第11讲 相似与位似多边形（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新九年级数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

学科网 第11讲 相似与位似多边形（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：相似多边形 知识点02：位似多边形（特殊的相似） 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：判断多边形相似 题型02：相似多边形的性质 题型03：位似图形、位似中心判断 题型04：求位似图形的对应坐标 题型05：位似作图题 题型06：规则图形嵌套相似（矩形、菱形） 题型07：位似与相似三角形模型综合 题型08：相似位似实际应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（7） 【知识点01】相似多边形 1. 定义 边数相同的两个多边形，同时满足对应角相等、对应边成比例，则两个多边形相似。 核心要点（缺一不可）：仅对应角相等或仅对应边成比例，多边形不一定相似。 反例：任意两个矩形（角相等，边不一定成比例）；任意两个菱形（边成比例，角不一定相等）。 2. 相似比 相似多边形对应边的比值为相似比。 性质：若多边形A∽多边形B，相似比为，则多边形B与A的相似比为；全等多边形相似比。 3. 相似多边形核心性质（必考） 设两个相似多边形相似比为： 对应角相等，对应边成比例； 对应对角线的比值、对应中线的比值、周长比值 = ； 面积比值 = （高频易错点）； 相似具有传递性：若A∽B，B∽C，则A∽C。 【知识点02】位似多边形（特殊的相似） 1. 定义 两个多边形相似，且所有对应顶点的连线相交于同一点（位似中心），对应边互相平行或在同一直线上，称两个图形位似。 重要关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2. 位似三要素 位似中心、相似比、对应顶点；位似中心可在图形内部、外部、边上或顶点处。 3. 位似图形性质 对应顶点连线经过位似中心，对应边平行或共线； 任意一组对应点到位似中心的距离之比 = 相似比； 周长比 = 相似比，面积比 = ； 4. 平面直角坐标系位似规律（上海考情重点） 以原点为位似中心，相似比为，原图形点坐标，则对应位似点坐标为： 或 。 取值规律： 图形放大； 图形缩小；正负号代表位似点与原点点在中心同侧/异侧。 补充：非原点位似中心，不可直接乘，需通过横纵距离差计算坐标。 5. 位似作图四步骤 确定位似中心 → 连接中心与图形关键点 → 按相似比截取对应点 → 顺次连线，得到位似图形。 【题型01】判断多边形相似 【典例1】（25-26九年级上·上海静安·期末）下列各选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正五边形 【变式1-1】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）下列两个图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 【变式1-2】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 【变式1-3】（24-25九年级下·上海·开学考试）两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【题型02】相似多边形的性质 【典例2-1】（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为______． 【典例2-3】（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为____． 【变式2-1】（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是______． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海·单元复习）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数． 【题型03】位似图形、位似中心判断 【典例3-1】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-3】如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型04】求位似图形的对应坐标 【典例4-1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【典例4-2】在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【典例4-3】已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 【变式4-1】（2026·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（2026·浙江温州·三模）如图，与是位似图形，，都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是，点F的横坐标为，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标是________． 【题型05】位似作图题 【典例5】如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【变式5-1】网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【变式5-2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，将的各边放大为原来的2倍得到． (1)在图中第一象限内画出符合要求的（不要求写画法）； (2)计算的面积． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【 题型06】规则图形嵌套相似（矩形、菱形） 【典例6-1】如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【变式6-1】如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【变式6-3】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，轴于点C，以点O为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（　　） A． B． C． D． 【题型07】位似与相似三角形模型综合 【典例7】如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【变式7-1】如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【变式7-2】如图，在矩形中，． (1)如图1，矩形的顶点分别在和边上，点在矩形的内部，以点为位似中心，作矩形的位似矩形，且使得矩形的顶点恰好落在对角线上；（不要求写作法） (2)在（1）中，若，求矩形的面积； (3)如图2，在一个矩形空地上，王师傅准备修建一个矩形的花坛，要求点位于对角线上，且点分别在和边上，设的长为，矩形的面积为，求当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【变式7-3】如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标； (3)设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标． 【题型08】相似位似实际应用 【典例8】如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度 【变式8-1】综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 【变式8-2】综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 【变式8-3】 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？ 思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2． 若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是____①____． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的____②____． 结论：____③____（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．____④____ 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 分析：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：____⑤____（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将【阶段一】中的①~④分别补充完整． (2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整． (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 1. 两大核心概念 相似多边形：两角一边（对应角等、对应边成比例），周长比，面积比； 位似多边形：特殊相似，满足顶点共中心、对应边平行，具备相似所有性质。 2. 分层解题思路 基础题：直接套用相似比，求边长、周长、面积、坐标； 中档题：判断相似/位似，结合性质列式计算、规范作图； 压轴题：多边形拆分为三角形，结合经典相似模型+方程思想解题。 3. 核心记忆口诀 相似看边角，位似看交点；周长照比例，面积平方算；原点可缩放，定点差值算。 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 2．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 3．如图，与是位似图形，位似中心为点O．若的面积为m，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 5．（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   6．如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，四边形四边形，则的长为______． 8.如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 9.如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 10.如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，将放大后得到．若，则的长为______． 11．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为_________； 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知四边形与四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点，其中、、，那么______． 13．（2026·上海金山·一模）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 14．如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是_______．（用a的代数式表示）． 15．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，（点、点、点的对应点分别是点、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为_____ 16．（2026·上海黄浦·二模）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 17．定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为________． 三、解答题 18．如图，一个矩形广场的长为60，宽为40，广场内两条纵向小路宽均为2，如果设两条横向小路宽都为x，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 19.如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． (1)请以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出一个，使它与的相似比为；点的对应点的坐标为______； (2)若内部任意一点的坐标为，求出经过（1）的变化后点的对应点的坐标为；（用含，的代数式表示）． 21．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 22.框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 23.春暖花开，正是放风筝的好时候．某数学兴趣小组开展了特色实践活动，设计并制作外形为拋物线型的风筝． 活动主题 设计一个外形为拋物线型的风筝 活动准备 竹条，专业伞布以及其他的制作工具 步骤1 用竹条设计制作一个“十”字形支架，如图1，垂直平分，垂足为，，，． 步骤2 以点为原点，以所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，确定过点、、三点的抛物线的表达式，画出图形，用伞布剪出拋物线型伞面，并用材料对外轮廓进行定型； 步骤3 为使风筝结构更加稳固，同时兼具对称美，用竹条构造三角形结构，连接、，同时构造另一个，使得点、在抛物线上，且与位似，位似比为，位似中心在直线上； 根据以上材料，解决下列问题： (1)求出图2中过、、三点的拋物线的表达式； (2)请求出图2中所有满足条件的点的坐标． 24.已知抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），它的对称轴为直线l，顶点C的坐标是． (1)该抛物线的表达式是 ，点A和点B的坐标分别是 ． (2)与关于直线l上一点P位似，且位似比为2，、、分别是点A、B、C的对应点，且点、也在（1）中的抛物线上，求出满足条件的P点坐标； (3)与关于原点位似，且位似比为2，D、E、F分别是点A、B、C的对应点．若将（1）中的抛物线沿x轴、y轴左右、上下平移后得到抛物线恰好经过点D、E，请你说说如何平移可以满足要求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 第11讲 相似与位似多边形（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：相似多边形 知识点02：位似多边形（特殊的相似） 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：判断多边形相似 题型02：相似多边形的性质 题型03：位似图形、位似中心判断 题型04：求位似图形的对应坐标 题型05：位似作图题 题型06：规则图形嵌套相似（矩形、菱形） 题型07：位似与相似三角形模型综合 题型08：相似位似实际应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（7） 【知识点01】相似多边形 1. 定义 边数相同的两个多边形，同时满足对应角相等、对应边成比例，则两个多边形相似。 核心要点（缺一不可）：仅对应角相等或仅对应边成比例，多边形不一定相似。 反例：任意两个矩形（角相等，边不一定成比例）；任意两个菱形（边成比例，角不一定相等）。 2. 相似比 相似多边形对应边的比值为相似比。 性质：若多边形A∽多边形B，相似比为，则多边形B与A的相似比为；全等多边形相似比。 3. 相似多边形核心性质（必考） 设两个相似多边形相似比为： 对应角相等，对应边成比例； 对应对角线的比值、对应中线的比值、周长比值 = ； 面积比值 = （高频易错点）； 相似具有传递性：若A∽B，B∽C，则A∽C。 【知识点02】位似多边形（特殊的相似） 1. 定义 两个多边形相似，且所有对应顶点的连线相交于同一点（位似中心），对应边互相平行或在同一直线上，称两个图形位似。 重要关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2. 位似三要素 位似中心、相似比、对应顶点；位似中心可在图形内部、外部、边上或顶点处。 3. 位似图形性质 对应顶点连线经过位似中心，对应边平行或共线； 任意一组对应点到位似中心的距离之比 = 相似比； 周长比 = 相似比，面积比 = ； 4. 平面直角坐标系位似规律（上海考情重点） 以原点为位似中心，相似比为，原图形点坐标，则对应位似点坐标为： 或 。 取值规律： 图形放大； 图形缩小；正负号代表位似点与原点点在中心同侧/异侧。 补充：非原点位似中心，不可直接乘，需通过横纵距离差计算坐标。 5. 位似作图四步骤 确定位似中心 → 连接中心与图形关键点 → 按相似比截取对应点 → 顺次连线，得到位似图形。 【题型01】判断多边形相似 【典例1】（25-26九年级上·上海静安·期末）下列各选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正五边形 【答案】D 【详解】解：、两个直角三角形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个矩形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个等腰梯形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个正五边形所有内角均为，对应角相等；所有边成比例，故一定相似，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）下列两个图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 【答案】B 【详解】解：A选项：两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例， 两个矩形不一定相似，故A选项不符合题意； B选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例， 两个等腰直角三角形一定相似，故B选项符合题意； C选项：两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等， 两个菱形不一定相似，故C选项不符合题意； D选项：有一条边长是6厘米的两个等腰三角形，这两个三角形的对应角不一定相等， 这两个三角形不一定相似，故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 【答案】D 【详解】解：A．两个等腰三角形，对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； B．两个矩形，对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，不合题意； C．两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（24-25九年级下·上海·开学考试）两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】C 【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形对应角相等，对应边成比例，因此两个正方形一定相似，故C符合题意； D．两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个等腰梯形不一定相似，故D不符合题意． 故选：C． 【题型02】相似多边形的性质 【典例2-1】（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设原来矩形的长为，宽为， 则对折后的矩形的长为，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 【典例2-2】（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为______． 【答案】 【详解】解：∵E、F分别为中点， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴相似比， 解得， 或（舍去）， ∴相似比为， 故答案为：． 【典例2-3】（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为____． 【答案】 【详解】解：设矩形纸片长为，宽为， ∴折叠后矩形的长为，宽为， 根据题意可得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【变式2-1】（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是______． 【答案】 【详解】解：如图， 是矩形的一条对称轴， 、分别为，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， 矩形与相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海·单元复习）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数． 【答案】，， 【详解】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴，， 又∵， ∴． 【题型03】位似图形、位似中心判断 【典例3-1】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 【典例3-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 【变式3-1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 【变式3-2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【变式3-3】如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：如图， ∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上， 点Q为位似中心． 故选：D． 【题型04】求位似图形的对应坐标 【典例4-1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】和是以点为位似中心的位似图形， ， 和的周长之比为， 和的相似比为， 点的坐标为， 的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 在第四象限， 点的坐标为． 故选． 【典例4-2】在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 【典例4-3】已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】或 【详解】解：当关于原点的位似图形与在原点同侧时，点A的对应点的坐标为，即； 当关于原点的位似图形与在原点异侧时，点A的对应点的坐标为，即； 综上所述，点A的对应点的坐标为或． 【变式4-1】（2026·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】如果所画三角形与关于原点同向位似，则点的对应点的坐标是，即； 如果所画三角形与关于原点反向位似，则点的对应点的坐标是，即； 综上，点的对应点的坐标是或． 【变式4-2】（2026·浙江温州·三模）如图，与是位似图形，，都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是，点F的横坐标为，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵的横坐标为，平行于轴， ∴， ∵与是位似图形， ∴，即相似比等于位似比， ∴点是的中点， ∵轴，轴， ∴，而， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，则， ∴． 【变式4-3】（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标是________． 【答案】 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ， 又正方形的边长为， 即， ， ， 解得， ， 故点坐标是． 【题型05】位似作图题 【典例5】如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【答案】(1)解：如图，则即为所求． （2）根据题意，得点对应的位似点的坐标为． 【变式5-1】网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【详解】（1）解：图形如下：即为所求． （2）解：∵点的坐标为， ∴点， ∵按放大得到， ∴点的对应点的坐标为：；点的对应点的坐标为：． 故答案为：；． 【变式5-2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，将的各边放大为原来的2倍得到． (1)在图中第一象限内画出符合要求的（不要求写画法）； (2)计算的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）的面积为 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得， 点的坐标为． 【题型06】规则图形嵌套相似（矩形、菱形） 【典例6-1】如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，，点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：B 【典例6-2】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】D 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵ ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 故选：D． 【变式6-1】如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴点是对角线的中点， ∵， ∴， ∵以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍， ∴点经过位似变换后，坐标变为， 又点平移后得到， ∴平移的方式为：先向左平移2个单位，再向下平移2个单位， 设菱形内任意一点，则经过操作后，对应点， ∵点与重合， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【变式6-2】如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【变式6-3】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，轴于点C，以点O为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵过点作轴于点，轴于点， ∴四边形是矩形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵以点为位似中心把四边形放大得到四边形，点在反比例函数的图象上， ∴四边形也是矩形，， ∴相似比为， 故选：A ． 【题型07】位似与相似三角形模型综合 【典例7】如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【详解】解：四边形与四边形位似， 四边形四边形，， ， ， ，， ，解得， 即的长是． 【变式7-1】如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ； （2）解：如图，点M就是所求的点； ； （3）解：如图，点D就是所求的点． ． 【变式7-2】如图，在矩形中，． (1)如图1，矩形的顶点分别在和边上，点在矩形的内部，以点为位似中心，作矩形的位似矩形，且使得矩形的顶点恰好落在对角线上；（不要求写作法） (2)在（1）中，若，求矩形的面积； (3)如图2，在一个矩形空地上，王师傅准备修建一个矩形的花坛，要求点位于对角线上，且点分别在和边上，设的长为，矩形的面积为，求当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【答案】(1)解：作矩形的位似矩形如图所示； ； （2）解∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：时，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ ， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【变式7-3】如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标； (3)设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标． 【详解】（1）解：把点代入解析式 得， 故， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 解得； （2）解：令，得， ， ， 由，得， 由， 解得， ， ∴,, ∴, 过点A作交y轴于点D， ∴， 此时与位似且位似中心为点C，符合题意， ∴， ∴， 解得， ∴， 故. （3）解：设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与x轴的交点为Q， 令，则， 解得， 故， ∴， ∴， 过点Q作轴于点Q，设直线与双曲线的交点为点N， 此时，， 故点， 在x轴上截取，交x轴于点P，连接，则， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故点． 【题型08】相似位似实际应用 【典例8】如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度 【详解】解：设纵向木质边框的宽度为， 边框的内外边缘所成的矩形相似， ， 解得， 答：纵向木质边框的宽度为． 【变式8-1】综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 【详解】（1）解：矩形的两边长分别为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得； （2）解：矩形的两边为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式8-2】综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 【答案】（1）①．理由： 由题意得， ∴， ∴， ， ； ②，，，， ． ． 故答案为：． （2）①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为， 点P的坐标为，即， 故答案为：． 【变式8-3】 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？ 思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2． 若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是____①____． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的____②____． 结论：____③____（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．____④____ 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 分析：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：____⑤____（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将【阶段一】中的①~④分别补充完整． (2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整． (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 【答案】(1)①a2；②；③不存在；④等边三角形（答案不唯一，如圆） 【详解】（1）解：①新正方形的边长为，此时新正方形的面积是； ②正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的； ③总结可得：不存在一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． ④除正方形外，上面的结论对等边三角形也成立； ∵等边三角形都是相似图形，新的等边三角形的面积为原来等边三角形的面积的， ∴新的等边三角形与原来等边三角形的相似比为， 而新的等边三角形的周长为原来等边三角形的周长的， ∴此时新的等边三角形原来等边三角形的相似比为， ∴不存在一个新等边三角形，其周长和面积都为给定等边三角形周长和面积的． (2)思路一：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 ∴， 整理得：， ∴， ∴原方程组无解，则不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 思路二：如图，函数与的图象如下： ∵两个函数图象没有交点， ∴无解， ∴不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 结论：不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； （3）∵矩形的长和宽分别为m和n， ∴矩形的周长为，面积为， ∴新的矩形的周长为，面积为， 设新矩形长和宽为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 存在新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为和的矩形周长和面积的； 1. 两大核心概念 相似多边形：两角一边（对应角等、对应边成比例），周长比，面积比； 位似多边形：特殊相似，满足顶点共中心、对应边平行，具备相似所有性质。 2. 分层解题思路 基础题：直接套用相似比，求边长、周长、面积、坐标； 中档题：判断相似/位似，结合性质列式计算、规范作图； 压轴题：多边形拆分为三角形，结合经典相似模型+方程思想解题。 3. 核心记忆口诀 相似看边角，位似看交点；周长照比例，面积平方算；原点可缩放，定点差值算。 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【答案】C 【详解】解：由题意知，上海人民广场占地面积约为，按比例尺缩小后，其面积大约为，相当于《中学生报》的一个版面的面积， 故选：C． 2．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．如图，与是位似图形，位似中心为点O．若的面积为m，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，， ∴， ∵的面积为m， ∴． 故选：C． 4．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 5．（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图： ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点，若点，的对应点为点， ∴位似比为， ∵点与点是位似图形的对应点，且在同一个象限内， ∴点的坐标，即， ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合， ∴点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为． 二、填空题 7．如图，四边形四边形，则的长为______． 【答案】6 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 8.如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴， ∵与的周长之比是， ∴． 9.如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 【答案】 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ， 的坐标为，点的坐标为， ， ． 10.如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，将放大后得到．若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：依题意， ∴， ∵， ∴ 11．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为_________； 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴正六边形的周长为； 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知四边形与四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点，其中、、，那么______． 【答案】 【详解】解：∵四边形与四边形相似， 且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点， ∴， ∵、、， ∴， 即． 故答案为： ． 13．（2026·上海金山·一模）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标分别为、， ∴， ∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14．如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是_______．（用a的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形与菱形相似， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，（点、点、点的对应点分别是点、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为_____ 【答案】 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 如下图所示， 过点作轴，过点作轴， 点的坐标是，点的坐标为， ，， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 解得：，， ，， 又点在第四象限， 点的坐标为． 故答案为： ． 16．（2026·上海黄浦·二模）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 【答案】 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理， 由对称可得，， ∴ ∴点在上， 同理，点在上， 由对称可设 ， ∵ ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵正方形正方形， ∴， ∴． 17．定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为________． 【答案】或 【详解】解：分两种情况：如图，①当与△ABC，在点P同侧时，连接过点，在上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②当与△ABC，在点P两 侧时，连接过点，在延长线上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴点横坐标为1-2=-1， ∴； 综上，的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 18．如图，一个矩形广场的长为60，宽为40，广场内两条纵向小路宽均为2，如果设两条横向小路宽都为x，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【详解】解：小路内外边缘所围成的两个矩形相似， 解得， 答：当时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 19.如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】 【详解】解：人行小路内边缘所围成的矩形的长为， 宽为． 根据相似多边形定义，当各边成比例时，这两个矩形相似，即： ， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：当时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． (1)请以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出一个，使它与的相似比为；点的对应点的坐标为______； (2)若内部任意一点的坐标为，求出经过（1）的变化后点的对应点的坐标为；（用含，的代数式表示）． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点． （2）解：∵与关于原点异侧位似，相似比为，点， ∴点． 21．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【详解】(1)如图所示．    分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． 22.框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【详解】（1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即， 即， ∴， ． 23.春暖花开，正是放风筝的好时候．某数学兴趣小组开展了特色实践活动，设计并制作外形为拋物线型的风筝． 活动主题 设计一个外形为拋物线型的风筝 活动准备 竹条，专业伞布以及其他的制作工具 步骤1 用竹条设计制作一个“十”字形支架，如图1，垂直平分，垂足为，，，． 步骤2 以点为原点，以所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，确定过点、、三点的抛物线的表达式，画出图形，用伞布剪出拋物线型伞面，并用材料对外轮廓进行定型； 步骤3 为使风筝结构更加稳固，同时兼具对称美，用竹条构造三角形结构，连接、，同时构造另一个，使得点、在抛物线上，且与位似，位似比为，位似中心在直线上； 根据以上材料，解决下列问题： (1)求出图2中过、、三点的拋物线的表达式； (2)请求出图2中所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设过、、三点的拋物线的表达式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴拋物线的表达式为； （2）解：①当与在位似中心的同一侧时，如图，设与轴的交点为， ∵与位似，位似比为，位似中心在直线上， ∴，，， ∴点的横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； ②当与在位似中心的两侧时，如图，设与轴的交点为， 同理可得，点的坐标为，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 24.已知抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），它的对称轴为直线l，顶点C的坐标是． (1)该抛物线的表达式是 ，点A和点B的坐标分别是 ． (2)与关于直线l上一点P位似，且位似比为2，、、分别是点A、B、C的对应点，且点、也在（1）中的抛物线上，求出满足条件的P点坐标； (3)与关于原点位似，且位似比为2，D、E、F分别是点A、B、C的对应点．若将（1）中的抛物线沿x轴、y轴左右、上下平移后得到抛物线恰好经过点D、E，请你说说如何平移可以满足要求． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点C的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为． 令，则，解得，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵与关于直线l上一点P位似，且位似比为2， ∴， ①如图，若与关于点P成位似， ∵点，点在抛物线上， ∴点，点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入抛物线，得， ∴，， 设对称轴与的交点为点D，与的交点为点， 则 ∵若与关于点P成位似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ②如图，若与关于点P成位似， 由①同理可得，，， ∵，即， ∴， ∴， ∴ 综上所述，点P的坐标为或． （3）解：∵与关于原点位似，且位似比为2， 且，， ∴，， 或，，． ①当，，时， 经过平移，经过点，的抛物线解析式为， ∵原抛物线为， ∴原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度可满足要求． ②当，，时， 经过平移，经过点，的抛物线解析式为， ∵原抛物线为， ∴原抛物线向左平移9个单位长度，向下平移12个单位长度可满足要求． 综上所述，原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度，或向左平移9个单位长度，向下平移12个单位长度可以满足要求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $