精品解析：山西省晋中市介休市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

介休市2025—2026学年第二学期期末质量评估试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 分式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，可得，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 2. 汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，该选项符合题意； B、不是中心对称图形，该选项不符合题意； C、不是中心对称图形，该选项不符合题意； D、不是中心对称图形，该选项不符合题意． 故选：A． 3. 如图，在中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，由平行四边形的性质得，，即得，进而由平行线的性质即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4. 下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：，不符合因式分解的定义，则A不符合题意， 是乘法运算，则B不符合题意， 符合因式分解的定义，则C符合题意， 是乘法运算，则D不符合题意， 故选：C． 5. 已知，下列变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式的基本性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：， A选项：不等式两边同时减，不等号方向不变，得，变形正确，故A选项不符合题意； B选项：不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，变形正确，故B选项不符合题意； C选项：不等式两边同时加，不等号方向不变，得，变形正确，故C选项不符合题意； D选项：不等式两边同时乘，不等号方向不变，得，因此变形错误，故D选项符合题意． 6. 如图，一次函数（为常数）的图象分别与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象与轴的交点坐标，结合一次函数的性质（时，随的增大而增大），即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数（为常数）的图象与轴交于点，且，  ∴随的增大而增大， ∴当时，函数图象在轴上方，即，  ∴关于的不等式的解集为． 7. 汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由反射后的光线均平行于地面，可得，由三角形外角的性质可得，结合即可求解． 【详解】解：如图， 光线经反光镜反射后均平行于地面射出， ， ，， ． 8. 刺绣是我国民间传统手艺，苏绣作为我国四大名绣之一，闻名中外．某国际旅游公司计划购买仿真绣和双面绣两种苏绣作品共200件，已知双面绣作品单价300元，仿真绣作品单价200元，若总费用不超过50000元，则最多可购买双面绣作品多少件？设可购买双面绣作品件，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设可购买双面绣作品件，则可购买仿真绣作品件，根据总费用双面绣费用仿真绣费用，且总费用不超过50000元列出不等式即可． 【详解】解：设可购买双面绣作品件，则可购买仿真绣作品件， 购买双面绣作品的费用为元，购买仿真绣作品的费用为， 总费用不超过50000元， 列不等式为：． 9. 在中，，，垂直平分，垂足为点，交边于点，已知，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可知，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】解：如下图所示，连接， 垂直平分， ， ， ， ， ． 10. 如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用DB=1，B（4，0），得出△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移问题点的坐标变化规律求解即可． 【详解】解：∵点B的坐标为（4，0）， ∴OB=4， ∵DB=1， ∴OD=3， ∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度， ∴点C的坐标为：（1+3，2）即（4，2）． 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，原式提取公因式m后，再利用平方差公式分解剩余部分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若分式的值为零，则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件：需满足分子为零，同时分母不为零，进行解答即可． 【详解】解：分式的值为零， ，且， 解得，，且，且， ． 13. 夏季正值哈密瓜成熟上市的季节．哈密瓜表皮布满细密凹凸的天然纹路（图1），民间俗称糖线；瓜尾位置的糖线弧度越向上弯曲、纹路越紧凑饱满，说明哈密瓜成熟度越高，糖分沉淀越足．图2是哈密瓜表皮纹路的一部分，其中，，，，，是五边形的5个外角，若，则的度数为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理求出的度数，再利用邻补角的定义求出的度数． 【详解】解：，，，，是五边形的5个外角， ， ， 得： ， ， ． 14. 我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的倍，人工修补组摊铺公里路面的时间比养护车摊铺公里路面的时间多小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面_______公里． 【答案】 【解析】 【分析】设这辆新型养护车每小时摊铺路面公里，则人工修补组每小时摊铺路面的公里数是公里，列分式方程求解即可． 【详解】解：设这辆新型养护车每小时摊铺路面公里，则人工修补组每小时摊铺路面的公里数是公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 答：新型养护车每小时摊铺路面公里． 15. 如图，在中，过点作，交于点．将绕点逆时针方向旋转，点的对应点落在边上，点对应点为，交于点．已知，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点D作于H，求出，则，由勾股定理可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，求出，则，即可得到，由旋转的性质可得，则． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上； （2）解分式方程：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴略； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以得：， 整理得， 解得， 当时，， ∴原方程的解为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分子因式分解，计算括号内的异分母分式减法，再将除法转化为乘法，约分化简后，代入的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）与关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是 ． （2）将平移，使点的对应点的坐标为，请画出平移后的． （3）连接，，则为 三角形，面积为 ． 【答案】（1） （2）如图，即为所求； （3）等腰；3 【解析】 【分析】（1）连接交于点，即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点， ∴对称中心的坐标是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴为等腰三角形， 的面积为． 19. 学习完因式分解后，老师布置了一道练习题，下面是小明和小红同学的解法，老师表示虽然解题方法有所不同，但都正确，值得大家学习！ 小明：解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 小红：解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 思考： （1）在上述解题过程中，小明第二步依据的数学公式是 （用字母表示），小红第二步因式分解的方法叫 ． （2）用你自己喜欢的方法因式分解：． （3）结合你平时学习因式分解的经验，为同伴提一条可行的学习建议． 【答案】（1），提公因式法 （2）解：． （3）建议：学习因式分解时要牢记分解步骤，先观察多项式是否有公因式，有公因式一定要先提取，再用公式法继续分解，分解完成后要检查是否分解彻底．（合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据两人的解题步骤即可判断； （2）利用提公因式法结合平方差公式，即可完成因式分解； （3）结合因式分解的解题要求，提出合理可行的学习建议即可． 【小问1详解】 解：小明第二步将变形为，再分解为两个因式的乘积，依据的公式是平方差公式：； 小红第二步提取了公因式，因此第二步的因式分解的方法是提公因式法． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 在中，，，在边上，． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于（保留痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，连接， 由作法得：， ∵， ∴均为直角三角形， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作法画出图形，即可； （2）连接，证明，可得，再证明，可得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 随着AI技术的不断发展升级，实时翻译耳机打破语言沟通壁垒，成为学习、出行、商务的实用好物．它超低延迟实时双语互译，不用手持手机操作，解放双手自由交谈；多语种精准翻译，适合外语跟读学习、出国旅游问路、跨国洽谈开会等场景；搭配AI降噪，嘈杂环境也能清晰收音，还可留存翻译文稿，既能帮孩子练习口语、纠正发音，也能轻松搞定跨语言交流，随时随地实现无障碍沟通．请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某数码品牌推出两款AI实时翻译耳机：讯译、通译，某数码专营店取得两款耳机经销授权．讯译单台标价比通译单台标价高200元；花费6000元采购讯译的台数和花费4000元采购通译的台数相等． 素材2 某外贸公司打算采购两款翻译耳机一共30台，用来奖励驻外业务员，采购总预算不超过13500元． 素材3 门店节日促销优惠：讯译按原价八折售卖，通译每台直接降价50元． 问题解决： （1）任务1：求讯译、通译两款耳机原来每台标价分别是多少元？ （2）任务2：在促销条件下，该公司最多可以采购多少台讯译？ 【答案】（1）讯译原标价600元，通译原标价400元 （2）该公司最多可以采购23台讯译 【解析】 【分析】（1）设通译原标价为元，则讯译原标价为元；根据6000元采购讯译台数元采购通译台数列分式方程求解，最后检验分母不为0． （2）先算出促销后两款耳机单价：讯译八折为，通译降价50元为；设采购讯译台，则采购通译台，根据总预算列一元一次不等式，求最大整数解． 【小问1详解】 解：设通译耳机原来每台标价元，则讯译耳机原来每台标价元． 由题意得等量关系： ， 交叉相乘去分母：， 解得， 检验：把代入分母，，故是原分式方程的解． 讯译标价：（元） 答：讯译原标价600元，通译原标价400元． 【小问2详解】 解：讯译促销价：（元/台），通译促销价：（元/台）， 设采购讯译台，则采购通译台， 由总预算不超过13500元， 列不等式：， 解得， 为耳机台数，取最大正整数，故． 答：该公司最多可以采购23台讯译． 22. 阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务． 课堂上学习完三角形的中位线后，小丽总结可以通过旋转、剪拼发现三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，并进行了证明验．以下是小丽整理的证明过程： 已知：如图1所示：是的中位线． 求证：，． 证明：延长至，使，连接， 在与中， ，，， ， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形（依据1）， （依据2），， ，． 根据材料，完成下列任务： （1）任务一：填空，依据1 、依据2 ． （2）任务二：除上述证法外，小丽在整理的过程中发现了另外两种证法： 图2的辅助线作法：延长到，使，连接，得到四边形 图3的辅助线作法：过点作，过点作，与交于点 请选择其中一种辅助线的作法证明， （3）任务三：如图4，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，顺次连接，，，得到四边形，已知则四边形的周长为 ． 【答案】（1）一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边相等 （2）选择图2：延长到，使，连接，， 根据题意得：点E为的中点，点D为的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，； 选择图3：过点作，过点作，与交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据题意得：点E为的中点，点D为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，； （3）26 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质解答即可； （2）选择图2：延长到，使，连接，可得得到四边形，再证明四边形为平行四边形，可得，即可解答；选择图3：过点作，过点作，与交于点，可得四边形为平行四边形，再证明，可得，，证明四边形为平行四边形，可得，即可； （3）根据题意可得，从而得到四边形的周长为，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∴四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长为26． 23. 问题情境：在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形的平移与旋转”为主题，开展数学活动．如图1，和是两个全等的直角三角形，，，． （1）“博学小组”将两个三角形重叠放置，然后将固定不动，沿射线方向平移，当与重合时停止移动，连接，，． ①如图2，在平移过程中，当为中点时． 求证：四边形是平行四边形； ②如图3，在平移过程中，“博学小组”发现四边形的形状不断变化，但它的面积始终不变，请说明理由，并求得该四边形的面积为 ． （2）如图4，“兴趣小组”将两个三角形重叠放置，然后将固定不动，绕点逆时针旋转，当时，连接，直线与交于点，请直接写出的面积． 【答案】（1）①证明：由平移的性质可知，、， 为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②由平移的性质得：、， 四边形是梯形， ， ， 梯形的上底和下底的总和为定值， 过点作交的延长线于点， 和是两个全等的直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：， 梯形的高是点到的距离，恒为定值， 四边形的面积始终不变；； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据平移的性质得到、，再结合线段中点的性质得到，从而得出结论； ②平移过程中平行于，则四边形是梯形，其高为中边上的高，上下底之和为定值，由此推导面积不变，再用梯形面积公式计算即可； （2）根据旋转的性质可得到在线段上，过点A作交的延长线于点H，过点分别作、于点、，易证明是的平分线，得到，根据含角的直角三角形的性质得到，利用求出的长，最后利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：①略； ②四边形的面积为：； 【小问2详解】 解：、、旋转后点与点重合， ， 在线段上， 如图，过点A作交的延长线于点H，过点分别作、于点、，则， 在中，， 在中，， ， 是的平分线、， ， ， 在中，， ， ， ， 是的平分线、、， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查平移的性质、平行四边形的判定定理、旋转的性质、角平分线的性质定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 介休市2025—2026学年第二学期期末质量评估试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 分式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数（为常数）的图象分别与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 刺绣是我国民间传统手艺，苏绣作为我国四大名绣之一，闻名中外．某国际旅游公司计划购买仿真绣和双面绣两种苏绣作品共200件，已知双面绣作品单价300元，仿真绣作品单价200元，若总费用不超过50000元，则最多可购买双面绣作品多少件？设可购买双面绣作品件，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，垂直平分，垂足为点，交边于点，已知，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____． 12. 若分式的值为零，则的值为_______ 13. 夏季正值哈密瓜成熟上市的季节．哈密瓜表皮布满细密凹凸的天然纹路（图1），民间俗称糖线；瓜尾位置的糖线弧度越向上弯曲、纹路越紧凑饱满，说明哈密瓜成熟度越高，糖分沉淀越足．图2是哈密瓜表皮纹路的一部分，其中，，，，，是五边形的5个外角，若，则的度数为_______ 14. 我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的倍，人工修补组摊铺公里路面的时间比养护车摊铺公里路面的时间多小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面_______公里． 15. 如图，在中，过点作，交于点．将绕点逆时针方向旋转，点的对应点落在边上，点对应点为，交于点．已知，，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上； （2）解分式方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）与关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是 ． （2）将平移，使点的对应点的坐标为，请画出平移后的． （3）连接，，则为 三角形，面积为 ． 19. 学习完因式分解后，老师布置了一道练习题，下面是小明和小红同学的解法，老师表示虽然解题方法有所不同，但都正确，值得大家学习！ 小明：解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 小红：解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 思考： （1）在上述解题过程中，小明第二步依据的数学公式是 （用字母表示），小红第二步因式分解的方法叫 ． （2）用你自己喜欢的方法因式分解：． （3）结合你平时学习因式分解的经验，为同伴提一条可行的学习建议． 20. 在中，，，在边上，． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于（保留痕迹，不写作法）； （2）求证：． 21. 随着AI技术的不断发展升级，实时翻译耳机打破语言沟通壁垒，成为学习、出行、商务的实用好物．它超低延迟实时双语互译，不用手持手机操作，解放双手自由交谈；多语种精准翻译，适合外语跟读学习、出国旅游问路、跨国洽谈开会等场景；搭配AI降噪，嘈杂环境也能清晰收音，还可留存翻译文稿，既能帮孩子练习口语、纠正发音，也能轻松搞定跨语言交流，随时随地实现无障碍沟通．请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某数码品牌推出两款AI实时翻译耳机：讯译、通译，某数码专营店取得两款耳机经销授权．讯译单台标价比通译单台标价高200元；花费6000元采购讯译的台数和花费4000元采购通译的台数相等． 素材2 某外贸公司打算采购两款翻译耳机一共30台，用来奖励驻外业务员，采购总预算不超过13500元． 素材3 门店节日促销优惠：讯译按原价八折售卖，通译每台直接降价50元． 问题解决： （1）任务1：求讯译、通译两款耳机原来每台标价分别是多少元？ （2）任务2：在促销条件下，该公司最多可以采购多少台讯译？ 22. 阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务． 课堂上学习完三角形的中位线后，小丽总结可以通过旋转、剪拼发现三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，并进行了证明验．以下是小丽整理的证明过程： 已知：如图1所示：是的中位线． 求证：，． 证明：延长至，使，连接， 在与中， ，，， ， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形（依据1）， （依据2），， ，． 根据材料，完成下列任务： （1）任务一：填空，依据1 、依据2 ． （2）任务二：除上述证法外，小丽在整理的过程中发现了另外两种证法： 图2的辅助线作法：延长到，使，连接，得到四边形 图3的辅助线作法：过点作，过点作，与交于点 请选择其中一种辅助线的作法证明， （3）任务三：如图4，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，顺次连接，，，得到四边形，已知则四边形的周长为 ． 23. 问题情境：在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形的平移与旋转”为主题，开展数学活动．如图1，和是两个全等的直角三角形，，，． （1）“博学小组”将两个三角形重叠放置，然后将固定不动，沿射线方向平移，当与重合时停止移动，连接，，． ①如图2，在平移过程中，当为中点时． 求证：四边形是平行四边形； ②如图3，在平移过程中，“博学小组”发现四边形的形状不断变化，但它的面积始终不变，请说明理由，并求得该四边形的面积为 ． （2）如图4，“兴趣小组”将两个三角形重叠放置，然后将固定不动，绕点逆时针旋转，当时，连接，直线与交于点，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $