精品解析：山西省部分普通高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

普通高中2025-2026学年（下）高二年级期末考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 3. 经过抛物线与的两个交点的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 设复数与在复平面内对应的点分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 8. 已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 在某次实验中，某同学根据4个样本点，，，，利用最小二乘法得到关于的经验回归方程，设对应的回归直线为：.已知这4个样本点到的距离均不超过，记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.（注：由最小二乘法所得残差满足，），则（ ） A. 样本点对应的残差为1 B. 样本点到的距离为 C. D. 11. 设曲线：，过上横坐标为t的点作切线，切线与坐标轴分别交于点，，记，则（ ） A. 的轨迹与x轴仅有一个交点 B. 的轨迹与y轴仅有一个交点 C. 的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D. 的轨迹在第四象限仅有一个最低点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的离心率为_____. 13. 端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不同的选择方式共有____种（用数字作答）. 14. 已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 在中，，，． （1）求； （2）求的外接圆的半径与的面积． 17. 在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对，其中状态指示值.工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中x的值总和为140，y的值总和为150，设该样本中信号对（1，1）出现的频数为，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值. （1）直接补全下列列联表（用m表示）： 单位：个 合计 合计 100 （2）若按样本频率得到的x与y相互独立，即. （i）求m的值，并计算单次输出时满足的概率p； （ii）现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对个数为X，求X的分布列与数学期望. 附：，其中. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：，且点到C的上顶点以及右顶点的距离分别为和1. （1）求的标准方程. （2）过点T的直线与交于A，B两点，设M为线段的中点. （i）证明：点M在曲线上； （ii）若的面积为，求的方程. 19. 已知定义在上的函数的零点为，且，，. （1）试猜想数列的通项公式，并加以验证； （2）求数列的最小值与数列的最小值； （3）证明：是递增数列 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2025-2026学年（下）高二年级期末考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用并集与补集的定义进行求解. 【详解】， 所以. 2. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由等差数列的性质，得，解得， 故的公差. 3. 经过抛物线与的两个交点的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立求出交点坐标，进而求出直线方程. 【详解】联立，得，即，解得或， 所以两抛物线的交点为，， 故过两个交点的直线方程为. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，即， 则，解得或（舍去）， 则. 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布对称性得，再用条件概率公式计算得结果. 【详解】因为X服从均值为0的正态分布，所以其正态曲线关于直线对称， 由，得， 于是，且， 所以. 6. 设复数与在复平面内对应的点分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据复数的乘方运算法则及复数的对应点的坐标列得关于的方程，求得的值，从而求得. 【详解】设，则. 所以，所以， 所以， 由②得， 所以或. 当时，由①得，即， 因为，所以该方程无实数解； 当时，，所以， 所以. 综上所述，. 7. 若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 【答案】D 【解析】 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 8. 已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先设直线上点，由切线长公式写出以为圆心的圆半径平方；两圆有公共点等价于，化简发现恒成立，只需保证对任意成立，整理得到含根号的不等式，分与讨论，平方后转化为开口向上的二次函数在恒非负，由判别式求得，即最小值为． 【详解】设，记， 点P到圆O的切线长为，则， 圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于， 因为， 所以. 又，所以，所以恒成立， 由，得，整理得， 即①对任意实数成立， 当时，①式成立； 当时，①式两边平方，得， 即，也即②， 若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意； 若，取，此时，②式不成立， 综上所述，实数的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 10. 在某次实验中，某同学根据4个样本点，，，，利用最小二乘法得到关于的经验回归方程，设对应的回归直线为：.已知这4个样本点到的距离均不超过，记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.（注：由最小二乘法所得残差满足，），则（ ） A. 样本点对应的残差为1 B. 样本点到的距离为 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用残差的定义与性质列方程，再结合 点到直线的距离约束筛选参数，逐一验证选项即可. 【详解】选项A，由题意可知残差，四个样本点的残差依次为，，，，样本点对应的残差为，A错误； 选项B，点到的距离为，B正确； 选项C，因为，，所以，即， 且，即， 将代入，得，解得或，C错误； 选项D，点到直线的距离为， 由题意得，对于点，有，所以，故，故，C错误，D正确. 11. 设曲线：，过上横坐标为t的点作切线，切线与坐标轴分别交于点，，记，则（ ） A. 的轨迹与x轴仅有一个交点 B. 的轨迹与y轴仅有一个交点 C. 的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D. 的轨迹在第四象限仅有一个最低点 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求切线方程与坐标轴的交点，利用中点关系得到的参数坐标，消参得到轨迹，再通过导数分析单调性与极值，判断轨迹与坐标轴的交点、象限内的最值情况. 【详解】由，得， 曲线在横坐标为t的点处的切线为，即， 令，得横坐标，即；令，得纵坐标，即， 由可知，是的中点，则； 设，则，消去得. 选项A，令，则，仅与轴交于，A正确； 选项B，令，则，仅与轴交于，B正确； 选项C，求导，则，为极大值点，此时，点在第二象限，即最高点，C正确； 选项D，，函数单调递减，第四象限无最低点，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先将方程化为标准形式，确定，求出离心率. 【详解】由，得， 所以双曲线的焦点在y轴上，且，，从而，， 所以双曲线的离心率为. 13. 端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不同的选择方式共有____种（用数字作答）. 【答案】36 【解析】 【分析】先把4项活动按2,1,1分组，再将三组全排列分配给3人，分步相乘得到结果. 【详解】先将4个活动分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为， 再将分好的三组全排列，分配给3名不同的员工，排列方法数为， 根据分步乘法计数原理，不同的选择方式共有6×6=36种. 14. 已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得． 【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数， 由等差数列的通项公式可得，所以 当时，，则， 因为等比数列的各项均为正整数，所以， 若，则，不成立， 故，且， 当时，， 整理得，即， 由等比数列的定义可得， 则， 因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项， 若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数， 所以，则， 所以，，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，得平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直性质得到，进而证得. （2）建系求的法向量后算正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，可得，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则有即 取，则， 记直线与平面所成的角为， 故. 16. 在中，，，． （1）求； （2）求的外接圆的半径与的面积． 【答案】（1） （2）半径，2 【解析】 【详解】解：（1）由余弦定理，得， 即，整理可得，解得． （2）由，得． 由正弦定理，得的外接圆的半径， 的面积． 17. 在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对，其中状态指示值.工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中x的值总和为140，y的值总和为150，设该样本中信号对（1，1）出现的频数为，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值. （1）直接补全下列列联表（用m表示）： 单位：个 合计 合计 100 （2）若按样本频率得到的x与y相互独立，即. （i）求m的值，并计算单次输出时满足的概率p； （ii）现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对个数为X，求X的分布列与数学期望. 附：，其中. 【答案】（1） 合计 60 40 合计 50 50 100 （2）（i），（ii）X的分布列为 0 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】（1）利用数值总和建立方程组，求出各行各行、各列合计频数，再用表示四类信号频数完成填写； （2）（i）卡方值为0等价于变量独立，满足求出，统计总频数，除以样本总数得对应概率； （ii）单次试验独立且成功概率恒定，判定服从二项分布，即，套用二项分布公式写分布列、用求期望. 【小问1详解】 设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为， 依题意可得解得 设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为， 依题意可得解得 由信号对（1，1）的频数为，可得当时，与的频数分别为与，当时，与的频数分别为与. 故补全的列联表如下： 单位：个 合计 60 40 合计 50 50 100 【小问2详解】 （i）由，得， 解得. 由上述结果可知信号对（2，2）出现的频数为30-10=20，故样本中满足的总频数为30+20=50，将此样本频率视为概率即可得到单次输出时满足的概率. （ⅱ）由题干可知每次输出信号对相互独立，且每次满足的概率均为，由此判断随机变量X服从二项分布，即. 随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，4， ，，， ，. 则X的分布列为 0 1 2 3 4 因为，所以. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：，且点到C的上顶点以及右顶点的距离分别为和1. （1）求的标准方程. （2）过点T的直线与交于A，B两点，设M为线段的中点. （i）证明：点M在曲线上； （ii）若的面积为，求的方程. 【答案】（1） （2）（i）证明：当直线不垂直于轴时，设其方程为. 代入，得，整理得. 设交点A，B的横坐标分别为，，则， 所以中点M的横坐标为. 因为点M在直线上，所以中点M的纵坐标为. 于是， 即点在曲线上. 当直线垂直于轴时，直线的方程为， 易得线段的中点也满足. 综上，点M在曲线上. （ii）或. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆顶点坐标与两点间的距离公式，直接求出的值，写出标准方程； （2）（i）分直线斜率存在与不存在两种情况，联立直线与椭圆方程，用韦达定理求中点坐标，代入曲线方程验证即可； （ii）排除直线垂直于轴的情况，利用中点纵坐标表示三角形面积，列方程求出斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 椭圆：的上顶点为，右顶点为. 由点到上顶点的距离为，得，所以，又，所以. 由点到右顶点的距离为1，得，即或，又，所以. 因此椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）若直线垂直于轴，则，点M，T重合，不合题意. 故由（2）（i），得，而，， 所以的面积为. 由题意，得，所以，即. 令，则，且，整理得，即，所以， 故或. 因此直线的方程为或，即或. 19. 已知定义在上的函数的零点为，且，，. （1）试猜想数列的通项公式，并加以验证； （2）求数列的最小值与数列的最小值； （3）证明：是递增数列 【答案】（1）由，，，得，，， 猜想数列的通项公式为， 因为，所以猜想成立. （2）数列的最小值为，的最小值为. （3）证明：， 于是， 设，， . 下面证明. 注意到， 显然， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 故， 于是，则，在上单调递增， 于是是递增数列. 【解析】 【分析】（1）代入前三项归纳通项，再将通项回代零点函数验证等式成立； （2）构造连续函数，对比整数点得最小值；计算相邻项比值，比较前两项大小确定的最小值； （3）求导化简，转化为单变量函数，导数恒正证函数单增，推导出对应数列为递增数列. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设，故， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 而， 注意到， 结合函数的单调性，可知. 故数列的最小值为. 易知当时，， 而，， 又，， 故数列的最小值为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $