第09讲 相似三角形的判定（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第09讲 相似三角形的判定 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、利用平行判定相似 题型二、利用两角对应相等判定相似 题型三、利用三边对应成比例判定相似 题型四、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型五、相似三角形的判定综合 题型六、选择或补充条件使两个三角形相似 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形、预备定理、两角判定、两边夹角判定、三边判定、直角三角形相似、射影定理、常见模型 1. 理解相似三角形的定义，掌握相似比的概念，能准确找出对应顶点、对应角和对应边。 2. 熟练掌握相似三角形的四个判定定理（预备定理、AA、SAS、SSS）及直角三角形相似的特殊判定方法。 3. 能识别平行线型、旋转型、斜交型、一线三等角型等常见相似模型，并利用模型快速解题。 4. 在判定过程中规范书写步骤，注意分类讨论思想的应用。 学习重点：1. 相似三角形的定义及相似比概念。 2. 掌握“两角对应相等（AA）”、“两边对应成比例且夹角相等（SAS）”、“三边对应成比例（SSS）” 3. 三个核心判定定理的证明与应用。 4. 理解并应用“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”的预备定理。 5. 直角三角形相似的判定（HL相似）及射影定理的推导与结论。 6. 识别并构建常见相似模型（A字型、X型、一线三等角等）解决几何问题。 学习难点：1.在复杂图形中准确找出对应角和对应边，避免张冠李戴。 2. 应用“两边对应成比例且夹角相等”判定时，混淆夹角与非夹角（SSA不能判定相似）。 3. 在无图或动点问题中，遗漏相似三角形的对应关系，导致分类讨论不全面。 4. 综合题中，如何通过作辅助线（如作平行线）构造相似三角形的基本模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形 1. 概念 如果两个三角形的三个角对应相等,三条对应边成比例，那么称这两个三角形相似，相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. 3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 注意： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 知识点02 相似三角形的判定定理 1.相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线.截得的三角形与原三角形相似. 如图①②③所示，若,则有,,. 如图，已知：点、分别在的边AB、AC上，. 求证：. 根据相似三角形的定义来判定两个三角形相似，需要验证它们的三个角对应相等，同时它们的三条边对应成比例.类似于判定两个三角形全等的条件，我们也可以用较少的条件来判定两个三角形相似. 2.相似三角形的判定定理1 定理两角对应相等的两个三角形相似. 如图，已知：在与中，，. 求证：. 3.相似三角形的判定定理2 定理:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 如图，已知：四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点，，，，. 求证：与是相似三角形. 上图中还有其他的相似三角形吗？如果有，请用符号将它们表示出来. 4.相似三角形的判定定理3 定理:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 如图，已知：、、分别是的边BC、CA、AB的中点. 求证：. 上题是否还有其他证法? 如图，已知：点、分别在线段AB和AC上，，是BE与CD的交点. 求证：. 如图，已知：在中，，CD是边AB上的高. 求证：. 在上题中，尝试证明及，并由此推出勾股定理. 上述教材例题所得到的结论（、、）正 是射影定理（也叫“欧几里得定理”或“直角三角形的高线定理”）. 射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 知识点03 直角三角形相似的判定定理 1.判定方法1 由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.判定方法2 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.如图,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 知识点04 常见相似三角形模型 1. 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 2. 旋转型 条件所示, 结论: 3.斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 4.一线三等角型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 题型一、利用平行判定相似 如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 方法技巧：紧扣“平行出比例，平行出相似”的核心逻辑。当题目中出现一组或多组平行线时，应立即联想到“A字型”或“X型”基本模型，利用平行线分线段成比例定理，快速锁定对应边的比例关系，进而证明三角形相似或直接求解线段长度。 如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 如下图，．试说明：． 如图，已知，，求证：． 题型二、利用两角对应相等判定相似 已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 解题时应具备敏锐的“找角”意识，善于挖掘图形中的公共角、对顶角、直角，以及由平行线产生的同位角、内错角。在直角三角形中，利用“同角的余角相等”往往能快速构造出第二组相等的角。 如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 如图，在中，、分别是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型三、利用三边对应成比例判定相似 如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 方法技巧：适用于已知三边长度或易于计算边长的情形，如网格题。需先分别计算两个三角形的三边长度，再按大小顺序排列，验证三组对应边的比值是否相等。计算务必细心，避免因算错边长导致判断失误。 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 如图所示，已知．求证：． 如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 题型四、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 如图，，，求证：． 易错点：此判定定理对角的位置有严格要求，相等的角必须是成比例两边的“夹角”。解题时切忌只看两边成比例就下结论，必须明确指出夹角相等。公共角是此类题型中常见的隐含条件，需重点留意。 如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 如图，已知，且，求证：． 如图，已知，．求证：． 题型五、相似三角形的判定综合 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧：此类题型综合性强，常结合等边三角形、矩形、菱形等特殊图形考查。解题关键在于剥离出基本图形，根据已知条件灵活选用判定定理。遇到动点问题或存在性问题时，需进行严谨的分类讨论，不重不漏。 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 如图，是等边三角形，点D，E分别在边，的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型六、选择或补充条件使两个三角形相似 在和中，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（   ） A． B． C． D． 如图，在中，点、分别在的边、上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（   ） A． B． C． D．． 易错点：此类选择题陷阱较多，需逐一验证选项。补充条件时，要确保所给条件能唯一确定三角形的形状。特别注意“两边对应成比例且有一组角相等”时，若该角不是夹角（即SSA情形），则不能判定相似，这是最常见的干扰项设置方式。 中，，，，点在边上，，点在的边上，若直线截两边所得的三角形与相似，则这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 下列选项条件中，一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 下列命题中，真命题是（   ） A．两边之比为的两个等腰三角形相似 B．底角相等的两个等腰梯形相似 C．有一个角是30度的两个等腰三角形相似 D．有一个角相等的两个直角三角形相似 定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 如图，在中，，，则的值为______． 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 相似三角形的判定 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、利用平行判定相似 题型二、利用两角对应相等判定相似 题型三、利用三边对应成比例判定相似 题型四、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型五、相似三角形的判定综合 题型六、选择或补充条件使两个三角形相似 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形、预备定理、两角判定、两边夹角判定、三边判定、直角三角形相似、射影定理、常见模型 1. 理解相似三角形的定义，掌握相似比的概念，能准确找出对应顶点、对应角和对应边。 2. 熟练掌握相似三角形的四个判定定理（预备定理、AA、SAS、SSS）及直角三角形相似的特殊判定方法。 3. 能识别平行线型、旋转型、斜交型、一线三等角型等常见相似模型，并利用模型快速解题。 4. 在判定过程中规范书写步骤，注意分类讨论思想的应用。 学习重点：1. 相似三角形的定义及相似比概念。 2. 掌握“两角对应相等（AA）”、“两边对应成比例且夹角相等（SAS）”、“三边对应成比例（SSS）” 3. 三个核心判定定理的证明与应用。 4. 理解并应用“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”的预备定理。 5. 直角三角形相似的判定（HL相似）及射影定理的推导与结论。 6. 识别并构建常见相似模型（A字型、X型、一线三等角等）解决几何问题。 学习难点：1.在复杂图形中准确找出对应角和对应边，避免张冠李戴。 2. 应用“两边对应成比例且夹角相等”判定时，混淆夹角与非夹角（SSA不能判定相似）。 3. 在无图或动点问题中，遗漏相似三角形的对应关系，导致分类讨论不全面。 4. 综合题中，如何通过作辅助线（如作平行线）构造相似三角形的基本模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形 1. 概念 如果两个三角形的三个角对应相等,三条对应边成比例，那么称这两个三角形相似，相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. 3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 注意： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 知识点02 相似三角形的判定定理 1.相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线.截得的三角形与原三角形相似. 如图①②③所示，若,则有,,. 如图，已知：点、分别在的边AB、AC上，. 求证：. 解析：过点作，交边BC于点，如图所示. 由，，得四边形DFCE为平行四边形，由此得，即. 根据平行线分线段成比例定理，由，得，由，得，从而有. 再由，得，，又为公共角，所以根据相似三角形的定义，有. 根据相似三角形的定义来判定两个三角形相似，需要验证它们的三个角对应相等，同时它们的三条边对应成比例.类似于判定两个三角形全等的条件，我们也可以用较少的条件来判定两个三角形相似. 2.相似三角形的判定定理1 定理两角对应相等的两个三角形相似. 如图，已知：在与中，，. 求证：. 解：这里不妨假设.在AB上截取，再过点作，交AC于点，如图所示. 因为，所以，结合，得. 又由及，得. 又因为，由相似三角形的预备定理，得. 所以. 3.相似三角形的判定定理2 定理:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 如图，已知：四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点，，，，. 求证：与是相似三角形. 证明： ，，，， ，. 由此得. 在与中， . 上图中还有其他的相似三角形吗？如果有，请用符号将它们表示出来. 4.相似三角形的判定定理3 定理:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 如图，已知：、、分别是的边BC、CA、AB的中点. 求证：. 分析：DE、EF、FD是的中位线，利用中位线的性质，可得与的三边对应成比例. 证明：、分别是的边BC、CA的中点， 是的中位线， ，即. 同理可得，. 在与中， ， . 上题是否还有其他证法? 如图，已知：点、分别在线段AB和AC上，，是BE与CD的交点. 求证：. 证明：, . 又为公共角， . . 又, . 如图，已知：在中，，CD是边AB上的高. 求证：. 证明：将等式写成比例的形式， 即为.为此，考虑证明. ，CD是的边AB上的高， . , . 在与中， . . . 在上题中，尝试证明及，并由此推出勾股定理. 上述教材例题所得到的结论（、、）正 是射影定理（也叫“欧几里得定理”或“直角三角形的高线定理”）. 射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 知识点03 直角三角形相似的判定定理 1.判定方法1 由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.判定方法2 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.如图,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 知识点04 常见相似三角形模型 1. 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 2. 旋转型 条件所示, 结论: 3.斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 4.一线三等角型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 题型一、利用平行判定相似 如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 【详解】证明：， ． 方法技巧：紧扣“平行出比例，平行出相似”的核心逻辑。当题目中出现一组或多组平行线时，应立即联想到“A字型”或“X型”基本模型，利用平行线分线段成比例定理，快速锁定对应边的比例关系，进而证明三角形相似或直接求解线段长度。 如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 如下图，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证出两个三角形三边成比例是解决问题的关键． 由平行线证出，得出对应边成比例，再由已知条件得出，即可得出结论． 【详解】解：， 易得， ． ， ， ． 如图，已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 方法一：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似即可得证； 方法二：在上截取，作，交于点，则可得，再证出，由此即可得证． 【详解】证明：方法一：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 方法二：如图，在上截取，作，交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型二、利用两角对应相等判定相似 已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键掌握两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等（）等判定方法．已知，结合各选项条件判断与是否相似． 【详解】解：∵， 选项A：∵，且，∴，故A能判定相似，不符合题意； 选项B：∵，且，∴，故B能判定相似，不符合题意； 选项C：∵，即，且，∴，故C能判定相似，不符合题意； 选项D：∵，即，但夹角与不一定相等，故D不能判定相似，符合题意 ． 故选：D． 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 解题时应具备敏锐的“找角”意识，善于挖掘图形中的公共角、对顶角、直角，以及由平行线产生的同位角、内错角。在直角三角形中，利用“同角的余角相等”往往能快速构造出第二组相等的角。 如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， 即， 解得． 如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 如图，在中，、分别是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据已知以及得到，再由，则得到； （2）根据相似三角形的性质直接列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 题型三、利用三边对应成比例判定相似 如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，需要掌握相似三角形的判定方法． 根据和的三边对应成比例，则两个三角形相似，由此判定即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 方法技巧：适用于已知三边长度或易于计算边长的情形，如网格题。需先分别计算两个三角形的三边长度，再按大小顺序排列，验证三组对应边的比值是否相等。计算务必细心，避免因算错边长导致判断失误。 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 如图所示，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的对应角相等得到即可求解． 【详解】证明：， ， ． ． 即． 如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 【详解】证明：，，，，，， 则， ， ． 题型四、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 如图，，，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的证明，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似是解题的关键． 首先根据得到，再根据即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 易错点：此判定定理对角的位置有严格要求，相等的角必须是成比例两边的“夹角”。解题时切忌只看两边成比例就下结论，必须明确指出夹角相等。公共角是此类题型中常见的隐含条件，需重点留意。 如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【答案】54或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 已知，只需要夹边成比例即可得到与相似，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相似时，或 ∴或 ∴或， 故答案为：54或． 如图，已知，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据“两边及夹角法”证得结论即可． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴． 如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，得到，结合，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 题型五、相似三角形的判定综合 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 【答案】(1)和相似，见解析 (2)见详解 【分析】（1）结合图形及勾股定理确定，的长度，进而可得，即可得解； （2）取格点，连接，易得，结合即可证明． 【详解】（1）解：和相似，理由如下： 根据图形可知，， ， ∴， ∴； （2）如下图，点即为所求： 理由如下：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴． 下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示知该三角形是腰长为1.5的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：如图， A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； C．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确； D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误． 方法技巧：此类题型综合性强，常结合等边三角形、矩形、菱形等特殊图形考查。解题关键在于剥离出基本图形，根据已知条件灵活选用判定定理。遇到动点问题或存在性问题时，需进行严谨的分类讨论，不重不漏。 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由得到，结合，根据三角形相似的判定解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：由得到， 又， 故， 故选：B． 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 如图，是等边三角形，点D，E分别在边，的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3.5 【分析】本题主要考查等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质． （1）根据为等边三角形，可知，从而求得，再求得，即可证得； （2）由（1）知，可得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：为等边三角形 ， 又 （2）解：是等边三角形， ． ， ． ， ，即． ． ． 题型六、选择或补充条件使两个三角形相似 在和中，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质与相似三角形的判定，核心是利用等腰三角形的底角相等，结合相似三角形的“两角对应相等，两三角形相似”判定定理进行分析． 【详解】解：已知中，故；中，故． A选项：，因、，该比例恒成立，但仅两边成比例且无夹角相等，无法判定相似，故A错误； B选项：，由可得，结合仅能说明为等边三角形，无法推出与相似，故B错误； C选项：，是的底角，是的顶角，无法推出两组角对应相等，故C错误； D选项：，结合等腰三角形性质，可得，即两组角对应相等，根据“两角对应相等，两三角形相似”，可判定，故D正确． 故选：D． 如图，在中，点、分别在的边、上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（   ） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 有两个对应角相等的两个三角形相似； 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； 三组对应边的比相等的两个三角形相似； 根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A． ，有两个对应角相等，能使与相似，不符合题意． B． ，有两个对应角相等，能使与相似，不符合题意． C． ，有两个对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使与相似，符合题意． D． ，有两个对应边的比相等，且其夹角相等，能使与相似，不符合题意． 故选：C． 易错点：此类选择题陷阱较多，需逐一验证选项。补充条件时，要确保所给条件能唯一确定三角形的形状。特别注意“两边对应成比例且有一组角相等”时，若该角不是夹角（即SSA情形），则不能判定相似，这是最常见的干扰项设置方式。 中，，，，点在边上，，点在的边上，若直线截两边所得的三角形与相似，则这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键． 根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断点E的位置，然后利用相似三角形的性质验证即可． 【详解】①当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； ②当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； ③当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； ④当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意； 故选C． 已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得①与②正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得④正确，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故①与②正确； 当，即时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故④正确； 当，即时，不是夹角，故不能判定与相似，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：B． 如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用正方形的性质和相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是正方形的边的中点， ∴ 当P是中点时， ∴， ∴， ∴不能推出与相似，故A符合题意； B．∵， ∴，故选项B不符合题意； C．∵，， ∴，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：A． 如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、不能推出，故符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故不符合题意； 故选：C． 下列选项条件中，一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵相似三角形的判定要求必须满足对应条件，三边对应成比例或两角分别相等或两边成比例且夹角相等，才能判定两三角形相似． A、涉及的边不是的对应边，也不符合判定条件，不能判定，错误． B、只给出的两条边长，缺少的相关条件，不能判定，错误． C、满足三边对应成比例，符合相似三角形的判定定理，∴可以判定，正确． D、仅给出一组角相等，缺少其他必要条件，不能判定，错误． 下列命题中，真命题是（   ） A．两边之比为的两个等腰三角形相似 B．底角相等的两个等腰梯形相似 C．有一个角是30度的两个等腰三角形相似 D．有一个角相等的两个直角三角形相似 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形以及多边形的判定，真假命题的判定，选项A、B、C均存在反例，不一定相似；选项D中，直角三角形有一个角相等，则所有角对应相等，因此相似． 【详解】解：A．两边之比为，但对应角不一定相等，故不一定相似． B．底角相等，但对应边不一定成比例，故不一定相似． C．有一个角是30度，但该角可能是顶角或底角，导致角不全对应相等，故不一定相似． D．∵两个直角三角形有一个角相等，且直角都等于， ∴两个三角形的三个角对应相等，∴两个直角三角形相似．为真命题， 故选D． 定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 若，则，代入相关长度，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线上一点，则， 若， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 【详解】(1)证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； (2)证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $