精品解析：北京市第二十中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025-2026学年第二学期八年级期末练习 数学 一、选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，共24分，每小题3分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式被开方数大于等于零列式求解即可． 【详解】代数式在实数范围内有意义， ， 解得， 故选B． 2. 下列各图中反映了变量y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于自变量x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应进行判断即可． 【详解】解：Ａ、选项的图象不符合函数的定义，故不符合题意； Ｂ、选项的图象不符合函数的定义，故不符合题意； Ｃ、选项的图象不符合函数的定义，故不符合题意； Ｄ、选项满足“一对一”或“多对一”的对应关系，不符合题意． 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. 2，3，4 C. 1，， D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、 ，故选项B不符合题意； C、，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意． 4. 将一次函数的图象向上平移2个单位长度，所得直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：一次函数向上平移2个单位长度，得． 5. 如图，在四边形中，且，对角线交于点O，E为中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】证明四边形为平行四边形，，根据中位线定理得，由得，从而可得结论． 【详解】解：∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵O为对角线交点， ∴为的中点， 又∵E为中点， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 6. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 7. 如图，一次函数的图象经过点，若，则的范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图象可知：当时，则的范围是． 8. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，，直线与轴，轴分别交于，．其中，、为线段上任意两点，、为线段上任意两点，记点，，，组成的四边形为图形．下列四个结论中： ①对于任意的，都存在无数个图形是平行四边形； ②对于任意的，都存在无数个图形是矩形； ③存在唯一的，使得此时有一个图形是菱形； ④至少存在一个，使得此时有一个图形是正方形． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两条直线的斜率相等得到两直线平行，再结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐项判断结论即可． 【详解】直线与直线的斜率相等，且， 两条直线互相平行，可得线段， 只要满足，四边形就是平行四边形，在线段和上可取出无数组长度相等的和，因此对任意，都存在无数个图形是平行四边形，故正确； 由可知，对任意都存在无数个平行四边形，只要令邻边与直线垂直，即可得到矩形，也能取出无数个这样的矩形，因此对任意都存在无数个图形是矩形，故正确； 平行四边形当邻边相等时即为菱形，对任意，只要令，即可得到菱形，因此存在无数个满足条件，不是唯一的，故错误； 正方形要求图形既是矩形又是邻边相等的菱形，只要令邻边与直线垂直且，即存在对应的满足条件，因此至少存在一个使得图形是正方形，故正确； 综上，正确结论为． 二、填空题（共24分，每小题3分） 9. 明代先农坛正六边形井亭是具有明确历史意义的国内六边形古建筑代表，位于北京先农坛（今北京古代建筑博物馆内），建于明代永乐年间（世纪初），为祭祀先农时取水用的井亭．如图所示的正六边形的内角和为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：正六边形内角和为． 10. 某一次函数的图象经过点，且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，写出一个且经过的一次函数解析式即可． 【详解】解：∵函数y随x的增大而减小， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴函数图象与y轴的交点的纵坐标为2，即， ∴符合条件的函数解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的定义，理解一次函数的性质是解题的关键． 11. 已知点，都在直线上，则______．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质找出结论亦可）． 【详解】解：∵点（-2，y1）、（2，y2）都在直线y=2x-3上， ∴y1= -7，y2= 1． ∵-7＜1， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值是解题的关键． 12. 一组数据的箱线图如图，这组数据的下四分位数是______． 【答案】 60 【解析】 【分析】根据箱线图的结构特征，识别出表示下四分位数的位置，即箱体的下底边，直接读取对应的数值即可． 【详解】解：观察题中所给的箱线图，可以看到矩形箱体的下底边对应的纵轴数值为， 因此，这组数据的下四分位数． 13. 如图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得出，，再根据直角三角形的性质求出，最后求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴菱形面积． 14. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按的比例对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 15. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主题考查了勾股定理的证明，完全平方公式变形求值．根据所给图形，用含x和y的代数式分别表示出图中各部分图形的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：∵大正方形的面积为49， ∴大正方形的边长为7， 则由勾股定理得，． 故①正确． ∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴； 故②正确． ∵， ∴， ∴． 故③正确． ∵， ∴（舍负值）． 故④错误． 故答案为：①②③． 16. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，线段的长度为__________；若将该直线向右平移13个单位长度，线段扫过区域的边界恰好为菱形，则的值为__________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】第一问根据y轴上点的坐标特征求出点B的坐标，即可得到的长度，第二问根据平移的性质可知线段扫过的区域为平行四边形，由菱形的性质可得的长度等于平移距离，再利用勾股定理列方程求解k即可． 【详解】解：令，则，可得， 为坐标原点， ； 令，则，解得，可得， 将直线向右平移个单位长度，线段扫过区域的边界恰好为菱形， ∴根据菱形的性质“四条边都相等”可知：， 是直角三角形，由勾股定理得， ，整理得，解得，即． 三、解答题（共52分，第17题6分，第18-19题，每题4分，第20-24题，每题5分，第25题7分，第26题6分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用因式分解进行简便运算成为解题的关键． 先因式分解，然后将代入并运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）判断的形状为__________三角形； （2）在网格中画出，并直接写出的周长为__________． 【答案】（1）直角 （2）， 【解析】 【分析】（1）用勾股定理分别求出，，，再运用勾股定理逆定理进行判断即可； （2）运用平行四边形的判定进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：的周长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，．点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且四边形是菱形． （1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接，，，则四边形是菱形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明：，__________， 四边形是平行四边形．（_____________________）（填推理的依据） ， ， 四边形是菱形．（_____________________）（填推理的依据） 【答案】（1）所作四边形如图所示： （2）证明：，， 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ， ， 四边形是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接进行作图即可； （2）根据菱形的判定定理进行求证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知一次函数与的图象都经过点（2，1）． （1）求k，b的值； （2）在同一直角坐标系中画出这两个一次函数的图象，并结合函数图象，直接写出当x取何值时，． 【答案】（1）k=1，b=2 （2）x≤2 【解析】 【分析】（1）将点（2，1）分别代入解析式即可求出k，b； （2）利用描点法画出函数图象，解方程组求出函数图象的交点坐标，根据得到y1图象在y2象的下方，即可得到答案． 【小问1详解】 解：将点（2，1）代入，得2k-1=1，解得k=1； 将点（2，1）代入，得-1+b=1，解得b=2； 【小问2详解】 由（1）得 图象如图： 解方程组，解得， ∴两个函数图象的交点坐标为（2，1）， ∴当x≤2时，． 【点睛】此题考查了求一次函数的解析式，求两个一次函数图象交点坐标，根据图象得到不等式的解集，正确掌握一次函数的知识是解题的关键． 22. 如图，菱形的对角线相交于点O，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求AE的长． 【答案】（1）证明： ∵，，、为菱形对角线， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 又菱形中，，即， ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，再根据矩形的判定可得结论； （2）先证明为等边三角形，求得，根据勾股定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 菱形中，，， 则为等边三角形，，． 又， ∴， ∴， 在中，． 矩形OCED中，，． 在Rt中，． 23. 2026年，中国人工智能项目DeepSeek取得重大突破．其发布的新一代大模型 在推理性能上比肩全球一流模型，并率先完成与华为昇腾国产芯片的深度适配，同时开放识图模式等功能，展现出强大的多模态理解能力．其开源免费的模式与极低的推理成本，引发了全球科研界和社会的广泛关注．某初中学校为了解学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，举办了智能软件使用技能竞赛，现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： a．八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100 b．九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． c．八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 众数 82 79 方差 102.75 122.5 d．九年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________． （2）请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 【答案】（1）， （2）解：八年级成绩更好．理由：八年级和九年级的平均数相同，但八年级的方差更小（），说明八年级学生成绩更稳定 （3）名 【解析】 【分析】（1）由题意易得A组占，B组6人，所占百分比为，然后根据中位数的定义及题意进行求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数及方差可进行求解； （3）根据题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：九年级20人中，A组占，即人；B组6人，所占百分比为；所以C组占，即6人；D组人． 中位数为第10、11个数的平均值．九年级数据中，第10、11个数为81、82， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：八年级优秀人数：20人中80分以上的有15人，优秀率， 八年级优秀人数名， 九年级优秀人数：A组5人+B组6人名，优秀率， 九年级优秀人数名， 总优秀人数名， 答：八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有名． 24. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 3 2 0 1 2 3 … 其中，__________； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而__________； （4）进一步探究，若关于的方程 （）只有一个解，则的取值范围是__________． 【答案】（1）1 （2）画出该函数图象的另一部分如图， （3），大 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据函数，计算出当对应的函数值，从而可以求得m的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得； （4）观察函数图象，可以得到满足题意的k的取值范围； 【小问1详解】 解：当时，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 【小问4详解】 解：观察图象， 若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是或． 25. 四边形和都是正方形，其中正方形可以绕顶点旋转（）． （1）如图1，点在上，点在上，连接和，取的中点，连接，求证： ； （2）如图2，正方形绕点旋转到图2位置，连接和，取线段的中点，连接． ①依题意补全图2； ②判断线段与的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵四边形、是正方形， ∴， ∴， ∴， 在中，点P是斜边的中点， ∴， ∴； （2）①补全图形如图2所示， ②线段与的关系为，证明： 如图3，延长至M使，连接，则， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，作， ∴， ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴， 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而得出，得出，最后根据直角三角形的性质，即可得出结论； （2）根据题意补全图形即可； ②线段与的关系为，延长至M使，连接，则，判断出，得出，再判断出，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②略 26. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． （1）已知，点，点． ①在点，，，中，线段的“相随点”是__________； ②若点为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点的坐标； （2）已知，点，点，正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②的最小值为，此时 （2）或 【解析】 【分析】（1）①首先求出，然后根据平行四边形的性质得到，然后设，然后分别验证求解即可； ②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后问题可求解； （2）首先得出正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标，设，然后分情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点P在直线上， ∴设， ∴若，且， ∴， ∴， ∴符合题意， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且， ∴，此时方程无解， ∴不是线段的“相随点”； ∴若，且， ∴，此时方程无解； ∴不是线段的“相随点”； 综上所述，线段的“相随点”是，； ②∵点Q为线段的“相随点”， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴设，， ∴， ∴， ∴点Q在直线上运动， 如图，连接，，作点O关于直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度， 分别将和代入直线得：， ∴， ∴， ∵点O和点关于直线对称， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行， ∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标， ∵点，点，设， 设所在直线表达式为， ∴， 解得， ∴所在直线表达式为， 若与等长，如图，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时， ∴四边形是平行四边形， ∴根据平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式可得：， 解得， 当点F在上时，则有，解得：， ∴，此方程组无解， ∴不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴； 若与等长，如图，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时， ∴同理可得， 解得， 当点C在上时，则有，解得：， ∴，此方程组无解， ∴不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴； 综上所述，t的取值范围或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与四边形综合题，新定义问题，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确分析题目，掌握一次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级期末练习 数学 一、选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，共24分，每小题3分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中反映了变量y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. 2，3，4 C. 1，， D. 1，2，3 4. 将一次函数的图象向上平移2个单位长度，所得直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，且，对角线交于点O，E为中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 6. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 如图，一次函数的图象经过点，若，则的范围是（     ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，，直线与轴，轴分别交于，．其中，、为线段上任意两点，、为线段上任意两点，记点，，，组成的四边形为图形．下列四个结论中： ①对于任意的，都存在无数个图形是平行四边形； ②对于任意的，都存在无数个图形是矩形； ③存在唯一的，使得此时有一个图形是菱形； ④至少存在一个，使得此时有一个图形是正方形． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共24分，每小题3分） 9. 明代先农坛正六边形井亭是具有明确历史意义的国内六边形古建筑代表，位于北京先农坛（今北京古代建筑博物馆内），建于明代永乐年间（世纪初），为祭祀先农时取水用的井亭．如图所示的正六边形的内角和为______． 10. 某一次函数的图象经过点，且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式_____． 11. 已知点，都在直线上，则______．（填“<”或“>”或“=”） 12. 一组数据的箱线图如图，这组数据的下四分位数是______． 13. 如图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为__________． 14. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按的比例对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为______． 15. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是________． 16. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，线段的长度为__________；若将该直线向右平移13个单位长度，线段扫过区域的边界恰好为菱形，则的值为__________． 三、解答题（共52分，第17题6分，第18-19题，每题4分，第20-24题，每题5分，第25题7分，第26题6分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）判断的形状为__________三角形； （2）在网格中画出，并直接写出的周长为__________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，．点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且四边形是菱形． （1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接，，，则四边形是菱形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明：，__________， 四边形是平行四边形．（_____________________）（填推理的依据） ， ， 四边形是菱形．（_____________________）（填推理的依据） 21. 已知一次函数与的图象都经过点（2，1）． （1）求k，b的值； （2）在同一直角坐标系中画出这两个一次函数的图象，并结合函数图象，直接写出当x取何值时，． 22. 如图，菱形的对角线相交于点O，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求AE的长． 23. 2026年，中国人工智能项目DeepSeek取得重大突破．其发布的新一代大模型 在推理性能上比肩全球一流模型，并率先完成与华为昇腾国产芯片的深度适配，同时开放识图模式等功能，展现出强大的多模态理解能力．其开源免费的模式与极低的推理成本，引发了全球科研界和社会的广泛关注．某初中学校为了解学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，举办了智能软件使用技能竞赛，现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： a．八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100 b．九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． c．八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 众数 82 79 方差 102.75 122.5 d．九年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________． （2）请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 24. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 3 2 0 1 2 3 … 其中，__________； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而__________； （4）进一步探究，若关于的方程 （）只有一个解，则的取值范围是__________． 25. 四边形和都是正方形，其中正方形可以绕顶点旋转（）． （1）如图1，点在上，点在上，连接和，取的中点，连接，求证： ； （2）如图2，正方形绕点旋转到图2位置，连接和，取线段的中点，连接． ①依题意补全图2； ②判断线段与的关系，并证明你的结论． 26. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． （1）已知，点，点． ①在点，，，中，线段的“相随点”是__________； ②若点为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点的坐标； （2）已知，点，点，正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $