专题04成比例线段与相似三角形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

专题04成比例线段与相似三角形暑假预习讲义 ·掌握线段的比相关计算，统一单位后求值，能准确判断四条线段是否成比例，分清比例内项、外项，理解比例中项、黄金分割概念，记住黄金比近似值并完成相关线段计算。 ·熟练运用比例五大性质，实现比例式和等积式互相转化，会处理含参数的比例化简、求值题型。 ·理解相似三角形定义，规范书写相似符号，按对应顶点标注三角形，准确找出对应角、对应边，分清相似比前后顺序，明白全等是相似比为 1 的特殊情况。 ·熟记相似三角形预备定理，快速识别图中 A 字型、8 字型平行线相似基础模型，利用平行线推导三角形相似。 ·结合成比例线段知识，借助相似比列方程，求解图形中未知线段长度，规范书写简单几何推理步骤。 ·类比全等三角形的知识进行迁移学习，体会从特殊到一般、数形转化、等量代换的数学思想。 ·区分常见易错问题：计算线段不统一单位、比例顺序颠倒、相似顶点对应错误，养成严谨审题、规范书写的习惯。 ·打通 “比例线段 — 相似三角形” 知识逻辑，提升识图分析与逻辑推理能力，为后续相似判定、综合大题做好预习铺垫。 预习必备 知识梳理 1.成比例线段 2.黄金分割 3.平行弦分线段成比例 4.相似三角形的定义 5.相似三角形的判定定理 6.常见模型与应用 7.相似三角形的性质 8.高频易错点汇总 1.比例的性质 2.比例线段 3.成比例线段 4.黄金分割 5..由平行判断成比例线段 6.平行截线求线段长或比值 7.利用平行判定相似 8.两角对应相等判定相似 常考题型 精讲精练 9.两边成比例且夹角相等证相似 10.三边对应成比例判定相似 11.相似三角形的判定综合 12.补充条件使两个三角形相似 13.由相似三角形的性质求解 14.证明三角形的对应线段成比例 15.利用相似求坐标 16.网格中作已知三角形的相似三角形 17.相似三角形动点问题 18.相似三角形的实际应用 19.相似三角形判定与性质综合 强化题型 解答题12题 知识点01：成比例的线段 一、线段的比 1.定义：选用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别为m、n，两条线段的比 a:b=m:n或= 2.关键要求：求线段比单位必须统一，比值是无单位正数；线段有顺序，{。 3.拓展：四条线段a、b、c、d，若=，称四条线段成比例；a、d为比例外项，b、c为比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项。 二、比例五大基本性质（核心计算工具） 已知=(b0,d0) 1. 基本性质：ad=bc（比例式、等积式互化，最常用）； 推论：若ad=bc，则=.、=等多种比例形式。 2.更比性质：=（交换内项） 3.反比性质：=（前后项同时颠倒） 知识点02：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 知识点03:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点04:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点05:相似三角形的判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点06:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点07. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点08：高频易错汇总 1.线段比计算忘记统一单位，比值算错； 2.比例等积互化漏乘、符号混乱；等比性质忽略分母和不为 0 的条件； 3.黄金分割混淆长短线段，正负根不取舍； 4.相似三角形书写顶点不对应，找错对应边、相似比颠倒； 5.区分判定：平行线只能证 A、8 字型相似，不能随意套用； 6.面积计算直接用相似比，忘记平方。 题型1.比例的性质 【典例】若，则____________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系得到a与b的关系式.代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设参数法，将，用含同一参数的式子表示，再代入各选项验证即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于，根据比例的基本性质，由可得，故错误； 对于，，仅满足比例关系，具体值不固定，因此不一定等于，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 【跟踪专练2】已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 【跟踪专练3】已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 题型2.比例线段 【典例】甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 【答案】120 【分析】本题考查了比例尺，图上距离等于实际距离乘以比例尺，将实际距离单位统一为厘米即可． 【详解】解：实际距离千米厘米， 图上距离厘米． 故答案为：120． 【跟踪专练1】已知线段，，线段是线段，的比例中项，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例中项的概念，熟练掌握比例中项的性质并结合线段长度为正的性质是解题的关键．根据比例中项的定义建立等式，代入数值计算并结合线段长度为正的性质确定结果． 【详解】解：∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：C． 【跟踪专练2】若，则的值为________； 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质， 由比例关系设参数，代入表达式化简即可． 【详解】解：由，设，（）， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是．如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是，而它们留在墙外的部分一样长．则甲、乙、丙的长度比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设甲的长度是“1”，即可得出乙的长度，再求出甲，丙入墙的长度，然后求出丙的长度，最后求出比即可． 【详解】解：设甲的长度为“1”，则乙的长度为， 甲留在墙外的长度为，丙入墙的长度为， 由题意可知，丙留在墙外的长度与甲相同，也为，则丙的长度为， 所以． 题型3.成比例线段 【典例】已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 【跟踪专练1】下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 【跟踪专练2】小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 题型4.黄金分割 【典例】中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 【跟踪专练1】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 【跟踪专练2】黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义可知较长线段与原线段的比值为，代入数据计算即可求解． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ， ， ． 【跟踪专练3】黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段等于全线段乘以黄金比，直接代入计算即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，是较长线段， ∴， ∵， ∴． 题型5..由平行判断成比例线段 【典例】如图，数轴的原点对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点对应的数是____________． 【答案】9 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图， 依题意得，，，，． ，即． ． 故答案为：9． 【跟踪专练1】如图，已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理； 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：根据平行线分线段成比例可得：，即，B，C不正确；A正确； 根据平行线分线段成比例可得：，D不正确； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，设，则，，代入比例式中求解即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 设，则，， ，， ，解得， 即． 故答案为：． 【跟踪专练3】在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 题型6.平行截线求线段长或比值 【典例】如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】 15 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长，再根据即可求解.． 【详解】解： ，， ． 【跟踪专练1】如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，则_____． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴． 【跟踪专练3】如图，直线和被所截，直线，，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可； 【详解】解：， ， ， ， ， 解得； 题型7.利用平行判定相似 【典例】如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 根据平行线构成的相似模型来判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， 则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以， ∵，， ∴， ∴一共有3对相似三角形． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 题型8.两角对应相等判定相似 【典例】如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，关键是熟练应用知识点解题；根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出结论． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， 同理：，， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 【跟踪专练2】如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出两个与相似的三角形，可以是，（答案不唯一）． 故答案为：，（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 题型9.两边成比例且夹角相等证相似 【典例】如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【答案】54或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 已知，只需要夹边成比例即可得到与相似，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相似时，或 ∴或 ∴或， 故答案为：54或． 【跟踪专练1】如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 【跟踪专练2】.如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 【跟踪专练3】如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 题型10.三边对应成比例判定相似 【典例】如图，与的顶点均在网格的格点处，则与_______相似（填“一定”“不一定”或“一定不”） 【答案】一定 【分析】本题考查相似三角形的判定，先利用网格计算三角形的边长，再通过对应边的比例关系判断是否相似，核心是掌握“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理． 【详解】解：设网格的边长为， 在中，， 由勾股定理得： ， ， ． 在中，易得： ， ， ， ， ， ， 计算对应边的比例： ， ， ， 所以， 所以． 故答案为：一定． 【跟踪专练1】下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，需逐一分析各选项是否符合判定条件，找出不能判定相似的选项． 【详解】解：∵两角分别相等的两个三角形相似，选项A中，，，A选项能判定． ∵三边对应成比例的两个三角形相似，选项B中，，B选项能判定． ∵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，选项C中，且是与的夹角，是与的夹角，，，C选项能判定． ∵选项D中，但不是与的夹角，不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，D选项符合题意． 故选D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 【跟踪专练3】若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型11.相似三角形的判定综合 【典例】在中，，，点D在边上，且，点E在上，当______时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 【跟踪专练1】下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示知该三角形是腰长为1.5的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：如图， A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； C．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确； D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是______（只填写序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键． 分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：根据网格可知：，，，的三边之比是， 同理可求：①的三边之比是； ∴与不相似， ②中，． ∴②与相似， ③中，． ∴与不相似， 故答案为：②． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 题型12.补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 【跟踪专练2】结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 【答案】或或或 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．根据为与的公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹的两组对应边成比例． 【详解】解：∵为与的公共角， 当或时，； 当时，， 故答案为：或或或． 【跟踪专练3】如图，在中，为边上一点．下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴ ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， 又∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件无法证明， 故选项符合题意． 题型13.由相似三角形的性质求解 【典例】已知，它们的相似比为，那么它们的周长比是_____，面积比是_____． 【答案】 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为，面积比为． 【跟踪专练1】如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解答． 【详解】解：点D，E分别是，的中点， ，， ， ． 【跟踪专练2】如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在三角形纸片中，点，是的三等分点，点是的中点．若从上的一点，沿着与平行的方向将纸片剪开，剪下的小三角形纸片面积恰好为面积的，则下列关于点位置的叙述正确的是（     ） A．与点重合 B．与点重合 C．在线段上 D．在线段上 【答案】D 【分析】根据题意确定出剪下来的三角形与三角形相似，面积比为，得到相似比，逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，剪下来的三角形与三角形相似，面积比为， 故相似比为， 即， ∵，，，， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意． 题型14.证明三角形的对应线段成比例 【典例】如图，，，那么与的相似比为_______．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ________． 【答案】 【分析】本题考查直角平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． 连接交于O，证明四边形是平行四边形，再根据得出，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：如图，连接交于O． ，， 四边形是平行四边形， ， B，Q关于对称， ， ， 在中，，，， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． 题型15.利用相似求坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 【跟踪专练1】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【跟踪专练2】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 【跟踪专练3】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 题型16.网格中作已知三角形的相似三角形 【典例】如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，三角形的三边对应成比例，两三角形相似即可判断． 【详解】根据勾股定理可知： ， 三边比为： 根据格点图及勾股定理知 A．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； B．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； C．三角形的三边比为：，故本选项符合题意； D．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； 故选择：C 【跟踪专练2】如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 【跟踪专练3】如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两三角形相似不全等，及相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两三角形相似不全等， 根据题意得 ∴, ∴， 则点在的位置． 题型17.相似三角形动点问题 【典例】如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过________秒与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．设再经过t秒与相似，分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设再经过t秒与相似， 根据题意得：， ∴， ∵， 当时，， 此时， 解得：； 当时，， 此时， 解得：； 综上所述，再经过或秒与相似． 故答案为：或 【跟踪专练1】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 【跟踪专练2】在中，，．点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度移动；点Q从点C出发，沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．则经过______秒后，． 【答案】2.4 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设经过t秒后，， ∵， ∴，即， 解得， 即经过2.4秒后，． 【跟踪专练3】如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 题型18.相似三角形的实际应用 【典例】小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 【答案】/ 【分析】同一时刻阳光下的平行投影中，物体高度与影长成比例，据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设小强的影长为米，根据题意得 解得 经检验是原方程的解. ∴小强的影长为米． 【跟踪专练1】如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则， ∴， ∴， ， 由题意地面知， ，即， ． 【跟踪专练2】小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔，光屏在距小孔处，小华测量了蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为______． 【答案】3 【分析】如图，先证明，再根据相似三角形对应边的高的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，，， ， ，， ， 又是中边上的高，是中边上的高， ，即， ， 即光屏上火焰所成像的高度为． 【跟踪专练3】如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 题型19.相似三角形判定与性质综合 【典例】如图，，且与的面积之比是，若，则的长为_________． 【答案】2 【分析】由相似三角形面积的比等于相似比的平方求出，进而求出即可． 【详解】解：， ， 与的面积之比是， ， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，与交于点，且．若，则的面积与的面积之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点．若H恰好为的中点，则的长为____________．    【答案】 【分析】连接，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示，    由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴． 【跟踪专练3】如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 解答题 1．已知线段，满足，若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查比例线段、比例中项的定义以及一元一次方程的应用．先利用与的比例关系设未知数，代入已知方程求出、的具体值；再根据比例中项的定义计算的长度． 【详解】解：∵， ∴设()，则； 将，代入，得， 解得； ∴，； ∵线段是线段，的比例中项， ∴； ∵是线段长度， ∴(舍去负根)． 2．已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 【答案】 解：如图，过点作，交于点． 是边上的中线， ， ， ， ． ， ，即， ． 【分析】过点作，交于点，先根据中线的定义得到， 再根据平行线分线段成比例得到，然后再次根据平行线分线段成比例求证即可． 【详解】略 3．如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 4．如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、平行线的性质，根据两直线平行， 同位角相等，可证、，根据有两个角对应相等的三角形相似，可证结论成立． 【详解】证明：， ， ， ， ． 5．某学习小组进行小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，物体通过小孔成像，物体成像后的顶端与点重合，底端落在点处．求证． 【答案】见解析 【分析】根据题意得到，再根据相似三角形的判定即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∴． 6．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 7．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 8．如图所示，在梯形中，，对角线相交于点O，问：与相似吗？ 有一名同学解答如下： 因为，所以，，所以，所以．又因为，所以． (1)请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由． (2)若，与相似吗？ 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，熟练掌握三角形相似的判定定理及性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可解答； （2）根据相似三角形的判定定理结合等腰梯形的性质即可解答． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 则不能证明． （2）解：若，．理由如下： ∵， ∴四边形为等腰梯形， ∴． ∵， ∴． 9．如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)或或，证明过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，． ∴； （2）解：添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． 10．如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 11．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 12．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 89．如图，在等边中，，点D，E分别是边，上的点，，将线段绕点D顺时针旋转，点E的对应点为F，射线交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵等边， ∴， ∴， ∵由旋转可得：， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用等边三角形的性质与三角形的内角和与平角的含义证明，，进一步证明即可； （2）证明，求解，进一步利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在等边中，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04成比例线段与相似三角形暑假预习讲义 ·掌握线段的比相关计算，统一单位后求值，能准确判断四条线段是否成比例，分清比例内项、外项，理解比例中项、黄金分割概念，记住黄金比近似值并完成相关线段计算。 ·熟练运用比例五大性质，实现比例式和等积式互相转化，会处理含参数的比例化简、求值题型。 ·理解相似三角形定义，规范书写相似符号，按对应顶点标注三角形，准确找出对应角、对应边，分清相似比前后顺序，明白全等是相似比为 1 的特殊情况。 ·熟记相似三角形预备定理，快速识别图中 A 字型、8 字型平行线相似基础模型，利用平行线推导三角形相似。 ·结合成比例线段知识，借助相似比列方程，求解图形中未知线段长度，规范书写简单几何推理步骤。 ·类比全等三角形的知识进行迁移学习，体会从特殊到一般、数形转化、等量代换的数学思想。 ·区分常见易错问题：计算线段不统一单位、比例顺序颠倒、相似顶点对应错误，养成严谨审题、规范书写的习惯。 ·打通 “比例线段 — 相似三角形” 知识逻辑，提升识图分析与逻辑推理能力，为后续相似判定、综合大题做好预习铺垫。 预习必备 知识梳理 1.成比例线段 2.黄金分割 3.平行弦分线段成比例 4.相似三角形的定义 5.相似三角形的判定定理 6.常见模型与应用 7.相似三角形的性质 8.高频易错点汇总 1.比例的性质 2.比例线段 3.成比例线段 4.黄金分割 5..由平行判断成比例线段 6.平行截线求线段长或比值 7.利用平行判定相似 8.两角对应相等判定相似 常考题型 精讲精练 9.两边成比例且夹角相等证相似 10.三边对应成比例判定相似 11.相似三角形的判定综合 12.补充条件使两个三角形相似 13.由相似三角形的性质求解 14.证明三角形的对应线段成比例 15.利用相似求坐标 16.网格中作已知三角形的相似三角形 17.相似三角形动点问题 18.相似三角形的实际应用 19.相似三角形判定与性质综合 强化题型 解答题12题 知识点01：成比例的线段 一、线段的比 1.定义：选用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别为m、n，两条线段的比 a:b=m:n或= 2.关键要求：求线段比单位必须统一，比值是无单位正数；线段有顺序，{。 3.拓展：四条线段a、b、c、d，若=，称四条线段成比例；a、d为比例外项，b、c为比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项。 二、比例五大基本性质（核心计算工具） 已知=(b0,d0) 1. 基本性质：ad=bc（比例式、等积式互化，最常用）； 推论：若ad=bc，则=.、=等多种比例形式。 2.更比性质：=（交换内项） 3.反比性质：=（前后项同时颠倒） 知识点02：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 知识点03:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点04:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点05:相似三角形的判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点06:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点07. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点08：高频易错汇总 1.线段比计算忘记统一单位，比值算错； 2.比例等积互化漏乘、符号混乱；等比性质忽略分母和不为 0 的条件； 3.黄金分割混淆长短线段，正负根不取舍； 4.相似三角形书写顶点不对应，找错对应边、相似比颠倒； 5.区分判定：平行线只能证 A、8 字型相似，不能随意套用； 6.面积计算直接用相似比，忘记平方。 题型1.比例的性质 【典例】若，则____________． 【跟踪专练1】若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则的值是____________． 【跟踪专练3】已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 题型2.比例线段 【典例】甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 【跟踪专练1】已知线段，，线段是线段，的比例中项，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则的值为________； 【跟踪专练3】有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是．如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是，而它们留在墙外的部分一样长．则甲、乙、丙的长度比是（     ） A． B． C． D． 题型3.成比例线段 【典例】已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【跟踪专练1】下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 题型4.黄金分割 【典例】中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【跟踪专练1】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为________． 【跟踪专练3】黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型5..由平行判断成比例线段 【典例】如图，数轴的原点对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点对应的数是____________． 【跟踪专练1】如图，已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【跟踪专练3】在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 题型6.平行截线求线段长或比值 【典例】如图，，，，，则的长度是_______． 【跟踪专练1】如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，则_____． 【跟踪专练3】如图，直线和被所截，直线，，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 题型7.利用平行判定相似 【典例】如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【跟踪专练3】如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 题型8.两角对应相等判定相似 【典例】如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 【跟踪专练1】如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【跟踪专练3】如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 题型9.两边成比例且夹角相等证相似 【典例】如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【跟踪专练1】如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】.如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【跟踪专练3】如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 题型10.三边对应成比例判定相似 【典例】如图，与的顶点均在网格的格点处，则与_______相似（填“一定”“不一定”或“一定不”） 【跟踪专练1】下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【跟踪专练3】若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 题型11.相似三角形的判定综合 【典例】在中，，，点D在边上，且，点E在上，当______时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【跟踪专练1】下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是______（只填写序号） 【跟踪专练3】下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 题型12.补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【跟踪专练1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 【跟踪专练3】如图，在中，为边上一点．下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 题型13.由相似三角形的性质求解 【典例】已知，它们的相似比为，那么它们的周长比是_____，面积比是_____． 【跟踪专练1】如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，，，则_______． 【跟踪专练3】如图，在三角形纸片中，点，是的三等分点，点是的中点．若从上的一点，沿着与平行的方向将纸片剪开，剪下的小三角形纸片面积恰好为面积的，则下列关于点位置的叙述正确的是（     ） A．与点重合 B．与点重合 C．在线段上 D．在线段上 题型14.证明三角形的对应线段成比例 【典例】如图，，，那么与的相似比为_______．    【跟踪专练1】如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ________． 【跟踪专练3】如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 题型15.利用相似求坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【跟踪专练1】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【跟踪专练2】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 【跟踪专练3】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型16.网格中作已知三角形的相似三角形 【典例】如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 【跟踪专练1】如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【跟踪专练3】如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 题型17.相似三角形动点问题 【典例】如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过________秒与相似． 【跟踪专练1】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【跟踪专练2】在中，，．点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度移动；点Q从点C出发，沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．则经过______秒后，． 【跟踪专练3】如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 题型18.相似三角形的实际应用 【典例】小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 【跟踪专练1】如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔，光屏在距小孔处，小华测量了蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为______． 【跟踪专练3】如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 题型19.相似三角形判定与性质综合 【典例】如图，，且与的面积之比是，若，则的长为_________． 【跟踪专练1】如图，与交于点，且．若，则的面积与的面积之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点．若H恰好为的中点，则的长为____________．    【跟踪专练3】如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．已知线段，满足，若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 2．已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 3．如图，中，点D在边上，，．求证：． 4．如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 5．某学习小组进行小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，物体通过小孔成像，物体成像后的顶端与点重合，底端落在点处．求证． 6．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 7．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 8．如图所示，在梯形中，，对角线相交于点O，问：与相似吗？ 有一名同学解答如下： 因为，所以，，所以，所以．又因为，所以． (1)请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由． (2)若，与相似吗？ 9．如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 10．如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 12．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 89．如图，在等边中，，点D，E分别是边，上的点，，将线段绕点D顺时针旋转，点E的对应点为F，射线交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $