精品解析：山西运城市绛县泉掌中学等校2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学

2025-2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 一、填空（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意……数学的浪漫则在函数图象里，直线奔向远方，曲线温柔起伏．下列图象中是中心对称图形的是（ ）． A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰线 C. 笛卡尔叶形线 D. 星形线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据中心对称图形的概念，对四个图形逐一分析，再作出判断． 【详解】解：不是中心对称图形，故A不符合； 不是中心对称图形，故B不符合； 不是中心对称图形，故C不符合； 是中心对称图形，故D符合， 故选：D． 2. 已知时，分式无意义，则“□”可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件解答即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴当时，分式的分母等于0， ∵当时，， ∴C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 3. 小元学习了《特殊三角形》这一章后，经过复习整理得到以下框图，下列选项分别填入对应的括号内，不适合填入的是（ ） A. 有两个角相等 B. 两个内角互余 C. 有一个角 D. 两条直角边相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．有两个角相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．两个内角互余，则第三个角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律．李华令，，，，，分别对应6个字：乌、月、西、江、夜、啼．现请你将因式分解，结果呈现的词牌名可能为（ ） A. 乌江夜 B. 啼西月 C. 西江月 D. 乌夜啼 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的步骤是解题的关键． 将给定的多项式因式分解，得到 ，然后根据每个因式对应的字组合成词牌名． 【详解】解：∵ ， ∴对应“乌”，对应“夜”，对应“啼”， ∴结果呈现的词牌名为“乌夜啼”， 故选：D． 5. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 6. 已知点P（1+m，3）在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令点P的横坐标小于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵点P P（1+m，3）在第二象限， ∴1+m＜0， 解得： m＜-1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用不等式表示，根据图示可知车速不低于60，不超过120，再用不等号连接即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 9. 已知直线及直线外一点，嘉淇用尺规按①～③的步骤操作，如图： ①在直线上任取两点，，作射线； ②以点为圆心，长为半径画弧交射线于点，作射线； ③以点为圆心，长为半径画弧交射线于点，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：． 其中一定正确的是（ ） A. 只有结论Ⅰ B. 只有结论Ⅱ C. 结论Ⅰ和Ⅱ D. 结论Ⅱ和Ⅲ 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知是的中位线，根据中位线定理可知结论Ⅱ和Ⅲ正确． 【详解】解：由②可知，由③可知， 与不一定相等， 故结论Ⅰ错误； 由②可知，由③可知， 是的中位线， ， 故结论Ⅱ正确； 由②可知，由③可知， 是的中位线， ， 故结论Ⅲ正确； 综上所述，一定正确的是结论Ⅱ和Ⅲ． 10. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，判断出是解本题的关键．先根据含角的直角三角形的性质求出，再由旋转的性质得出，进而判断出，得出，求和即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 由旋转知，， ∵点，B，A在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “与的5倍的和是非负数”用不等式可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，关键是理解和、差、倍、分等的含义，注意运算顺序． 根据“x与y的5倍的和”用代数式表示出来，再由和为非负数即可得不等式． 【详解】解：由题意可得， “与的5倍的和是非负数”用不等式可表示为， 故答案为：． 12. 如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙_______________度． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键．先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 13. 如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，空白部分的面积为 _______平方米． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键． 根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故答案为：48． 14. 边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_______ ． 【答案】70 【解析】 【分析】首先根据长方形周长和面积的条件，推导得到与的值，对待求式进行因式分解，再将和的值代入分解后的式子，即可求出结果． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴； 长方形面积为． 则． 15. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，再根据角平分线的定义和平行线的性质，易得，，，从而，，最后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：平行四边形，， ，，，， ，， 是的平分线， ， ， ， 同理可得，， 则， 的平分线和的平分线交于上一点， ，， ， ，即， 在中，，， 则， 的长为． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 因式分解或化简 （1）因式分解：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组的解集为． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕点顺时针旋转后的． （2）已知点为轴上一点，当取得最小值时，的值是 ． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质解答即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为所求的点，再求出直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为所求的点． ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入， 得，解得， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， ． 19. 如图，在中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：． 【答案】证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ， ∴ 又∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等． 【详解】略 20. 根据以下素材，探索完成任务. 如何设计采购方案？ 素材1 宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人，工书能文，对书法造诣很深．宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等． 素材2 小明在本店购买了3套书签和4套贴纸，一共花费了110元； 小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元． 问题解决 任务1 确定单价 求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？ 任务2 探究函数关系 临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备同时购买书签和贴纸两种商品共20套．设数学王老师准备购买书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 【答案】（1）购买1套书签10元，1套贴纸20元 （2） （3）购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，求函数关系式，求函数最值，解题的关键是理解题意，列出方程组及函数关系式． （1）设购买1套书签元，1套贴纸元，根据购买方式列出方程组进行求解即可； （2）设数学王老师准备购买书签x套，则购买贴纸为套，根据题意列出函数关系式即可； （3）根据题意列出不等式求解，然后根据函数关系式求出最值即可． 【详解】解：（1）设购买1套书签元，1套贴纸元，根据题意得， 解得 ∴购买1套书签10元，1套贴纸20元； （2）设数学王老师准备购买书签x套，则购买贴纸为套， ∴总费用为元； （3）根据题意得，， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为（元）， ∴购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元． 21. 利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ； 【小问2详解】 解：， ，，， ； 【小问3详解】 解：， ，，， ． 22. 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是　 　． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是　 　．请证明你的结论． 实际应用 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是　 　海里（直接写出答案）． 【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）EF＝BE+FD，证明见解析；（3）168海里 【解析】 【分析】如图1，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，证明△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得到AE＝AG，证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，证明结论； 如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，证明△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得到AE＝AG，证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，证明结论； 如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，根据题意得到∠EOF＝∠AOB，OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°，根据图2的结论计算． 【详解】解：如图1，EF＝BE+DF， 理由如下：在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为 EF＝BE+DF； 如图2，EF＝BE+DF， 理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C， ∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°， ∴∠EOF＝∠AOB， ∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝AE+BF成立， 即EF＝1.2×（60+80）＝168（海里）． 故答案为：168． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键． 23. 如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线,交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题： （1）线段 _______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）t， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段 ；点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； 解答即可． （2）过点A作于点E，先计算，再利用三角形面积不变，面积公式计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意， ，列式计算即可． 【小问1详解】 ∵点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段 ； ∵点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． 【小问2详解】 过点A作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵是边上的高， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 故当或时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，解有一元一次方程，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末试卷 八年级数学 一、填空（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意……数学的浪漫则在函数图象里，直线奔向远方，曲线温柔起伏．下列图象中是中心对称图形的是（ ）． A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰线 C. 笛卡尔叶形线 D. 星形线 2. 已知时，分式无意义，则“□”可以是（　　） A. B. C. D. 3. 小元学习了《特殊三角形》这一章后，经过复习整理得到以下框图，下列选项分别填入对应的括号内，不适合填入的是（ ） A. 有两个角相等 B. 两个内角互余 C. 有一个角 D. 两条直角边相等 4. 词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律．李华令，，，，，分别对应6个字：乌、月、西、江、夜、啼．现请你将因式分解，结果呈现的词牌名可能为（ ） A. 乌江夜 B. 啼西月 C. 西江月 D. 乌夜啼 5. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点P（1+m，3）在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线及直线外一点，嘉淇用尺规按①～③的步骤操作，如图： ①在直线上任取两点，，作射线； ②以点为圆心，长为半径画弧交射线于点，作射线； ③以点为圆心，长为半径画弧交射线于点，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：． 其中一定正确的是（ ） A. 只有结论Ⅰ B. 只有结论Ⅱ C. 结论Ⅰ和Ⅱ D. 结论Ⅱ和Ⅲ 10. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “与的5倍的和是非负数”用不等式可表示为__________． 12. 如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙_______________度． 13. 如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，空白部分的面积为 _______平方米． 14. 边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_______ ． 15. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为________． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 因式分解或化简 （1）因式分解：． （2）化简：． 17. 解不等式组： 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕点顺时针旋转后的． （2）已知点为轴上一点，当取得最小值时，的值是 ． 19. 如图，在中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：． 20. 根据以下素材，探索完成任务. 如何设计采购方案？ 素材1 宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人，工书能文，对书法造诣很深．宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等． 素材2 小明在本店购买了3套书签和4套贴纸，一共花费了110元； 小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元． 问题解决 任务1 确定单价 求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？ 任务2 探究函数关系 临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备同时购买书签和贴纸两种商品共20套．设数学王老师准备购买书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 21. 利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； （3）结合本题知识，分解因式：． 22. 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是　 　． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是　 　．请证明你的结论． 实际应用 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是　 　海里（直接写出答案）． 23. 如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线,交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题： （1）线段 _______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $