精品解析：山东德州市庆云县2025-2026学年第二学期期末考试七年级数学试题

七年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. 3.1415 B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 旅客上飞机前的安检 B. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 C. 对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查 D. 了解某批次灯泡的使用寿命情况 3. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 两点之间，直线最短 C. 相等的角是对顶角 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 5. 某校从名九年级学生中随机选取部分学生进行数学素养问卷调查，将调研结果分为、、、四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： 根据图中信息估计，该校数学素养调研结果为等级的学生人数是（ ） A. B. C. D. 6. 2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗（如图1）集体完成奔跑、跳跃等动作，成为节目亮点之一．图2是某机器狗身体结构的平面示意图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．下列选项中正确的是（ ） A. 设该店有客房间、房客人，依题意得方程组 B. 设该店有客房间，依题意得方程 C. 设该店有房客人，依题意得方程 D. 设该店有客房间、房客人，则 9. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 当时，代数式的值是________． 12. 小明将一副常规直角三角板在桌面上摆出了如图所示的图案，点在上，且，则_____度． 13. 某商品进价8元，标价10元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打___折． 14. 已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值_______． 15. 如图第一象限内有两点，，将线段平移，使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解方程组： （1）； （2）． 17. 解不等式组： （1） （2） 18. “身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查． 调查问卷 1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选） A．田径类 B．体操类 C．球类 D．其他类 2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？ 学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题． （1）随机抽查了________名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是________； （2）估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数； （3）基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议． 19. 如图，有三个论断：①；②；③． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为，，． （1）将先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则得到，请在图中画出； （2）请直接写点的坐标____________； （3）求出的面积． （4）点D在x轴上，且的面积等于的面积，直接写出点D的坐标． 21. 某超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电器，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） （1）求A，B两种型号的电器的销售单价； （2）若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器后利润高于1800元．请求出相应的采购方案． 22. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”． （1）在方程①，②，③中，不等式组的“跟随方程”是______________；（填序号） （2）若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中的值； （3）若在三个方程①，②，③中，只有两个是关于的不等式组的“跟随方程”，直接写出的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限内，过点作轴垂线，垂足为点，过点作轴垂线，垂足为点，若、，且． （1）如图，求点的坐标； （2）如图，点从点出发向终点运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点出发沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为，连接，过点作于点，过点作于点．当时，求点的坐标； （3）如图，连接，将线段进行平移，使点的对应点恰好落在轴的负半轴上，点的对应点为点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. 3.1415 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义即可求解． 【详解】因为2 所以3.1415、、是有理数，是无理数． 故选C． 【点睛】本题考查了无理数、算术平方根，掌握无理数的定义是解答本题的关键． 2. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 旅客上飞机前的安检 B. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 C. 对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查 D. 了解某批次灯泡的使用寿命情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据调查特点判断：事关安全、范围小，需要全面掌握结果的调查适合普查；调查具有破坏性、无法全面开展的调查适合抽样调查． 【详解】解：∵旅客上飞机前的安检事关安全，必须逐一检查，适合普查，排除A； ∵了解全班同学每周体育锻炼时间，调查范围小，适合普查，排除B； ∵运载火箭零部件检查事关发射安全，必须逐一检查，适合普查，排除C； ∵测试灯泡使用寿命具有破坏性，无法对整批次每一个灯泡都测试，因此最适合采用抽样调查． 3. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据点的坐标特征即可作答，熟记点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴ 故选：． 4. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 两点之间，直线最短 C. 相等的角是对顶角 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线性质，线段公理，对顶角定义和平行公理，只需逐一判断每个命题的真假即可. 【详解】解：A选项：∵只有两直线平行时，同旁内角才互补， ∴A是假命题； B选项：∵两点之间，线段最短，不是直线最短， ∴B是假命题； C选项：∵相等的角不一定是对顶角，例如两个不相邻的直角也相等， ∴C是假命题； D选项：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴D是真命题. 5. 某校从名九年级学生中随机选取部分学生进行数学素养问卷调查，将调研结果分为、、、四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： 根据图中信息估计，该校数学素养调研结果为等级的学生人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据D等级的学生人数和所占百分比求出抽取的总学生人数，再分别求出C、B等级的学生人数，用学校总人数乘以B等级学生的占比求解即可． 【详解】解：抽取的总学生人数为（人）， 则C等级的学生人数为（人），等级的学生人数是（人）， 那么该校数学素养调研结果为等级的学生人数是（人）． 6. 2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗（如图1）集体完成奔跑、跳跃等动作，成为节目亮点之一．图2是某机器狗身体结构的平面示意图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，得出，由两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等，得出，，再结合角的和差关系得，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ∴，， ∵， ∴， 则， 即． 7. 已知有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由数轴可知，，且， ，，， ， 只有B选项正确； 8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．下列选项中正确的是（ ） A. 设该店有客房间、房客人，依题意得方程组 B. 设该店有客房间，依题意得方程 C. 设该店有房客人，依题意得方程 D. 设该店有客房间、房客人，则 【答案】B 【解析】 【分析】设该店有客房间、房客人，然后根据题意列方程组并求解即可解答． 【详解】解：设该店有客房间、房客人， A．每间客房住7人时，7人无房住，可得；每间住9人时空出1间房，可得，故A选项方程组错误； B．若设客房x间，总人数不变，可列方程，故B选项正确； C．若设房客y人，房间数量不变，可得，故C选项等式错误； D．解方程组，得，解得，代入得，即，故选项D错误． 9. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件得到关于的不等式，即可求出的取值范围. 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： 不等式组无解， ． 10. 如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；延长，交于I，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答； 【详解】解：延长，交于I． ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∴①错误；②正确， ∵平分， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③，④不一定正确． 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 当时，代数式的值是________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：当时，． 12. 小明将一副常规直角三角板在桌面上摆出了如图所示的图案，点在上，且，则_____度． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查与三角板有关的计算，平行线的性质．根据平行线的性质得到，根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：15． 13. 某商品进价8元，标价10元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打___折． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设可打x折，根据利润率不能少于，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设可打x折，由题意，得：， 解得， 因此最多可打折， 故答案为：． 14. 已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由与互为相反数，得，代入原方程组，得到关于和的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 将代入方程组得： 化简得： ， 得：， 解得： 故答案为． 15. 如图第一象限内有两点，，将线段平移，使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上． 【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′． 分两种情况： ①P′在y轴上，Q′在x轴上， 则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0， ∵0-（n-3）=-n+3， ∴n-n+2=3=3， ∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）； ②P′在x轴上，Q′在y轴上， 则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0， ∵0-m=-m， ∴m-4-m=-4， ∴点P平移后的对应点的坐标是（-4，0）； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（-4，0）． 故答案为：（0，3）或（-4，0）． 【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 17. 解不等式组： （1） （2） 【答案】（1）不等式组无解 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 由①得， 由②得， ∴不等式组无解； 【小问2详解】 解： 由①得； 由②得； 则不等式组的解集为． 18. “身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查． 调查问卷 1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选） A．田径类 B．体操类 C．球类 D．其他类 2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？ 学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题． （1）随机抽查了________名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是________； （2）估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数； （3）基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议． 【答案】（1）130， （2）360人 （3）适当增设球类、田径类活动项目，并引导每天运动时间少于2小时的学生多参加体育活动（合理即可，答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）条形统计图中各组数据相加可得学生总数；用360度乘以“球类”活动所占百分比可得对应的圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）合理即可，答案不唯一． 【小问1详解】 解：， 即随机抽查了130名学生； 扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角为：； 【小问2详解】 解：， 答：估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数为360人； 【小问3详解】 解：根据学生最喜欢的体育活动类型以及每天参加综合体育运动时间达2小时的人数不到一半的情况，建议学校可以适当增设球类、田径类活动项目，并引导每天运动时间少于2小时的学生多参加体育活动． 19. 如图，有三个论断：①；②；③． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】（1）命题1：若，，则． 命题2：若，，则． 命题3：若，，则． （2）证明见解析 【解析】 【分析】此题考查命题与定理问题，平行线的判定和性质、对顶角相等知识，分情况证明是解题的关键． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【小问1详解】 解：命题1：若，，则． 命题2：若，，则． 命题3：若，，则． 【小问2详解】 解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为，，． （1）将先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则得到，请在图中画出； （2）请直接写点的坐标____________； （3）求出的面积． （4）点D在x轴上，且的面积等于的面积，直接写出点D的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）5 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图； （2）由（1）中所作图形求解即可； （3）利用割补法求解； （4）设，根据的面积等于的面积列方程求解． 【小问1详解】 解：如图，为所求； 【小问2详解】 解：点的坐标为； 【小问3详解】 解：的面积； 【小问4详解】 解：∵点D在x轴上， ∴设 ∵的面积等于的面积 ∴，即 ∴或 ∴点D的坐标为或． 21. 某超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电器，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） （1）求A，B两种型号的电器的销售单价； （2）若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器后利润高于1800元．请求出相应的采购方案． 【答案】（1）A， B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元 （2）有以下两种采购方案： 方案1：采购A型号的电器21台，B型号的电器19台； 方案2：采购A型号的电器22台，B型号的电器18台 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式组的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设A， B两种型号电器的销售单价分别为元，元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设采购型号电器台，则采购型号电器台，由此列不等式组求解得到或，结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：设A， B两种型号电器的销售单价分别为元，元， 依题意得， 解得， 答：A， B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元． 【小问2详解】 解：设采购型号电器台，则采购型号电器台， 依题意得 ， 解得， 为整数， 或，则，， 有以下两种采购方案： 方案1：采购A型号的电器21台，B型号的电器19台； 方案2：采购A型号的电器22台，B型号的电器18台． 22. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”． （1）在方程①，②，③中，不等式组的“跟随方程”是______________；（填序号） （2）若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中的值； （3）若在三个方程①，②，③中，只有两个是关于的不等式组的“跟随方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）②③ （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解一元一次方程，正确理解“跟随方程”的定义是解题的关键． （1）求出不等式的解集，再求出三个方程的解，即可根据“跟随方程”的定义得到答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，再把整数解代入方程中求出a的值即可； （3）先求出三个方程的解，再求出不等式组中两个不等式的解集，再分别求出三个方程是不等式组的“跟随方程”时m的取值范围，最后根据只有两个方程是不等式组的“跟随方程”求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式得： 解不等式得：， ∴不等式组的解集为； 解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， ∴方程和方程是不等式组的“跟随方程”， 故答案为：②③； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为2，3， ∵方程是不等式组的“跟随方程”，且其解为整数， ∴方程的解为或， 当方程的解为时，则，解得； 当方程的解为时，则，解得； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式得：， 解不等式得：， 当方程①满足是原不等式组的“跟随方程”时，则，解得； 当方程②满足是原不等式组的“跟随方程”时，则，解得； 当方程③满足是原不等式组的“跟随方程”时，则，解得； ∴当时，方程①③是不等式组的“跟随方程”，②不是； 当时，方程②③是不等式组的“跟随方程”，①不是； 综上所述，或． 23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限内，过点作轴垂线，垂足为点，过点作轴垂线，垂足为点，若、，且． （1）如图，求点的坐标； （2）如图，点从点出发向终点运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点出发沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为，连接，过点作于点，过点作于点．当时，求点的坐标； （3）如图，连接，将线段进行平移，使点的对应点恰好落在轴的负半轴上，点的对应点为点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）（，）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性，求出、的值，即可得解； （2）连接，设运动时间为，则，，，先根据和是同底三角形，得出，进而列方程求出的值，即可得解； （3）分两种情况讨论：①当点在第四象限时，作轴；②当点在第三象限时，作轴，根据平移分别求出、的坐标，再根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 解得，， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，， ∴，， 设运动时间为，则，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得， ； 【小问3详解】 解：①如图，当点在第四象限时，作轴， 设点，则， ， ， ， 的平移方式为向下平移个单位长度，向左平移个单位长度， ， ，， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ②如图，当点在第三象限时，作轴， 设点，同理可得，， ∵， ∴ ∴， 解得， ； 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $