2.相似多边形的性质 【典例】平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【跟踪专练1】如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【跟踪专练3】如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型3.位似图形相关概念辨析 【典例】如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【跟踪专练1】如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”通过度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线交点O为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆中劣弧的长为______． 【跟踪专练3】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 题型4.位似图形的识别 【典例】如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【跟踪专练1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 题型5.判断位似中心 【典例】如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________. 【跟踪专练1】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练2】如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型6.求两个位似图形的相似比 【典例】如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【跟踪专练1】如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则与的数量关系为________． 【跟踪专练3】如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 题型7.已知图形缩放n倍的位似图形 【典例】已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______． 【跟踪专练3】如图所示，是位似图形的几种画法，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型8.求位似图形的对应坐标 【典例】是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，且相似比为，点在的边上，则点在上的对应点的坐标为________． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为_____________________． 【跟踪专练3】如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型9.坐标系位似图形比值计算 【典例】如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，将放大后得到．若，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【跟踪专练3】如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 题型10.在坐标系中画位似图形 【典例】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ______．    【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 题型11.在坐标系中画位似中心 【典例】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（   ） A．点A B．点N C．点O D．点P 【跟踪专练1】与为位似图形其位似中心为P，则的坐标为___________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型12.坐标与图形综合 【典例】已知点，，若直线轴，则的值为______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在轴上，若，则点的坐标为________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，，，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．（1）证明四条边及一条对角线对应成比例的两个四边形是相似的四边形． （2）如果四边形的对角线与交于O，称为该四边形的截断对角线．证明四条截断对角线对应成比例且两条对角线夹角对应相等的两个四边形相似． 2．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 3．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 4．如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为． (1)写出一条有关相似三角形的性质______． (2)求的面积． 5．如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 7．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 8．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05相似与位似多边形暑假预习讲义 1.掌握相似多边形定义，能准确说出两个多边形相似需要同时满足的两个条件：对应角相等、对应边成比例，会依据定义判断多边形是否相似，区分相似多边形与仅角等 / 仅边成比例的图形。 2.熟记相似多边形核心性质：对应角相等，对应边的比值等于相似比；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，能利用性质完成边长、周长、面积相关计算。 3.理解相似多边形与相似三角形的联系，知道相似三角形是相似多边形的特殊形式，会把四边形分割成三角形，借助三角形证明多边形相似。 4.认识位似图形、位似中心、位似比的概念，分清位似图形属于特殊的相似图形，掌握位似图形两大核心特征：对应顶点连线交于同一点（位似中心）、对应边互相平行或共线。 5.能区分位似与普通相似，会判断两个相似图形是否为位似图形，能准确找出图形的位似中心，分清位似中心在图形内部、外部、边上三种不同情况。 6.掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律，能根据位似比写出放大 / 缩小后对应点坐标，也能由坐标反求位似比。 7.学会利用位似作图：给定原图、位似中心、位似比，规范作出放大或缩小后的位似多边形，掌握作图完整步骤。 8.能结合相似多边形、位似的知识解决图形缩放实际题型，理清相似比、周长比、面积比之间的换算关系，规避面积忘平方、坐标符号出错、位似中心找错等易错点。 9.体会类比、数形结合、从特殊到一般的数学思想，搭建 “相似三角形 — 相似多边形 — 位似图形” 完整知识体系，提升识图、作图和几何计算能力。 预习必备 知识梳理 1.相似多边形定义 2.相似比 3.相似多边形性质 4.常见特殊多边形相似判断 5.位似图形相关概念 6.位似图形的性质 7.位似图形判定方法 8.位似图形作图步骤 9.平面直角坐标系中位似 10.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.相似多边形 2.相似多边形的性质 3.位似图形相关概念辨析 4.位似图形的识别 5.判断位似中心 6.求两个位似图形的相似比 7.已知图形缩放n倍的位似图形 8.求位似图形的对应坐标 9.坐标系位似图形比值计算 10.在坐标系中画位似图形 11.在坐标系中画位似中心 12.坐标与图形综合 强化题型 解答题8题 知识点01：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 1 对应角全部相等； 2 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别：若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点04：常见特殊多边形相似判断（高频考点） 1.正方形：任意两个正方形一定相似。 理由：四个角都是 90°（对应角相等），边长比值恒定（对应边成比例）。 2.矩形：两个矩形不一定相似。 反例：长 2 宽 1、长 3 宽 1 的矩形，角都相等，但边长比不相等。 3.菱形：两个菱形不一定相似。 理由：四边一定成比例，但内角不一定全部对应相等。 4.正n边形：所有边数相同的正多边形一定相似。 知识点05：位似图形相关基础概念 1.位似图形定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），这样的两个图形叫做位似图形，这个公共交点叫做位似中心。 2.核心关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，位似是特殊的相似。 3.位似比：位似图形的相似比也叫位似比。 4. 位似中心的 4 种位置分类 位似中心在两个图形外部； 位似中心在两个图形内部； 位似中心在图形的一条边上； 位似中心在图形的某个顶点上。 知识点06:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点07:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点08:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O.，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点09：平面直角坐标系中的位似（高频考点） 位似中心为坐标原点的坐标变化规律 设原图形任意一点坐标为(x,y)，以原点为位似中心，位似比为k： 位似中心 位似比 k 同向位似对应点坐标 反向位似对应点坐标 原点 O(0,0) k>0 (kx,ky) (−kx,−ky) 任意点 P(a,b) k>0 (a+k(x−a),b+k(y−b)) (a−k(x−a),b−k(y−b)) 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 知识点10：高频易错汇总 1.判定多边形相似需同时满足：对应角相等、对应边成比例，缺一不可，长方形、菱形不能直接判定相似。 2.相似 / 位似比有顺序，前后图形颠倒，比值互为倒数，审题看清原图与缩放图。 3.周长比 = 相似（位似）比，面积比 = 相似（位似）的平方，计算面积易漏平方。 4.书写相似图形，顶点必须对应，否则找错边角。 5.位似一定相似，相似不一定位似；位似要求对应顶点连线交于一点、对应边平行。 6.原点位似坐标分正负，异侧缩放坐标符号改变，容易遗漏负号。 7.位似作图要延长顶点连线，按比例截取，比例取值错误会导致图形变形。 8.分不清位似比缩放规则：|k|>1放大，0<|k|<1缩小。 题型1.相似多边形 【典例】各角分别相等，各边_________的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做____________． 【答案】 对应成比例 相似比 【解析】略 【跟踪专练1】下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】对应角相等，对应边成比例的两个图形是相似图形，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A ：两个矩形对应角都为直角相等，但对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项B ：两个菱形对应边一定成比例，但对应角不一定相等，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项C ：两个三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项D ：两个正方形的所有内角都是，对应角相等，且所有对应边的比值相等，即对应边成比例，因此一定是相似图形，符合要求． 【跟踪专练2】一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________． 【答案】6 【分析】设另一个与它相似的六边形的最短边为，再根据其周长的比等于相似比进行解答即可． 【详解】设另一个与它相似的六边形的最短边为， 由题意，得：， 整理得：， 解得：， 故答案为： 6． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比． 【跟踪专练3】如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 题型2.相似多边形的性质 【典例】平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. 【跟踪专练1】如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 【跟踪专练2】为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 【跟踪专练3】如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据全等矩形的性质，得出小矩形的长和宽，从而求出的值． 【详解】解：已知矩形划分成四个全等的矩形， 矩形的宽为，长为， 小矩形的宽为，长为， 矩形与四个小矩形相似， ， ， ，， ． 题型3.位似图形相关概念辨析 【典例】如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【答案】 【分析】本题考查求位似图形的位似比，根据位似图形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为； 故答案为： 【跟踪专练1】如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念，得到四边形四边形，，，进一步得出，，进一步得，，再根据，即可得出答案． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，，， ，， ，． ， ， ． 【跟踪专练2】《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”通过度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线交点O为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆中劣弧的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，弧长公式、正方形的性质，连接、，根据正方形的性质求出，进而求出，根据位似图形的性质求出，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵正方形的面积为18， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是位似图形， ∴正方形和正方形相似， ∴， ∴， 则的长为：， 故答案为：π． 【跟踪专练3】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 题型4.位似图形的识别 【典例】如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【跟踪专练1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似变换的概念判断即可． 【详解】解：∵由网格知，， ∴与是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行， ∴与是位似图形， 故选：C． 题型5.判断位似中心 【典例】如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________. 【答案】或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 【跟踪专练1】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 题型6.求两个位似图形的相似比 【典例】如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【答案】 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为． 【跟踪专练1】如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则与的数量关系为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，即可解答． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形，为位似中心； ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 题型7.已知图形缩放n倍的位似图形 【典例】已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答． 【详解】解：∵点的坐标为，以原点为位似中心将缩小，位似比为2：1， ∴点的对应点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 【答案】C 【分析】本题考查了位似，位似比，根据位似中心位似比，结合勾股定理确定即可． 【详解】∵以A为位似中心，把放大到原来的2倍，且， ， ∴， 故， 故选C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的性质求出，通过相似比即可得A的坐标. 【详解】解：若四边形是边长为6的菱形，. ∵是等边三角形 ∴ 则 ∵，且相似比为3：1 ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质、位似图形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【跟踪专练3】如图所示，是位似图形的几种画法，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用位似图形的画法：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形中，都是的位似图形． 题型8.求位似图形的对应坐标 【典例】是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 【答案】或/或 【分析】利用位似变换的坐标性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，位似中心为原点，点是点在位似变换后的对应点，位似比为， 已知点坐标为，根据以原点为位似中心的位似变换的坐标规律， 有，， 或者，， ∴点的坐标为或． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，且相似比为，点在的边上，则点在上的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】与 位似，且位于点同侧，根据位似图形的性质，点的横纵坐标分别乘，即可得点的坐标． 【详解】解：与位似，点为位似中心，且相似比为，点， 点． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为_____________________． 【答案】或 【分析】如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，据此讨论求解即可． 【详解】解：∵与位似，原点为位似中心，且相似比为，， ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为或横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 【跟踪专练3】如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 题型9.坐标系位似图形比值计算 【典例】如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，将放大后得到．若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：依题意， ∴， ∵， ∴ 【跟踪专练1】如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，可知：， ∴， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【答案】16 【分析】根据位似图形的性质得到，再证明即可． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 【跟踪专练3】如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 题型10.在坐标系中画位似图形 【典例】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ______．    【答案】（-2,0）或（2,0） 【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角坐标系描点连接即可． 【详解】解：由位似比为求得：A(−2，4)，B(−4，0)对应点坐标分别为A′(−1，2)，B′(−2，0)， 或者A′′(1，−2)，B′′(2，0)， O点是位似中心，所以位置不变， 所以，下图△A′B′O或△A′′B′′O都为满足题意的位似图形, ∴此时点B关于对称中心的对应点的坐标为（-2,0）或（2,0）.    【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应点的坐标． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可（注意有两种情形）．解题的关键是掌握位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图所示： 或即为所求， 的坐标为或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 题型11.在坐标系中画位似中心 【典例】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（   ） A．点A B．点N C．点O D．点P 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，交于点P，根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接，交于点P， 则点P为位似中心． 故选：D． 【跟踪专练1】与为位似图形其位似中心为P，则的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．根据位似中心的定义作出位似中心，即可解答． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， 则点P为位似中心，点P的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，求一次函数解析式，根据点B和点E的坐标可得直线即为直线，利用待定系数法求出直线解析式，再根据位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴直线即为直线， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心， ∴点H即为直线和直线的交点， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为：， 故选：D． 题型12.坐标与图形综合 【典例】已知点，，若直线轴，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记“平行于轴的直线上的点的纵坐标相等”是解题的关键．由于直线轴，因此点和点的纵坐标相等，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：直线轴， ， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作轴于点，作轴于点，由正方形的性质，可得，，证明，可得，，即可得点的坐标． 【详解】解：作轴于点，作轴于点，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在轴上，若，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点，，的坐标求出的长及点到轴的距离，利用三角形面积公式求出，设点的坐标为，表示出的长，根据题意列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】，，， ，， ， 设点的坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点到轴的距离为， ， ， ， 解得：或， 或， 点的坐标为或． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，，，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构建直角三角形，利用相似三角形的判定和性质求出，，结合点在坐标系中的位置，即可求解． 【详解】解：过点作轴，交于点，如图： 根据题意可得，， 在中，， ∵， ∴， 故， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， 则， ∵点在第二象限， 故点的坐标是． 解答题 1．（1）证明四条边及一条对角线对应成比例的两个四边形是相似的四边形． （2）如果四边形的对角线与交于O，称为该四边形的截断对角线．证明四条截断对角线对应成比例且两条对角线夹角对应相等的两个四边形相似． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，相似三角形的性质与判定，熟知相似的相关知识是解题的关键． （1）可证明，推出两个四边形的四个对应角相等，进而可证明结论； （2）证明，可推出，，，同理可得，，据此可证明结论． 【详解】证明：（1）已知：如图所示，在四边形和四边形中，， 求证：四边形四边形； ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形四边形， ∴四条边及一条对角线对应成比例的两个四边形是相似的四边形； （2）已知：如图所示，在四边形中，对角线交于点O，在四边形中，对角线交于点T，且，， 求证：四边形四边形； ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 同理可证明， ， ∴， ∴四边形四边形， ∴四条截断对角线对应成比例且两条对角线夹角对应相等的两个四边形相似． 2．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 3．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【答案】(1)解：如图，则即为所求． (2) 【分析】（1）根据，原点O为位似中心，相似比是，确定，画图即可； （2）根据位似的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）根据题意，得点对应的位似点的坐标为． 4．如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为． (1)写出一条有关相似三角形的性质______． (2)求的面积． 【答案】(1)相似三角形的面积比等于相似比的平方 (2) 【分析】根据相似三角形的性质解答； 根据位似图形的定义得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 本题考查的是位似变换，熟记位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方， 故答案为：相似三角形的面积比等于相似比的平方答案不唯一； （2）解：与位似，相似比为， ∴，相似比为， 与的面积比为， 的面积为8， 的面积为2． 5．如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)，， 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，． 6．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且相似比为， ∴． 7．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 【答案】(1)3 (2)如图：即为所求（画出其中一个即可）． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）先利用与的面积比得到相似比，然后利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2或得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：由图可得：． （2）解：， ∴与的相似比为：， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 ∴点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为或， 如图，为所求． 8．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：（1），，三分点， ，， 解得，， ； （2）点，的“三分点”是点， 点的坐标为，． 将代入得， ， 点在直线的右上方． 与直线没有公共点， 在直线的右上方， 则且， 解得， 的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $