山西省部分普通高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

秘密★启用前 普通高中2025一2026学年（下）高二年级期末考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择題时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|2<2<8},集合B=(x|川x|≥2}，则CR(AUB)= A.{x|-2<x≤1} B.{x|-1<x≤2} C.{x|-2≤x<1)》 D.(x|-1≤x<2} 2.在等差数列{an)中，a1十a3=2,a4=4,则{an)的公差为 A号 B.2 C.3 D.4 3.经过抛物线x2=y与y2=x的两个交点的直线方程为 A.y=x B.y=-x C.x+y=1 D.x-y=1 4.若3sina=2cos2a,则cos2a= A-日 R c岛 D 5.已知随机变量XN(0,o2)(c>0),且P(X>2)=0.2,则P(X<2|X>一2)= A号 R号 c号 D专 6.设复数之与z2在复平面内所对应的点分别为A,B,若AB=(一1,0)，则|z|= A.5二1 2 B.1 C,5+1 D.2 2 7若函数f(x)与g(x)分别为定义在R上的奇函数与偶函数，则一定有 A.y=f(x)g(x)为偶函数 B.y=f(x)十g(x)为偶函数 C.y=[f(x)]g(x)为奇函数 D.y=f(x)[g(x)]2为奇函数 数学试题第1页（共4页） 8.已知圆0：x2+y2=9与圆C:(x-3)2+y2=9.若以直线x+y=m上任意一点P为 圆心，以点P到圆O的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最 小值为 A.3√2 B c D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.对于所有实数x,使得不等式x2+ax十a2>0恒成立的一个充分不必要条件可以是 A.a>0 B.a>-1 C.a<0 D.a<2 10.在某次实验中，某同学根据4个样本点(1，一2)，(4，一8)，(m,-2),(3,t),利用最小 二乘法得到y关于x的经验回归方程y=一2x+1,设对应的回归直线为l:y= 一2x十1.已知这4个样本点到1的距离均不超过，记6，=，，其中，为观测 值，，为预测值，e,为(x,,)对应的残差|注：由最小二乘法所得残差满足e:=0, 2x,=0小则 A.样本点(1，-2)对应的残差为1 B样本点①，-2)到L的距离为 C.m=1 D.t=-4 11.设曲线C:y=e,过C上横坐标为t的点作切线，切线与坐标轴分别交于点A,B,记 A,P-2A,B,则 A.P,的轨迹与x轴仅有一个交点 B.P,的轨迹与y轴仅有一个交点 C.P,的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D.P,的轨迹在第四象限仅有一个最低点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12,双曲线x-=-1的离心率为 3 13.端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活 动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不 同的选择方式共有 种（用数字作答）. 14.已知等比数列{an}与等差数列bn)的各项均为正整数，且等比数列{an}的公比为q, 等差数列{bn}的公差为d,{an)的前n项和为S。·若对任意正整数n,都有Sn=b。. b1,则gd= 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AA,=BC (1)证明：AC⊥平面ABB1A1; C (2)求直线AB,与平面A,BC所成角的正弦值. 16.(15分) 在△ABC中，BC=2,AC=3,csB=-5 (1)求AB; (2)求△ABC的外接圆的半径与△ABC的面积. 17.(15分) 在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对(x,y),其中状态指示值 x,y∈(1,2).工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信 号对中x的值总和为140，y的值总和为150，设该样本中信号对(1,1)出现的频数为 m(m∈Z,10≤m≤50)，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值， (1)直接补全下列列联表（用m表示）： 单位：个 合计 y=1 y=2 x=1 m x=2 合计 100 数学试题第3页（共4页） (2)若按样本频率得到的x与y相互独立，即X2=0. (1)求m的值，并计算单次输出时满足x=y的概率p; (ⅱ)现该系统继续独立输出4个信号对，记满足x=y的信号对个数为X,求X的分 布列与数学期望， n(ad-bc)2 附：X2=a十bc+a)(a十c)6+a),其中n=a+b+c+d. 18.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:三+” +6=1(a>b>0),且点T(1,0)到c的 上顶点以及右顶点的距离分别为√2和1. (1)求C的标准方程， (2)过点T的直线L与C交于A,B两点，设M为线段AB的中点 (1)证明：点M在曲线x2+4y2=x上； (I)若△OMT的面积为g,求L的方程. 19.(17分) 已知定义在(0，十o∞)上的函数fn(x)=n“x-1(n∈N')的零点为xn,且x1=1, 1 (1)试猜想数列(xn}的通项公式，并加以验证； (2)求数列(xn)的最小值与数列 In+1 的最小值； (3)证明：(f(xn))是递增数列. 数学试题第4页（共4页）普通高中2025一2026学年（下）高二年级期末考试 数学参考答案 1.A【解析】由2<2<8，得1<x<3,由|x|≥2，得x≤-2或x≥2，于是AUB={x|x≤-2或x>1}, 故CR(AUB)={x|-2<x≤1). 故选A. 2.A【解析】由等差教列的作质，符a十a,=2a:=2,解得a:=1,放a,)的公差d-8:号-号 故选A. 3.A【解析】由y=x2与x=y2得x=x,即x(x3一1)=0，所以x=0或x=1,两抛物线的交点为(0,0)，(1， 1),过两个交点的直线方程为y=x. 故选A. 4.D【解析】由3sina=2-2sin2a,得(2sina-1)(sina+2)=0,可得sina=2, 1 于是cos2a=1-2sin'a=2 1 故选D. 5.C【解析】因为X服从均值为0的正态分布，所以其正态曲线关于直线x=0对称，由P(X>2)=0.2,得 P(X<-2)=0.2,于是P(-2<X<2)=1-0.2-0.2=0.6,且P(X>-2)=1-0.2=0.8,所以P(X<2|X> -2)=P(-2≤X<2)_0.63 P(X>-2)-0.8-41 故选C. 6.B【解析】由复数x与z2在复平面内所对应的点分别为A,B,且AB=(一1,0)，可得z2一之=一1，即x2 +1=0,癣得=±所以11-（分)+（土）-1 故选B. 7.D【解析】因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(-x)=一f(x),g(-x)=g(x). 对于A,f(一x)g(一x)=一f(x)g(x),所以y=f(x)g(x)为奇函数，不一定为偶函数； 对于B,f(一x)十g(一x)=一f(x)十g(x),不一定等于f(x)十g(x),所以y=f(x)十g(x)不一定为偶函 数； 对于C,[f(-x)]g(-x)=[-f(x)]g(x)=[f(x)]2g(x),所以y=[f(x)]2g(x)为偶函数，不一定为 奇函数； 对于D,f(-x)[g(-x)]2=-f(x)[g(x)],所以y=f(x)[g(x)]2为奇函数. 故选D. 8.B【解析】设P(x,m-x),记|PC引=d=√(x-3)2十(m-x),点P到圆O的切线长为r,则r2=x2+ (m-x)2-9.圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于|d-3≤r≤d+3.因为d2=x2+(m-x)2一 6x+9,所以r2-(d+3)2=x2+(m-x)2-9-d2-6d-9=6x-6d-27.又d≥x-3,所以6x-6d-27≤ -9<0,所以r<d+3恒成立.由(d-3)<r,得a-6d+9<r2+(m-x)-9,整理得x十d>,即x+ V-)十(m-了≥()对任意实数x成立.当x≥时，()式成立：当<号时，()式两边平方， ·数学答案（第1页，共6页）· 得红-9+6m≥（侣八，即r+g-2m十a一行0，也即(-m+经》+m0若 2,则(*“)式成立，且圆心0到直线x十y=m的距离为>3，清足题意：若m<号，取x=n一多 2 2,此 时(-m十》广十3m一2罗<0，(：)式不成立综上所述，实数m的放小值为 故选B. 9.AC【解析】易得△=a2-4a2<0,即a≠0，故A,C是使不等式成立的一个充分不必要条件，B,D不合题意. 故选AC. 10.BD【解析】由题意可知残差e:=y:一y:=y:十2x:-1,四个样本点的残差依次为一1，-1,2m-3,t十5，样 本点1，一)对应的残差为-1，放A精误：点1，一2)到1的距离为2-1-怎，B正确：因为公。，=0、 空2：=0，所以-1-1+(2m-3)++5)=0,即2m+4=0,且1×(-D+4X(←D+m(2m-3)+ 5 3(t+5)=0,即2m2-3m+3t+10=0,将t=-2m代人，得2m2-9m+10=0,解得m=2或m=2,点 (c,y)到直线1的距离为2x+y-1,由题意得12x十y一11≤1，对于点(m,一2)，有12m一3≤1，所 √5 以1≤m≤2，故m=2,故t=一4，C错误，D正确. 故选BD. ll.ABC【解析】由y=e,得y'=e,曲线y=e在横坐标为t的点处的切线为y-e=e(x-t),即y=ex十e(1- ),不纺设切线与x辅交于A-1,0,与y销交于B0e1-0》,所以P(分，0).设卫，，，则 x分，放=2x+1,从而y=。24D-一，所以卫，的轨选方程为y=一1，令 2 y=-xe2+1=0,得x=0,所以P,的轨迹与x轴仅有一个交点(0,0)，故A正确；令x=0,得y=0,所以P,的轨迹 与y轴仅有一个交点(0,0)，故B正确；当x<0时，y>0,此时P,的轨迹在第二象限，且y'=一e2x+1(1十2x), 由y/=0,得x=分，当z<2时>0，当<x<0时y<0,所以y=-xe1在(-0，-)上 单调递增，在(-号，0）上单调递减，所以卫，的轨迹在第二象限仅有一个最高点，故C正确；当x>0时，y< 0,P,的轨迹在第四象限，且y'=一e2x+1(1十2x)<0,因此y=一xe2x+1单调递减，所以P,的轨迹在第四象 限不存在最低点，故D错误。 故选ABC. 1g 【解标】电-号-1，得 3-x2=1,所以双曲线的焦点在y轴上，且a2=3,b2-1,从而c2=a2+ 2=4,=2,所以双曲线的离心率为e=二=2=2y3 a√33 13.36【解析】先将4个活动分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为C=6,再将分好的三组全排列，分配给 3名不同的员工，排列方法数为A；=6,根据分步乘法计数原理，不同的选择方式共有6×6=36种， 14.4【解析】因为数列{an}与{bn}的各项均为正整数，所以公差d为非负整数.由等差数列的通项公式可得 b。n=b1十(am-1)d,代入已知条件可得S,=dan-d.当n=1时，S1=a1,代入可得(d-1)a1=d①.因为 ·数学答案（第2页，共6页）· 数列{an}的各项均为正整数，故a1≥1，若d=1,则①式左侧为0，右侧为1，产生矛盾，故d不等于1，故 a1日号-1十7因为d为非负整数，所以d-1为整数，又a1=1+为正整数所以d-1=1,故4 d 1 2,所以a1=2.当n≥2时，an=Sn-Sm-1=(2an-2)-(2am-1-2)=2(an一am-1),整理可得an=2an-1,故q= 2.经验证，d=2,q=2满足题意，则qd=2×2=4. 15.解：(1)证明：因为AA1⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以AC⊥AA1, (2分) 又AB⊥AC,AB∩AA1=A,AB,AA1C平面ABB1A1,得AC⊥平面ABB1A1 (5分) (2)以A为原点，AB,AC,AA;的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, (6分) 不妨设AB=1,可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0W2),B1(1,0W2),AB=(1,0,W2),A1C= (0,1,-√2)，A1B=(1,0,-√2)， (9分) 设平面A,BC的法向量为n=(x,y,之)， （n·A1B=0,nx-√2x=0, 则有 即 取x=√2，则n=(√2，W2,1), (11分) n·A1C=0,y-V2z=0, 记直线AB1与平面A1BC所成的角为0，故sin0= lAB1·nW2+√2 2√30 |AB1lln√1+2×√2+2+1 15· (13分) 16.解：(1)由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B, (3分) 即13=AB2+4+45 4智A8,整理可得(AB+5)6AB-)-0,解得AH-5. (6分) (2)由B∈(0，x),得sinB=√1-c0sB=2 5 (8分) AC√65 由正弦定理，得△ABC的外接圆的半径R=2sinB 4 (11分) △ABC的面积S=号AB·nCsin B=名×5×2×2y5-2 (15分) 5 17.解：(1)设在这100个信号对中，x=1出现的频数为n1,x=2出现的频数为n2, n1+n2=100, /n1=60, 依题意可得 解得 n1+2n2=140,n2=40. 设在这100个信号对中，y=1出现的频数为n3,y=2出现的频数为n4, n3+n4=100, n3=50, 依题意可得 解得《 n3+2n4=150,n4=50. 由信号对(1,1)的频数为m,可得当x=1时，y=1与y=2的频数分别为m与60一m,当x=2时，y=1与 y=2的频数分别为50一m与m一10.故补全的列联表如下： ·数学答案（第3页，共6页）· 单位：个 y x 合计 y=1 y=2 x=1 m 60-m 60 x=2 50-m m-10 40 合计 50 50 100 (6分) (2)(1)由x2=0,得100[m(m-10)-(60-m)(50-m)] 三0， 60×40×50×50 解得m=30. (8分) 由上述结果可知信号对(2,2)出现的频数为30一10=20，故样本中满足x=y的总频数为30十20=50，将此 频率视为概率即可得到单次输出时满足x=y的概率力=0一 (10分) (1)由题干可知每次输出信号对相互独立，且每次满足工=y的概率均为？，由此判断随机变量X服从二 项分布，即X~B4,》】 (11分) 随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,4， (12分) P(X=0)=( (合)'()'=GpX=1)=c(合)'（分》°=4P(x=2)-c(分）（合）》= Px=)=c()广()-}P(x==(合)广（分》= 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 1 1 3 1 1 4 16 (14分) 因为X~B(4,),所以E(X)=4×2=2. (15分) 22 y2 18.解：1)椭圆C:。+=1(a>b>0)的上顶点为(0，b),右顶点为(a,0), 由点T(1,0)到上顶点的距离为√2，得(1-0)2+(0一b)2=2,所以b2=1,又b>0,所以b=1. (2分) 由点T(1,0)到右顶点的距离为1，得|a-1|=1,即a=0或a=2,又a>b=1,所以a=2. (3分) 因此蔺圆C的标准方程为十y°-1 (4分) (2)(1)证明：当直线1不垂直于x轴时，设其方程为y=k(x一1) 代入+y°=1，得+(-1)=1，整理得（1+)x-86z十4-4=0， (6分) 8k2 设交点A,B的横坐标分别为远则无十十4所以中点M的横坐标为工w 4k2 2 1+42: 因为点M在直线y=k(x-1)上，所以中点M的纵坐标为yM=(xM一1)=一1十4 (8分) ·数学答案（第4页，共6页）· 于地-一（广+（广-等-e即点w在击线中g-上 (10分) 当直线1垂直于x轴时，直线l的方程为x=1,易得线段AB的中点M(1,0)也满足x2+4y2=x. 综上，点M在曲线x2+4y2=x上. (12分) (iⅱ)若直线l垂直于x轴，则M(1,0),点M,T重合，不合题意 故由(2(i),得yx=1十，而00,0)，T1,0,所以△0MT的面积为号x, (13分) 由题意，得2y=g所以1l=}即终- 1+4k2=4 令u=1,则“≥0，且1行整理得4松-4u十1=0，即（2u一-1Dy=0,所以4 2 故k=2或k=一号 (15分) 因此直线1的方程为y=号-10或y=一2-1D,即x一2y-1=0或x十2y-1=0. (17分) 19限0油1号病将1一侵}一（护 (1分) 猫想数列z,的通项公式为，=（日）广， (2分) 为gy=【e可(g-1-. 一1=0，所以猜想成立. (3分) (2)设g(x)=x=enx,故g'(x)=x(lnx+1), (4分) 当x∈(0，君)时，g'()<0,g(x)单调递减；当x∈（合，十6∞）时，g'(x)>0,g(x)单调递增， (5分) 而-（侣）=g(份》 注意到（分）=（合）=()-g(任)>（付） 结合函数gx)的单调性，可知x,≥，=（兮） 放数列红的最小值为（侣）产】 (7分) 易知当≥3时，+>1， 31 1 V2 )-8(假)-8 9>8 故数列工 n+1 的绿小简为号 (9分) ·数学答案（第5页，共6页）· (3)证明：f(x)=n“+x·nx-1·nlnn=n(nx”lnn十1)， (10分) 于是f)=(·na+)=cnn+D. (11分) 设h(x)=x(Inx+1)=e(Inc+1)）,x≥1， a)[n+1h2+=tx-rt (13分) 下面证明x-(lnx)2+1>0. 注意到x-(lnx)2=(√E)2-(lnx)2=(√元-lnx)(√元十lnx), (14分) 显然√元+lnx≥1(x≥1)， 设(x)=E-nx(x>1),则p'(x)=1-1=区-2 2元x2x (15分) 当1≤x<4时，'(x)<0,p(x)单调递减，当x>4时，p'(x)>0,p(x)单调递增. 故p(x)≥p(4)=2-ln4>0, 于是x-(lnx)2+1>0,则h'(x)>0,h(x)在[1，+∞)上单调递增， 于是{f(xn)}是递增数列. (17分) ·数学答案（第6页，共6页)·