精品解析：山西省临汾第一中学校2025-2026学年第二学期高二期末考试数学试题

临汾一中2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试 数学试题（卷） （测试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，故. 2. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，则从甲地到丁地不同的走法总数为（ ） A. 11 B. 14 C. 30 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理计算求解. 【详解】第一类：甲先到乙地再到丁地，此时共有种不同的走法； 第二类：甲先到丙地再到丁地，此时共有种不同的走法； 所以甲地到丁地不同的走法总数为. 3. 在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用平面的法向量与直线的方向向量的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量， 若，则，所以，解得，所以充分性不成立； 反之：若，可得，此时， 可得与不垂直，所以与不平行，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 4. 已知随机变量满足，，则（ ） A. B. C. 8 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二项分布的概率公式求出参数，计算的方差，最后根据方差的运算性质计算即可. 【详解】已知随机变量，则，解得. 所以. 根据方差的性质，. 5. 从数字0、1、2、3、4、5中任取3个数字构成无重复数字的3位数，其中能被3整除的整数的个数为（ ） A. 40 B. 42 C. 46 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】先找出能被3整除的无重复数字的3位数，再分选了0和选了3两种情况求解即可. 【详解】从0或3，1或4，2或5中各选一个数字，构成的3位数能被3整除； 若选了0，构成能被3整除的整数的个数为； 若选了3，构成能被3整除的整数的个数为． 可得能被3整除的整数的个数为． 6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的最大值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可知： ，则 ， 由标准方程可知焦点坐标分别为： ， 由题意可知： ，据此有： ， 而 ， 则的最大值是6. 7. 为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（ ） A. < B. = C. > D. 、关系不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据残差点图分析拟合效果，从而得到答案. 【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以<， 故选：A. 8. 正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】D 【解析】 【分析】设事件分别表示“此人高一，高二，高三的学生”，事件D表示“此人感冒”，利用条件概率公式求出，根据题中条件可得出关于的不等式，解出之间的大小关系，分别对选项进行比较即可. 【详解】设事件分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D表示此人感冒， 则, ， 则， 因为来自高二年级概率最大，所以, 即, 即， 即，即， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2或3分，有选错的得0分. 9. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. B与C互斥 C. A与B相互独立 D. A与D互为对立 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，以及事件所包含的基本事件的个数，结合互斥、对立与独立事件的概念与判定方法，即可求解. 【详解】设2个白球为，2个黑球为， 则样本空间为，共有12个基本事件， 对于A，事件，共有6种取法， 所以概率为，所以A不正确； 对于B，事件，共有6种取法， 此时，所以事件与事件不互斥，所以B不正确； 对于C，事件，所以， 且，可得， 因为，所以，所以事件与事件相互独立，所以C正确； 对于D，因为，且，所以事件与事件相互对立，所以D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项，求得，可判定A错误；分别令和，两式相加，可判定B正确；令，可判定C正确；等式两边求导数，令，可判定D正确. 【详解】由， 可得二项式展开式的通项为， 对于A，展开式的系数为，所以A错误； 对于B，令，可得， 令，可得， 两式相加，可得， 所以，所以B正确； 对于C，令，可得， 两边同乘以，所以，所以C正确； 对于D，等式两边求导数，可得， 令，可得，所以D正确. 11. 定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数为周期函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在内至少有个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知及奇偶性的定义判断A，再由已知及偶函数性质判断B，最后利用奇偶性、周期性研究函数的对称性和零点判断C、D. 【详解】因为是偶函数，所以， 因为，所以， 将 替换为，得， 结合，可得，即， A：由上推导可知，所以函数为偶函数，正确， B：由，可得， 所以函数是周期为的周期函数，正确， C：由（关于 轴对称）和周期为， 因为，所以，而， 因此， 则函数图象关于点对称，不是关于直线 对称，错误； D：在中，令，得， 因为是偶函数，所以，代入得，解得， 结合周期为，可知均为， 同理，由，可知也为， 在区间内，所有奇数点都是函数的零点，共有个， 因此至少有个零点，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 13. 已知函数在上单调递增的概率为，且随机变量，若，则_______． （若，则有，） 【答案】 【解析】 【分析】先根据分段函数单调递增的条件求出的取值边界，结合正态分布的对称性确定均值，再利用给定的区间的概率性质计算． 【详解】当时，为指数型增函数， 当时，的对称轴为，开口向下， 由为增函数，得，解得， 所以，即， 由， 得，即． 14. 已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由方程有两个不等实根通过判别式求得的上限，再利用韦达定理表示，求出在上的最小值，结合恒成立条件列不等式求得a的下限，合并得到取值范围。 【详解】由方程有两个不等实根，，由判别式可得，解得， 根据韦达定理，得到， 所以， 因为在上单调递增， 所以，所以， 即，解得， 所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是幂函数且在上为减函数，函数在区间上的最大值为2，试求实数的值． 【答案】， 【解析】 【详解】试题分析：解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有 ，解得， ①当是的单调递减区间， ②当， 解得 ③ ，解得 综合①②③可知 考点：幂函数与二次函数 点评：解决的关键是对于常见的基本初等函数性质的熟练运用，属于基础题． 16. 某校随机调查了100名同学的日运动时间（分钟），得到如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）求该100名同学的平均日运动时间； （3）为进一步调查运动方式，采用分层抽样从日运动时间在内的同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在内的调查人数的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）利用小长方形面积和为建立方程，求解即可. （2）利用平均数公式结合给定条件求解即可. （3）得X可取，再求得相应的概率，列出分布列，然后求解期望即可. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为， 所以，解得 【小问2详解】 因为， 所以该100名同学的平均日运动时间为分钟. 【小问3详解】 由题意得日运动时间在内的同学人数分别为， 则可取， 而，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望为 17. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”．求 （1）“每个项目都有人报名”的报名情况种数； （2）“四名同学最终只报了两个项目”的概率； （3）． 【答案】（1）种 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）两人报同一个项目，故报名情况有种情况，计算得到答案. （2）报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，计算得到答案. （3）计算，，再根据条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 “每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目，故此时报名情况有种； 【小问2详解】 “四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目， 报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目， 故共有种报名情况， 则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是； 【小问3详解】 事件为“恰有两名同学所报项目相同”，有种报名方法，则， 事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”， 若，同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目， 则有种报名方法，则，故． 18. 某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查． （1）为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析无人快递车故障与维保是否有关联． 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 （2）对过去的投放量x（单位：百辆）与服务次数y（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 13 32 79 200 501 1259 拟用函数模型或（，）对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程． 参考公式：，其中，，． 参考数据：， 298.4 1.9 13262 64.4 2 【答案】（1）列联表如下： 维保 未维保 合计 故障 12 28 40 未故障 108 52 160 合计 120 80 200 认为无人快递车故障与维保有关联 （2）适宜， 【解析】 【分析】（1）先补全列联表，再通过计算统计量，依据显著性水平判断无人快递车故障与维保是否有关联； （2）通过数据特征判断指数型模型更适合拟合关系，再通过对数变换转化为线性形式，求出回归方程即可. 【小问1详解】 补充列联表如下： 维保 未维保 合计 故障 12 28 40 未故障 108 52 160 合计 120 80 200 零假设：无人快递车故障与维保无关 ， 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为无人快递车故障与维保有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型． 由，两边同时取常用对数得， 设，则， 因为，， 所以， 把代入，即，得， 所以．所以，则， 故y关于x的回归方程为． 19. 已知函数，． （1）若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1）（i）极小值点为2，无极大值点；（ii）证明见解析. （2）． 【解析】 【分析】（1）（i）对函数进行求导，根据极值点的概念，进行判断即可； （ii）构造函数，求导判断其单调性，求得最大值，即可证明； （2）构造函数，求导判断其单调性，求得最小值，得不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 （i）当时，，定义域为， 则， 令，解得， 当变化时，与的变化如下表所示： 2 － 0 ＋ 减 极小值 增 所以的极小值点为2，无极大值点； （ii）令， 则， 当时，，所以为减函数， 所以， 从而当时，，即． 【小问2详解】 令， 则． 因为，所以， 从而当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为 因为，所以，即，从而， 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临汾一中2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试 数学试题（卷） （测试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，则从甲地到丁地不同的走法总数为（ ） A. 11 B. 14 C. 30 D. 48 3. 在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知随机变量满足，，则（ ） A. B. C. 8 D. 24 5. 从数字0、1、2、3、4、5中任取3个数字构成无重复数字的3位数，其中能被3整除的整数的个数为（ ） A. 40 B. 42 C. 46 D. 48 6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的最大值是 A. B. C. D. 7. 为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（ ） A. < B. = C. > D. 、关系不能确定 8. 正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2或3分，有选错的得0分. 9. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. B与C互斥 C. A与B相互独立 D. A与D互为对立 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数为周期函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在内至少有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 13. 已知函数在上单调递增的概率为，且随机变量，若，则_______． （若，则有，） 14. 已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是幂函数且在上为减函数，函数在区间上的最大值为2，试求实数的值． 16. 某校随机调查了100名同学的日运动时间（分钟），得到如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）求该100名同学的平均日运动时间； （3）为进一步调查运动方式，采用分层抽样从日运动时间在内的同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在内的调查人数的分布列和数学期望. 17. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”．求 （1）“每个项目都有人报名”的报名情况种数； （2）“四名同学最终只报了两个项目”的概率； （3）． 18. 某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查． （1）为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析无人快递车故障与维保是否有关联． 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 （2）对过去的投放量x（单位：百辆）与服务次数y（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 13 32 79 200 501 1259 拟用函数模型或（，）对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程． 参考公式：，其中，，． 参考数据：， 298.4 1.9 13262 64.4 2 19. 已知函数，． （1）若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； （2）若，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $