精品解析：河北石家庄市新华区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

八年级数学 一、填空题（在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 点在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 了解两江新区的空气质量 B. 调查华为三折叠手机屏幕的使用寿命 C. 调查重庆市所有九年级学生视力的情况 D. 我国新一代核潜艇下水前的检查 4. 函数的图象为( ) A. B. C. D. 5. 如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的中点，测量尺的零刻度与点重合．现测得的长为，则内槽宽的长为（ ） A. B. C. D. 6. 年南昌市第一次模拟考试中，全市共有约万名考生参加数学科目考试．为了解本次模考考生数学成绩的整体分布情况，市教研部门从中随机抽取了名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法错误的是（ ） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 万名考生是总体 C. 是样本容量 D. 名考生的数学成绩是总体的一个样本 7. 如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（ ） A. 甲是矩形 B. 乙是矩形 C. 甲、乙均是矩形 D. 甲、乙都不是矩形 8. 布洛芬是一种解热镇痛抗炎药，该药在人体内发挥药效的最低血药浓度为．某研究部门将一批相同症状的患者分为两组，甲组服用布洛芬片剂，乙组服用等效的布洛芬缓释胶囊，两组均于上午服药并定时静脉抽血测验，测得平均血药浓度随时间推移的关系图象如图所示．下列结论错误的是（ ） A. 甲组服药后，血药浓度最高 B. 布洛芬缓释胶囊起效更快 C. 服药的前，两组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大 D. 布洛芬缓释胶囊的药效持续时间更长 9. 如图，是的高，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．连接，．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，点一定运动到的中点 C. D. 菱形的面积是 12. 如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法： ①当时，； ②当点落在上时，四边形是菱形； ③在点运动的过程中，线段的最小值为； ④连接，则四边形的面积始终等于． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题 13. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 14. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于一点，则关于，的二元一次方程组的解为______． 15. 如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在轴上，点，，…在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是________． 三、解答题 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． （1）把三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形，请你画出三角形（点A、B、C的对应点分别为点）； （2）请直接写出点的坐标； （3）已知点是三角形ABC内部的一点，则平移后的对应点的坐标为_________． 18. 为深化青少年家国情怀培育，某校开展了“时代有我，家国天下”系列主题活动，设计了A．主题演讲、B．丹青筑梦、C．逐梦科技、D．家国征文、E．时代剧演五种活动．活动结束后，随机抽取了部分七年级学生对“你最喜欢的活动”展开调查（每名学生只能选一项）．根据收集到的数据，绘制了下列统计图． 数据应用 （1）本次共抽取了 名学生，扇形统计图中， ． （2）请补全条形统计图． （3）若该校七年级共有1200名学生，请你估计最喜欢的活动为“A．主题演讲”的学生人数． 19. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值： 输入x … 2 5 7 9 11 … 输出y … 5 4 10 16 22 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为时，输出的y值为______； （2）求k，b的值； （3）当输出的y值为6时，求输入的x值． 20. 如图，正方形的边长为，以对角线为一边作菱形，与交于点，求的度数和的长． 21. 某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪元，每完成一单外卖业务再提成元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一、方案二中骑手的月工资分别为、元． （1）分别写出、关于的函数表达式； （2）若小林是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 22. 如图，已知直线表达式为，直线表达式为，两直线交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）根据图象，直接写出当时，的取值范围是________； （2）求的值和的面积； （3）若点在直线上，且，则点的坐标为________． 23. 某风景区内的公路如图所示，景区内有免费的班车，从入口处出发沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图所示． （1）求第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式．并写出的取值范围； （2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间； （3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第________班车．如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了________分钟．（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变） 24. 【问题背景】 如图，在矩形中，，，点是矩形对角线中点，经过点的直线与、分别交于点、，点、是线段、上的点，，设，连接，，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）直接写出满足什么条件，四边形为菱形． 【操作探究】 （3）尺规作图：在图中作出正方形，并求的值；（尺规作图需保留作图痕迹，不写作法） 【拓展探究】 （4）如图，若四边形为矩形，的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、填空题（在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 点在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：，，符合第四象限点的坐标符号特征， 点所在的象限是第四象限． 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解自变量取值范围即可． 【详解】∵ 二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得． 3. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 了解两江新区的空气质量 B. 调查华为三折叠手机屏幕的使用寿命 C. 调查重庆市所有九年级学生视力的情况 D. 我国新一代核潜艇下水前的检查 【答案】D 【解析】 【分析】普查适用于范围较小、无破坏性且意义重大的调查，抽样调查适用于范围大、有破坏性的调查． 【详解】解：A选项两江新区范围大，空气质量调查适合抽样调查； B选项测试手机屏幕使用寿命具有破坏性，适合抽样调查； C选项重庆市九年级学生人数多、范围大，适合抽样调查； D选项核潜艇下水前检查意义重大，需全面排查，适宜采用普查． 4. 函数的图象为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项． 令，则，解得，即函数与x轴的交点为； 令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 5. 如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的中点，测量尺的零刻度与点重合．现测得的长为，则内槽宽的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线，掌握三角形中位线的特点是解题的关键． 【详解】，分别为，的中点， 是的中位线， ， ， 故选． 6. 年南昌市第一次模拟考试中，全市共有约万名考生参加数学科目考试．为了解本次模考考生数学成绩的整体分布情况，市教研部门从中随机抽取了名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法错误的是（ ） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 万名考生是总体 C. 是样本容量 D. 名考生的数学成绩是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样调查、总体、样本、样本容量的定义，逐项分析即可求解． 【详解】解：本次调查从全体考生中抽取部分考生成绩分析，调查方式为抽样调查，故A选项说法正确； 本次调查的对象是考生的数学成绩，因此总体是万名考生的数学成绩，故B选项说法错误； 样本容量是样本中个体的数量，因此是样本容量，故C选项说法正确； 抽取的名考生的数学成绩是总体的一个样本，故D选项说法正确． 7. 如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（ ） A. 甲是矩形 B. 乙是矩形 C. 甲、乙均是矩形 D. 甲、乙都不是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 根据矩形的判定定理对甲、乙进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记的交点为， 由图可知，，的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 8. 布洛芬是一种解热镇痛抗炎药，该药在人体内发挥药效的最低血药浓度为．某研究部门将一批相同症状的患者分为两组，甲组服用布洛芬片剂，乙组服用等效的布洛芬缓释胶囊，两组均于上午服药并定时静脉抽血测验，测得平均血药浓度随时间推移的关系图象如图所示．下列结论错误的是（ ） A. 甲组服药后，血药浓度最高 B. 布洛芬缓释胶囊起效更快 C. 服药的前，两组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大 D. 布洛芬缓释胶囊的药效持续时间更长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，读懂函数图象是解题的关键． 根据函数图象分析各选项即可． 【详解】解：A、由函数图象可得甲组上午服药，血药浓度最高，甲组服药后，血药浓度最高，正确，故本选项不符合题意； B、从图象可知，甲组（服用布洛芬片剂）在较短时间内血药浓度就达到较高值，而乙组（服用布洛芬缓释胶囊）上升相对较慢，所以布洛芬片剂起效更快，该选项说法错误，故本选项符合题意； C、观察图象，在服药的前4小时，即这段时间，甲组和乙组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大，所以该选项说法正确，故本选项不符合题意； D、从图象可以看出，乙组（布洛芬缓释胶囊）的血药浓度在较长时间内都保持在一定水平，相比甲组，其药效持续时间更长，所以该选项说法正确，故本选项不符合题意， 故选：B． 9. 如图，是的高，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求解，再根据平行四边形的性质可解． 【详解】解：∵是的高，且， ∴， 在中，， ∴ ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，又点的坐标是，点的坐标是，平行于轴，则，点，然后代入即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称， ∵点的坐标是，点的坐标是，平行于轴， ∴，点， ∴点． 11. 如图，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．连接，．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，点一定运动到的中点 C. D. 菱形的面积是 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象得出菱形边长，从而求出的值；利用等边三角形面积公式求出的值；根据菱形面积公式计算面积；结合函数图象的对称性分析点的位置． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 由图2可知，点运动的总路程为． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得 ∴，故A错误． 当点运动到点时，的面积最大，最大值为，此时中，，，是等边三角形． ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确． ，故D错误． 当时，即，根据函数图象的对称性，点可能运动到的中点，也可能运动到的中点，故B错误． 12. 如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法： ①当时，； ②当点落在上时，四边形是菱形； ③在点运动的过程中，线段的最小值为； ④连接，则四边形的面积始终等于． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，求出，根据等角对等边即可判断①正确；画出图形，证明出是等边三角形，从而得到，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断②正确；画出反例的图形，即可判断③错误；画出图形，连接交于点，根据，即可判断④正确． 【详解】解：如图1，当时，则， 在中，，，，将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故说法①正确，符合题意； 如图2，当落在上时，点和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 故说法②正确，符合题意； 如图3， 当点靠近点时，在四边形外部，此时， ， 故说法③错误，不符合题意； 如图4，连接交于点， 将沿翻折得， 垂直平分， ， 故说法④正确，符合题意， 综上所述，正确的有①②④． 二、填空题 13. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和，首先根据正多边形的每个外角都相等都是，可以求出多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等， 多边形的边数为， 这是一个正边形， 这个正多边形的内角和为． 故答案为：. 14. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于一点，则关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系． 根据函数图象的交点，是同时满足两个函数解析式的点，也是对应方程组的公共解，解得点的坐标即可得到答案． 【详解】解：点在直线上， 代入得：， 交点的坐标为， 关于，的二元一次方程组，相当于函数的函数图象的交点坐标， 两函数图像交于， 方程组的解为． 15. 如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】两个点纵坐标相等时，两个点连成的线段平行x轴，利用平行线的性质和角平分线的定义得出，用勾股定理求出的长进行求解； 【详解】解：∵点A、点B的坐标为和， 轴 ∴， ， ， ， 在中，， 平分， ， ， ， ， ， ， ∴点D的坐标为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在轴上，点，，…在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题需利用等腰直角三角形的性质（直角边相等）和直线上点的坐标特征（横、纵坐标相等），通过分析前几个点的坐标规律，推导出的坐标． 【详解】解：已知，是等腰直角三角形，且点在直线上（横、纵坐标相等）． 为等腰直角三角形，在x轴上， ，且轴， ， 是等腰直角三角形， ∴， ， 又是等腰直角三角形，且在直线上， ， 同理，是等腰直角三角形，，则， 是等腰直角三角形，在直线上，故的横、纵坐标均为，即， 观察，，， ∴可归纳出：点的坐标为． 当时，代入规律得的坐标为． 三、解答题 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． （1）把三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形，请你画出三角形（点A、B、C的对应点分别为点）； （2）请直接写出点的坐标； （3）已知点是三角形ABC内部的一点，则平移后的对应点的坐标为_________． 【答案】（1） 如图所示； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，分别将点、、向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到对应点、、，顺次连接即可画出三角形． （2）根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减的平移规律，分别计算点、、平移后的坐标． （3）根据点的平移规律，直接计算点平移后的对应点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）作图得； 【小问3详解】 解：∵，三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形， ∴，， ∴． 18. 为深化青少年家国情怀培育，某校开展了“时代有我，家国天下”系列主题活动，设计了A．主题演讲、B．丹青筑梦、C．逐梦科技、D．家国征文、E．时代剧演五种活动．活动结束后，随机抽取了部分七年级学生对“你最喜欢的活动”展开调查（每名学生只能选一项）．根据收集到的数据，绘制了下列统计图． 数据应用 （1）本次共抽取了 名学生，扇形统计图中， ． （2）请补全条形统计图． （3）若该校七年级共有1200名学生，请你估计最喜欢的活动为“A．主题演讲”的学生人数． 【答案】（1）120； （2）解：D的人数为（名）, 补全条形统计图如图所示： （3）90名 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图的关联信息计算即可； （2）先计算D的人数，再画图即可； （3）用样本所占的百分比去估计总体的数量即可． 【小问1详解】 解：本次共抽取了学生（名）； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：估计最喜欢的活动为“A．主题演讲”的学生有（名）． 19. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值： 输入x … 2 5 7 9 11 … 输出y … 5 4 10 16 22 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为时，输出的y值为______； （2）求k，b的值； （3）当输出的y值为6时，求输入的x值． 【答案】（1）； （2）， （3）或． 【解析】 【分析】（1）把代入，即可得到结论； （2）将，，代入解方程即可得到结论； （3）解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：当输入的值为时，输出的值为， 故答案为：； 【小问2详解】 将，，代入， 得， 解得； 【小问3详解】 把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， 输出的值为6时，输入的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键． 20. 如图，正方形的边长为，以对角线为一边作菱形，与交于点，求的度数和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据正方形与菱形的对角线性质证出，通过等角互余推导角度相等，算出的度数；再证明得到，连接判定等腰，设未知数结合勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ∵四边形是正方形，边长为， ，，． ∵四边形是菱形， 平分，，． ． ∵， ， ． ∵， ∴， ∴，， ． 在和中， ， ． ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 设，则，， ． ∵， ． ， 解得． 故的长为． 21. 某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪元，每完成一单外卖业务再提成元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一、方案二中骑手的月工资分别为、元． （1）分别写出、关于的函数表达式； （2）若小林是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】（1）（为正整数），（为正整数） （2）每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二． 【解析】 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出、对应的一次函数表达式． （2）分别列出、、三种关系式，依次解不等式、方程，结合为正整数的条件分类说明对应选择的方案． 【小问1详解】 解：（为正整数），（为正整数）； 【小问2详解】 解：①当时，， 解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ②当时，， 解得， ∵为正整数， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ③当时，， 解得， ∵为正整数， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 答：每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二． 22. 如图，已知直线表达式为，直线表达式为，两直线交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）根据图象，直接写出当时，的取值范围是________； （2）求的值和的面积； （3）若点在直线上，且，则点的坐标为________． 【答案】（1）； （2），； （3）或． 【解析】 【分析】（1）不等式等价于，结合两直线交点横坐标，取直线在下方部分对应的范围即可． （2）先将点代入求出，得到完整坐标，再代入求；再分别求出两点坐标得到长度，以为底、点横坐标绝对值为高，用三角形面积公式计算． （3）先算出面积，得到的面积，由为定底推出点横坐标绝对值，结合在上分两种情况求出坐标． 【小问1详解】 解：∵两直线交点横坐标为， ∵即，图像上在下方，此时， ∴的取值范围是． 【小问2详解】 解：∵在上， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴． ∵，令， ∴，， ∵，令， ∴，， ∴， ∵的高为点横坐标， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 当时，，， 当时，，， ∴点坐标为或． 23. 某风景区内的公路如图所示，景区内有免费的班车，从入口处出发沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图所示． （1）求第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式．并写出的取值范围； （2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间； （3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第________班车．如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了________分钟．（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变） 【答案】（1），的取值范围：； （2）第一班车从入口处到达塔林所需的时间为分钟； （3）6， 【解析】 【分析】（1）先确定第一班车图像上两个关键点坐标，设一次函数解析式，代入坐标求出系数，再结合图像端点写出自变量的取值范围． （2）将塔林对应路程代入第一班车的函数解析式，求解对应的，再减去班车发车延迟的20分钟，得到班车行驶时间． （3）先算出小聪到达塔林、游玩结束的总时间，换算对应实际时刻，结合班车8点起每10分钟一班的发车规则确定最早乘坐班车班次；再分别计算步行剩余路程耗时、坐班车剩余路程耗时，两者作差得到提早的时间． 【小问1详解】 解：设解析式为， ∵第一班车图像过、， ∴， 解得，， ∴， 由图像得的取值范围：； 【小问2详解】 解：把代入得 ， 解得， ∵班车才发车， ∴行驶时间：（分）， 答：第一班车从入口处到达塔林所需的时间为分钟； 【小问3详解】 解：小聪到达塔林，游玩40分钟， 离开塔林时刻对应， 第一班车对应，发车基准时刻：过分钟， 发车间隔10分钟，各班车对应： 1班：， 2班：， 3班：， 4班：， 5班：， 6班：， ∵，赶不上5班， ∴最早坐6班． 小聪步行速度：（米/分）， 塔林到草甸路程1200米， 全程步行耗时：（分）， 班车速度：（米/分）， 塔林到草甸班车行驶时间：（分）， 6班班车对应到达塔林，到草甸； 小聪从塔林步行，到草甸时刻， 时间差：（分）． ∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了分钟． 24. 【问题背景】 如图，在矩形中，，，点是矩形对角线中点，经过点的直线与、分别交于点、，点、是线段、上的点，，设，连接，，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）直接写出满足什么条件，四边形为菱形． 【操作探究】 （3）尺规作图：在图中作出正方形，并求的值；（尺规作图需保留作图痕迹，不写作法） 【拓展探究】 （4）如图，若四边形为矩形，的最小值为________． 【答案】（1）证明：对角线的中点为， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ，且，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） （3）； （4）3 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，且，可证四边形是平行四边形； （2）当时，为菱形； （3）作的垂直平分线交于，以为圆心为半径画弧，交于，则四边形是正方形；利用直角三角形和勾股定理即可求得的值； （4）若四边形为矩形，则，求的最小值即求最小值，当时最小，此时． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问4详解】 解：若四边形为矩形， 则， 求的最小值即求最小值， 当时最小，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $