精品解析：北京十一实验中学2025-2026学年八年级下学期第4学段期末教与学诊断数学试题

2025~2026学年第4学段初二年级数学学科 教与学诊断 总分：100分 时间：90分钟 注意：请在答题纸的指定区域上作答，在本试卷上的答案一律不计入成绩． 一、选择题（每小题3分，本题共24分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. ，2， C. 2，3，4 D. 1，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：对选项A，最长边为， ， 能构成直角三角形，符合题意； 对选项B，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意； 对选项C，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意； 对选项D，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意． 2. 二次函数的顶点的横坐标为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，即横坐标为． 3. 已知点都在直线上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据函数解析式可得增减性，再根据增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点都在直线上，且， ∴， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为， 故选：A 5. 当前，人工智能新技术不断突破、新产业持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”“智谱清言”这6种人工智能软件的人数分别为：24，29，26，26，28，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】先将数据按从小到大顺序排列，当数据个数为偶数时，中位数为排列后中间两个数的平均数，据此求解即可． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，． ∵这组数据共有个，个数为偶数，中位数是排序后第个和第个数据的平均数， ∴这组数据的中位数为． 6. 如图，矩形绕点逆时针旋转得到矩形，连接交于点，为的中点，连接交于点，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④． 【详解】解：如图，连接， 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， F为的中点， ，故①正确； 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， ， ， ， F为的中点， ， ， ， ， 又， ， ，故②正确； ， ， ， 为等腰直角三角形， ，故③错误； 如图，延长交于点H， ， ， ， ，即， ， ， ，故④正确， 综上，正确的是①②④. 7. 某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平均下降率问题的求解方法，按照两年后待机时长=初始待机时长年平均下降率，代入对应量即可列出方程． 【详解】解：设该手机待机时长的年平均下降率为， ∵初始待机时长为小时， ∴一年后待机时长为，两年后待机时长为， 又∵现在待机时长为小时， ∴可得方程． 8. 如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 已知函数，则自变量的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列出关于的不等式，求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：要使函数有意义，需满足分母不为零且二次根式的被开方数为非负数， 在分母位置， ，解得． 10. 某研发小组设计了甲、乙两款软件，邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，一元一次不等式的应用； 先根据四个维度所占比例求出两款软件的评分，再根据甲软件的评分更高列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得： 甲软件的评分为：， 乙软件的评分为：， 因为甲软件的评分更高， 所以， 解得：， 所以表中k（k为整数）的最小值为， 故答案为：． 11. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径的平方；第二个笔筒中：直径的平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得，， 解得，， 故铅笔的长为． 12. 如图，四边形是菱形，、交于点，交于点，连接，若，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取中点，连接，由菱形的性质，对角线互相垂直平分，可得是的中位线，由中位线的性质得，，，即可得出在的垂直平分线上，进而求出，的值，再由勾股定理得，可计算出的值，最后根据三角形面积公式得，求出的值，即可计算的值． 【详解】解：如图，取中点，连接， 四边形是菱形， ，， 是的中位线， ，， 又， ， 在的垂直平分线上， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，垂直平分线的性质，勾股定理解三角形，熟练掌握相关性质，合理添加辅助线，证明并利用三角形面积相等求出的值是解题关键． 13. 若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为， 关于x的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对应相同的自变量，图像上方函数值大于下方的函数值． 15. 如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质及勾股定理求出，设，根据利用勾股定理列方程求出，然后求出，则面积可得. 【详解】解：连接， ∵点是的中点，， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴即：， 解得：， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴. 16. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______．   【答案】 【解析】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 三、解答题（本题共52分） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解一元二次方程：． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式计算多项式乘法，再根据二次根式的除法法则计算除法，最后求和即可得到结果； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：（1） ； 【小问2详解】 解： 因式分解得， 则或， 解得，． 18. 已知． （1）求的值； （2）若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）运用完全平方公式计算即可； （）根据无理数的估算得到的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴小数部分， ，， ∴小数部分， ∴， ∴． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 ，是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 21. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 当时，， 将代入得， 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，如图所示， ． 22. 如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，． （1）求证：四边形是矩形： （2）若，连接，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得出答案； （2）先根据等腰三角形的性质得，再根据含直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴，即． ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， 在中，． 23. 为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．． 下面给出了部分信息： 九年级20名学生的竞赛成绩为： 100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57． 八年级B等级的学生竞赛成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 87.5 90 a 100.05 八年级 87.5 b 88 63.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）该校八年级有1200名学生、九年级有900名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少？ 【答案】（1）90，88.5，45 （2）我认为九年级学生的竞赛成绩较好，理由见解析 （3）估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共1035人 【解析】 【分析】（1）根据众数定义结合九年级20名学生的成绩得到，对于八年级，先计算得到八年级C等级、D等级的人数，然后计算出A等级人数，最后根据中位数定义求出，由此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩，A等级人数为9人，求出； （2）在平均数相同的情况下，根据九年级学生竞赛成绩中位数90大于八年级学生竞赛成绩中位数88.5，得出九年级学生的竞赛成绩较好； （3）根据九年级20名学生中，A等级人数有11人，八年级20名学生中，A等级人数有9人，进行估计即可． 【小问1详解】 解：∵九年级20名学生的竞赛成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57． ∴九年级20名学生的竞赛成绩的众数为90， 即， ∵此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩， 又∵C等级、D等级分别占、， ∴C等级人数：（人）， D等级人数：（人）， ∵B等级人数为8人， ∴A等级人数：（人）， 将成绩从高至低排列，第10人的成绩为89，第11人的成绩为88， ∴八年级20名学生的竞赛成绩的中位数为， 即， ∵此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩，A等级人数为9人， ∴， ∴， ∴，，； 故答案为：90，88.5，45； 【小问2详解】 解：我认为九年级学生的竞赛成绩较好，理由如下： 在八年级和九年级学生的竞赛成绩平均数均为87.5的情况下，九年级学生竞赛成绩中位数90大于八年级学生竞赛成绩中位数88.5，所以九年级学生的竞赛成绩较好； 【小问3详解】 解：∵九年级20名学生中，A等级人数有11人， 又∵八年级20名学生中，A等级人数有9人， ∴估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数：（人）， 答：估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共1035人． 【点睛】本题考查了调查数据的分析与整理，准确地理解相关概念是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若对于，，总有，同号，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式进行求解即可； （2）先推导出抛物线经过点，，，分类讨论：①若，②若，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：由可知，抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 解：，， ∴， ，即， 当时，， ∵，同号， ∴ ∴ ∵ ∴ 当时， ∵，同号， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴恒成立 综上所述，的取值范围是或． 25. 点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． （1）求证：； （2）过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形, ∴，即， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； ，理由： 过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）由四边形是正方形,得，再利用等角的余角相等证明即可； （）连接，证明，再根据等边对等角和四边形的内角和求出，可得结论； 过点作于点，证明，推出，再证明 ，，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵，关于对称， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同角的等角相等等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 26. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点是点的“和谐点”． 已知，点． （1）在，，中，点的“和谐点”有__________； （2）点在直线上，若点的“和谐点”也是点的“和谐点”，求点的坐标； （3）已知点和线段，点在以，，，为顶点的四边形上，且，若线段上总存在线段上任意一个点的“和谐点”，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“和谐点”的定义判断即可； （2）设点的坐标为，则点A的“和谐点”在直线上．设点的一个“和谐点”为，根据“和谐点”的定义得到，根据点的“和谐点”也是点的“和谐点”得到点在直线上，从而可求出a的值，即可解答； （3）点的“和谐点”在直线上，通过分析得到点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域，因此线段的最小值为直线和直线的距离，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， 即点的“和谐点”在直线上， 当时，， ∴点在直线上， ∴点是点的“和谐点”； 当时，， ∴点在直线上， ∴是点的“和谐点”； 当时，， ∴点不在直线上， ∴不是点的“和谐点”； 综上所述，点的“和谐点”有，． 【小问2详解】 解：∵在直线上， ∴设点的坐标为， ∴点A的“和谐点”在直线上． 设点的一个“和谐点”为， 则点在直线上， ∴， ∴ ∵点的“和谐点”也是点的“和谐点”， ∴点在直线上， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 【小问3详解】 解：∵点， ∴点的“和谐点”在直线上． ∵， ∴， 设以，，，为顶点的四边形为四边形． ①当点在边上时，设点，其中，即， ∴点C的“和谐点”在直线上， 即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ②当点在边上时，设点，其中， ∴点C的“和谐点”在直线上， ∵， ∴ 即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ③当点在边上时，设点，其中，即， ∴点C的“和谐点”在直线上， ∵， ∴ 即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ④当点在边上时，设点，其中， ∴点C的“和谐点”在直线上， ∵， ∴ 即点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． 综上所述，点C的“和谐点”在直线和直线之间的区域． ∵线段上总存在线段上任意一个点的“和谐点”， ∴线段的最小值为直线和直线的距离． 如图，设直线交x轴于点J，交y轴于点I． 令，则，解得， 令，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线与x轴的交点为Q， 令，则，解得， ∴， ∴， 过点Q作垂直于直线，垂足为点K， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线和直线的距离为， 即线段的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第4学段初二年级数学学科 教与学诊断 总分：100分 时间：90分钟 注意：请在答题纸的指定区域上作答，在本试卷上的答案一律不计入成绩． 一、选择题（每小题3分，本题共24分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. ，2， C. 2，3，4 D. 1，， 2. 二次函数的顶点的横坐标为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 已知点都在直线上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 当前，人工智能新技术不断突破、新产业持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”“智谱清言”这6种人工智能软件的人数分别为：24，29，26，26，28，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 6. 如图，矩形绕点逆时针旋转得到矩形，连接交于点，为的中点，连接交于点，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③ 7. 某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 已知函数，则自变量的取值范围是__________． 10. 某研发小组设计了甲、乙两款软件，邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为______． 11. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 12. 如图，四边形是菱形，、交于点，交于点，连接，若，，则__． 13. 若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 15. 如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为__________． 16. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______．   三、解答题（本题共52分） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解一元二次方程：． 18. 已知． （1）求的值； （2）若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出的取值范围． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 21. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 22. 如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，． （1）求证：四边形是矩形： （2）若，连接，求的长． 23. 为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．． 下面给出了部分信息： 九年级20名学生的竞赛成绩为： 100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57． 八年级B等级的学生竞赛成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 87.5 90 a 100.05 八年级 87.5 b 88 63.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）该校八年级有1200名学生、九年级有900名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若对于，，总有，同号，且，求的取值范围． 25. 点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． （1）求证：； （2）过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点是点的“和谐点”． 已知，点． （1）在，，中，点的“和谐点”有__________； （2）点在直线上，若点的“和谐点”也是点的“和谐点”，求点的坐标； （3）已知点和线段，点在以，，，为顶点的四边形上，且，若线段上总存在线段上任意一个点的“和谐点”，直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $